尺寸效應與界面熱阻對超晶格奈米線熱傳導之影響
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(2) 尺寸效應與界面熱阻對超晶格奈米線熱傳導之影響 Influence of Size Effects and Interface Thermal Resistance on Heat Conduction of Superlattice Nanowires. 研 究 生：胡東洲. Student: Tung-Chou Hu. 指導教授：曲新生 教授. Advisor: Dr. Hsin-Sen Chu. 國 立 交 通 大 學 機 械 工 程 學 系 碩 士 論 文. A Thesis Submitted to Department of Mechanical Engineering National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Mechanical Engineering June 2004. Hsinchu, Taiwan, Republic of China 中華民國九十四年六月.
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(4) 尺寸效應與界面熱阻對超晶格奈米線 熱傳導之影響 研究生：胡東洲. 指導教授：曲新生 教授. 國立交通大學機械工程研究所. 摘 要 本文應用二維圓柱座標聲子輻射熱傳方程式，搭配修正後的聲子 平均自由徑，模擬奈米線內部的熱傳問題；且進一步應用非彈性散異 理論模式的假設，模擬界面熱阻對超晶格奈米線熱傳之影響。本文主 要在探討溫度、幾何尺寸、界面熱阻及材料組成比率對超晶格奈米線 等效熱傳導係數之影響，以提供作為未來發展熱電材料的依據。本文 研究發現利用本文修正後的聲子平均自由徑，超晶格奈米線的等效熱 傳導係數降低了約三分之一到二分之一左右。且超晶格奈米線的等效 傳導係數受到徑向及軸向尺寸效應的雙重影響，隨著週期厚度及直徑 的縮小而降低。當超晶格奈米線週期厚度小於直徑時，界面熱阻在總 熱阻中所扮演的角色隨著週期厚度的縮小，越來越重要，此為「超晶 格結構」的特徵；反之，當週期厚度大於直徑時，界面熱阻隨著週期 厚度的增加而急遽下降，此時超晶格奈米線內部的熱傳行為趨近於 「奈米線結構」，其等效熱傳導係數隨著低熱傳導係數含量的減少而 降低。. i.
(5) Influence of Size Effects and Interface Thermal Resistance on Heat Conduction of Superlattice Nanowires. Student：Tung-Chou Hu. Advisor：Dr. Hsin-Sen Chu. Institute of Mechanical Engineering National Chiao Tung University. ABSTRACT The size effects on thermal conductivity of superlattice nanowires with circular cross-section are investigated.. The effective thermal conductivity of superlattice. nanowires is predicted by using equation of phonon radiative transfer. The inelastic mismatch model (DMM) is applied to simulate the interface thermal resistance.. The. effective thermal conductivity of superlattice nanowires is dependent on temperature, the diameter, the periodic length and the volumetric fraction of the constituent materials. The results show that the effective thermal conductivity of Si/Si0.9Ge0.1 superlattice nanowire is reduced by a factor of 3 or 2 by correcting phonon mean free path.. As the result of radial and axial size effects, the effective thermal conductivity. of superlattice nanowires decreases with reduction of the diameter and the periodic length.. When the periodic length is smaller than the diameter, the interface thermal. resistance plays an important role on heat conduction of superlattice nanowires, however, as the periodic length increases, the dominative degree of interface thermal resistance gets more and more slight.. When the periodic length is smaller than the. diameter, the heat conduction of the superlattice nanowire is analogy to of the nanowire.. In this regime, the lower the atomic percentage of low thermal. conductivity material is, the lower the effective thermal conductivity of superlattice nanowires. The results of this study can be used to develop high efficiency thermoelectric materials.. ii.
(6) 誌. 謝. 兩年的研究所生活即將結束，由衷地感謝許許多多曾經幫助過我 的人。首先要特別感謝指導教授—曲新生教授，在這段時間給予我的 教導與鞭策，無論是在學業上或是生活中，皆讓我獲益良多，謹此致 上我最高的敬意。 感謝陳發林教授及宋齊有教授對本研究的指導與建議，使得本論 文更加完善。感謝時明學長及建評學長，在我論文遇到困難時給予提 點。此外，也要感謝研究室的學姊、同學及學弟們的陪伴，讓我在研 究室的生活更加多采多姿。 最後，感謝我最親愛的家人及女友，這兩年的時間，有你們的支 持及陪伴，我才能無後顧之憂的完成學業。謹以本論文獻給我最親愛 的妹妹。. iii.
(7) 目. 錄. 中文摘要 .................................................................i 英文摘要 ................................................................ii 誌謝 .......................................................................iii 目錄 .......................................................................iv 表目錄 ...................................................................vi 圖目錄 ..................................................................vii 符號說明 ...............................................................xi 一、緒論 ................................................................1 1.1 研究背景與動機...........................................................................1 1.2 熱電致冷器的原理簡介與發展 ..................................................2 1.3 文獻回顧.......................................................................................5 1.4 本文研究內容...............................................................................9. 二、理論分析 ......................................................15 2.1 聲子輻射熱傳方程式.................................................................15 2.2 單層二維圓柱聲子輻射熱傳分析 ............................................18 2.2.1 單層二維圓柱座標聲子輻射熱傳統御方程式 ..............18 2.2.2 單層二維圓柱座標系統之邊界條件 ..............................20 2.3 界面熱阻.....................................................................................20 2.3.1 聲異理論模式...................................................................21 iv.
(8) 2.3.2 散異理論模式...................................................................22 2.3.3 散射聲異理論模式...........................................................24 2.4 多層二維圓柱聲子輻射熱傳分析 ............................................26 2.4.1 多層二維圓柱聲子輻射熱傳方程式 ..............................26 2.4.2 多層二維圓柱座標系統之邊界條件 ..............................26 2.5 聲子平均自由徑的修正 ............................................................27. 三、數值分析 ......................................................32 3.1 SN近似法......................................................................................32 3.2 多層二維圓柱聲子輻射熱傳方程式之數值解 ........................33 3.3 數值方法之驗證.........................................................................41. 四、結果與討論 ..................................................53 五、結論與建議 ..................................................88 參考文獻 ..............................................................91. v.
(9) 表. 目. 錄. 表 1-1 熱載子基本性質 ........................................................................11 表 3-1 二維圓柱SN方向餘弦和權重函數表........................................44 表 3-2 室溫（300K）下材料的基本參數值 .......................................45 表 3-3 室溫（300K）下材料的基本參數值 .......................................46. vi.
(10) 圖. 目. 錄. 圖 1- 1 賽貝克效應（Seebeck effect）示意圖....................................12 圖 1- 2 珀爾帖效應（Peliter effect）示意圖 ......................................12 圖 1- 3 熱電致冷器（TE cooler）工作原理示意圖 ...........................13 圖 1- 4 300K溫度下熱電優值五十年來的發展 ..................................14 圖 2- 1 二維圓柱座標系統 ...................................................................29 圖 2- 2 界面熱阻示意圖 .......................................................................30 圖 2- 3 多層二維圓柱座標系統 ...........................................................31 圖 3- 1 方向餘弦離散示意圖 ...............................................................47 圖 3- 2 數值方法流程圖 .......................................................................48 圖 3- 3 單層二維圓柱座標格點測試圖 ...............................................49 圖 3- 4 半徑為 4.47mm的單層Diamond二維圓柱，在室溫穩態定溫邊 界條件下，厚度分別為 10 µm 、1 µm 及 0.1 µm 的溫度分佈 圖...............................................................................................50 圖 3- 5 半徑為 10 µm 的雙層Si/Ge二維圓柱，在室溫穩態定溫邊界 條件下，週期厚度變化對熱傳導係數的分佈圖 ..................51 圖 3- 6 半徑為 10 µm 的雙層Si/Ge二維圓柱，在室溫穩態定溫邊界 條件下，週期厚度分別為 1000nm、100nm及 10nm的溫度分 佈圖...........................................................................................52 圖 4- 1 長度 100nm的Si奈米線，在室溫穩態定溫邊界條件下，半徑 變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ..........................................61 圖 4- 2 長度及半徑皆為 100nm的Si奈米線，在室溫穩態定溫邊界條 件下，奈米線內部的溫度分佈圖：(a)MFP修正前、(b)MFP 修正後 ......................................................................................62 vii.
(11) 圖 4- 3 長度 100nm、半徑 50nm的Si奈米線，在室溫穩態定溫邊界 條件下，奈米線內部的溫度分佈圖：(a)MFP修正前、(b)MFP 修正後 ......................................................................................63 圖 4- 4 長度 100nm的Si奈米線，在穩態定溫邊界條件下，直徑和溫 度變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ......................................64 圖 4- 5 長度 100nm的Ge奈米線，在穩態定溫邊界條件下，比較溫度 為 300K、100K及 30K時，半徑變化對等效熱傳導係數的分 佈圖...........................................................................................65 圖 4- 6 長度 100nm的Ge奈米線，在穩態定溫邊界條件下，比較直徑 為 100nm、50nm及 20nm時，溫度變化對等效熱傳導係數的 分佈圖 ......................................................................................66 圖 4- 7 Si/Si0.9Ge0.1 超晶格奈米線直徑為(a) 58nm及(b)83nm，在室溫 穩態定溫邊界條件下，週期厚度變化對等效熱傳導係數的分 佈圖...........................................................................................67 圖 4- 8 週期厚度 150nm的Si/Si0.9Ge0.1超晶格奈米線，在穩態定溫邊 界條件下，直徑和溫度變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ..68 圖 4- 9 Si/Ge超晶格奈米線直徑為(a)20nm及(b)50nm，在室溫穩態定 溫邊界條件下，週期厚度變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ...................................................................................................69 圖 4-10. Si/Ge超晶格結構，在室溫穩態定溫邊界條件下，週期厚度 變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ..........................................70. 圖 4-11 Si/Ge超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊界條件下，直徑和 週期厚度變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ..........................71 圖 4-12. 直徑 100nm的Si/Ge超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊界條 件下，週期厚度分別為(a)200nm、(b)100nm、(c)10nm及(d)5nm. viii.
(12) 的溫度分佈圖 ..........................................................................72 圖 4-13. 直徑 50nm的Si/Ge超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊界條件 下，週期厚度分別為(a)100nm、(b)50nm、(c)10nm及(d)5nm 的溫度分佈圖 ..........................................................................73. 圖 4-14. Si/Ge超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊界條件下，直徑和 週期厚度變化對界面熱阻佔等效總熱阻比重的分佈圖 ......74. 圖 4-15. Si/Ge超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊界條件下，直徑和 週期厚度變化對中心軸界面熱阻佔等效總熱阻比重的分佈 圖...............................................................................................75. 圖 4-16. 週期厚度 25nm的Six/Ge1-x超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊 界條件下，直徑和矽含量佔總材料比重對等效熱傳導係數的 分佈圖 ......................................................................................76. 圖 4-17. 週期厚度 50nm的Six/Ge1-x超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊 界條件下，直徑和矽含量佔總材料比重對等效熱傳導係數的 分佈圖 ......................................................................................77. 圖 4-18. 週期厚度 75nm的Six/Ge1-x超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊 界條件下，直徑和矽含量佔總材料比重變化對等效熱傳導係 數的分佈圖 ..............................................................................78. 圖 4-19. 週期厚度 100nm的Six/Ge1-x超晶格奈米線，在室溫穩態定溫 邊界條件下，直徑和矽含量佔總材料比重變化對等效熱傳導 係數的分佈圖 ..........................................................................79. 圖 4-20. 週期厚度 100nm的Six/Ge1-x超晶格奈米線，在室溫穩態定溫 邊界條件下，不同幾何尺寸、不同組成比率的溫度分佈圖 ...................................................................................................80. 圖 4-21. 週期厚度 50nm的Six/Ge1-x超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊. ix.
(13) 界條件下，不同幾何尺寸、不同組成比率的溫度分佈圖 ..81 圖 4-22. GaAs/AlAs超晶格結構，在室溫穩態定溫邊界條件下，週期 厚度變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ..................................82. 圖 4-23. GaAs/AlAs超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊界條件下，直 徑和週期厚度變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ..................83. 圖 4-24. Bi2Te3/Sb2Te3超晶格結構，在室溫穩態定溫邊界條件下，週 期厚度變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ..............................84. 圖 4-25. Bi2Te3/Sb2Te3超晶格奈米線，在室溫穩態定溫邊界條件下， 直徑和週期厚度變化對等效熱傳導係數的分佈圖 ..............85. 圖 4-26. Si/Ge、GaAs/AlAs及Bi2Te3/Sb2Te3超晶格結構，在室溫穩態 定溫邊界條件下，週期厚度變化對界面熱阻的分佈圖 ......86. 圖 4-27. 直徑 20nm的Si/Ge、GaAs/AlAs及Bi2Te3/Sb2Te3超晶格奈米 線，在室溫穩態定溫邊界條件下，週期厚度變化對界面熱阻 的分佈圖 ..................................................................................87. x.
(14) 符 號 說 明 a ：加速度 [ m C ：比熱 [ J. s2. kgK. ] ]. c ：光速 [ = 3×108 m ] s D ：態密度 [ m −3 ] v e ：單位向量. f ：分佈函數 h ：普朗克常數 [ = 6.626 ×10 −34 Js ]. h：h. 2π. I ：聲子輻射強度 [ W. m 2 sr. ]. J ：電流 [ A ] k ：熱傳導係數 [ W. mK. ]. k B ：波茲曼常數 [ = 1.38 × 10 −23 J. K. ]. L ：圓柱厚度 [ m ] Le ：偶數層厚度 [ m ] Lo ：奇數層厚度 [ m ] N ：數量密度[ m −3 ]. Q ：總熱傳量 [ W ]. xi.
(15) q ：熱通量 [ W. m2. ]. R ：反射率或圓柱半徑 [ m ] 2 RI ：界面熱阻 [ m K. W. 2 RM ：材料熱阻 [ m K 2 RT ：總熱阻 [ m K. W. W. ] ]. ]. r ：徑向距離 [ m ] v r ：位置向量 S ：賽貝克係數 [ V. K. ]. v s ：輻射強度行進方向 T ：絕對溫度 [ K ] t ：時間[ s ]. t R ：鬆弛時間 [ s ] V ：電壓 [ V ]. v ：速率或群速 [ m ] s v v ：速度向量. w ：權重因子 Z ：聲阻抗 [ = ρv ] z ：軸向距離 [ m ]. ZT ：無因次化熱電優值. xii.
(16) 希臘字母 φ ：方位角 [ rad ] η ：方向餘弦 [ sinθ sinφ ] Λ bulk ：平均自由徑[ m ] Λ* ：修正過後的平均自由徑[ m ] （Eq.(2-44)）. λ ：波長 [ m ]. µ ：方向餘弦 [ sinθ cosφ ] Π ：珀爾帖係數 [ V ]. θ ：極角 [ rad ] ϑ ：阻泥係數 [ s ]. ρ ：密度 [ kg. m3. ]. σ ：導電率 [ sm ] τ ：穿透率 υ~ ：等效速度 [ m s ] Ω ：立體角 [ sr ]. ω ：頻率 [ s −1 ] ω D ：德拜截止頻率 [ s −1 ]. ξ ：方向餘弦 [ cos θ ]. xiii.
(17) 上標： 0 ：平衡狀態. 下標： b ：bottom bound ：boundary scattering. c ：circle collsion ：碰撞. defect ：scattering between phonon and defect eff. ：effective k ：第 k 層材料. p ：period. ph − e ：scattering between phonon and electron ph − ph ：scattering between phonon and phonon t ：top z. ：軸向. xiv.
(18) 一、緒論 1.1 研究背景與動機 隨著半導體技術的進步，不僅成功發展出 90 奈米線寬製程，更 進一步朝向 65 奈米線寬發展。線寬的縮小使得同樣面積的晶圓上可 聚集更多的元件，降低製作成本，也大大地提高元件的運算速度。但 也因電子元件的高密度聚集，運轉時產生的熱將嚴重影響其性能，因 此微電子元件散熱是一個日益嚴重的問題。在微觀尺寸系統或奈米尺 寸系統中，傳統用於巨觀上的傅立葉熱傳導定律（Fourier law of heat conduction）已不適用，因此近十多年來發展許多微觀熱傳理 論 （Microscale heat transfer theory） 。例如分析半導體及介電材料微結構 的熱傳現象，有學者使用聲子輻射熱傳方程式（Equation of phonon radiative transfer）來處理[Majumdar, 1993]。近年來，許許多多的學者 基於此理論，發現熱物理性質，如熱傳導係數，不再只是材料本質上 的參數，材料的尺寸、幾何形狀均會對其造成影響。當系統尺寸接近 材料的聲子平均自由徑（Mean free path）時，熱傳導係數隨著系統尺 寸的縮小明顯下降，此即為眾所周知的尺寸效應（Size effects） 。另外， 界面對熱傳導係數的影響隨著尺度的縮小越來越重要，不同材料間晶 格的不連續阻礙了熱傳輸行為，因此有了界面熱阻（Interface thermal resistance）的概念。本文利用聲子輻射熱傳方程式結合非彈性散射界 面理論，處理超晶格奈米線（Superlattice nanowires）的熱傳行為，而 文獻上模擬半導體微結構熱傳現象的理論很多，本文期望以較簡便的 修正已逼近實驗結果，且進一步分析尺寸、半徑以及材料組成比率對 等效熱傳導係數的影響。 1.
(19) 1.2 熱電致冷器的原理簡介與發展 早在十九世紀，熱電效應的現象就被人們所發現。所謂的「熱電 效應（Thermoelectric effects）」 ，簡單來說，就是熱能和電能間相互轉 換的一種機制。一般來說，熱電效應可以細分成三種：賽貝克效應 （Seebeck effect） 、珀爾帖效應（Peltier effect）和湯姆森效應（Thomson effect）。. 賽貝克效應： 賽貝克效應（Seebeck effect）是由一位德國的科學家 Thomas Johann Seebeck 在西元 1822 年所發現的。他將 A 和 B 兩種不同材料 的導體串接起來形成一個封閉迴路，若在 A 和 B 材料接觸的兩端有 溫度差的話，就會造成電壓差而產生電流，如圖 1-1 所示。也發現到 接觸兩端的溫度差和其產生的電壓差成一個正比的關係，因此定義出 賽貝克係數（Seebeck Coefficient），而電壓差、溫度差和賽貝克係數 的關係如下：. S =−. V12 ∆T. (1-1). S 即為塞貝克係數，賽貝克係數又可稱為熱電勢（Thermoelectric. power）， V12 是產生的電壓差， ∆T 是 A、B 材料接觸兩端的溫度差。 賽 貝 克 效 應 也 是 製 作 熱 電 偶 （ Thermocouple ） 和 熱 電 發 電 器 （Thermoelectric power generator）的基本原理。. 珀爾帖效應：. 2.
(20) 在賽貝克效應被發現幾年後，一位法國的的錶匠 Jean Charles Athanase Peltier 在 1834 年發表了珀爾帖效應（Peltier effect） ，他將 A 和 B 兩種不同材料的導體串接並通予電流形成通路，發現在 A 和 B 接觸的一端會產生熱，而另一端則會有溫度下降的現象，如圖 1-2。 並且發現在 A、B 材料的接觸端所產生的熱量（或另一端被吸收的熱 量）會和通入的電流大小成正比，因此定義出珀爾帖係數（Peltier coefficient），其和熱傳量及電流的關係如下：. Q=∏J. (1-2). Π 是珀爾帖係數， Q 是總熱傳量， J 是電流。. 湯姆生效應： 在 1847 年，物理學家 William Thomson（後來又有人稱之 Lord Kelvin）建立了熱電現象的理論基礎，他所得的結論是當兩種不同導 體材料接觸的兩端在已經有溫度差的情況下，再通予電流，而電流可 以控制接觸兩端增加或減少溫度差的情形，此即稱為湯姆生效應 （Thomson effect）。他還推導出賽貝克係數和珀爾帖係數之間的關 係：. Π = ST. (1-3). 上式稱為 Kelvin relation，其中 T 為絕對溫度。. 上述的三種熱電效應彼此間都有極大的關聯，也可發現賽貝克效 應和珀爾帖效應其實就是一體兩面的關係。而所謂的熱電致冷器. 3.
(21) （Thermoelecric cooler、簡稱 TE cooler）的基本原理就是珀爾帖效 應，它利用珀爾帖效應將熱藉由電子的移動送到另一端，藉此達到冷 卻的效果。一般熱電致冷器的性能是由一無因次參數—熱電優值（the figure of merit）來衡量[1]，其定義為：. ZT =. σ ⋅ S 2 ⋅T. （1-4）. k. 其中 σ 為材料的電子導電率（Electrical conductivity）、 S 為材料的賽 貝克係數、 T 為絕對溫度（Absolute temperature）、 k 為材料的熱傳導 係數（Thermal conductivity） 。由（1-4）式，我們可以發現材料的導 電率越好、賽貝克係數越大，或者材料的熱傳導係數越低，則會增加 熱電致冷器的性能，這和一般散熱裝置需要高傳導係數的傳統觀念相 違背。因為熱電致冷器的主要原理是利用電子帶走熱量，而在（1-4） 式中被放在分母的熱傳導係數是為了防止熱量回流的現象，所以熱傳 導係數反而越低越好，熱電致冷器的示意圖如圖 1-3。 根據 Wiedmann-Franz 定律[2]知道金屬材料的導電率和熱傳導係 數成正比，而絕緣體則不導電，因此認為半導體為最適當的熱電材 料。不管何種材料，熱都是藉由熱載子（Heat carrier）間的相互碰撞 而傳遞的，自然界中的主要熱載子有電子（Electrons） 、聲子（Phonons） 和光子（Photons） ，各有不同的性質，可參考表 1-1 [3]。而在半導體 材料中的熱傳導係數大部分都是由聲子所貢獻的，故如何有效的降低 聲子的熱傳導係數，且不使電子導電率下降太多，將有助於提升熱電 致冷器的性能。. 4.
(22) 1.3 文獻回顧 早 在 十 九 世 紀 初 期 Seebeck 和 Peltier 就 已 經 證 實 了 熱 電 效 應 （Thermoelectric effects）的存在，提供了熱能和電能互相交換的橋 樑，到了二十世紀初期，利用此一原理發展出熱電發電器和熱電制冷 器。1950 年代，利用半導體合金的技術將室溫下的ZT值提升至 1 左 右，但這距離實際大量商品化的階段仍有一段不小的差距。1982 年 Ren和Dow [4]第一次成功預測到超晶格（Superlattice）結構的熱傳導 係數遠低於塊材（Bulk）結構，1987 年Yao [5]也顯示傅立葉定律高 估了超晶格結構的熱傳導係數。到了 1990 年代，隨著半導體薄膜沉 積技術的成熟以及多層狀低維度材料的應用，室溫下的ZT值獲得明 顯 的 改 善 。 2001 年 Venkatasubramanian [6] 製 作 了 鉍 化 碲 / 銻 化 碲 （Bi2Te3/Sb2Te3）週期性薄膜結構並在室溫下量得其ZT值為 2.4。由 此可見，低維度材料對於提升ZT值有明顯的貢獻。2002 年Chen和 Shakouri [7]對此分別從電子的尺寸效應、界面處熱離子放射效應和聲 子界面散射效應三方面作一詳盡的回顧。 由上可知，若要模擬這些低維度材料的熱傳現象，利用傳統的傅 立葉熱傳方程式是行不通的，必須回歸最基本的粒子傳輸方程式—波 茲曼傳輸方程式（Boltzmann transport equation）來處理。1993 年 Majumdar [8]將聲子類比作光子的概念，推導出聲子輻射熱傳方程式 （Equation of phonon radiative transfer、簡稱 EPRT） ，且證實穩態下， 當尺寸逐漸放大時，即薄膜厚度遠大於聲子平均自由路徑，可得到和 傅立葉熱傳定律相同的結果。2003 年 Prasher [9]進一步比較 EPRT 和 輻射熱傳方程式（Equation of radiative transfer、簡稱 ERT）之間的差 異，認為若系統中存在有缺陷（Defects）當作散射源，聲子可類比光. 5.
(23) 子定義出一等效的散射相函數（Phase funtion） ，推導出更具一般性的 聲 子 輻 射 熱 傳 方 程 式 （ Generalized equation of phonon radiative transport、簡稱 GEPRT），此方程式在等向性散射假設下可簡化為 EPRT。2003 年 Zeng 和 Liu [10]將 EPRT 推廣至一維球座標及二維圓 柱座標，發覺非平板薄膜系統的等效熱傳導係數受內徑和薄膜厚度的 影響。 而過去十年來，由於超晶格結構的低熱傳導係數使其常被應用於 熱電裝置。許多實驗也證實半導體超晶格結構如砷化鎵/砷化鋁 （GaAs/AlAs） 、矽/鍺（Si/Ge） 、鉍化碲/銻化碲（Bi2Te3/Sb2Te3）等均 有相當低的熱傳導係數，甚至低於其所對應的半導體合金，因此許多 學者嘗試建立一套可信的模式探討熱傳導係數降低的主要機制。有一 部份學者將聲子視作粒子傳輸行為，使用波茲曼傳輸方程式，忽略波 的干涉效應來處理。如：1997 年Chen和Neagu [11]探討超晶格結構平 行 薄 膜 沈 積 方 向 （ Cross-plane ） 的 熱 傳 導 係 數 ， 比 較 完 全 鏡 射 （Specular）界面和完全漫射（Diffuse）界面的影響，發現熱傳導係 數受到完全漫射界面的影響較嚴重。但前述完全鏡射和完全漫射界面 的結果和實驗值仍有段差距，Chen在 1997 [12]、1998 [13]年分別針 對垂直薄膜沈積方向（In-plane）和Cross-plane方向的超晶格熱傳導係 數 作 分 析 ， 引 進 了 一 界 面 鏡 射 參 數 （ The interface specularity parameter），認為界面的性質應是由部分鏡射和部分漫射所共同影 響。結果發現兩者對熱傳導係數的影響不單純是簡單的線性關係，驗 證了漫射界面是熱傳導係數降低的主因，更進一步找到最適當的界面 鏡射參數逼近實驗結果。另外有另一批學者如Hyldgaard、Mahan [14] 以及Tamura [15]將聲子視作波動行為，解釋熱傳導係數的降低是由於 高頻的聲子群速（group velocity）被限制而降低的緣故。2000 年Simkin. 6.
(24) 和Mahan [16]結合波動與粒子傳輸理論，發現在薄膜厚度小於聲子平 均自由徑時有最小的熱傳導係數。2003 年Yang和Chen [17]修正前文 引入一界面鏡射參數，考慮界面存在漫射效應，模擬砷化鎵/砷化鋁 超晶格在Cross-plane和In-plane的熱傳導係數。發現熱傳導係數隨著週 期厚度縮小而降低，但當週期厚度小至聲子平均自由徑時，若進一步 將週期厚度縮小，熱傳導係數反而有回復的趨勢，推測是由於聲子產 生穿遂效應（Tunneling effect）下的結果。不僅僅在砷化鎵/砷化鋁超 晶格結構發現此ㄧ現象，2000 年Venkatasubramanian [18]量測鉍化碲/ 銻化碲超晶格也發現在週期厚度和聲子平均自由徑相當時有最低的 熱傳導係數。 近幾年來，奈米線（Nanowire）和超晶格奈米線（Superlattice nanowire）逐漸成為低維度半導體材料的重心，2002 年 Fon 等人 [19] 測量了砷化鍺奈米線的熱傳導係數，2003 年 Li 等人[20]測量了矽奈 米線的熱傳導係數，以上實驗均發現奈米線的熱傳導係數比同材料的 塊材直低。1999 年 Volz 等人[21]利用分子動力學模擬正方形截面的 矽奈米線，發覺在 200K-500K 溫度下的熱傳導係數比塊材矽晶格低 了一至兩個數量級，另外和使用 BTE 模擬的結果相仿，證實了邊界 漫射效應是造成熱傳導係數降低的原因。Khitun 等人[22]在 2000 年 同時考慮聲子及電子的尺寸效應，發現儘管電子的遷移率因尺寸效應 而降低，聲子熱傳導係數降低的幅度仍有效的提升奈米線的熱電性 質。2001 年 Zou 等人[23]以 BTE 為基礎，並考量邊界散射效應計算 矽奈米線的熱傳導係數，認為聲子的尺寸效應及邊界散射效應是奈米 線熱傳導係數降低的主要原因。2002 年 Lu 等人[24]探討尺寸效應對 矩形截面奈米線熱傳導係數的影響，發覺隨著奈米線邊長的縮小，增 加了邊界散射機會，因而降低了熱傳導係數。2003 年 Mingo 等人[25]. 7.
(25) 建立了一套奈米線熱傳導係數對溫度變化的理論，直徑在 37nm 以上 的矽奈米線所預測的熱傳導係數和實驗量測結果相符。Wu 等人[26] 在 2002 年發展了一套製作超晶格奈米線的方法—PLA-CVD。2003 年 Lin 和 Dresselhaus [27]建立一套超晶格奈米線的電子結構和傳輸性 質的理論模式，發現超晶格奈米線的熱電性質和單層材料厚度、線直 徑、軸向結晶方向以及兩層材料所佔的比率有關。不管是 N 型或 P 型半導體，當超晶格奈米線的直徑小至 5 奈米時，ZT 值隨著單層厚 度的改變出現明顯的振盪現象。另外發現 P 型半導體的最大 ZT 值比 N 型來的高，而如果同樣是 N 型半導體就得比較材料本身的熱電性 質。2004 年 Dames 和 Chen [28]發展一套計算矽/鍺超晶格奈米線熱傳 導係數的模式，他們認為在製作超晶格奈米線時，很難做到真正平坦 完美的界面，使得粗糙度抵銷了量子干涉效應，可由粒子碰撞的角度 模擬聲子熱傳行為，且利用非彈性散異理論模式處理界面熱阻，並假 設所有散射效應和頻率無關，服從 Matthiessen 規則[29]，發現熱傳導 係數隨著尺寸的縮小而降低，同年度 Chen 等人[30]利用分子動力學 模擬氪/氬超晶格奈米線，得到的結果比純氪奈米線的熱傳導係數還 要低三分之一，認為多層狀結構的超晶格奈米線比奈米線更適合熱電 上的應用。 由於處理超晶格和超晶格奈米線等層狀材料時，除了薄膜厚度所 造成的尺寸效應以外，薄膜界面因材料不連續造成的界面熱阻亦是一 個常被廣泛討論的議題。1959 年，Little [31] 首先利用聲異理論模式 （Acoustic mismatch model、簡稱 AMM 模式） ，來處理固體與固體間 界面熱阻的問題，此一模式假設邊界為一平滑界面，聲子行經此ㄧ界 面時不發生散射效應，只考慮穿透及反射效應，界面熱阻主要由材料 的吸收造成，其穿透率及反射率遵循幾何光學。1989 年，Swartz [32]. 8.
(26) 進一步提出散異理論模式（Diffuse mismatch model、簡稱 DMM 模 式），此一模式與聲異理論模式的假設完全相反，它假設所有的聲子 在邊界上均受到無方向性的散射，且散射後的狀態與散射前的狀態無 關。1998 年，Phelan [33]針對 AMM 與 DMM 模式做了更詳細的比較， 結果指出 AMM 模式只有在極低溫的情況下才有較佳的模擬結果。隨 著溫度的上升，聲子物質波波長的縮短至與界面粗糙度相當時，便不 能忽略散射效應，因而 AMM 模式不再適用，使用 DMM 模式所求得 的界面熱阻會比使用 AMM 模式更接近實驗結果。1998 年，Chen [13] 進一步將 AMM 模式和 DMM 模式推廣至非彈性散射，並將之應用於 波茲曼傳輸方程式，處理超晶格結構的熱傳現象，和實驗結果相近。 2001 年，Prasher 和 Phelan [34]比較 EPRT 和 ERT 兩個方程式，將 AMM 模 式 加 以 修 正 ， 進 而 提 出 散 射 聲 異 理 論 模 式 (Scattering-mediated acoustic mismatch model、簡稱 SMAMM)，認為除了吸收項造成的界 面熱阻外還有散射效應需要考慮。. 1.4 本文研究內容 1990 年以來，半導體薄膜沈積技術的進步，多層薄膜結構廣泛 地被應用於提升熱電裝置的熱電性質，圖 1-4 [35]為 1950 年至 2000 年 300K 溫度下熱電優值的進展，可以明顯看出奈米結構的熱電材料 有助於熱電優值的提升。過去文獻已經針對超晶格結構有相當完整的 探討，發現當薄膜厚度接近聲子平均自由徑時，等效熱傳導係數隨著 薄膜厚度的縮小而下降。另一方面，研究指出超晶格奈米線在熱傳導 係數的降低量比多層薄膜結構來的大，在未來將是最有潛力的熱電材 料之一，本文利用二維圓柱座標系統的聲子輻射熱傳方程式，搭配非 9.
(27) 彈性散異理論模式處理界面問題。探討超晶格奈米線的週期厚度、直 徑及組成比率對其等效熱傳導係數之影響，並分析溫度對奈米線及超 晶格奈米線熱傳行為之影響。此外，進一步考量其物理的幾何尺寸對 聲子散射所造成的影響，以 Matthiessen 規則修正材料的平均自由徑， 期望利用巨觀且容易獲得的物理參數，配合微觀熱傳理論將模擬結果 更逼近實驗值。. 10.
(28) 表 1-1 熱載子基本性質[3]. Free electrons. Phonons. Photons. Generation. Ionization or excitation. Lattice vibration. Atomic , molecule transition. Propagation media. In vacuum or media. In media only. In vacuum or media. Statistics. Fermi-Dirac. Bose-Einstein. Bose-Einstein. Frequency. 0−∞. 0 − ωD. 0−∞. Dispersion. E = h 2ω 2 / (2m ). E = E (ω ). v=c/λ. ~106. ~103. ~108. Velocity (ms ). 11.
(29) 材料A. T + ∆T. T. 材料B I ∆V. 圖 1- 1. 賽貝克效應（Seebeck effect）示意圖. 材料A. T1 − ∆T. T2 + ∆T. 材料B I. 圖 1- 2. 珀爾帖效應（Peliter effect）示意圖. 12.
(30) TC Cold side. N. TH. P. Hot side. 熱傳方向或電子流方向 電流方向. 圖 1- 3. 熱電致冷器（TE cooler）工作原理示意圖. 13.
(31) 圖 1- 4 300K 溫度下熱電優值五十年來的發展[35]. 14.
(32) 二、理論分析 由於傳統的傅立葉熱傳定律在奈米尺度系統中不再適用，為了分 析二維圓柱下的微觀熱傳現象，我們採用 Majumdar [8]於 1993 年為 了處理一維平板薄膜的熱傳現象而導出的聲子輻射熱傳方程式 （Equation of phonon radiative transfer、簡稱 EPRT） ，進一步推廣至二 維圓柱座標，導出二維圓柱聲子輻射熱傳方程式，用以分析超晶格奈 米線的熱傳問題。此外，超晶格奈米線是由兩種材料週期性的沈積， 界面熱阻也會影響整個熱傳輸行為，目前已發展數種界面理論，我們 嘗試套用不同的理論模式分析界面熱阻對熱傳現象的影響。. 2.1 聲子輻射熱傳方程式 在半導體固態材料中，聲子為主要熱載子，且在熱力學平衡下的 統計分佈函數（Distribution function）遵循玻司-愛因斯坦分佈（Bose -Einstein distribution） ，和光子的分佈函數相似。而在微觀尺度下，無 法明確定義出溫度梯度的存在，所以傳統的傅立葉傳導定理不再適 用，為了要討論在微觀下的熱傳模式，必須從粒子碰撞導致熱傳的角 v. v. 度切入，粒子的分佈函數為位置 r 和速度 v 的函數，並考慮分佈函數 v v. 隨著時間的變化可以表示為 f ( t , r , v ) 。從古典力學中的 Liouville 定 理，延著同一條流線的所有相空間（Phase space）為一固定常數，也 就是說延著同一條流線上的分佈函數是守恆的，不隨著時間而改變， 所以分佈函數隨時間的改變量為零： df ∂f v v = + v ⋅ ∇ rv f + a ⋅ ∇ vv f = 0 dt ∂t. （2-1） 15.
(33) v. 其中 a 為加速度。若考慮粒子碰撞，分佈函數的守恆性遭到破壞， 可表示為：. df ∂f v v ⎛ δf ⎞ + v ⋅ ∇ rv f + a ⋅ ∇ vv f = ⎜ ⎟ = dt ∂t ⎝ δt ⎠ collisions. （2-2）. ⎛ δf ⎞ 為分佈函數因粒子碰撞造成的改變量，上式即為波茲曼傳 ⎜ ⎟ ⎝ δt ⎠ collisions. 輸方程式（Boltzmann transport equation、簡稱 BTE）。 Majumdar 將此方程式應用於半導體和介電材料，其主要熱載子 為聲子，由於固態材料中的聲子傳輸速度接近聲速，傳輸速度的改變 量並不明顯，因此加速度項 ∇ vv 可以被忽略：. ∂f v ⎛ δf ⎞ + v ⋅ ∇ rv f = ⎜ ⎟ ∂t ⎝ δt ⎠ collisions. （2-3）. 此外，聲子碰撞的情形極為複雜，若要直接處理將導致方程式過於困 難，為了簡化方程式右邊的碰撞項，假設能量傳遞時間遠小於聲子碰 撞時間，因此可利用鬆弛時間 t R （Relaxation time approximation）處 理，將碰撞項線性化：. f0− f ⎛ δf ⎞ = ⎜ ⎟ tR ⎝ δt ⎠ collisions. （2-4）. 其中 f 0 為平恆狀態下的分佈函數，故波茲曼傳輸方程式可改寫為 ：. 16.
(34) f0− f ∂f v v + v ⋅ ∇r f = ∂t tR. （2-5）. v. v. 並考慮分佈函數為頻率 ω 的函數，且速度可用 v = v ⋅ ev 表示，所以（2-5） 式可簡化為：. f 0 − fω 1 ∂f ω v + ev ⋅ ∇ rv f ω = ω v ∂t vt R. （2-6）. 再將聲子類比為光子，可以將聲子的輻射強度（Intensity）I ω 表示為： v I ω (θ ,φ ,r ,t ) = ∑ v ( θ ,φ ) f ω ( r ,t )hωD( ω ). （2-7）. p. v. 其中 v ( θ ,φ ) 為單位立體角內 ( θ ,φ ) 方向上的速度向量， h 為普朗克常數 h（Planck’s constant）除以 2π ， D( ω ) 為單位體積下的態密度（Density. of state），（2-7）式也就是單位時間、單位面積、單位立體角下聲子 行進方向上的能量通量，亦就是我們所知的光子強度的定義。於是我 v. 們將（2-6）式的分佈函數同乘以 v hωD( ω ) ，可得到如下的方程式： I 0 − Iω 1 ∂I ω v + ev ⋅ ∇ rv I ω = ω v ∂t vt R. （2-8）. 所得到的（2-8）式就是 Majumdar [8]在 1993 年所提出來的聲子輻射 熱傳方程式(EPRT)，可以用來分析微觀尺度下，材料內部以聲子為主 要熱載子的熱傳行為。. 17.
(35) 2.2 單層二維圓柱聲子輻射熱傳分析 2.2.1 單層二維圓柱座標聲子輻射熱傳統御方程式 二維圓柱系統的物理模型如圖 2-1。由於聲子輻射強度為半徑 r 、 極角（Polar angle） θ 、方位角（Azimuthal angle） φ 及軸向長度 z 的 v. 函數，聲子輻射強度對行進方向 s 的微分如下：. →. e v ⋅ ∇I ω =. dI ω ∂I ω dr ∂I ω dθ ∂I ω dφ ∂I ω dz + + + = ds ∂r ds ∂θ ds ∂φ ds ∂z ds. （2-9）. 其中聲子輻射強度均朝同一極角向外輻射，因此行進方向對極角的微 分為 0，各項表示如下：. dr = sin θ cos φ ds. （2-10a）. dθ =0 ds. （2-10b）. dφ sin θ sin φ =− ds r. （2-10c）. dz = cos θ ds. （2-10d）. 將（2-9） 、（2-10a） 、（2-10b） 、（2-10c） 、（2-10d）代入方程式（2-8） 得：. ∂I ∂I I 0 − Iω sin θ sin φ ∂I ω 1 ∂I ω + sin θ cos φ ω − + cos θ ω = ω ∂r ∂φ v ∂t ∂z r vt R. 18. （2-11）.
(36) 整理如下： 0 1 ∂I ω µ ⎡ ∂ (rI ω ) ⎤ 1 ⎡ ∂(ηI ω ) ⎤ ⎡ ∂I ω ⎤ I ω − I ω + ⎢ − +ξ⎢ ⎥ = vt v ∂t r ⎣ ∂r ⎥⎦ r ⎢⎣ ∂φ ⎥⎦ ⎣ ∂z ⎦ R. （2-12）. 其中 µ = sinθ cos φ 、 η = sin θ sin φ 、 ξ = cos θ ，分別為三個座標軸的方向 餘弦（Direction cosine）。在平衡狀態的聲子輻射強度定義為：. I ω0 =. 1 4π. ∫ I ω dΩ. （2-13）. 4π. 且假設介質為灰體（Gray body） ，故聲子輻射強度與頻率無關，且本 文只考慮穩態下之熱傳現象，對時間的微分項為 0，整理可得如下方 程式：. 1. µ ⎡ ∂ (rI )⎤ 1 ⎡ ∂ (ηI )⎤ ⎡ ∂I ⎤ 4π ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ +ξ ⎢ ⎥ = r ⎣ ∂r ⎦ r ⎣ ∂φ ⎦ ⎣ ∂z ⎦. ∫. 4π. I dΩ − I. vt R. （2-14）. 此即為二維圓柱座標聲子輻射熱傳統御方程式。其中，平衡強度與溫 度間的轉換可由下列關係式獲得：. dI 0 1 = dT 4π. ωD. ∫. 0. ν m hωD(ω ). νC df 0 dω = dT 4π. （2-15）. 其中 ω D 為德拜截止頻率（Debye cut-off frequency）， C 為材料比熱 （Specific heat）， v 為聲子群速（Group velocity）。. 19.
(37) 2.2.2 單層二維圓柱座標系統之邊界條件 在二維圓柱系統的三的面給予三個定溫邊界條件，再由（2-15） 式求出平衡狀態下所對應的聲子輻射強度，如下： I = I 0 (Tb ) z = 0. （2-16a）. I = I 0 (Tt ) z = L. （2-16b）. I = I 0 (Tc ) r = R. （2-16c）. 而在中心軸 r = 0 處，給予對稱邊界條件：. (. ) (. I r = 0+ = I r = 0−. ). （2-17）. 2.3 界面熱阻 利用聲子輻射熱傳模式處理多層結構，必須針對界面散射問題加 以考慮，由於不同材料間的晶格出現中斷，阻礙了聲子的傳輸，產生 了界面熱阻的觀念，如圖 2-2。聲子穿過界面處時，因材料晶格發生 變化產生散射現象，有部分聲子穿透界面，而另一部份則會發生反 射，因而在界面處產生溫降（Temperature drop） 。界面熱阻的定義為：. RI =. ∆T q. （2-18）. 其中 ∆T 為界面兩端的溫度差， q 為單位面積的熱通量。 許多研究指出[10-13, 28, 31-34]界面熱阻對熱傳導係數有明顯的. 20.
(38) 影響，以下對於各種不同的界面熱阻理論加以說明，其中包括彈性聲 異理論模式、非彈性聲異理論模式、彈性散異理論模式、非彈性散異 理論模式和散射聲異理論模式。. 2.3.1 聲異理論模式 聲異理論模式（Acoustic mismatch model、簡稱 AMM）是由 Little [31]於 1959 年提出，他假設界面為完全光滑鏡面，界面熱阻全是由 吸收所造成的。聲子經過界面時，散射效應可以被完全忽略而不考 慮，單單只發生穿透及反射行為，且入射角與折射角遵循幾何光學中 的 Snell’s Law： sinθ1 sinθ 2 = v1 v2. （2-19）. 界面反射率和穿透率表示如下：. Z µ − Z 2 µ2 R12 ( µ1 ) = 1 1 Z 1 µ1 + Z 2 µ 2. τ 12 ( µ1 ) =. 2. （2-20）. 4 Z 1 Z 2 µ1 µ 2 ( Z 1 µ1 + Z 2 µ 2 ) 2. （2-21）. 其中 µ i 為方向餘弦， Z i = ρ i vi 為材料的聲阻抗（Acoustic impedance）， ρ 為材料密度（Density） ， v 為材料聲子群速。以上（2-19）和（2-20）. 兩式僅被限制在彈性散射過程（Elastic scattering process）中適用，即 穿透與反射的聲子頻率和入射聲子頻率相同，不因碰撞發生改變，因 此符合下列關係式： 21.
(39) R21 ( µ 2 ) = R12 ( µ1 ). （2-22）. τ 21 ( µ 2 ) = τ 12 ( µ1 ). （2-23）. 過去的研究指出[33] AMM 模式的預測只有在極低溫度下符合實 驗結果，隨著溫度的上升，聲子物質波波長的縮小進而接近界面粗糙 度時，使得散射效應不得不加以考慮，故不適合處理高溫系統。 1998 年 Chen [13]進一步考慮非彈性散射過程（Inelastic scattering process） ，入射角與折射角不再服從 Snell’s Law，而是遵循以下之關 係式：. sin θ1 ⎛ C 2 v2 ⎞ ⎟ =⎜ sin θ 2 ⎜⎝ C1v1 ⎟⎠. 1. 2. （2-24）. 且在極低溫系統下，比熱 C 正比於 v −3，和彈性散射過程的 AMM 模式 一致。. 2.3.2 散異理論模式 散異理論模式（Diffuse mismatch model、簡稱 DMM）是由 Swartz 等人[32]於 1989 年提出，和 AMM 模式不同，考慮聲子在界面處發 生無方向性散射，假設聲子經過界面時會忘記原有軌跡，即聲子在界 面處分不清楚前一刻的自己是經由穿透還是反射過程而來，因此穿透 率及反射率符合下述關係式：. τ 12 = R21 = 1 − τ 21. （2-25）. 22.
(40) 並假設聲子受到細緻平衡（Detail balance）的限制，單位時間，單位 體積下，擁有相同能量 hω 的聲子，離開介質 1 的聲子數目必須等於 離開介質 2 的聲子數目：. ∑ν. 1m. m. N 1m (ω ,T )τ 12 (ω ) = ∑ν 2 m N 2 m (ω ,T )τ 21 (ω ). （2-26）. m. 其中 vim 是在 i 介質某模態（Mode）下聲子的行進速度，模態 m 有橫向 （Transverse）和縱向（Longitudinal）兩種， N im 則是在相同溫度下 i 介 質中單位體積聲子的數量。利用（2-25），且在德拜近似（Debye approximation）下得到穿透率的表示式如下：. τ 12 =. ∑ν. ∑ν m. m −2 1m. −2 2m. （2-27）. + ∑ν 2−m2 m. 由於德拜近似在溫度升高時不適用，於是 1998 年 Chen [13]另外 由（2-15）式且假設系統中溫度變化不大以致於比熱可視為一常數， 得到強度與比熱之間的關係如下：. I0 =. υ C (T − Tref ) 4π. （2-28）. 假設界面兩邊處於相同溫度，遵守能量守恆，可導得穿透率的表示式 如下：. 23.
(41) τ 12 =. C2υ2 C1υ1 + C2υ2. （2-29）. 此推導過程中，假設所有頻率的聲子均能穿透界面，暗示著界面為非 彈性散射，故此為非彈性散射理論模式（Inelastic diffuse mismatch model）。. 2.3.3 散射聲異理論模式 散 射 聲 異 理 論 模 式 （ Scattering-mediated acoustic mismatch model、簡稱 SMAMM）是 2001 年由 Prasher 和 Phelan [34]比較 EPRT 和 ERT 的不同處，進一步修正 AMM 模式而提出的。他們認為除了 AMM 模式指出吸收造成的界面熱阻外，仍有散射效應造成的界面熱 阻需考慮。. d 2 y 1 dy d 2 y + = dt 2 ϑ dt dx 2. （2-30）. 由上述波動方程式（2-30）求解波函數，其中 ϑ 為阻泥係數，單位為 秒，重新定義一等效速度（Effective velocity） v~ 如下：. v~ =. v i ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎝ ϑω ⎠. 1. = 2. v a' +ib'. （2-31）. 其中. 24.
(42) ϑ=. τ ⎛ 1 ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 2τω ⎠. 2. （2-32）. 2. ⎛ 1 ⎞ 1 a' = 1 + ⎜ ⎟ b' = ⎝ 2τω ⎠ ， 2τω. （2-33）. 入射角與折射角依然遵循 Snell’s Law v~1 sin θ 2 = v~2 sin θ1. （2-34）. 將折射角 θ 2 以入射角 θ1 表示. 2. 2. ⎛1⎞ ⎛1⎞ cos θ 2 = ⎜⎜ ~ ⎟⎟ − ⎜⎜ ~ ⎟⎟ sin 2 θ1 ~ v2 ⎝ v2 ⎠ ⎝ v1 ⎠. （2-35）. 則 SMAMM 的穿透率及反射率如下表示：. 2. 2. ⎡ cos θ1 B⎤ A ⎤ ⎡ cos θ1 a'1 + ⎥ a'1 − ⎥ + ⎢ ⎢ ρv ρ 2 ⎦ ⎣ ρ1v1 ρ2 ⎦ R(θ1 ) = ⎣ 1 1 2 2 ⎡ cos θ1 A ⎤ ⎡ cos θ1 B⎤ a'1 + ⎥ + ⎢ a'1 − ⎥ ⎢ ρ 2 ⎦ ⎣ ρ1v1 ρ2 ⎦ ⎣ ρ1v1. τ (θ 1 ) = 1 − R(θ1 ). （2-36）. （2-37）. 其中 A 和 B 分別是（2-35）式的實數和虛數部分。. 25.
(43) 2.4 多層二維圓柱聲子輻射熱傳分析 2.4.1 多層二維圓柱聲子輻射熱傳方程式 由於我們欲分析的結構為超晶格奈米線，屬於層狀結構。因此將 2.2 節所推導的單層二維圓柱聲子輻射熱傳方程式推廣至多層結構， 如圖 2-3 所示之物理模型圖。而超晶格奈米線組成的順序是兩種材料 週期性的重複出現，奇數層的厚度用 Lo 表示，偶數層的厚度則用 Le 表 示。每一層二維圓柱皆可視為一單層二維圓柱系統，適用 2.2 節所導 出的方程式，如下所示：. 1. µ ⎡ ∂ (rI k )⎤ 1 ⎡ ∂ (ηI k ) ⎤ ⎡ ∂I k ⎤ 4π − +ξ⎢ ⎥= r ⎢⎣ ∂r ⎥⎦ r ⎢⎣ ∂φ ⎥⎦ ⎣ ∂z ⎦. ∫. 4π. I k dΩ − I k. v k t Rk. k = 1,2 ,..., K（2-38）. 其中下標 k 代表第 k 層，總共有 K 層。. 2.4.2 多層二維圓柱座標系統之邊界條件 多層結構除了單層結構內部熱傳現象的分析外，需把層與層之間 形成的界面所造成的熱阻加以考慮。因此在第 k 層與第 k + 1 層的交界 面處，我們使用能量守恆的概念來處理：. ∫π I. − k. ∫π I. + k +1. 2. 2. dΩ = ∫ Rk ,k +1 I k+ dΩ + ∫ τ k +1,k I k−+1 dΩ 2π. 2π. dΩ = ∫ Rk +1,k I k−+1 dΩ + ∫ τ k ,k +1 I k+ dΩ 2π. 2π. 26. （2-39） （2-40）.
(44) 其中 I 的上標 + 表示往正方向的聲子強度， − 表示往相反方向的聲子 強度，下標 k 和 k + 1 分別代表第 k 層及第 k + 1 層的聲子強度，如 I k+ 是指 第 k 層往前方向的聲子強度。 Rk ,k +1 、 Rk +1,k 分別代表聲子從第 k 層進入 第 k + 1 層以及從第 k + 1 層進入第 k 層的反射率，τ k ,k +1、τ k +1,k 分別代表聲 子從第 k 層進入第 k + 1 層以及從第 k + 1 層進入第 k 層的穿透率。. 其他邊界條件如前述 2.2.2 節相同，上下兩界面的定溫邊界如下： I 1 = I 0 (Tb ) z = 0. （2-41a）. I K = I 0 (Tt ) z = L. （2-41b）. 圓周上的定溫邊界條件如下： I k = I 0 (Tc ) r = R. k = 1,2 ,..., K. （2-42）. 中央軸對稱邊界條件如下：. (. ). (. I k r = 0+ = I k r = 0−. ). k = 1,2 ,..., K. （2-43）. 2.5 聲子平均自由徑的修正 由前述 2-2 節所導出的二維圓柱座標聲子輻射熱傳方程式中可以 知道，當我們利用此一理論模擬半導體材料的熱傳導係數時，需要三 個材料參數：材料比熱、聲子群速以及聲子平均自由徑。其中聲子平 均自由徑的估算主要有兩種方式。其一，從微觀的角度出發，考量各 27.
(45) 種聲子散射機制如：聲子本身的散射過程（ Λ ph− ph ） 、材料中存在缺陷 造成聲子散射（ Λ defect ） 、邊界造成的散射（ Λ bound ）及聲子和電子間的 散射過程（ Λ ph−e ）。利用 Matthiessen’s rule 計算而得到。當所考量的 聲子散射機制越多，就能得到越準確得平均自由徑，但相對上所付出 的代價也就越大。且目前對於實際聲子散射機制的掌握仍不夠完善， 如此大費周章是否有其價值還需證實。其二，以古典 Kinetic theory 為基礎，利用塊材（巨觀）下得到的材料比熱以及聲子群速，回求聲 子平均自由徑（ Λ bulk ），相較於前述較為簡單且易於獲得。但當材料 尺寸接近或甚至小於聲子平均自由徑時，聲子在邊界發生散射的機會 將遠大於材料內部。另外，前人文獻[21,23,24]也提到，在奈米線及 超晶格奈米線中，邊界散射機會的增加是造成其熱傳導係數降低的主 要原因之一。因此，評估本文所用的微觀熱傳理論做以下幾點假設： 1. 材料內部不存在缺陷。 2. 假設電子和聲子間無相互作用。 3. 模擬溫度約在 300K 或以下，忽略非彈性散射效應。 4. 假設聲子鬆弛時間和頻率無關。 利用 Matthiessen’s rule，結合聲子在材料內部及邊界上的散射效 應修正平均自由徑，如下式，得到一等效聲子平均自由徑： 1 Λ effect. =. 1 Λ bulk. +. 1 1 + L R. (2-44). 其中的 L 為材料厚度，R 為材料半徑。本文大膽啟用兩個物理幾何尺 寸，是由微觀下的聲子散射情形聯想而來，認為當材料尺寸縮小至與 聲子平均自由徑相當時，邊界將會大大地影響聲子散射，故直接選用 材料尺寸修正聲子平均自由徑。. 28.
(46) eˆ z. v S. eˆϕ. θ. L. φ r. R. 圖 2- 1. 二維圓柱座標系統. 29. eˆr.
(47) 材料 A. 材料 B. Heat flow. T. x. 圖 2- 2. 界面熱阻示意圖. 30.
(48) Le. k=K Lo k = K −1. ≈. ≈. k=2. R. k =1. 圖 2- 3. 多層二維圓柱座標系統. 31. L.
(49) 三、數值分析 3.1 SN近似法 由於我們所處理的方程式如（2-14）式，為一積微分方程式（Intergraldifferential equation），為了便於解釋，僅先處理單層二維圓柱聲子輻 射熱傳方程式。本文採用 S N 近似法 [36]（又稱 The discrete ordinate method）將聲子輻射強度對立體角（Solid angle）的積分以 N 個分量 相加近似，且每一個分量必須乘上所對應的權重因子（Quadrature weights） ，如下：. N. ∫ I dΩ = ∑ wm I m 4π. （3-1）. m =1. 其中下標 m 表示不同方向，wm 為第 m 個方向對應的權重函數。將（3-1） 式代入方程式（2-14）式，可得到 N 個微分方程式：. µ m ⎡ ∂ (rI m ) ⎤ 1 ⎡ ∂ (η m I m )⎤ ⎡ ∂I ⎤ − ⎢ + ξm ⎢ m ⎥ = ⎥ ⎥ ⎢ r ⎣ ∂r ⎦ r ⎣ ∂φ ⎦ φ =φ ⎣ ∂z ⎦ m. 1 4π. N. ∑w m =1. I − Im. m m. vt R. m = 1,2 ,..., N. （3-2）. 由於方向餘弦 φ m （Directional consine）是離散的，利用中央差分法 （Central differences scheme）處理左邊第二項，其示意圖如圖 3-1。 α m+ 1 I m+ 1 − α m− 1 I m− 1 ⎡ ∂ (η m I m ) ⎤ 2 2 2 2 = ⎢ ∂φ ⎥ wm ⎦ φ =φm ⎣ 32. m = 1,2 ,..., N. （3-3）.
(50) 其中. I m+ 1 =. 1 (I m + I m+1 ) 2. （3-4）. I m− 1 =. 1 (I m−1 + I m ) 2. （3-5）. 2. 2. α1 = 0. （3-6）. 2. α m + 1 = α m − 1 + wm µ m 2. （3-7）. 2. 將（3-3） 、（3-4） 、 （3-5）、 （3-6） 、（3-7）代入（3-2）式可得：. α m + 1 I m +1 − α m − 1 I m −1 ⎡ ∂I ⎤ µ ⎡ ∂I ⎤ 2 2 µm ⎢ m ⎥ + m I m − + ξm ⎢ m ⎥ = 2 wm r ⎣ ∂r ⎦ 2r ⎣ ∂z ⎦. 1 4π. N. ∑w m =1. I − Im. m m. vt R. m = 1,2 ,..., N. （3-8）. 其中對應所需使用的方向餘弦及權重函數參考表 3-1 [35]。. 3.2 多層二維圓柱聲子輻射熱傳方程式之數值解 在處理完積分項之後，得到一聯立微分方程組，如上（3-8）式。 微分項則利用有限差分法（Finite difference method）分解，由於是二 維系統，故分成四個象限分別處理。第一象限（ µ > 0 、 ξ > 0 ）在徑 向及軸向皆使用後差分（Backward difference scheme）處理；第二象 限（ µ < 0 、 ξ > 0 ）在徑向使用前差分（Forward difference scheme）處 理，軸向則使用後差分處理；第三象限（ µ < 0 、 ξ < 0 ）在徑向及軸 33.
(51) 向皆使用前差分處理；第四象限（ µ > 0 、 ξ < 0 ）在徑向使用後差分， 軸向使用前差分處理。 第一象限（ µ m > 0 、 ξ m > 0 ）. µm. =. I m ,i , j − I m ,i −1, j ∆r. 1 4π. N. ∑w m =1. I. m m ,i , j. +. µm. −. 2r. α m + 1 I m +1,i , j − α m − 1 I m −1,i , j 2. 2. 2 wm r. + ξm. I m ,i , j + I m ,i , j −1 ∆z. （3-9）. − I m ,i , j. vt R. 將（3-9）式移項整理可得（3-10）式. I m ,i , j =. 1. µm. ∆r. µ + m. 2r. ξ + m. ∆z. + 1. × vt R. α m + 1 I m +1,i , j − α m − 1 I m −1,i , j ξ ⎡µ 1 2 2 ⎢ m I m ,i −1, j + + m I m ,i , j −1 + 2 wm r 4πvt R ∆z ⎢⎣ ∆r. ⎤ wm I m ,i , j ⎥ ∑ ⎥⎦ m =1 N. （3-10）. 第二象限（ µ m < 0 、 ξ m > 0 ）. µm. =. I m ,i +1, j − I m ,i , j. 1 4π. ∆r N. ∑w m =1. I. m m ,i , j. +. µm 2r. −. α m + 1 I m +1,i , j − α m − 1 I m −1,i , j 2. 2. 2 wm r. + ξm. I m ,i , j + I m ,i , j −1 ∆z. （3-11）. − I m ,i , j. vt R. 將（3-11）式移項整理可得（3-12）式. 34.
(52) I m ,i , j =. 1. µ − m. ∆r. µ + m. 2r. ξ + m. ∆z. + 1. × vt R. α m + 1 I m +1,i , j − α m − 1 I m −1,i , j ξ ⎡ µ 1 2 2 ⎢− m I m ,i +1, j + + m I m ,i , j −1 + ∆z 2 wm r 4πvt R ⎢⎣ ∆r. ⎤ wm I m ,i , j ⎥ ∑ ⎥⎦ m =1 N. （3-12）. 第三象限（ µ m < 0 、 ξ m < 0 ）. µm. =. I m ,i +1, j − I m ,i , j. +. ∆r. 1 4π. N. ∑w m =1. I. m m ,i , j. µm. −. 2r. α m + 1 I m +1,i , j − α m − 1 I m −1,i , j 2. 2. 2 wm r. + ξm. I m ,i , j +1 + I m ,i , j ∆z. （3-13）. − I m ,i , j. vt R. 將（3-13）式移項整理可得（3-14）式. I m ,i , j =. 1 −. µm. ∆r. +. µm. 2r. −. ξm. ∆z. + 1. × vt R. α m + 1 I m +1,i , j − α m − 1 I m −1,i , j ξ ⎡ µ 1 m 2 2 ⎢− − m I m ,i , j −1 + I m ,i +1, j + ∆z 2 wm r 4πvt R ⎢⎣ ∆r. N. ∑w m =1. I. m m ,i , j. ⎤ ⎥ ⎥⎦. （3-14）. 第四象限（ µ m > 0 、 ξ m < 0 ）. µm. =. I m ,i , j − I m ,i −1, j. 1 4π. ∆r N. ∑w m =1. I. m m ,i , j. +. µm 2r. −. α m + 1 I m +1,i , j − α m − 1 I m −1,i , j 2. 2. 2 wm r. + ξm. I m ,i , j +1 + I m ,i , j ∆z. （3-15）. − I m ,i , j. vt R 35.
(53) 將（3-15）式移項整理可得（3-16）式. I m ,i , j =. 1. µm. ∆r. µ + m. 2r. ξ − m. ∆z. + 1. × vt R. α m + 1 I m +1,i , j − α m − 1 I m −1,i , j ξ ⎡µ 1 2 2 ⎢ m I m ,i −1, j + − m I m ,i , j −1 + ∆z 2 wm r 4πvt R ⎢⎣ ∆r. ⎤ ⎥ w I ∑ m m ,i , j ⎥⎦ m =1 N. （3-16）. 其中 I m ,i , j 代表徑向第 i 個、軸向第 j 個格點在第 m 個餘弦方向的聲子輻 射強度， i = 0,1,2,..., N i ， j = 0,1,2,..., N j 。於是利用上述所得（3-10）、 （3-12） 、 （3-14）及（3-16）式的代數方程式處理二維圓柱座標系統 1 r. 的熱傳問題。但由於出現 項，在中心軸（ r = 0 ）無法使用上述四條 方程式，我們針對中心軸另外處理。 回到（2-11）式。穩態時，聲子輻射強度對時間微分項為 0，且 在灰體假設下，聲子輻射強度與頻率無關，可得下式：. ∂I η ∂I ∂I I 0 − I +ξ µ − = ∂r r ∂φ ∂z vt R. （3-17）. 將（3-17）式同乘 r ，在 r = 0 得到：. η. ∂I ∂φ. =0. （3-18）. r =0. 0 0. 再回到（3-17）式，當 r = 0 時，左邊第二項出現 ，因此使用 L’Hospital 36.
(54) rule，可得如下方程式：. ⎡ ⎛ ∂I m −1 ⎞ ⎤ ⎛ ∂I m +1 ⎞ − α α m− 1 ⎜ ∂r ⎟⎠ ⎥ ∂r ⎟⎠ 3µ m ⎡ ∂I m ⎤ ⎢ m + 12 ⎜⎝ 2⎝ − ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ ∂r ⎥⎦ ⎢ 2 wm ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ ∂I ⎤ + ξm ⎢ m ⎥ = ⎣ ∂z ⎦. （3-19） 1 4π. N. ∑w m =1. I − Im. m m. vt R. 故利用（3-19）式處理中央軸（ r = 0 ，即 i = 0 ）的情況，一樣分成四 個象限使用有限差分處理微分項。 第一象限（ µ m > 0 、 ξ m > 0 ） I m ,0 , j − I m ,0 , j −1 3µ m I m ,0 , j − I m ,−1, j + ξm ∆r ∆z 2 1 − 2 wm. ⎡ ⎛ I m +1,0 , j − I m +1,−1, j ⎢α m + 1 ⎜⎜ 2 ∆r ⎢⎣ ⎝. − I m −1,−1, j ⎞ ⎛I ⎟⎟ − α m − 1 ⎜⎜ m −1,0 , j 2 ∆r ⎠ ⎝. ⎞⎤ ⎟⎟⎥ = ⎠⎥⎦. 1 4π. N. ∑w m =1. I. m m ,0 , j. − I m ,0 , j. vt R. （3-20）. 將（3-20）式移項整理可得（3-21）式. I m ,0 , j =. 1 3µ m. 2∆r. ξ + m. ∆z. + 1. × vt R. ξm 1 N ⎡ 3µ m ⎤ + + I I ⎢ 2∆r m ,−1, j ∆z m ,0 , j −1 4πvt ∑ wm I m ,0 , j ⎥ R m =1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎛ ⎞⎥ ⎢+ 2 w ∆r ⎜⎝ α m + 12 (I m +1,0 , j − I m +1,−1, j ) − α m − 12 (I m −1,0 , j − I m −1,−1, j )⎟⎠⎥ m ⎣ ⎦. 第二象限（ µ m < 0 、 ξ m > 0 ）. 37. （3-21）.
(55) I m ,0 , j − I m ,0 , j −1 3µ m I m ,1, j − I m ,0 , j + ξm 2 ∆r ∆z ⎛ I m+1,1, j − I m+1,0 , j 1 ⎡ − ⎢α m+ 1 ⎜⎜ 2 2 wm ⎣ ∆r ⎝. − I m−1,0 , j ⎛I ⎞ ⎟⎟ − α m− 1 ⎜⎜ m−1,1, j 2 ∆r ⎝ ⎠. ⎞⎤ ⎟⎟⎥ = ⎠⎦. 1 4π. N. ∑w m =1. I. m m ,0 , j. − I m ,0 , j. vt R. （3-22）. 將（3-22）式移項整理可得（3-23）式. I m ,0 , j =. 1 −. 3µ m. 2∆r. +. ξm. ∆z. + 1. × vt R. ξm 1 N ⎡ 3µ m ⎤ − + + I I ⎢ 2∆r m ,1, j ∆z m ,0 , j −1 4πvt ∑ wm I m ,0 , j ⎥ R m =1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎛ ⎞⎥ ⎢+ 2w ∆r ⎜⎝ α m + 12 (I m +1,1, j − I m +1,0 , j ) − α m − 12 (I m −1,1, j − I m −1,0 , j )⎟⎠⎥ m ⎣ ⎦. （3-23）. 第三象限（ µ m < 0 、 ξ m < 0 ） I m ,0 , j +1 − I m ,0 , j 3µ m I m ,1, j − I m ,0 , j + ξm 2 ∆r ∆z 1 − 2 wm. ⎡ ⎛ I m +1,1, j − I m +1,0 , j ⎢α m + 1 ⎜⎜ 2 ∆r ⎢⎣ ⎝. − I m −1,0 , j ⎛I ⎞ ⎟⎟ − α m − 1 ⎜⎜ m −1,1, j 2 ∆r ⎝ ⎠. ⎞⎤ ⎟⎟⎥ = ⎠⎥⎦. 1 4π. N. ∑w m =1. I. m m ,0 , j. − I m ,0 , j. vt R. （3-24）. 將（3-24）式移項整理可得（3-25）式. 38.
(56) I m ,0 , j =. 1 −. 3µ m. 2∆r. ξ − m. ∆z. + 1. × vt R. ξm 1 N ⎤ ⎡ 3µ m − − + I I ⎥ ⎢ 2∆r m ,1, j ∆z m ,0 , j +1 4πvt ∑ wm I m ,0 , j R m =1 ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎛ ⎞⎥ ⎢+ 2 w ∆r ⎜⎝ α m + 12 (I m +1,1, j − I m +1,0 , j ) − α m − 12 (I m −1,1, j − I m −1,0 , j )⎟⎠⎥ m ⎦ ⎣. （3-25）. 第四象限（ µ m > 0 、 ξ m < 0 ） I m ,0 , j +1 − I m ,0 , j 3µ m I m ,0 , j − I m ,−1, j + ξm 2 ∆r ∆z 1 − 2 wm. ⎡ ⎛ I m +1,0 , j − I m +1,−1, j ⎢α m + 1 ⎜⎜ 2 ∆r ⎢⎣ ⎝. − I m −1,−1, j ⎛I ⎞ ⎟⎟ − α m − 1 ⎜⎜ m −1,0 , j 2 ∆r ⎝ ⎠. ⎞⎤ ⎟⎟⎥ = ⎠⎥⎦. 1 4π. N. ∑w m =1. I. m m ,0 , j. − I m ,0 , j. vt R. （3-26）. 將（3-26）式移項整理可得（3-27）式. I m ,0 , j =. 1 3µ m. 2∆r. −. ξm. ∆z. + 1. × vt R. ξm 1 N ⎤ ⎡ 3µ m − + I I ⎥ ⎢ 2∆r m ,−1, j ∆z m ,0 , j +1 4πvt ∑ wm I m ,0 , j R m =1 ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎛ ⎞⎥ ⎢+ 2 w ∆r ⎜⎝ α m + 12 (I m +1,0 , j − I m +1,−1, j ) − α m − 12 (I m −1,0 , j − I m −1,−1, j )⎟⎠⎥ m ⎦ ⎣. （3-27）. 其中 I m ,−1, j = I m ,1, j 。 將上述（3-10） 、 （3-12） 、 （3-14） 、 （3-16） 、 （3-21） 、 （3-23） 、 （3-25） 及（3-27）式用於處理多層二維圓柱座標系統的熱傳分析求解，需要 以下邊界條件：. 39.
(57) I 1,m = I 0 (Tb ) , z = 0 , ξ m > 0. （3-28a）. I K ,m = I 0 (Tt ) , z = L , ξ m < 0. （3-28b）. I k ,m = I 0 (Tc ) , r = R , µ m < 0. k = 1,2 ,..., K. （3-29）. k = 1,2 ,..., K. （3-30）. 中央軸對稱邊界條件 I k (0 , µ m ,ξ m ) = I k (0 ,− µ m ,ξ m ). 層與層之間的能量守恆邊界條件則使用（2-39）及（2-40）式。. 由上述所得出之聯立代數方程式配合邊界條件，不斷的疊代之 後，並設定一收斂條件使得前後兩次相減的誤差值在設定接受範圍 內，即可得到聲子輻射強度分佈，如下所示：. I step +1 − I step < error. （3-31）. 其數值方法流程圖如圖 3-2。 接著可由平衡輻射強度與溫度的關係式（2-15）回推得到溫度分 佈。並可由下式定義出軸向熱通量（Heat flux） 。. N. q z = ∑ ξ m wm I m. （3-32）. m =1. 為了和塊材材料比較熱傳導係數，我們由傅立葉傳導定律定義一軸向 等效熱傳導係數（Effective thermal conductivity）如下：. 40.
(58) k z ,effect = q z ∆z. （3-33）. ∆T. 多層二維圓柱結構內部總界面熱阻（Interface thermal resistance， RI ） 的計算是將層與層之間因界面熱阻造成的溫差全部相加，除以熱通 量，如下所示：. K −1. RI =. ∑ ∆T k =1. k. （3-34）. qz. 其中 k = 1 ~ K − 1，因為 K 層有 K − 1 個界面。計算總熱阻（Total thermal resistance， RT ）是由系統邊界的溫度差除以熱通量，如下：. RT =. Tb − Tt qz. （3-35）. 而因為材料本身所造成的材料熱阻（Material resistance， RM ）則由總 熱阻扣掉總界面熱阻得到：. RM = RT − RI. （3-36）. 本文計算上所需用到的材料參數值列於表 3-2[8,28]、3-3[13,37]。. 3.3 數值方法之驗證 使用有限差分將統御方程式離散化之後，得到一代數方程式，為 了避免所選取的格點數對本文的結果造成影響，使用此數值方法前，. 41.
(59) 必須先做格點測試的工作。一般狀況下，所選取的格點數越多，將預 計算的區域分的越精細，得到的結果將越精準，但相對來說，電腦必 須花較多的時間來計算。不影響計算結果的前提下，為了節省運算時 間，找出一組最合適的格點數，此為格點測試的主要目的。 圖 3-3 為單層二維圓柱在室溫穩態定溫邊界條件下，半徑和厚度 皆為十倍平均自由徑時軸向溫度分佈的格點測試結果，所選用的材料 為鑽石（Diamond）。分別選用 21 × 21 、 31× 31 、 41 × 41 及 51× 51 四組格 點數作比較，由圖中結果發現，格點數對於軸向溫度分佈的影響不 大。考量程式的精確度以及節省電腦計算時間，本文選用 41 × 41 這組 格點數來計算接下來的所有問題。 圖 3-4 為單層二維鑽石圓柱在室溫穩態定溫邊界條件下，半徑為 一萬倍平均自由徑時的溫度分佈圖。將半徑放大到一萬倍平均自由徑 是為了使二維圓柱系統近似為一維平板，結果和 1993 年 Majumdar [8] 的鑽石薄膜比較是一致的，因此可以確定本文所採用的數值方法是正 確的。由圖中結果發現，邊界處存在一溫度不連續的現象，這是由於 聲子在界面處尚未達到局部熱平衡所造成的，此為微觀熱傳特有的現 象，巨觀傅立葉傳導定律無法解釋此一現象。另外，邊界上的溫差隨 著厚度的縮小越來越明顯，厚度為 0.1 微米時出現類似子彈的穿透效 應（ballistic）。 圖 3-5 為雙層矽/鍺二維圓柱在穩態定溫邊界條件下，其熱傳導係 數隨著厚度變化的分佈圖。半徑為 10 微米時，雙層二維圓柱系統可 視為雙層平板薄膜，應用 1998 年 Chen [13]提出的非彈性散異理論模 式（Inelastic DMM）處理界面問題，並與其結果比較，圖中顯示和 Chen 的結果是吻合的，因此可以確定本文在界面處所做的數值計算 是正確的。矽/鍺雙層平板薄膜的熱傳導係數隨著厚度的縮小而降. 42.
(60) 低，驗證了尺寸效應的確大幅降低其熱傳導係數。圖中也發現當尺寸 增加到某一厚度以上時，熱傳導係數將趨近於同材料的塊材值。而圖 3-6 為此情況下的溫度分佈情形，週期厚度分別由 1000 奈米一路降低 至 100 奈米，探討不同週期厚度下的熱傳行為。可以由圖中發現雙層 矽/鍺平板薄膜的溫度分佈如同單層鑽石薄膜（圖 3-4），受到尺寸效 應的影響，週期厚度越小時，兩邊邊界處的溫度落差越明顯。另外， 在矽鍺兩材料的交界面處，伴隨著界面熱阻的影響而出現明顯的溫度 落差。. 43.
(61) 表 3-1 二維圓柱SN方向餘弦和權重函數表[36]. S2. S4. µ. ξ. 0.5. 0.5. 3.141592654. -0.5. 0.5. 3.141592654. 0.5. -0.5. 3.141592654. -0.5. -0.5. 3.141592654. 0.2958759. 0.9082483. 1.047197533. -0.2958759. 0.9082483. 1.047197533. 0.9082483. 0.2958759. 1.047197533. 0.2958759. 0.2958759. 1.047197533. -0.2958759. 0.2958759. 1.047197533. -0.9082483. 0.2958759. 1.047197533. 0.9082483. -0.2958759. 1.047197533. 0.2958759. -0.2958759. 1.047197533. -0.2958759. -0.2958759. 1.047197533. -0.9082483. -0.2958759. 1.047197533. 0.2958759. -0.9082483. 1.047197533. -0.2958759. -0.9082483. 1.047197533. 44. w.
(62) 表 3-2 室溫（300K）下材料的基本參數值[8,28]. Diamond. Si. Ge. 1.81. 0.926. 0.866. 聲速 v(m s ). 12288. 6084. 3662. 平均自由徑 Λ(nm ). 447. 79. 50. 密度 ρ ⎛⎜ kg m 3 ⎞⎟. 3510. 2329. 5323. 熱傳導係數 k (W mK ). 3320. 148. 59.9. 德拜溫度 TD (K ). 1860. 625. 360. (. 比熱 C ×10 6 J m 3 K. ⎝. ). ⎠. 45.
(63) 表 3-3 室溫（300K）下材料的基本參數值[13,37]. GaAs. AlAs. Bi2Te3. Sb2Te3. 1.71. 1.58. 1.22. 1.338. 聲速 v(m s ). 3700. 4430. 3058. 2888. 平均自由徑 Λ(nm ). 20.8. 37.7. 0.482. 0.466. 密度 ρ ⎛⎜ kg m 3 ⎞⎟. 5318. 3830. 6505. 7860. 熱傳導係數 k (W mK ). 56. 84. 0.6. 0.6. 德拜溫度 TD (K ). 344. 47. 165. 160. (. 比熱 C ×10 6 J m 3 K. ⎝. ). ⎠. 46.
(64) φ N −1 φN N. 1 2. 12. 1 2. 1 2. 1 2. φ1. φ2. φ3. 圖 3- 1. 方向餘弦離散示意圖. 47.
(65) 開始. 材料參數. 修正平均自由徑. 離散化聲子輻射熱傳方程式. 邊界條件 固定 邊界. 界面 邊界. 收斂條件. Yes 結束. 圖 3- 2. 數值方法流程圖. 48. No.
(66) 1 21X21 31X31. 0.8. 41X41. (T-Tc) / (Th-Tc). 51X51. 0.6. 0.4. 0.2. 0 0. 0.2. 0.4. 0.6. z/L 圖 3- 3. 單層二維圓柱座標格點測試圖. 49. 0.8. 1.
(67) 1. (T-Tc) / (Th-Tc). 0.8. 0.6. 0.4 L= 10µm L= 1µm. 0.2. L=0.1µm Majumdar [8]. 0 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. z/L 圖 3- 4. 半徑為 4.47mm 的單層 Diamond 二維圓柱，在室溫穩態. 定溫邊界條件下，厚度分別為 10 µm 、1 µm 及 0.1 µm 的溫度分 佈圖. 50.
(68) 100. keff. (W/mK). 10. 1. Present results Chen [13]. 0.1 1. 10. 100. 1000. Lp (m) 圖 3- 5. 半徑為 10 µm 的雙層 Si/Ge 二維圓柱，在室溫穩態定溫. 邊界條件下，週期厚度變化對熱傳導係數的分佈圖. 51.
(69) 1 L=1000nm L= 100nm L= 10nm. (T-Tc) / (Th-Tc). 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. z / Lp 圖 3- 6. 半徑為 10 µm 的雙層 Si/Ge 二維圓柱，在室溫穩態定溫. 邊界條件下，週期厚度分別為 1000nm、100nm 及 10nm 的溫度分 佈圖. 52.
(70) 四、結果與討論 圖 4-1 利用單層二維圓柱聲子輻射熱傳方程式，配合定溫邊界條 件，模擬室溫下矽奈米線到達穩態時，其半徑變化對等效熱傳導係數 的分佈圖。矽奈米線的長度為 100nm，半徑由 100nm 縮小至 10nm， 比較本文對聲子平均自由徑修正前後，對矽奈米線等效熱傳導係數造 成的影響。使用修正過的聲子平均自由徑得到的模擬結果，相較於直 接使用塊材下聲子平均自由徑的結果來的低，並和 Majumdar [20]在 2003 年利用微懸浮裝置量測的實驗值作比較，由此可見，聲子平均 自由徑經由本文的修正後，對奈米線的等效熱傳導係數的模擬結果更 加逼近實驗值，而徑向的尺寸效應也使得其等效熱傳導係數隨著半徑 的縮小而降低。更進一步比較相同幾何尺寸下，平均自由徑修正前後 對矽奈米線熱傳情形的影響。 圖 4-2 為長度及半徑皆為 100nm 時，比較採用(a)塊材時的平均 自由徑和(b)本文因幾何尺寸修正的平均自由徑的溫度分佈圖。由矽 奈米線內部的溫度分佈圖可以看出兩者有些許的不同，這是由於聲子 平均自由徑為聲子傳遞能量的平均距離，經由平均自由徑的修正加入 了尺寸對聲子傳遞能量所造成的影響，當尺寸縮的越小時，採用本文 的修正前後差異越明顯。圖 4-3 將矽奈米線半徑縮小到 50nm，4-3(a) 圖為採用過去塊材平均自由徑的溫度分佈圖，在 0.1 倍半徑以下和 0.7-0.9 倍長度出現一低於預設定溫邊界條件的區域，這是相當不合理 的。而經由本文的修正改善了這樣不合理的現象，如圖 4-3(b)，因此 本文的修正是相當合理且正確的修正，除了將模擬更逼近實驗結果 外，其模擬結果也有其合理性。 圖 4-4 利用蘇聯一個有關半導體材料網站上取得的材料參數對溫 53.
數據
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