量子效應對奈米線的影響

是，(1)波松方程式(Poisson’s equation)、(2)電子連續方程式(electron continuity equation)、

(3)電動連續方程式(hole continuity equation)[1]。

2 - 1 - 1. 半導體方程式簡介

在半導體元件模擬傳輸的過程中，包含載子的漂移(drift)、擴散(diffusion)、複合 (recombination)、產生(generation)、熱離子發射(thermionic emission)、穿隧(tunneling)及 衝擊離子化(impact ionization)。然而當半導體內當漂移、擴散及複合同時發生時的總和 效應稱之為連續性方程式(continuity equation)[1]。然而元件模擬程式所使用的三種方程 式Poisson’s equation (2-1) 、electeon continuity equation (2-2) 與 hole continuity equation (2-3) 做基礎的計算。

N

D: 施體離子濃度

N

_A: 受體離子濃度 復合在反轉(inversion)與累堆(accumulation)[18]，運用 Si 與 SiO2介面在費米能階下的式 子作為計算方式如下(2-4)：

2 - 1 - 3. 模擬元件結構介紹

針對奈米線元件的模擬方面，我們首先參考I.T.R.S.路程表[19]來制定元件結構如圖 1-3。其通道(Channel length)長度為 18nm 而閘極氧化層(tox)厚度為 6.5Å，將矽基板 (Substrate)厚度設為 30nm 而矽基氧化層(Buried oxide)為 200nm，此外根據文獻上的記載 [20]，預設奈米線的矽薄膜直徑(film thickness, Diameter)為 9nm，此元件將成為基準模擬 結構參數。

而本研究在特性上的探討所著重在DIBL 與臨界電壓方面，因此我們將利用等電流

公式量測出受到量子效應下影響個別元件的臨界電壓值。然而等電流公式在 BULK

MOSFET 所利用的公式如(2-8)，而在奈米線方面則修正為(2-9)來做量測。在此公式中 W 是對於元件寬度，因元件不同而做不同的修正，根據其理所推導的奈米線 W 將修正 D π，L 則為通道長度。然而標準化的 DIBL 值則是利用(2-10)來做計算，由於元件不同與 量子化效應會造成元件特性上的變動，為了使其量測有一定的標準與量測位置在汲極電 流和閘極電壓的特性曲線會位於次臨界區域，因此採用相對應在漏電流位置的相對電壓 值。然而對於元件每10 倍電流變化之次臨界擺幅(Subthreshold Swing, S.S.)也在我們的 模擬比較範圍之內。

L

I

_DS

= 10

⁻⁷

× W

(2-8)

L

I

_DS

₌ 10

−7

_× D

π (2-9)

05 . 0

) (

_{( , 50 ) ( , )}

−

=

⁼

−

⁼

DD

V V leakage mv

V leakage

V V

DIBL V

^{D D DD} (2-10)

2 - 1 - 4. M.L.D.A. 模擬分析

延續上小節結構設計，並參照I.T.R.S.路程表符合 Ioff設計如圖 2-1，以調整金屬功 函數的方式針對相同 Ioff下比較，代表奈米線能夠順利製程並符合漏電流規範。矽薄膜 直徑(film thickness, Diameter)其電氣特性的變化如圖 2-2，我們可以發現越小尺寸的矽 薄膜直徑特性曲線越趨近於理想，然而由圖 2-3 結果發現，矽薄膜直徑在 18nm 以下時

擁有良好電氣特性，在DIBL 低於 200mV/V 以及 S.S.低於 100mV/decade，當考慮製程 便利性時選用大尺寸的矽薄膜直徑也能在接受範圍。除上述在相同漏電下所做的研究 下，我們近一步驗證奈米線是否因製程上的變動而造成特性上的大幅改變，在受到 M.L.D.A.量子力學的影響下，在漏電流規範下我們以預設矽薄膜直徑(film thickness, Diameter)為 9nm[20]的金屬功函數參數為出發點，如圖 2-4 與圖 2-5 在相同功函數下矽 薄膜直徑不同的特性變化，由圖 2-5 可以了解奈米線在考慮 M.L.D.A.量子效應下其元件 矽薄膜直徑仍容許些微的變動。

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 10

^-8

10

^-7

10

^-6

10

^-5

10

^-4

10

^-3

10

^-2

Log I

DS

(A/ μ m)

V

GS

(V)

D=9nm@V

DS

=50mV D=9nm@V

_DS

=1.0V

圖 2-1 奈米線元件矽薄膜直徑為 9nm 時，IDS與VGS之特性曲線圖在相同漏電(Same Ioff ) 之下

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 10

^-10

10

^-9

10

^-8

10

^-7

10

^-6

10

^-5

10

^-4

10

^-3

10

^-2

Log I

DS

(A/ μ m)

V

_GS

(V)

D=5nm@V

DS

=50mV D=5nm@V

DS

=1.0V D=9nm@V

DS

=50mV D=9nm@V

_DS

=1.0V D=18nm@V

_DS

=50mV D=18nm@V

_DS

=1.0V

圖 2-2 奈米線元件在矽薄膜厚度不同時，IDS與VGS之特性曲線圖在相同漏電流(Same Ioff ) 之下

4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 50 100 150 200 250

0 30 60 90 120 150

DIBL (mV/V)

Diameter (nm)

DIBL

S.S. (mV/de cade )

S.S.

圖 2-3 奈米線元件在矽薄膜厚度不同時，DIBL 與 S.S.之特性曲線圖在相同漏電流(Same Ioff ) 之下

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

DS

=50mV D=5nm@V

DS

=1.0V D=9nm@V

DS

=50mV D=9nm@V

_DS

=1.0V D=18nm@V

_DS

=50mV D=18nm@V

DS

=1.0V

圖 2-4 奈米線元件在矽薄膜厚度不同時，IDS與VGS之特性曲線圖在相同功函數(Same Workfunction) 之下

4 6 8 10 12 14 16 18 20

DIBL (mV/V)

Diameter (nm)

DIBL

S.S. (mV/de cade )

S.S.

圖 2-5 奈米線元件在矽薄膜厚度不同時，DIBL 與 S.S.之特性曲線圖在相同功函數(Same Workfunction) 之下

2 - 2. 量子物理模形 ( D.G. ) 對奈米線的影響

延續前章節所述，我們進一步討論D.G.量子效應的模型，D.G.量子效應之模型主要 是在漂移(drift)與擴散(diffusion)方程式加以延伸應用。在此節將介紹計算公式以及在奈 米線上的電氣特性。

2 - 2 - 1. D.G. 模型之簡介

D.G.模型是由五種方程式所組成，除了基本的 Poisson’s equation (2-11)、electron continuity equation (2-12) 與 hole continuity equation (2-13) 之外另外還有兩種關於量子 導電帶方程式 (2-14) 和量子價電帶方程式 (2-15)[23]。

而上述載子電流密度在運用近似費米能階

J

n

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 10

^-9

10

^-8

10

^-7

10

^-6

10

^-5

10

^-4

10

^-3

10

^-2

Log I

DS

(A/ μ m)

V

_GS

(V)

MLDA@V

_DS

=50mV MLDA@V

DS

=1.0V DG@V

DS

=50mV DG@V

_DS

=1.0V

圖 2-6 奈米線元件當量子模型不同時，IDS與VGS之特性曲線圖在矽薄膜直徑為9nm

4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 50 100 150 200 250

0 30 60 90 120 150

DIBL (mV/V)

Diameter (nm)

D.G.@DIBL

S.S. (mV/deca de)

[email protected].

MLDA@DIBL [email protected].

圖 2-7 奈米線元件當量子模型不同時，DIBL 與 S.S.之特性曲線圖在相同漏電流之下 (Same Ioff )

4 6 8 10 12 14 16 18 20 0

50 100 150 200 250

0 50 100 150 200 250 300 350

DIBL (mV/V)

Diameter (nm)

D.G.@DIBL

S.S. (mV/ d e cad e )

[email protected].

MLDA@DIBL [email protected].

圖 2-8 奈米線元件當量子模型不同時，DIBL 與 S.S.之特性曲線圖在相同功函數之下 (Same workfunction)

2 - 3. 無量子效應時的奈米線元件特性比較

先前我們以實現兩種量子效應的模型在奈米線上的電氣特性，本章將討論古典物理 在奈米線上特性表現。為了使比較的元件符合一致性，我們運用 M.L.D.A.參照 I.T.R.S.

所制定的規範參數設定，制定奈米線古典物理的參數。如圖 2-9 所示，我們選用古典物 理模型計算，不但使漏電(Ioff)上升，DIBL 與 S.S.的特性也跟著受影響。根據文獻上的記 載，已有學者完成研發矽薄膜厚度為 10 奈米的奈米線場效應電晶體[24]，我們將探討 10 奈米以下，古典物理與 D.G.量子物理在奈米線元件的電氣特性表現。

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 10

^-9

10

^-8

10

^-7

10

^-6

10

^-5

10

^-4

10

^-3

10

^-2

Log I

DS

(A/ μ m)

V

_GS

(V)

Classical@V

_DS

=50mV Classical@V

_DS

=1.0V M.L.D.A.@V

DS

=50mV M.L.D.A.@V

DS

=1.0V D.G.@V

_DS

=50mV D.G.@V

_DS

=1.0V

圖 2-9 奈米線元件在相同功函數下(Same workfunction)，古典物理與量子物理之特性曲 線圖(矽薄膜厚度為 9 奈米)

2 - 3 - 1. 電氣特性比較

我們由之前所描述等電流公式(2-9)在圖 2-9 得到臨界電壓(Threshold Voltage, VT)，

如圖 2-10 古典物理模型與 D.G.量子物理隨著矽薄膜厚度變小而 VT變大，由圖 2-11 驗 證矽薄膜厚度變大而造成漏電流上升，古典物理模型比量子物理模型漏電影響還要嚴 重，而減少奈米線元件矽薄膜厚度，則能有效抑止漏電流的影響。在圖 2-12 對 DIBL 的影響，我們可以發現奈米線元件矽薄膜越大時受量子效應影響越小。比較圖 2-12 與 圖 2-13，當奈米線元件矽薄膜厚度越薄，電氣特性 DIBL 與 S.S.也趨近理想值範圍內 200mV/Vm 與 100mV/decade。因此，我們設計一多晶矽閘極在矽薄膜厚度為 5 奈米之 奈米線元件，如圖 2-14 所示電氣特性曲線，由考量 D.G.量子模型影響的模擬結果可以 得知奈米線元件是理想的場效應電晶體。

5 6 7 8 9 10 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

V

T

(V)

Diameter (nm)

Classical@V

_DS

=50mV Classical@V

DS

=1.0V D.G.@V

DS

=50mV D.G.@V

DS

=1.0V

圖 2-10 奈米線元件在不同矽薄膜厚度與相同功函數之下(Same workfunction)，古典物 理模型與量子物理模型臨界電壓圖

5 6 7 8 9 10

10

^-15

10

^-14

10

^-13

10

^-12

10

^-11

10

^-10

10

^-9

10

^-8

10

^-7

I

off

(A/ μ m)

Diameter (nm)

Classical D.G.

圖 2-11 奈米線元件在不同矽薄膜厚度與相同功函數之下(Same workfunction)，古典物 理模型與量子物理模型漏電流圖

5 6 7 8 9 10 0

10 20 30 40

DI BL (mV/V)

Diameter (nm)

Classical D.G.

圖 2-12 奈米線元件在不同矽薄膜厚度與相同功函數之下(Same workfunction)，古典物 理模型與量子物理模型DEBL 影響圖

5 6 7 8 9 10

55 60 65 70 75 80

Classical D.G.

Diameter (nm)

S. S. (mV/decade)

圖 2-13 奈米線元件在不同矽薄膜厚度與相同功函數之下(Same workfunction)，古典物 理模型與量子物理模型次臨界斜率(S.S.)圖

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 10

^-9

10

^-8

10

^-7

10

^-6

10

^-5

10

^-4

10

^-3

I

DS

(A/ μ m)

V

GS

(V)

V

_DS

@50mV V

DS

@1.0V

圖 2-14 奈米線元件在多晶矽閘極矽薄膜厚度為 5nm，D.G.量子物理模型特性曲線圖

2 - 3 - 2. 不同半徑下的電子分佈比較

如前面章節所述，量子物理M.L.D.A.模型與 D.G.模型所預測之結果相近，在比較完 古典物理與量子物理的特性後，本章節將比較奈米線在通道內的電子分佈以 M.L.D.A.

量子物理模型與古典物理模型。如圖 1-3 所示奈米線場效應電晶體，我們在通道中心 Y 軸做切面，形成一圓型三維切面之通道電子分佈圖。我們引用之前章節所述之半徑靈敏 度在相同漏電考量的參數設定，如圖 2-15 與圖 2-16 古典物理模型在弱反轉區所示，奈 米線元件在通道中心Y 軸切線百分比，在矽薄膜厚度越厚時電子分佈越靠近通道中心，

通道中心電場受閘極控制越遠而減少。根據海恩-蕭克利實驗，電子在無施加電場下的 載子分佈圖會在中心[1]。由圖 1-3 延著 X 軸切線通道中心之能帶圖如圖 2-17 所示，而 學理可知空乏區會在濃度較小的區域，通道為無摻雜(Undoped)狀態且因實際通道長度 只有 18nm，造成電子累堆(accumulation)狀態，而非絕對弱反轉狀態(weak inversion)。

古典物理模型在奈米線元件切面電子分佈三維狀態如圖 2-20、圖 2-21 與圖 2-22。因 此，我們再看M.L.D.A.量子物理模型所造成的影響如圖 2-23 與圖 2-24。比較其古典物

理模型，矽薄膜厚度5 奈米之電子分佈百分比由 6℅增加至 15℅，而矽薄膜厚度 9 奈米 之電子分佈百分比由8℅增加至 13℅，在矽薄膜厚度 18 奈米之電子分佈百分比接近無變 化。從上述的結果得知，矽薄膜厚度越小時所受的量子效應越大在量子模型修正值也就 越多，使得電子往通道內集中。以上的結果，我們可以由圖 2-25、圖 2-26 與圖 2-27 三維電子分佈切面圖得到驗證，從圖 2-27 與圖 2-22 三維切面圖可發現兩者十分相似。

延續弱反轉區的特性研究，接續我們看強反轉區的特性(VDS=0V，VGS=1.0V)，由圖 2-28 與圖 2-29 古典物理模型所得到的結果顯示，大部分的電子分佈靠近通道表面，而 矽薄膜厚度大小則無影響奈米線元件的趨勢。由圖 2-30、圖 2-31 與圖 2-32 三維電子 分佈切面圖可以得到驗證電子在通道表面集中的情形。由圖 2-33 與圖 2-34M.L.D.A.量 子物理模型，理想的氧化層沒有電子存在。我們可以由模擬結果發現電子分佈因受量子 力學的影響，實際氧化層厚度會大於預設氧化層厚度，矽薄膜厚度越小時越明顯，而兩 種力學模型受電場影響卻無改變。由圖 2-35、圖 2-36 與圖 2-37 三維電子分佈切面圖 可以驗證圖 2-33。

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0

5 10 15 20 25

percent age (%)

Diameter (normalize)

D=5nm D=9nm D=18nm

圖 2-15 奈米線元件在古典物理在相同漏電流(Same Ioff)，不同矽薄膜厚度通道切線電子 分佈百分比，偏壓狀態為(VDS=0V,VGS=0V)

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0

1x10

⁵

2x10

⁵

3x10

⁵

4x10

⁵

5x10

⁵

ElectricField (V/cm)

Diameter (normalize)

D=5nm D=9nm D=18nm

圖 2-16 奈米線元件在古典物理在相同漏電流(Same Ioff)，不同矽薄膜厚度通道切線電場 大小，偏壓狀態為(VDS=0V,VGS=0V)

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -1.2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2

ConductionBand (eV)

Distance (nm)

ConductionBand ValenceBand Fermi

圖 2-17 奈米線元件在古典物理相同漏電流(Same Ioff)，矽薄膜厚度為 5nm 之能帶圖，

偏壓狀態為(VDS=0V,VGS=0V)

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -1.2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2

ConductionBand (eV)

Distance (nm)

ConductionBand ValenceBand Fermi

圖 2-18 奈米線元件在古典物理相同漏電流(Same Ioff)，矽薄膜厚度為 5nm 之能帶圖，

偏壓狀態為(VDS=0V,VGS=100mV)

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -1.2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2

ConductionBand (eV)

Distance (nm)

ConductionBand ValenceBand Fermi

圖 2-19 奈米線元件在古典物理相同漏電流(Same Ioff)，矽薄膜厚度為 5nm 之能帶圖，

偏壓狀態為(VDS=0V,VGS=1000mV)

-2

1x10¹⁶ 2x10¹⁶ 3x10¹⁶ 4x10¹⁶ 5x10¹⁶ 6x10¹⁶ 7x10¹⁶ 8x10¹⁶

-2

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

1x10¹⁵ 2x10¹⁵ 3x10¹⁵ 4x10¹⁵ 5x10¹⁵ 6x10¹⁵ 7x10¹⁵

-4

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

-8 -6

2.0x10¹³ 4.0x10¹³ 6.0x10¹³ 8.0x10¹³ 1.0x10¹⁴ 1.2x10¹⁴ 1.4x10¹⁴ 1.6x10¹⁴ 1.8x10¹⁴

-8

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

percentage (%)

Diameter (normalize)

D=5nm D=9nm D=18nm

圖 2-23 奈米線元件在 M.L.D.A.量子物理在相同漏電流(Same Ioff)，不同矽薄膜厚度通道 切線電子分佈百分比偏壓狀態為(VDS=0V,VGS=0V)

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

ElectricField (V/cm)

Diameter (normalize)

D=5nm

1x10¹⁶ 2x10¹⁶ 3x10¹⁶ 4x10¹⁶ 5x10¹⁶ 6x10¹⁶

-2

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

-4

1x10¹⁵ 2x10¹⁵ 3x10¹⁵ 4x10¹⁵ 5x10¹⁵ 6x10¹⁵ 7x10¹⁵ 8x10¹⁵

-4

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

2.0x10¹³ 4.0x10¹³ 6.0x10¹³ 8.0x10¹³ 1.0x10¹⁴ 1.2x10¹⁴ 1.4x10¹⁴ 1.6x10¹⁴ 1.8x10¹⁴ 2.0x10¹⁴

-8

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0

10 20 30 40 50

percentage (%)

Diameter (normalize)

D=5nm D=9nm D=18nm

圖 2-28 奈米線元件在古典物理在相同漏電流(Same Ioff)，不同矽薄膜厚度通道切線電子 分佈百分比，偏壓狀態為 (VDS=0V,VGS=1.0V)

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.0

2.0x10

⁶

4.0x10

⁶

6.0x10

⁶

8.0x10

⁶

1.0x10

⁷

1.2x10

⁷

ElectricField (V/cm)

Diameter (normalize)

D=5nm D=9nm D=18nm

圖 2-29 奈米線元件在古典物理在相同漏電流(Same Ioff)，不同矽薄膜厚度通道切線電場 大小，偏壓狀態為(VDS=0V,VGS=1.0V)

-2

1x10²⁰ 2x10²⁰ 3x10²⁰ 4x10²⁰ 5x10²⁰ 6x10²⁰

-2

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

5.0x10¹⁹ 1.0x10²⁰ 1.5x10²⁰ 2.0x10²⁰ 2.5x10²⁰ 3.0x10²⁰

-4

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

-8 -6

2.0x10¹⁹ 4.0x10¹⁹ 6.0x10¹⁹ 8.0x10¹⁹ 1.0x10²⁰ 1.2x10²⁰ 1.4x10²⁰ 1.6x10²⁰ 1.8x10²⁰

-8

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Elec

percent age (%)

Diameter (normalize)

D=5nm D=9nm D=18nm

圖 2-33 奈米線元件在 M.L.D.A.量子物理在相同漏電流(Same Ioff)，不同矽薄膜厚度通道 切線電子分佈百分比，偏壓狀態為(VDS=0V,VGS=1.0V)

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.0

2.0x10

⁶

4.0x10

⁶

6.0x10

⁶

8.0x10

⁶

1.0x10

⁷

1.2x10

⁷

ElectricField (V/cm)

Diameter (normalize)

D=5nm

2.0x10¹⁹ 4.0x10¹⁹ 6.0x10¹⁹ 8.0x10¹⁹ 1.0x10²⁰ 1.2x10²⁰ 1.4x10²⁰ 1.6x10²⁰ 1.8x10²⁰ 2.0x10²⁰

-2

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

-4

2.0x10¹⁹ 4.0x10¹⁹ 6.0x10¹⁹ 8.0x10¹⁹ 1.0x10²⁰ 1.2x10²⁰

-4

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

1x10¹⁹ 2x10¹⁹ 3x10¹⁹ 4x10¹⁹ 5x10¹⁹

-8

X Direction (nm)

Z Direction (nm)

Ele

2 - 3 - 3. 製程變異性電子分佈比較

上小節所述為奈米線元件半徑敏感度在通道內的電子分佈，本節將討論製程變異性 在M.L.D.A.量子物理與古典物理的考量下的通道內電子分佈狀態，以調整金屬功函數符 合 I.T.R.S.漏電流規範為出發點。如圖 2-38 與圖 2-39 古典物理模型在弱反轉時通道內 切線電子分佈百分比與電場大小。當矽薄膜厚度越大時，通道內電子分佈越往中心集

上小節所述為奈米線元件半徑敏感度在通道內的電子分佈，本節將討論製程變異性 在M.L.D.A.量子物理與古典物理的考量下的通道內電子分佈狀態，以調整金屬功函數符 合 I.T.R.S.漏電流規範為出發點。如圖 2-38 與圖 2-39 古典物理模型在弱反轉時通道內 切線電子分佈百分比與電場大小。當矽薄膜厚度越大時，通道內電子分佈越往中心集

在文檔中 奈米線電晶體的微縮特性之研究 (頁 24-61)