連續體變形分析法

連續體變形分析法中使用最多的應屬於有限差分法與有限元素 法。大多數的數值分析方法，離散化處理為其最基本的原理，乃是將 複雜的問題加以分割成許多的小單元再加以進一步的分析。有限差分 法係將基本的控制方程式加以離散化，而有限元素法則是將構成整個 系統的連續體離散化(陳志昌，2001)。

1. 有限差分法

在有限元素法之前，有限差分法係大地工程界中最常被廣泛引用

的數值分析方法。有限差分法在應用上的優點主要有：(1)較有限元 素法簡單，使用上較為方便；(2)對於非均質介質(non-homogenous material)，可將其分為許多層，分別計算各層之材料參數的影響；(3) 以控制方程式求解，所需之計算較有限元素法為少。對於較複雜的問 題，其控制方程式較難求得；對於不規則的幾何形狀，其節點不一定 可以落在邊界上，需藉特殊的差分公式加以修正，此為使用上之限 制，係有限差分法的缺點。

近年來，隨著電子計算機的進步，已發展了許多以有限差分法為 基礎的分析程式，FLAC等軟體即是其中之一，這些努力增加了其在 實際工程分析上的實用性。陳志昌(2001)曾利用剪力強度折減的觀 念，使用FLAC軟體進行土壤邊坡穩定分析，並利用時階與控制點之 位移關係圖判斷其安全係數值，在不同安全係數情況下，位移量趨於 平穩狀況時即為穩定，反之則為產生破壞的情形。

此外，以有限差分法解動力方程式時，依其求解方式的不同，可 分為外顯法(explicit scheme)與內隱法(implicit scheme)。前者係在已知 前一個時間區間t的 值下，去尋找時間區間u_i t+1的 值，可利用漸步 法的計算方法，由公式直接求得 值，而不需解聯立方程組；後者則 需在時間區間

ui

ui

+1

t 建立一組聯立方程組，在區間t+1的 值為未知，

等號的右手邊則為由時間區間

ui

t 中得知的u_i值所構成的代數方程組，

再利用疊代的方式求解。

Cala(2003)等人研究指出，對於簡單邊坡而言，剪力強度折減法 與極限平衡法所獲得的安全因子通常是一樣的，但是對於複雜邊坡而 言，卻是以修正之剪力強度折減法為佳。剪力強度折減概念係定義安 全係數為土壤之實際剪力強度與折減至破壞發生時之剪力強度兩者 之比值，此方法最早源自 Zienkiewicz (1975)，而 Matsui 與 San(1992) 在進行邊坡穩定之數值模擬分析時，亦是以剪力強度折減技術為參考 原理。

2. 有限元素法

有限元素法在大地工程界之一般性設計分析中較為少用，但也有 一些相關的有限元素分析軟體，其分析步驟大同小異，基本步驟說明 如下：

(1) 離散化

離散化原理係將整個連續性系統，根據實際分析狀況，分割成許 多較小的元素。例如：二維空間的分析一般是採用四邊形元素或三角 形元素的分割方式，元素數目依分析精度而定，每個元素有其各自對 應的物理或組成特性。

(2) 選擇近似函數(approximation functions)

使用插值方程式矩陣[N]，將各元素的位移和幾何形狀加以模 擬，亦即：

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

其中{u}、{x}為元素中各質點的位移及座標位置，{q}、{X}則為元素 節點之位移和座標值。[N]亦可稱為形狀函數矩陣(shape functions matrix)，該矩陣中各節點所對應之插值方程式具有滿足各節點物理量 之特徵，其意義相當於插值方程式的各數據點之加權函數。

(3) 推導元素方程式

即定義在元素局部(local)座標上的平衡方程式，其推導方法有許 多，包括基於最小虛功原理的變分法(variational method)及殘餘法 (residual method)。不論採用何種方法，最後元素方程式均可以矩陣形 式加以表示。

一般而言，有限元素法在邊坡穩定分析上之應用，以分析複雜情 況為主，但亦應與其他簡化方法所得之結果進行比較。利用有限元素 法時，可針對應變軟化材料之邊坡進行穩定性分析。