第二章 文獻回顧
2.4 常用分析法
2.4.2 切片法
1. 普通切片法(ordinary method of slices；Fellenius，1936)
茲以圖 2.5 說明普通切片法。此為最簡單之切片法，此法並不考 慮切片間之水平作用力與垂直作用力，式(2.6)~式(2.10)為估算抗滑動 安全係數之系列估算步驟。
圖2.5 普通切片法諸力示意圖：
(a)試算破壞表面；(b)作用於第 n 個薄片的作用力(Das，2000)
觀察圖2.5 知，由水平合力應保持靜力平衡知
∑ F
H= 0
，故：0 Nsin FScos
Ta
=
−
α
α
(2.6)另外，由垂直合力應保持靜力平衡知
∑ F
V= 0
，所以：0 FSsin
Ncos T
W−
α
− aα
= (2.7)其中
W = 切片重量；
N = 切片底部反力；
α
= 切片底部中點傾角；T = 抗剪強度。 a
解析式(2.6)與式(2.7)可得：
α
WcosN = (2.8)
又由力矩平衡式
∑ M
0= 0
知：∑
∑ Wx − ∑ FS T
ar − Nf = 0
(2.9) 其中x、r、f 分別為 、 、 之力臂。依摩爾-庫倫破壞準則可 得出安全係數FS 為：W Ta/FS N
[ ]
∑ ∑
∑
−−
= +
Nf Wx
' tan r ) u (N r
FS c'l l
φ
(2.10)
式中
c′
、φ
′ = 有效抗剪強度參數；u
= 切片底部孔隙水壓力；l = 切片底長。
2. Bishop 簡化法(simplified Bishop method；Bishop，1955)
茲以圖 2.6 說明 Bishop 簡化法。此法之特點在於假設片間之作用 力為沿水平方向，但不考慮切片間之垂直剪力，切片底部之正向力可 以由垂直正向力之平衡而得，由破壞準則之假設依式(2.11)計算正向 力N，進而求得抗滑動之安全係數 FS：
α
αφ
α
/mFS sin ' tan u FS
sin W c'
N ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − +
= l l
(2.11)
其中
N = 正向力；
c′
、φ
′ = 有效抗剪強度參數；α = 切片底部中點之傾角；
W = 切片之重量；
u = 切片底部孔隙水壓力；
l = 切片底長。
另外，由力矩平衡知，符號mα之定義如以下所示：
/FS) ' tan (sin cos
mα =
α
+α φ
(2.12)圖2.6 Bishop 的簡化切片法：
(a)作用在第 n 個薄片上的作用力；(b)平衡時之力多邊形(Bishop，1955)
3. Spencer 法(Spencer’s method；Spencer，1967)
圖2.7 Spencer 法示意圖：邊坡切片之作用力系統(楊凱勝，2003)
茲以圖 2.7 加以說明。如式(2.13)所示，依靜定原理假設切片間 剪力與正向力間有一關係存在，則：
R R L
L
E X E
tan
θ
= X = (2.13)其中
θ
= 剪力或正向力合力之傾角；X = 切片左方剪力； L
X = 切片右方剪力； R
E = 切片左方正向力； L
E = 切片右方正向力。 R
Spencer 氏係假設
θ
為定值，亦即切片間之作用力均平行。由垂 直及水平方向之平衡關係知，正向力N 可由式(2.14)表示之：α
α φ θ α
m FS
sin ' tan u FS
sin tan c'
) E (E W
N
R Ll
l +
−
−
= +
(2.14)式中各項符號之定義均與式(2.11)及式(2.13)相同。
可續由垂直方向的力平衡方程式推導出一安全係數 ，再由力 矩平衡方程式推導出另ㄧ個安全係數 。因整個邊坡滑動面上只有 一個安全係數 ，且 、 均為
ER
FM
FS Ff FM
θ
的函數，故可找出一個θ
值使得，此即為其抗滑動安全係數。
M
f F
F FS= =
4. Janbu 簡化法(Janbu’s simplified method；Janbu 等人，1956)
此法為Janbu 等人於 1956 年所提出，其所作之假設與 Bishop 簡 化法相同，只考慮切片間的正向力作用而剪力為零，此假設會造成所 得的方程式數目多於未知數的數目，故雖其滿足了兩相互垂直的力平 衡方程式，但並不滿足力矩平衡方程式。唯此法之特點在於可處理較 複雜之土層情況，亦可用於對非圓弧破壞面之分析。
式(2.15)、式(2.16)及式(2.17)為求其抗滑動安全係數之計算作 業，其力平衡之推導過程可參考圖 2.7。由水平合力需保持靜力平衡 知
∑ F
H= 0
，亦即：0 FScos
Nsin T )
E
(EL − R −
∑
+∑
a =∑ α α
(2.15) 其中N = 切片間正向力；
α
= 切片底部中點之傾角；T = 抗剪強度； a
FS = 安全係數；
E = 切片左方正向力； L
E = 切片右方正向力。 R
假設水平合力為零，亦即
∑ (E
L− E
R) = 0
，則初始安全係數 可 表為：F0
[ ]
∑ ∑ +
= α
α φ
α
Nsin
cos ' )tan u -(N cos
c'
0
l
F l
(2.16)而待求的安全係數FS 必須乘以圖 2.8 所示之修正係數 ，亦即： f0
0
f0
FS= F (2.17)
圖2.8 Janbu 簡易法之修正係數 f0(Janbu 等人，1956)
5. Janbu 嚴謹法(Janbu’s rigorous method；Janbu 等人，1956)
茲以圖 2.9 加以說明。Janbu 嚴謹法與簡化法之不同處在於推求 其切片間正向力N 時有考慮切片間之剪力，先依式(2.18)計算 N：
( )
α
α φ
α m
FS ul
FS l X c
X W N
L R
sin tan
sin ′
′ +
−
−
= +
(2.18)其中
W = 切片之重量；
m = 式(2.12)所示之公式； α
X = 切片左方剪力； L
X = 切片右方剪力； R
c′
、φ
′ = 有效抗剪強度參數；α = 切片底部中點之傾角；
u = 切片底部孔隙水壓力；
l = 切片底長。
為解析安全係數 FS，首先必須假設切片間之剪力為零，再如 Bishop 之簡化法般由原設定之起始安全係數，經由數次反覆運算，得 到較佳之安全係數。
圖2.9 Janbu 嚴謹法之切片作用力示意圖(Janbu 等人，1956)
切片間作用力可由對切片底部中點 m 之力矩平衡而得(請參考圖 2.9)。若取點 m 之彎矩合力為零，即
∑ M
m= 0
，則可得：⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ tan α
2 2
2
t b b E
b X
X
L R L L0 tan
2 tan ⎥⎦ ⎤ =
⎢⎣ ⎡ ⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
−
R Rb b
tt
E α α
(2.19)其中
t
L、t
R = 切片間作用力距左、右底部之距離；α = 切片間作用力之作用點所連成的推擠線之傾角； t
b = 切片之寬度。
由於式(2.19)中某些項次很小，故可忽略，因此可將其簡化成式
(2.20)，如以下所示：
b
t E E
X
L= E
Ltan α
t+ (
R−
L)
R(2.20)
由靜力平衡知，上式中水平作用力ER −EL可表為：
( )
[ ]
α α cos
tan FS
T X
X E W
E
L−
R= +
R−
L−
a (2.21)其中FS = 安全係數，此安全係數在圖 2.9 中係以 F 表之； = 抗剪 強度；其他各項符號之意義請參考式(2.18)之符號說明。
Ta
基於此，再針對邊坡滑動土體進行由右至左之積分，則可得切片 間之水平作用力，並解得切片間的剪力值。在求安全係數時，可先假 設切片間之剪力為零，求出起始的安全係數，再以此起始值求出切片 間新的剪力值與新的安全係數，然後反算出一條新的作用線位置。如 此反覆運算，直到前後兩次安全係數收斂到同一數值為止。
6. Morgensten-Price 法(Morgensten-Price method，1965)
此方法類似於 Spencer 法，只是對於切片間剪力和正向力間的關 係式假設不同而已，其假設關係式可表為：
) (x E f
X = λ
(2.22)其中
X = 切片間剪力；
E = 切片正向力；
λ
= 唯一未定常數，該常數稱為剪力分佈參數；) (x
f = 自訂的函數(x 為水平座標)，它可以是常數、正弦函數、三角
函數、或梯形函數等。
在這一類的分析方法中，由於已知之條件少於未知數的數目，故 為一個靜不定的問題。為能順利求解，必須做某些假設或簡化，針對 問題所做的假設之不同，則衍生了許多不同的分析方法。此法與以上 所介紹之Spencer 法的不同處在於：(1)用以求得安全係數方程式的靜 力平衡方程式不同；(2)為簡化問題所做的問題假設不同。