經由複數跳頻和向量擬合法找出狀態空間所對應到的參數後,在生成等效電 路之前最好能確保電路的穩定性(stability) 和被動性(passivity)。而解出來 的極點可能會出現在s平面的右半平面,即對應到極點的實部大於零,這樣的極 點就稱為不穩定(unstable) 的極點。為了要讓整個系統滿足穩定性,則要將不穩 定的極點強制它最終處在穩定的狀態,可以直接將不穩定的點從原先的極點集合 中移除,則所有的極點都在左半平面,但是仍然可能導致系統不滿足被動性,之所 以會要確保系統的被動性,是因為若其中一個電路滿足穩定性但不滿足被動性的 條件,則當和其他電路相連接後,可能會導致新的系統不穩定。而用另外的方式來 說明被動性[13–15],即整個系統找出來的 Y 參數,當外加任意的電壓源v,*代表 將電壓源取共軛轉秩後做運算,最終該系統隨著頻率改變的時候只會吸收功率, 而不會產生功率。由數學式子表示的話就如(2.25) 所示
{ } { ( ) } { }
Re * Re * j Re *
= = + =
P v i v G B v v Gv , (2.25)
G是輸入導納的實部,B 代表輸入導納的虛部,現在因為輸入導納直接用量測的 資料代入,則其實部和虛部都存成向量的形式。而為了滿足吸收能量的條件,所以 運算過後的功率要是正值,就是G最終的值也要是正值。
將狀態空間的參數帶入(2.22),得到輸入導納,只要讓輸入導納的實部G滿 足正定(positive definite) 的條件,也就是說, G所對應到的特徵值都是正值 的時候,則(2.25) 在不同頻率下算出來的 Y 參數都會是正值,則此系統就滿足被 動性[14]。
讓系統滿足被動性的方式可如[16] 所提,只對 Y 參數負的特徵值所在區域 做補償,而不對整個頻域做補償,先將(2.22)的狀態空間參數轉成對應到的漢米 爾頓矩陣N (2.26),再計算此矩陣的特徵值,且讓該矩陣的特徵值不會產生比零 小的特徵值。
( ) ( )
最小二乘方近似(constrained least square approximation),其內容如下所示, 首先將原參數線性化(linearization) 並利用(2.27)ΔYfit = ΔM x, (2.27)
其中Y
( )
s 是量測得到的輸入導納,Y( )s ∈C ,而K Yfit( )
s 是經過近似後的輸入導納, Yfit( ) :s R→CK,而在解此問題的時候,希望同時能滿足解出來的輸入導納 的實部和其特徵值要大於零,則條件如(2.32)
Δ = Δ ≥ −Λ R x Λ , (2.32)
此時可以把(2.31) 和(2.32) 改寫成(2. 33) 所示的方式,而(2.33) 可以用二 次規劃(quadratic programming) 來解,在滿足(2.33) 的條件下
, , , 0fit, ,
Δ → Δ ≤ = = − = − =
A x b B x c A M b Y Y B R c Λ。 (2.33)
將(2.34) 所得的值最小化
1 2
T T
Δx H x fΔ − Δx ,其中H A A ,= T f =A b 。 T (2.34)
其流程如圖 2-7 所示。
圖 2-7 強制系統被動性的流程圖。
Approximate y by (2.22)
Enforce d, e to be positive
Calculate H , B , f and c in (2.34) by (2.33)
Solve (2.34) about Δx using Quadratic Programming
0 = 0+ Δ
現在將(2.36) 作對角化(diagonalize) 後(2.37)
(
pos+ neg)
−1 = +T Λ Λ T P D , (2.37)
再將所有的特徵值區分成正的部份和負的部份,其中Λpos代表正的特徵值,Λneg
代表負的特徵值,而現在將(2.37) 中Λneg強迫其值為零,則得到修正過後的輸入 導納Gcorr會變成(2.38)
1 1
corr pos neg
− −
= = + −
G TΛ T P D TΛ T 。 (2.38)
則(2.23) 的 d 這項就已經強制被動性了。