有了上述的 S 參數以後,先轉成 Y 參數,然後經過複數跳頻(CFH),同時使用極 點匹配和轉移函數搜尋法來達成 CFH。先選出適當的值,判斷兩相鄰的展開點所 找出來低階轉移函數的極點集合,是否有相同的極點落在s平面上,此時選用低 階轉移函數的階數是 7,上述的是極點匹配搜尋法。再分別將找出來的兩個低階 轉移函數,用兩個展開點的中點帶入,則得到兩個在該中間點所對應到的輸入導 納,當兩者相減小於一個夠小的值,則視為兩個低階轉移函數所對應到的輸入導 納是一樣的,上述的方式就是轉移函數搜尋法。圖 3-2 就是同時使用兩種方法完 成 CFH 的流程,在s平面上所顯示的圖。圖 3-3 為圖 3-2 的局部放大,而為了清楚 看出複數跳頻的意思,所以選取s在水平軸由−4.3 10× 8到4.3 10× 8 rad/s,垂直軸 由9.2 10× 9到9.9 10× 9rad/s,其中每個展開點對應到的正確半徑構成的圓圈,叉 代表正確極點的所在位置,點代表錯誤的極點。由圖 3-3 看出,在展開點所對應到 的正確半徑內,有可能包含錯誤的極點,這些錯誤的極點是由其他頻率找出來的 低階轉移函數所產生,但是在最後生成一組新的等效電路的時候,那些錯誤的極 點將不會被選取進去。再將由 CFH 找到的極點直接映射到下半平面,如圖 2-6 所 示的方式,則可以得到系統的極點集合,此時的極點還未強制穩定性。
圖 3-2 單極天線經過複數跳頻得到在s平面上的分佈。
圖 3-3 將圖 3-2 局部放大。
經過 CFH 後接下來要讓系統維持穩定性(stability),則直接將落在右半平 面導致系統不穩定的極點移除掉,於是就產生一組新的極點和留數集合,由這些 構成整個系統的極點如圖 3-4 所示,極點的數目由 374 個減少到 184 個。
圖 3-4 複數跳頻近似單極天線且強制穩定性後所得到的系統極點集合。
再將圖 3-4 的極點集合用(2.22) 的狀態空間表示式來生成等效電路,此時 的狀態空間不包含(2.22) 的 E 這項,而原先的極點和留數是複數,於是利用 (2.24) 所示的方式去轉成所有參數都是實數的狀態空間,而(2.24) 的過程就是 將原先的複數矩陣轉成對應到的喬丹典型(Jordan canonical) 形式。最後產生 如圖 2-7 所示的等效電路形式,只用電容,電阻和壓控電流源來生成 SPICE 格式等 效電路的檔案,再將該檔案經過 SPICE 執行後所得到的結果如圖 3-5 所示。圖 3-5 的 Gin 是代表輸入導納的實部,而 Bin 是輸入導納的虛部,實線代表原來量測的頻 率響應,而點所構成的曲線表示經過複數跳頻得到的等效電路,而現在經過複數 跳頻來生成近似單極天線的頻率響應需要 166 個展開點,而這些展開點找出來的 正確極點有 374 個,經過強制穩定性後,剩下 184 個極點,所需等效電路的元件要 829 個,而 184 個極點都是共軛形式出現,所以對應到 2-4-1 節的 M 是 92,N 是 0。
而有考慮 D 這項,所以會有一個在輸入端的電阻,於是總共個數是 829,和 2-4-1
節所推出來的元件總數一樣。
圖 3-5 經過複數跳頻且強制滿足穩定性所生成單極天線之等效電路和原先的做 比較。
而經由圖 3-5 共振點發生在輸入導納虛部為零的時候,而表 3-2 列出在共振 點附近的極點,其中在頻率為 0.92 GHz 的點,對應到的極點是利用 Im( )s = j2π f , 由系統極點的虛部對應到共振頻率的位置,對應到在編號為 4 的那組極點,而由 表 3-2 知道,在其附近仍然有其他留數也很大的極點,如編號 1 到 3 的極點,因為 複數跳頻來近似該共振點的值是由鄰近該共振點的極點來共同達成。
N0. Poles (rad/s) Residues Frequency (GHz) 1 -7.3044e8 ± 5.2857e9i -2.0748e10 ± 4.1233e10i 0.8412 2 -2.3549e8 ± 5.6287e9i -8.7743e8 ∓ 3.8691e8i 0.8958 3 -5.8016e8 ± 5.6519e9i -3.8807e10 ± 2.4226e10i 0.8995 4 -2.6251e8 ± 5.7691e9i -3.9268e8 ± 4.6181e8i 0.9181
表 3-2 由複數跳頻找到共振頻率點對應到的極點和留數較大的極點。