Benford 定律之應用

Johnson(2005)指出，Benford 定律並不適用於所有的數據。在資料的選擇和 樣本的考慮上，必須考慮以下幾項因素：

1. 樣本數量要夠多

2. 樣本數據不能以類似彩卷號碼的方式隨機產生 3. 樣本數據不能被限制於某一上下限值中

4. 樣本數據須為自然產生

辛英

泊、河川等共 248,613 筆水體數據，進行統計分析，但在分析結果上卻不符合 Benford 定 律 ， 如 圖 2.9 與 圖 2.10 所 示 。 然 而 在 Power 定 律 和 卡 氏 與 Kolmogorov-Smirnov 檢定的研究下，他們認為水文資訊應該會符合 Benford 定 律，他們也找出水文資訊不符合 Benford 定律的幾個主要因素：

1. 數據上的不完整 2. 數據沒有代表性

3. 數據被過度的四捨五入

4. 數據發生錯誤、異常或不一致現象 5. 數據會遵循指數過大的 Power 定律

朱毓仁(2004)指出，Benford 定律雖能用於數據上的檢核，但在使用上仍有 先天上的限制，因此僅能夠稱之為一個分析程序，雖然它能有效的協助審計人 員找出非自然的經濟交易，但根據 Benford 定律所完成的分析結果仍需依賴專業 人士的判斷，才能正確研判統計數據中是否確實存在錯誤或舞弊。

韶(2004)曾以民國 89 年到民國 93 年台灣上市公司為樣本，探討在不同方向 盈餘管理的情況下，有關財務盈餘數字和損益科目數字的實際分配比率，是否 會與Benford定律的預期分配比率有相關性？其研究結果顯示當盈餘為正值時，

則檢定結果證實該文所考慮情況下之基本假設是成立的。

任克泰(2006)曾將 Benford 定律應用於淡水河流域之雨量及流量水文資訊的 率定分析，並利用 XLminer 軟體對淡水河流域之水文資訊進行預測，其研究結 果顯示淡水河流域水文資訊確實符合 Benford 定律之第一位數的出現頻率之變 化趨勢。

Johnson(2005)係以 Benford 定律檢驗愛爾蘭某單位在生意上之帳目的相關 舞弊行為，其檢驗結果顯示由於詐欺和私吞所發生的錯誤，會導致每年高達 5%

的營業額損失。

Lu 等人(2005)曾將 Benford 定律應用於醫療保險索賠的詐欺檢測上，並且調 整 Benford 定律，以消除樣本數須具有上下限值的限制，使 Benford 定律在醫療

保險索賠的詐欺檢測上，比原本的 Benford 定律有更高的檢測準確率，並使 Benford 定律能更廣泛應用於各領域。

Hans-Andreas 等人(2003)指出，在不同的系統裡可以發現，許多樣本數據皆 符合 Benford 定律，例如河流長度、零售價目、市場之庫存量等等。另外，像是 Fibonacci 級數和 Prime-number 級數等數學級數，也被證實會遵守 Benford 定律。

Drake(2000)係將 Benford 定律應用於會計審核所使用之電腦分析程序上，其 分析對象為美國軟體公司網站所提供之 38,176 筆之發票數據，他進行了第一位 數、第二位數、及第一二位數之資料分析，並以絕對平均差(Mean Absolute Deviation)觀察實際出現頻率和 Benford 定律之理論出現頻率的差異，結果發現 正常之發票數據應該符合 Benford 定律。另外，其亦從差異性較大之數字中找出 各項差異因子，例如：在數字 10 方面會有較大誤差之情形，主要是由於 10 元 和 100 元的運費發票過多所導致，Drake 認為 Benford 定律應能有效的加強審計 人員在詐欺風險上的評估。

David(2005)曾將 Benford 定律利用於 eBay 拍賣網站所拍賣的足球門票販賣 活動上，所分析的數據為網站上所拍賣之門票價格，其檢測位數為第一位數，

研究結果顯示，此數據是符合 Benford 定律的。在另一個試驗中，David 也證實 了 Fibonacci 數列和 Lucas 數列亦是符合 Benford 定律的。

圖 2.8 流量水文資訊在 Benford 定律上檢定結果(Nigrini，2007)

圖 2.9 湖泊周長數據在 Benford 定律上檢定結果(Nigrini，2007)

圖 2.10 湖泊面積數據在 Benford 定律上檢定結果(Nigrini，2007)

經由逐一介紹 Benford 定律、Zipf 定律及 Bradford 定律等所需之條件及基本 假設後得知，Benford 定律係與探討數字之出現頻率相關。根據前人所進行之相 關研究得知，水文資訊應會符合 Benford 定律之出現頻率變化趨勢，因本研究所 探討之水文資訊數據亦符合 Benford 定律之使用規則，故本文擬根據 Nigrini 等 人(2007)所引用之 Benford 定律在水文資訊的應用及分析原理，挑選 Benford 定

律作為本文率定水文資訊之分析方法，藉以探討 Benford 定律在本地水文資訊上 之應用的可行性。