Check node 到 Bit node 的機率算法

由圖3.11可知，假設check node(C)與K+1個stage(bit node)相連，且彼此是獨立 (independent)，這些K+1 個stage 分別表示成b b b₀, , ,...,_{1 2} b ，而且_K b b b₀, , ,...,_{1 2} b 屬於同一_K 個alphabet A，則check node到bit node的機率資訊公式推導如下：

B

B

B

B

C b

b

b

b

圖3.11 Bit node 的 message-passing

在圖3.11中，輸入到check node(C)的K個機率資訊中，假設為本質機率(intrinsic probability)，以b ，i=0,1,2,...,K用來表示 bit node 和 check node 相連接的”0”或“1”機_i 率，由 bit node 連接到 check node 的機率稱為本質機率(intrinsic probability)，以

i ( )

B C bi

μ _→ 來表示。

本質機率"0"的機率：

i ( 0) 1

B C bi pi

μ _→ = = − (3-16) 本質機率"1"的機率：

i ( 1)

B C bi pi

μ _→ = = (3-17)

而從 check node 傳送到 bit node 的機率資訊稱為外質機率(extrinsic probability)，以

C B0

μ _→ 來表示。

因為從check node傳送至bit node的機率資訊(

0( )0

C B b

μ _→ )是由 K 個機率資訊 ( ( )

Bi C bi

μ _→ ，i=1,2,3,...,K)來決定，所以傳送至bit node的機率資訊

0( )0

C B b

μ _→ 是”0”或是“1”

的機率為這 K 個( ( )

Bi C bi

μ _→ ，i=1,2,3,...,K)的XOR 組成，若( ( )

Bi C bi

μ _→ ，i= 1,2,3,...,K)全部

XOR 起來是"0”才是傳送到check node的“0”的機率。若 XOR 起來是“1”的情況，則是 傳送到check node的“1”的機率，有這下列的關係式。

外質機率"0"的機率：

0( 0 0) ( 1 2 3 0)

C B b P b b b bk

μ _→ = = ⊕ ⊕ ⊕ = (3-18) 外質機率"1"的機率：

0( 0 1) ( 1 2 3 1)

C B b P b b b bk

μ _→ = = ⊕ ⊕ ⊕ = (3-19)

為了要證明上面這兩個式子(3-18)及(3-19)的成立，我們需要下列的假設與推導過 程，因為我們推導的式子從bit node傳送到check node的機率資訊有 K 個，我們先假設只 有2個stage(B 和₁ B )時的情況，首先先證明只有2個stage(₂ B 和₁ B )時的式子會成立，再由₂ 數學歸納法證明有 K 個stage時仍然會成立。

若只考慮2個stage(B 和₁ B )時，則從check node傳送至bit node的機率資訊(₂

0( )0

C B b

μ _→ ) 只是由b 和₁ b 的XOR(♁)來決定，若₂ b₁⊕ = 則表示是”0”的機率，若b₂ 0 b₁⊕ = 則表示b₂ 1 是”1”的機率，因為要XOR起來是”0”，則b 和₁ b 均要為”0”或均為“1”，若XOR起來是”1”₂ 則b₁=0,b₂ = 或1 b₁=1,b₂ = ，結果如下列兩個式子所表示： 0

0( 0 0) ( 1 2 0) 1 2 (1 1)(1 2)

C B b P b b p p p p

μ _→ = = ⊕ = = + − − (3-20)

0( 0 1) ( 1 2 1) 1(1 2) 2(1 1)

C B b P b b p p p p

μ _→ = = ⊕ = = − + − (3-21)

其中p 表示第一個stage傳送到check node是”1”機率資訊(₁

1 ( 1 1) 1

B C b p

μ _→ = = )，而p 表示第₂ 二個stage傳送到check node是“1”機率資訊(

2 ( 2 1) 2

B C b p

μ _→ = = )。1 p− 代表第一個stage₁ 傳送到check node是”0”機率資訊，1 p− ₂代表第二個stage傳送到check node是”0”機率資 訊。

我們針對(3-20)的式子來化簡，首先把(3-20)式子乘以2再減去1，即可化簡得到下列 的式子，且假設2個stage(B 和₁ B )時的式子已經成立了。 ₂

1 2 1 2

2 (P b ⊕ = − = −b 0) 1 (1 2 )(1 2 )p − p (3-22) 再來我們要把一開始假設只有2個stage(B 和₁ B )推廣到有 K 個stage(₂ ( )

Bi C bi

μ _→ ，

i=1,2,3,...,K)的情況，如(3-24)式子所示。首先假設K− 個stage成立，如(3-23)所示， 再1

由數學歸納法可以知道 K 個stage( ( )

以上證明由數學歸納法得證，有 K 個stage的機率資訊公式仍然適用，所以由式子(3-27) 可以移項得到下式：

"1"的機率： 式子可以用另外一種方法來求得機率，此方法為Log-Likelihood ratio(LLR)，

"1"

log"0"

LLR= 的機率

再來運用一些代數的特性，可以把式子(3-30)推導下去，直到式子(3-30)和bit node 傳送到check node的機率資訊( ( )

Bi C bi

μ _→ )有關係。

首先我們由前面的介紹已經知道其中p 表示第i個stage傳送到check node是”1”機率_i 資訊( ( 1)

所以我們可以將式子(3-31)及式子(3-32)代入到式子(3-30)即可以導出下列公式：

0

所以我們由式子(3-28)及式子(3-29)可以知道由check node傳送到bit node的機率資訊為：

"0"的機率：

於是我們把這兩個分別表示傳送“0”或”1”的公式套用到LDPC decoder中，則check node傳送到bit node的機率資訊為：

' '

其中在式子(3-36)和(3-37)中L(j)表示在 H (同位檢查矩陣)第j列(row)裡面那些是”1”

的行(column)的位置的集合，而L(j)\{i}表示在L(j)的集合裡把第i個元素扣除。