Compactness

(a, b) connected 以及 Proposition 3.1.15 [a, b), (a, b] 以及 [a, b]

connected. Question 3.8, (a, ∞), [a, ∞), (−∞, a), (−∞, a] 以及 R

connected. 以 的 .

Proposition 3.1.21. R 的 standard topology. 的 , , ,

以及R connected.

Question 3.13. Proposition 3.1.21 的 .

Proposition 3.1.21 的 的, R 的 connected subsets

的 , , , 以及R . R 的 connected subsets 以

的性質.

Proposition 3.1.22. R 的 standard topology. S R 的 connected subsets a, b ∈ S a< b. a< c < b, c∈ S .

Proof. , c < S . R 的 U = (−∞, c), V = (c, ∞).

subspace topology , U∩ S S 的 open set ( a∈ U ∩ S ). V∩ S S 的 open set. S = (U∩ S ) ∪ (V ∩ S ) (U∩ S ) ∩ (V ∩ S ) = (U ∩ V) ∩ S = ∅,

S disconnected. S connected 的 , c∈ S . 

以 Proposition 3.1.22 R 的 connected subsets. , S R 的

connected subset 界 界. R 一 c, S 界, b∈ S

c< b. S 界, a∈ S a < c, Proposition 3.1.22, c ∈ S .

S =R. , R connected 的 . , S

R 界 界的 connected subset, 一 的 S =R. R

界 界的 connected subset, 以 R connected. R

connected 前 least upper bound property 的性質 .

Question 3.14. Proposition 3.1.22 S R 界的 connected

subset, a, b ∈ R S (a, b), [a, b), (a, b] [a, b] ( least upper bound

greatest lower bound). S connected, S 界 界

以及 S 界 界 , S 的 .

R 的 connected subsets 些, 以 一些 的

的性質. 以 Proposition 3.1.9 f :R → R , f (R) ⊆ Z,

f constant function; Proposition 3.1.13 的 .

3.2.1. Compact Topological Space. 拓樸 compactness 的 “ ” 的 ,

的 一 , . 拓樸

open sets . 以 topological space X , 一些 open sets,

X 些 open set 的 . 的 , X 的一 open cover. 一 ,

X 的一些 , open sets X , 以 的

open cover . 的 open cover , 一些 的

open sets, open sets X . 些 的 的,

open sets . compact 的 . ,

的 .

Definition 3.2.1. X topological space, T topology. S ⊆ T ( S

open sets 的 ). X =∪

U∈SU, S X 的一 open cover. S^′⊆ S S^′ X 的 open cover ( X =∪

U∈S^′U), S^′ S X 的 subcover. 特 的,

S^′ , S^′ S X 的 finite subcover.

T X 的一 open cover ( X ∈ T , 以 X =∪

U∈TU). S

X 的 open cover, S ⊆ T , 以 以 S T X 的 subcover.

Example 3.2.2. 的 standard topology 以及 S = {(−n, n) | n ∈ N}.

x∈ R, n∈ N x ∈ (−n, n), R =∪

U∈SU, S R 的一 open

cover. S^′={(−2n, 2n) | n ∈ N} S^′⊆ S R =∪

U∈S^′U, 以 S^′ S 的

subcover. S^′ , 以 finite subcover.

外 `S = {(−n, n) | n ∈ N, n < 10} S ⊆ S` R =∪

U∈ `SU, 以 S 的 finite subcover ( subcover). S = {(−n, 2n) |˘

n∈ N} R =∪

U∈ ˘SU S ⊆ S,˘ 以 S 的 subcover.

Question 3.15. Example 3.2.2 , S R 的 finite subcover.

compact topological space.

Definition 3.2.3. X topological space. X 的 open cover finite

subcover, X compact; non-compact.

X compact 的 , X 以 open set ,

open sets X 的 , 以 些 open sets open sets

X. R, (−∞, 0) 以及 (−1, ∞) , R = (−∞, 0) ∪ (−1, ∞). Question

3.15 , (−n, n) 的 open sets 以 R,

R. 以 standard topology ,R compact topological space.

X indiscrete topological space, 一 的 open set, X 一

compact. X discrete topological space, 一 的 open

set, 一 的 的 open cover, X = ∪

x∈X{x}. finite

subcover, X . 一 topological space

, 一 compact. 外 論 Rⁿ 的 standard topology 的 一

compact 的 ( 的 Heine Borel Theorem). 外, 一

一 topological space compact. 一些

compact, 一些 的 , compact

的性質, . 一些 compact topological space 的性質.

一 的 , 論 的 , 的

. 一些 的 . 一些 的

S = {(n, ∞) | n ∈ N}. S , 一

, S 的 , ∩

U∈SU =∅. 的

? 一 一些 X 的 的 S ⊆ P(X),

( n∈ N, S1, · · · , Sn ∈ S ∩_n

i=1S_i , ∅), S finite intersection property ( FIP). 前 的 S = {(n, ∞) | n ∈ N} FIP,

一 的 S FIP, 的 ∩

S∈SS .

compact topological space, 以 的 .

Proposition 3.2.4. X compact topological space F X 一些 closed set 的 ( F∈ F , F closed). F finite intersection property, ∩

F∈F F , ∅.

Proof. , ∩

F∈F F = ∅. U = {F^c | F ∈ F }, U 的

X 的 open set, ∪

U∈U

U = ∪

F∈F

F^c= (∩

F∈F

F)^c = X.

U X 的 一 open cover. X compact, U1, . . . , Un ∈ U

∪_n

i=1U_i = X. i∈ {1, . . . , n}, U_i∈ U, F_i ∈ F U_i = F^c_i,

∩n i=1

F_i =

∩n i=1

U^c_i = (

∪n i=1

U_i)^c = X^c =∅.

F FIP , ∩

F∈F F , ∅. 

Question 3.16. R 的 standard topology F = {[n, ∞) | n ∈ N}. F R 一些 closed set 的 finite intersection property. ∩

F∈F F =∅,

論 Proposition 3.2.4 ?

, Proposition 3.2.4 的 的, , .

compactness 的 .

Proposition 3.2.5. X, Y topological spaces f : X → Y onto 的 continuous function. X compact, Y compact.

Proof. Y compact, Y 的 open coverU, U1, . . . , Un∈ U Y =∪_n

i=1U_i. U ∈ U, U Y 的 open set f continuous,

f⁻¹(U) X 的 open set. ∪

U∈UU = Y,

∪

U∈U

f⁻¹(U) = f⁻¹(∪

U∈U

U) = f⁻¹(Y) = X,

{ f⁻¹(U) | U ∈ U} X 的 open cover. X compact, n ∈ N, 以 及 f⁻¹(U1), . . . , f⁻¹(Un), Ui ∈ U ∪_n

i=1f⁻¹(Ui) = X. 些

U₁, . . . , Un ∈ U Y =∪_n

i=1U_i. , y∈ Y, f : X→ Y onto, x∈ X f (x) = y. ∪_n

i=1f⁻¹(Ui) = X, i = {1, . . . , n} x∈ f⁻¹(Ui).

y = f (x)∈ Ui, Y =∪_n

i=1U_i. 

Question 3.17. X, Y topological spaces f : X → Y onto 的 continuous

function. Y compact X compact.

Proposition 3.2.5 compactness 的拓樸性質.

Corollary 3.2.6. X, Y homeomorphic topological space, X compact Y compact.

Proof. X, Y homeomorphic, homeomorphism f : X → Y, 以及 f⁻¹: Y → X continuous onto. Proposition 3.2.5 X compact Y

compact 的. 

compactness disjoint union topology, product space topology 以及 quotient space topology 的 . disjoint union. X, Y compact topological space, X⨿ Y disjoint union topology compact ?

的.

Proposition 3.2.7. X, Y topological space. disjoint union space X⨿ Y, X⨿ Y compact X, Y compact.

Proof. X ⨿ Y compact. S X 的 open cover. S ∈ S,

S^′ = {(s, 1) | s ∈ S }. S^′ 以及 Y^′ = {(y, 2) | y ∈ Y} X⨿ Y 的 open sets, {S^′| S ∈ S} ∪ {Y^′} X⨿ Y 的 open cover ( X⨿ Y =∪

S∈SS^′∪ Y^′). X⨿ Y compact, {S^′ | S ∈ S} ∪ {Y^′} 的 finite subcover{S₁^′, . . . , S^′n, Y^′}, S_i ∈ S.

X⨿ Y =∪_n

i=1S^′_i ∪ Y^′. X =∪_n

i=1Si, S X 的 finite subcover,

X compact. Y compact.

, X, Y compact topological space. injective functionϕ1 : X → X ⨿ Y, ϕ1(x) = (x, 1), ∀ x ∈ X. disjoint union topology 的 , X⨿ Y 的 open set S S = U⨿ V, U, V X, Y 的 open set. ϕ⁻¹₁ (S ) = U, ϕ1

continuous function. X⨿ Y 的 open cover S, X⨿ Y =∪

S∈SS , X =ϕ⁻¹₁ (X⨿ Y) = ϕ⁻¹₁ (∪

S∈S

S ) = ∪

S∈S

ϕ⁻¹₁ (S ).

{ϕ⁻¹₁ (S ) | S ∈ S} X 的 open cover. X compact 的 , S1, . . . , Sn ∈ S ϕ⁻¹₁ (S₁), . . . , ϕ⁻¹₁ (S_n) {ϕ⁻¹₁ (S )| S ∈ S} X 的 finite subcover,

X =

∪n i=1

ϕ⁻¹₁ (S_i) =ϕ⁻¹₁ (

∪n i=1

S_i).

, ϕ2 : Y → X ⨿ Y, ϕ2(y) = (y, 2), ∀ y ∈ Y. {ϕ⁻¹₂ (S ) | S ∈ S}

Y 的 open cover. Y compact 的 , S^′₁, . . . , S^′m ∈ S ϕ⁻¹₂ (S^′₁), . . . , ϕ⁻¹₁ (S^′_m) {ϕ⁻¹₂ (S )| S ∈ S} Y 的 finite subcover,

Y =

∪m j=1

ϕ⁻¹₂ (S^′_j) =ϕ⁻¹₂ (

∪m j=1

S^′_j). 以 S1, . . . , Sn, S^′₁, . . . , S^′_m⊆ S,

ϕ⁻¹₁ ((

∪n i=1

S_i)∪ (

∪m j=1

S^′_j)) = X, ϕ⁻¹₂ ((

∪n i=1

S_i)∪ (

∪m j=1

S^′_j)) = Y, (∪_n

i=1S_i)∪ (∪_m

j=1S^′_j) = X⨿ Y. 言 , S₁, . . . , Sn, S₁^′, . . . , S^′m S X⨿ Y 的

finite subcover. X⨿ Y compact. 

以 Proposition 3.2.7 topological spaces 的

disjoint union space 的 . 的 . , 的

topological spaces 的 disjoint union space compact.

Question 3.18. I 一 的 index set, i∈ I, Xi 的 topological space. disjoint union space⨿i∈IXi compact topological space. (Hint: i∈ I, X_i^′={(x, i) | x ∈ Xi} ⨿i∈IX_i 的 open set. {X_i^′}i∈I 一 ⨿i∈IX_i 的 open cover.)

product space 的 . Product space 的 topology

basis , open sets. compact 的性質 open cover,

一 的 open sets 的 , 以 些 . 一 性質 以 ,

的 open cover, 一 basis basis

的 open cover .

Lemma 3.2.8. X topological space, B X 的一 basis. X 的 open cover U ⊆ B U 的 finite subcover, X compact.

Proof. 的 X 的 open cover S 一 B 的 的

open coverU, U 的 finite subcover, S 的 finite subcover.

X compact.

X 的 open coverS 的 S ∈ S, S open, basis 的 US ⊆ B S =∪

U∈US U. S X 的 open cover, X = ∪

S∈S

S = ∪

S∈S

( ∪

U∈US

U)

U = {U ∈ B | U ∈ US, S ∈ S}, U ⊆ B X 的一 open cover.

U1, . . . , Un ∈ U U 的 finite subcover, ∪_n

i=1Ui = X.

i = 1, . . . , n, Ui ∈ U, Si ∈ S Ui ∈ USi. USi 的 , S_i = ∪

U∈U_{S i} U, U_i ⊆ Si. ∪_n

i=1U_i ⊆ ∪_n

i=1S_i, X = ∪_n

i=1S_i,

S1, . . . , Sn ∈ S S 的 finite subcover. 

connected 的 , product space compact 的性質. ,

X, Y compact topological space, product space X× Y compact, 的

Tychonov’s Theorem. 的, 以 的 .

Theorem 3.2.9. X, Y 的 topological spaces, produce space X× Y. X× Y

compact X, Y compact.

Proof. X×Y compact 的 , projectionπ1 : X×Y → X continuous onto, Proposition 3.2.5 X compact. projectionπ2 : X× Y → Y, Y compact.

Tychonov’s Theorem, X, Y compact, product space X× Y compact. product space topology 的 , TX, TY X, Y 的 topology, B = {U × V | U ∈ TX, V ∈ TY} X× Y 的一 basis. Lemma 3.2.8,

B 的 X× Y 的 open cover W ⊆ B, W X× Y 的 finite subcover.

, y0 ∈ Y, continuous function h_y0 : X → X × Y, hy0(x) = (x, y0).

W X× Y 的 open cover,

X = h⁻¹_y0(X× Y) = h⁻¹_y0( ∪

W∈W

W) =

∪

W∈W

h⁻¹_y0(W).

, U = {h⁻¹y0(W)| W ∈ W}, U X 的 open cover. X compact 的 , h⁻¹_y0(W1), . . . , h⁻¹_y0(Wn) ∈ U U X 的 finite subcover.

W_i ∈ W ⊆ B, W_i = U_i × Vi, U_i, Vi X, Y 的 open set.

y0 ∈ Vi, ∀ i = 1, . . . , n, h⁻¹_y0(U_i × Vi) , 以 . , h⁻¹_y0(Wi) = h⁻¹_y0(Ui× Vi) = Ui,∀ i = 1, . . . , n, ∪_n

i=1Ui = X. 外, 的 W_i

y₀ , Wy0 ={W1, . . . , Wn} ⊆ W. V_i y₀ 的 open neighborhood, Vy0 =∩_n

i=1Vi. Vy0 y0 的 open neighborhood X× Vy0 ⊆ (

∪n i=1

U_i)× Vy0 ⊆

∪n i=1

(U_i× Vy0)⊆

∪n i=1

(U_i× Vi) = ∪

W∈Wy0

W.

y = Y, 前 y₀ 的 一 y 的 open neighborhood V_y 以及

一 Wy ={Wi ∈ W | i ∈ Iy}, Iy 一 ,

X× Vy⊆ ∪

W∈Wy

W. (3.1)

y∈ Y, V_y y 的一 open neighborhood, V = {Vy}y∈Y Y 的一 open cover. Y compact 的 y1, . . . , ym ∈ Y, Y = Vy1 ∪ · · · ∪ Vym.

, Wy1∪ · · · ∪ Wym ⊆ W W X× Y 的 finite subcover.

(a, b) ∈ X × Y. Y = Vy1 ∪ · · · ∪ Vym, b∈ Vyr, 1≤ r ≤ m. Wyr

(3.1), (a, b) ∈ X × Vyr (a, b) ∈∪

W∈WyrW. 

以 Theorem 3.2.9 topological spaces 的 product

space 的 . 以 topological spaces 的 product space 的

, 的 axiom of choice, .

compact quotient space 的 , 以 的 .

Proposition 3.2.10. X topological spaces ∼ X 的一 equivalence relation.

X compact, quotient space X/∼ compact.

Proof. quotient space topology 的 quotient map q : X→ X/∼ onto 的 contin-uous function. X compact 以及 Proposition 3.2.5 X/∼ compact.  Question 3.19. X topological spaces ∼ X 的一 equivalence relation.

quotient space X/∼ compact, X compact?

3.2.2. Compact Subsets. connected subset 的 , 一 topological space 的 subset subspace topology 一 topological space,

compact.

Definition 3.2.11. X topological spaces S subset. subspace topology S topological space , S compact space, S X 的 compact subset; non-compact subset.

subspace 的 以及 Proposition 3.2.5, 以 的 .

Proposition 3.2.12. X, Y topological spaces f : X→ Y continuous function.

S ⊆ X X 的 compact subset, f (S ) Y 的 compact subset.

論一 compact 的,

compact subsets 的 compact , 的 . 以

一些 compact subset 的性質 , compact 的 . Definition 3.2.11,

S ⊆ X compact, S 的 open cover U, U₁, . . . , Un ∈ U S =∪_n

i=1Ui. subspace topology, T X 的 topology, U ∈ U, U^′ ∈ T U = U^′∩ S . U^′ ={U^′ ∈ T | U^′∩ S ∈ U}, U S 的 open cover, S =∪

U∈UU,

S = ∪

U^′∈U^′

(U^′∩ S ) =( ∪

U^′∈U^′

U^′)

∩ S,

S ⊆∪

U^′∈U^′U^′. , U_i^′ X 的 open set U_i = U_i^′∩ S , S = ∪_n

i=1U_i S ⊆ ∪_n

i=1U_i^′. ,U S 的一 open cover, X 的 open

set 的 U^′ S ⊆ ∪

U^′∈U^′U^′. 的 U S 的 finite subcover, U^′₁, . . . , Un^′ ∈ U^′ S ⊆∪_n

i=1U_i^′. , , open cover 的

一 拓樸 的 .

Definition 3.2.13. X topological space, T topology, S X 的

subset. U ⊆ T ( U open sets 的 ). S ⊆ ∪

U∈UU, U S

的一 open cover. U^′ ⊆ U U^′ S 的 open cover ( S ⊆∪

U∈U^′U), U^′

U S 的 subcover. 特 的, U^′ , U^′ U

S 的 finite subcover.

一 , U S 的 open cover 的 S ⊆∪

U∈U^′U, S =∪

U∈U^′U (

S X 的 open set). 以 compact subset 的 .

Proposition 3.2.14. X topological space, S X 的 subset. S X 的

compact subset X 的 open sets S 的 open cover U U

S 的 finite subcover.

Question 3.20. topological space X ∅ compact subset?

Proposition 3.2.14 以 compact subset 的 compact

的 . S₁, S2 topological space X 的 compact subset. S₁∪ S2 的

open cover U. U S1 的 open cover, S1 compact 的 ,

U1, . . . , Un ∈ U U S1 的 finite subcover. U^′₁, . . . , Um^′ ∈ U U S₂ 的 finite subcover. S₁ ⊆∪_n

i=1U_i 以及 S₂ ⊆∪_m

j=1U^′_j, S1∪ S2 ⊆ U1∪ · · · ∪ Un∪ U₁^′ ∪ · · · ∪ Um^′,

U1, . . . , Un, U₁^′, . . . , U_m^′ ∈ U U S1∪ S2 的 finite subcover. 以

的 .

Proposition 3.2.15. X topological space S1, S2 X 的 compact subsets.

S₁∪ S2 X 的 compact subset.

Question 3.21. X topological space i∈ N, Si X 的 compact subset.

n∈ N,∪_n

i=1Si X 的 compact subset. ∪_∞

i=1Si X 的 compact subset

?

compact subsets 的 compact 的 ? 一 的. 一

的 metric space 的 ( ), 以 的 .

特 一 .

Example 3.2.16. Z x⁺_∞, x⁻_∞ 的 X. X 拓樸T :

T = {S | S ⊆ Z} ∪ {{x⁺_∞} ∪ Z} ∪ {{x⁻_∞} ∪ Z} ∪ {{x⁺_∞, x_∞⁻} ∪ Z}.

T X 的 topology. S⁺ ={x⁺_∞} ∪ Z 以及 S⁻={x⁻_∞} ∪ Z. X x⁺_∞ 的 open set S⁺ 以及 X, 以 S⁺ 的 open cover U S⁺ X,

U S⁺ X 一 U S⁺ 的 finite subcover, S⁺ X 的

compact subset. S⁻ X 的 compact subset. S⁺∩ S⁻ =Z, z∈ Z, {z} X 的 open set. V = {{z} ∈ T | z ∈ Z} Z 的一 open cover,

V Z 的 finite subcover ( Z ). Z X 的 compact

subset. compact subsets 的 compact.

及, 一 一 compact, 些特殊 ,

的. 以 的 .

Proposition 3.2.17. X compact topological space S X 的 closed subset, S X 的 compact subset.

Proof. S 的 一 open cover U, U X 的 一 些 open sets S ⊆∪

U∈UU. S closed, S^c X 的 open set.

X = S ∪ S^c⊆( ∪

U∈U

U)

∪ S^c,

U∪{S^c} X 的一 open cover, X compact , U1, . . . , Un∈ U

X ⊆ U1 ∪ · · · ∪ Un ∪ S^c ( S^c 一 , ).

S ⊆ U1∪· · ·∪Un, {U1, . . . , Un} U S 的 finite subcover, S compact.  X compact, Proposition 3.2.17 X 的 compact subset X 的 compact subset subspace topology 一 compact topological space.

Corollary 3.2.18. X topological space, S X 的 compact subset. C X 的 closed subset C∩ S X 的 compact subset.

Proof. S X 的 subspace, compact subset 的 S 一 compact topological space. subspace topology 的 C∩ S S 的 closed subset, Proposition 3.2.17 , C∩ S S 的 compact subset. C∩ S S 的 subspace topology, C∩ S compact topological space. C∩ S ⊆ S ⊆ X, C∩ S X 的 subspace S 的 subspace, topology . C∩ S X 的 compact subset.  Question 3.22. open cover finite subcover 的論 Corollary 3.2.18

Compact topological space 的 , 一 topological space compact , , locally compact. Locally compact topological space

的 topological space, R standard topology

compact locally compact. 的性質, ,

. 一 locally connected 的 (Definition 3.1.18)

Definition 3.2.19. X topological space. a ∈ X 及 的 open neighborhood U a 的 open neighborhood V 以及 compact subset C V ⊆ C ⊆ U.

X locally compact space.

3.2.3. Heine Borel Theorem. Rⁿ 的 standard topology 一 一

compact , Heine Borel Theorem. Rⁿ 的拓樸 ,

特 .

Rⁿ 的 standard topology, metric space. 的 metric

d(x, y) = √

(x1− y1)²+· · · + (xn− yn)², x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).

a∈ Rⁿ, r> 0, B(a; r) ={x ∈ Rⁿ| d(x, a) < r}. 的 的 a∈ Rⁿ, r> 0 的 B(a; r) basis 的 topology Rⁿ 的 standard topology, 一

特 的拓樸 Euclidean Space. Heine Borel Theorem Euclidean space Rⁿ 的

一 S compact S closed bounded. 的一

Euclidean Space, 一 的 metric space , 以 一 的 metric space

. bounded ( 界).

Definition 3.2.20. X 以 metric d 的 metric space S X 的 subset.

a∈ X 以及 r > 0 S ⊆ B(a; r) = {x ∈ X | d(x, a) < r}, S bounded.

bounded 的 metric space , 一 的 topological space

的. , R 的 , S ⊆ R bounded S 界 (upper

bound) 界 (lower bound). 外 S ⊆ B(a; r) 的 a, r , r^′ > r, S ⊆ B(a; r^′) . 外 b ∈ X, r^′ = r + d(a, b) > 0, S ⊆ B(b; r^′), x∈ B(a; r), d(x, a) < r, d(x, b) ≤ d(x, a) + d(a, b) < r^′,

B(a; r)⊆ B(b; r^′). , compact bounded 的 .

Proposition 3.2.21. X metric space S X 的 compact subset, S X 的 bounded subset.

Proof. 一 r > 0, U = {B(s; r) | s ∈ S }, 些 B(s; r) X 的 open set, S ⊆ ∪

B∈UB, U S 的 open cover. S compact 的 ,

s1, . . . , sn ∈ S S ⊆ B(s1; r)∪ · · · ∪ B(sn, r). r^′= r + max{d(s1, s2), . . . , d(s1, sn)} > 0, B(s_i; r)⊆ B(s1; r^′),∀ i = 1, . . . , n. S ⊆ B(s1; r^′), S bounded. 

, compact closed 的 .

Proposition 3.2.22. X metric space S X 的 compact subset, S X 的 closed subset.

Proof. S^c X 的 open subset. x ∈ S^c, s ∈ S , r_s = d(x, s)/2.

s , x, rs > 0. U = {B(s, rs) | s ∈ S }, 些 B(s; r_s) X 的 open set, S ⊆ ∪

B∈UB, U S 的 open cover. S compact s1, . . . , sn ∈ S S ⊆ B(s1; r_s1)∪ · · · ∪ B(sn, rsn). i = 1, . . . , n, B(si, rsi)∩ B(x, rsi) = ∅, U = B(x; rs1)∩ · · · ∩ B(x; rsn), U = B(x; r) r = min{rs1, . . . , rsn} > 0

U∩ (B(s1; r_s1)∪ · · · ∪ B(sn, rsn)) =∅.

U∩ S = ∅, U x∈ S^c 的 open neighborhood U ⊆ S^c. S^c X

的 open subset, S X 的 closed subset. 

Proposition 3.2.21 以及 Proposition 3.2.22, metric space 的 compact subset closed bounded. Proposition 3.2.21 以及 Proposition 3.2.22

論的 Proposition 3.2.21 一 metric space ( bounded 的 );

Proposition 3.2.22 metric space 的 . 的

以 拓樸 的 以 的 open neighborhood, 以

compact subset 一 closed. 的性質, Hausdorff 的性質, 以 .

R closed bounded 的 , 一 特性, .

性質, 的 (Extreme Value Theorem).

Lemma 3.2.23. R 的 standard topology. S R 的 compact subset, a, b ∈ S a≤ s ≤ b, ∀ s ∈ S .

Proof. least upper bound 以及 greatest lower bound 的性質. S

compact, S closed bound, S 界及 界. a, b ∈ R S 的

greatest lower bound least upper bound. a≤ s ≤ b. S closed a, b ∈ S . a S 的 greatest lower bound, ε > 0, a + ε S 的 lower bound, s∈ S a≤ s ≤ a + ε, (a− ε, a + ε) ∩ S , ∅. a 的 open neighborhood U, ε > 0 (a− ε, a + ε) ⊆ U U∩ S , ∅. ,

a∈ cl(S ). S closed, S = cl(S ), a∈ S . b∈ S . 

f : X → R a∈ X f (a)≤ f (x), ∀ x ∈ X, f (

a). 的 b∈ X f (x)≤ f (b), ∀ x ∈ X, f ( b). 一

的 , extreme value. 的 Extreme Value Theorem

的 一 的 , 的 compact subset , .

Theorem 3.2.24 (Extreme Value Theorem). X topological space R 的 standard topology. f : X → R continuous, S X 的 compact subset,

a, b ∈ S f (a)≤ f (s) ≤ f (b), ∀ s ∈ S .

Proof. S compact 的 , Proposition 3.2.12 f (S ) R 的 compact subset. Lemma 3.2.23 r, t ∈ f (S ) r≤ f (s) ≤ t, ∀ s ∈ S . r, t ∈ f (S ),

a, b ∈ S f (a) = r, f (b) = t. . 

Proposition 3.2.21 以及 Proposition 3.2.22 的 , 一 的 metric space 一 closed and bounded subset compact ( 一

). Rⁿ 的 standard topology . R 的 .

Lemma 3.2.25. R 的 standard topology. a, b ∈ R a< b, [a, b] R 的 compact subset.

Proof. , R complete 的性質 ( 性). 一 的

Cauchy sequence {an}n ( ϵ > 0, N ∈ N |an− am| < ϵ, ∀ n, m > N), a∈ R lim_n→∞a_n= a.

[a, b] compact. 一 [a, b] 的 open cover U U

[a, b] 的 subcover. [a, b] [a, (b − a)/2] 以及 [(b − a)/2, b] . 一

一 U , I1 = [a1, b1]. I1 ,

[a₁, (b1− a1)/2] 以及 [(b₁− a1)/2, b1]. 的 一 一 U , I2 = [a₂, b2]. 一 In = [a_n, bn] U

, b_n− an= (b− a)/2ⁿ. {an}n 一 Cauchy sequence.

lim_n→∞a_n=λ, ∩_∞

n=1I_n={λ}.

λ ∈ [a, b] U [a, b] 的 open cover, U∈ U λ 的 open neighborhood.

R 的 open interval R 的 standard topology 的一 basis, ϵ > 0, (λ − ϵ, λ + ϵ) ⊆ U. n∈ N (b− a)/2ⁿ < ϵ, I_n⊆ (λ − ϵ, λ + ϵ) ⊆ U.

In 以 U U 一 open set . In U

的 , [a, b] R 的 compact subset. 

, Lemma 3.2.25 Heine Borel Theorem.

Lemma 3.2.25 的 的 性, Heine Borel Theorem 一 metric

space 一 的 .

Theorem 3.2.26 (Heine Borel Theorem). Euclidean space Rⁿ. S ⊆ Rⁿ closed and bounded, S Rⁿ 的 compact subset.

Proof. 論 R 的 , 的 . S ⊆ R bounded

S 界 b 界 a, S ⊆ [a, b]. Lemma 3.2.25 [a, b] R 的

compact subset, S closed 以及 Corollary 3.2.18 S ∩ [a, b] = S R 的 compact subset.

一 Rⁿ 的 , S bounded a = (a1, . . . , an) ∈ Rⁿ 以及 r > 0 S ⊆ B(a; r). i = 1, . . . , n, I_i = [a_i− r, ai+ r]. (x1, . . . , xn)∈ B(a; r),

|ai− xi|²≤∑_n

j=1(a_j− xj)²< r², x_i∈ Ii,∀ i = 1, . . . , n. B(a; r)⊆ I1× · · · × In. S ⊆ I1× · · · × In. , I1× · · · × In Rⁿ 的 compact subset,

S closed 的 , Corollary 3.2.18 S Rⁿ 的 compact subset.

I₁× · · · × In Rⁿ 的 compact subset, 的 Theorem 3.2.9

(Ty-chonov’s Theorem). . 一: Ii R 的 subspace (

subspace topology) Ii compact space, Theorem 3.2.9 I1× · · · × In

product space compact topological space. I₁× · · · × In product space R × · · · × R

| {z }

n

product space 的 subspace? Ii 的 open set, Ii∩ Ui, Ui R 的 open set 的 . I1× · · · × In product space 的 open set (I1∩ U1)× · · · × (In∩ Un) 的 . I1× · · · × In R × · · · × R| {z }

n

product space 的 subspace topology (I1× · · · × In)∩ (V1× · · · × Vn) 的 , Vi

R 的 open set. Cartesian product 的性質,

(I₁× · · · × In)∩ (V1× · · · × Vn) = (I₁∩ V1)× · · · × (In∩ Vn), I₁× · · · × In product space topology R × · · · × R| {z }

n

的 subspace topology 一 的.

I1 × · · · × In product space R × · · · × R| {z }

n

的 compact subset.

的 I1× · · · × In Rⁿ 的 standard topology ( metric space) 的 compact subset? 以 的 : Rⁿ product space R × · · · × R| {z }

metric space 的拓樸. Example 1.5.2 n n = 2,

R² 的 的. 一 的 n∈ N 的 . Rⁿ metric space topology,

basis B(a; r), a∈ Rⁿ, r> 0, product space topology basis U1× · · · × Un, U_i R 的 open interval. (x₁, . . . , xn)∈ B(a; r), ϵ > 0 (x1− ϵ, x1+ϵ) × · · · × (xn− ϵ, xn+ϵ) ⊆ B(a; r). x = (x1, . . . , xn)∈ U1× · · · × Un,

ε > 0 B(x;ε) ⊆ U1× · · · × Un. Rⁿ product space metric space 的 topology, I1× · · · × In Rⁿ 的 standard topology compact. 

及 Theorem 3.2.26 一 的 metric space 一 . 以 的 .

Example 3.2.27. Q R 的 standard topology 的 subspace. 拓樸 Q metric space. x, y ∈ Q, d(x, y) = |x − y|, d Q 的 metric a ∈ Q, r > 0, B(a; r) = {x ∈ Q | |x − a| < r} metric topology 的一 basis.

S = [0, 3] ∩ Q, S Q 的 closed bounded subset, S Q 的

compact subset.

Proposition 3.2.4 , S 一 finite intersection

property 的 closed sets F , ∩

F∈F F = ∅, S compact. n ∈ N,

I_n = [√

2− (1/n), √

2 + (1/n)], F = {In∩ Q | n ∈ N}. I_n ⊆ [0, 3], I_n∩ Q ⊆

[0, 3]∩Q = S , F 的 S 的 closed subset. F 的 closed

set F1, . . . , Fk, i∈ {1, . . . , k}, ni ∈ N Fi = Ini∩Q, m = max{n1, . . . , nk}, F₁∩ · · · ∩ Fk = I_m∩ Q. 的 性 I_m , F₁∩ · · · ∩ Fk , ∅,

F finite intersection property.

∩

F∈F

F =

∩∞ n=1

(In∩ Q) =∩^∞

n=1

[√ 2− 1

n, √ 2 +1

n]∩ Q = {√

2} ∩ Q = ∅, S compact.

Question 3.23. Z R 的 standard topology 的 subspace. 拓樸 Z 的 closed bounded subset compact? Q^c =R \ Q R 的 standard topology

的 subspace. 拓樸 Q^c 的 closed bounded subset compact?

在文檔中 一些特殊的拓樸性質 (頁 57-70)