內部, 外部以及邊界
3.1. Connectedness
一些特殊的拓樸性質
一 , 一些特殊的拓樸性質, connectedness, compactness 以及
Haus-dorff property. 些性質 一 的 topological space 的性質,
的拓樸 的性質. 些性質 以 的 些拓樸
的 特性.
的. 以前 一 ,R 的, . R standard topology
的. 的, 的 性, 的 .
一些 connected ( disconnected) topological space 的性質.
些性質 的 , 一 , 的 .
, X disconnected, U, V 的 open sets U∩ V = ∅ and
X = U∪ V.
Uc = X\ U = (U ∪ V) \ U = V \ U = V \ (U ∩ V) = V.
U open, 以 Uc closed, V closed. 一 及一
open closed , clopen. 以 V X 的 clopen set ( U
clopen). X disconnected , X ∅ 外, X 的 clopen set.
, U( X 的 clopen set, V = Uc, V 的 open set U∩ V = ∅
X = U∪ V. 以 的性質.
Proposition 3.1.2. X topological space, X connected X X
∅ 外 open closed 的 .
Question 3.1. topological space X disconnected W, Z 的 closed sets W∩ Z = ∅ X = W∪ Z.
一 boundary 拓樸 一 S clopen S 的
boundary , 以 Proposition 3.1.2, 以 .
Corollary 3.1.3. X topological space, X connected
X 的 S , bd(S ), ∅.
論 “ ” connected, 論 “ ” separated 的 . 拓樸 ,
S, T separated sets, S ∩ T = ∅ ( 的 拓樸). R
的 (0, 1) [1, 2), , 1 一 , 一 的.
(0, 1) (1, 2), 1 一 .
S, T 的, S T , S T 的邊界,
S ∩ (T ∪ (bd(T))) = ∅. T∪ (bd(T)) = cl(T), 以 的 S ∩ (cl(T)) = ∅.
S ∩ (cl(T)) = ∅ T ∩ (cl(S )) = ∅. R 的 standard topology , S = (0, 1), T = [1, 2) , cl(T ) = [1, 2] S ∩ (cl(T)) = ∅. cl(S ) = [0, 1],
T∩ (cl(S )) , ∅. , T S S 的邊界, S, T
的 . 以 的 .
Definition 3.1.4. X topological space, S, T X 的 subsets. S∩ (cl(T)) = ∅ T∩ (cl(S )) = ∅, S, T separated sets.
一 , separated sets 拓樸 的. Connected topological space
separated sets ? 的 , X connected X
的 separated sets 的 .
Proposition 3.1.5. X topological space, X connected X 的 separated sets S, T X = S ∪ T.
Proof. 論 , X disconnected X 的
sepa-rated sets S, T X = S ∪ T. X disconnected, Proposition 3.1.2 的
U, V clopen U∩ V = ∅ X = U∪ V. V closed,
V = cl(V), U∩ V = ∅ U∩ (cl(V)) = ∅, V∩ (cl(U)) = ∅.
的 U, V separated sets X = U∩ V.
, X 的 separated sets S, T X = S ∪ T. T ⊆ cl(T),
S ∪ (cl(T)) = X, cl(T )c ⊆ S . S ∩ (cl(T)) = ∅, S ⊆ cl(T)c.
S = cl(T )c X 的 open set. T X 的 open set. S, T , X
disconnected.
Proposition 3.1.5 topological space X 以 S, T 的 ,
S, T separated sets S, T open sets. 拓樸
disconnected , X 的 的 open ,
separated.
拓樸的性質, . Y = {0, 1}, discrete topology.
f : X → Y continuous, U = f−1({0}) V = f−1({1}) X 的 open set,
X = U∪ V 以及 U ∩ V = ∅. f onto, U, V ,
X disconnected. , X disconnected, 的 open sets U, V
X = U∪ V. g : X→ Y, g(x) =
{ 0, if x ∈ U;
1, if x ∈ V. X = U∪ V U∩ V = ∅, g well-defined function. Y, {0}, {1}, ∅ Y 的 open sets, g−1(Y) = X, g−1({0}) = U, g−1({1}) = V, g−1(∅) = ∅ X 的 open sets, g : X → Y
continuous. X disconnected f : X→ {0, 1} 的
. 以 的 .
Proposition 3.1.6. X topological space Y ={0, 1} discrete topology.
X connected f : X→ Y onto.
Proposition 3.1.6 X connected, f : X → {0, 1}
onto; X disconnected, f : X → {0, 1} onto. ,
一 的 .
Corollary 3.1.7. X, Y topological space X connected, Y disconnected.
f : X→ Y onto.
Proof. . f : X → Y onto. Z ={0, 1} discrete
topological space, Proposition 3.1.6 onto 的 g : Y → Z.
g◦ f : X → Z. f, g continuous, g◦ f continuous. f, g onto,
g◦ f onto. g◦ f : X → Z continuous onto. Proposition
3.1.6 , .
Question 3.2. X, Y topological space X connected, Y disconnected.
h : Y → X 的 ?
, Proposition 3.1.6 特 {0, 1} 一 discrete
topolog-ical space ? , disconnected topological spaces , 的 ,
的 . Corollary 3.1.7 的 disconnected 的 一
的 disconnected 的 . {0, 1} discrete topological space 一 特 , discrete. discrete topological space, 以 的性質.
Lemma 3.1.8. X discrete topological space Y ={0, 1} discrete topology.
X 的 , f : X → Y onto.
Proof. a∈ X, X , X\ {a} . f : X → Y
f (x) =
{ 0, if x = a;
1, if x , a. f onto X discrete, f continuous,
.
Question 3.3. Lemma 3.1.8 , 一 的 discrete topological space disconnected?
一 f : X → Y, f 的 f (X) 一 ( f (x) = b, ∀ x ∈ X), f 一 constant function.
Proposition 3.1.9. X topological space. X connected 的 discrete topological space Y, f : X → Y constant function.
Proof. X connected topological space. Y discrete topological space.
f : X → Y constant function. Y′ = f (X) Y 的 subspace topology, Y′ discrete topological space, g : X → Y′
g(x) = f (x), ∀ x ∈ X continuous ( Question 1.10). f constant, Y′ , discrete topological space Z ={0, 1}, Lemma 3.1.8 h : Y′ → Z onto. h◦ g : X → Z continuous onto.
Proposition 3.1.6 , f constant function.
, X disconnected topological space, Lemma 3.1.6 Y discrete topological space {0, 1}, f : X → Y continuous onto, f constant
function.
Question 3.4. X connected topological space Y discrete topological space.
( Lemma 3.1.8) f : X→ Y constant function.
一 性質 , 性質 homeomorphism ,
一 topological space X 一性質 , X homeomorphic 的
topological space Y, 性質? 性質 , 性質 一 “拓樸性
質”. 前 的 , connected 的性質 一 拓樸性質.
Question 3.5. X, Y topological spaces X, Y homeomorphic. , X connected Y connected.
論一 拓樸的性質, 的 , 些性質 前 的 subspace topology,
disjoint union topology, product space topology 以及 quotient space topology 的 .
, connected 的性質, , .
X, Y 的 topological space. disjoint union space X⨿Y. disjoint union topology X 的 X⨿ Y 的 clopen subset. Proposition 3.1.2 X⨿ Y
connected topological space. product space, 以 的 .
Proposition 3.1.10. X, Y 的 topological spaces, produce space X× Y.
X× Y connected X, Y connected.
Proof. X, Y connected topological spaces. product space X× Y connected. discrete topological space Z ={0, 1}. Proposition 3.1.9,
的 f : X× Y → Z constant function. (x0, y0) ∈ X × Y, 一 性 f (x0, y0) = 0. hy0 : X → X × Y, hy0(x) = (x, y0).
product space topology 的 , hy0 continuous. f ◦ hy0 : X → Z
一 , X connected 的 以及 Proposition 3.1.9 f ◦ hy0 一
constant function,
f (x, y0) = f ◦ hy0(x) = f ◦ hy0(x0) = f (x0, y0) = 0, ∀ x ∈ X.
(a, b) ∈ X × Y, f (a, b) = 0, f constant function.
a∈ X, f (a, y0) = 0. la: Y → X ×Y, la(y) = (a, y).
的, la continuous 以及 Y connected, f◦la: Y → Z constant function,
f (a, y) = f ◦ la(y) = f ◦ la(y0) = f (a, y0) = 0, ∀ y ∈ Y.
b∈ Y f (a, b) = 0.
一 , X× Y connected, π1 : X× Y → X 以及 π2 : X× Y → Y onto 的 continuous functions, Corollary 3.1.7 X, Y connected.
以 Proposition 3.1.10 topological spaces 的
product space 的 . 以 topological spaces 的 product
space 的 , 的 axiom of choice, .
connected quotient space 的 , 以 的 .
Proposition 3.1.11. X topological spaces ∼ X 的一 equivalence relation.
X connected, quotient space X/∼ connected.
Proof. quotient space topology 的 quotient map q : X→ X/∼ onto 的 contin-uous function. X connected 以及 Corollary 3.1.7 X/∼ connected. Question 3.6. X topological spaces ∼ X 的一 equivalence relation.
quotient space X/∼ connected, X connected?
, connected subspace topology 的 .
3.1.2. Connected Subsets. 前 一 topological space connected,
一 topological space 的 subset connected.
, subset topological space. topological space ?
subspace topology .
Definition 3.1.12. X topological spaces S subset. subspace topology S topological space , S connected, S X 的 connected subset; disconnected subset.
的 topological space X, 一 a ∈ X 的 {a} 一 connected.
R 的 standard topology , (0, 1), (1, 2) 的 (0, 1) ∪ (1, 2) disconnected subset.
一 , subspace topology 的 topological space 的 topology
, 以一 connected, 的 space 的 topology . subspace
topology 的 X, Y topological spaces f : X → Y continuous, subspace
topology 的 S ⊆ X subspace topology, f|S : S → Y
continuous. 外 f (S ) Y 的 subset, g : S → f (S ),
g(s) = f (s), ∀ s ∈ S ( f|S 一 S f (S ) 的 ), f (S ) subspace topology, g : S → f (S ) continuous ( Question 1.10). 一
特性, .
Proposition 3.1.13. X, Y topological spaces f : X→ Y continuous. S X 的 connected subset, f (S ) Y 的 connected subset.
Proof. S, f (S ) X, Y 的 subspace. 外 g : S → f (S ), g(s) = f (s),∀ s ∈ S . S connected, g connected topological space S
f (S ) 的 onto. Corollary 3.1.7 f (S ) connected.
Question 3.7. X, Y topological spaces f : X → Y continuous. S X 的 disconnected subset, f (S ) Y 的 disconnected subset?
connected subsets 的 一 connected (
的 ), connected subsets , 的 connected.
Proposition 3.1.14. X topological space S, S′ X 的 connected subsets.
S ∩ S′ , ∅, S ∪ S′ X 的 connected subset.
Proof. S = S′, S ∪ S′ = S connected. S , S′, S ∩ S′ , ∅,
S ∪ S′ 一 的 , S ∪ S′ disconnected. Lemma 3.1.8
continuous onto 的 f : S ∪ S′ → {0, 1}, {0, 1} discrete topology.
S connected f|S : S → {0, 1} continuous, Proposition 3.1.9 f|S constant function. 一 性 s ∈ S f (s) = 0. f|S′ : S′ → {0, 1}
constant function. f : S∪ S′→ {0, 1} onto, f (s′) = 1,∀ s′∈ S′. a∈ S ∩ S′, f (a) = 0 ( a∈ S ) f (a) = 1 ( a∈ S′) ,
S ∪ S′ connected.
Question 3.8. X topological space. 以 I index set 的 indexed family{Si}i∈I, Si X 的 connected subset. i, j ∈ I, Si∩ Sj , ∅. ∪
i∈ISi X 的 connected subset.
Question 3.9. X topological space S, S′ X 的 connected subsets.
S ∩ S′ connected ?
前 connected 的性質, , 一 的
性質, .
Proposition 3.1.15. X topological space S X 的 connected subset. S′ ⊆ X S ⊆ S′ ⊆ cl(S ), S′ X 的 connected subset.
Proof. S′ connected, Proposition 3.1.2 , S′ X 的 subspace topology
, S′ 的 clopen subset T . U X open 以及 C
X closed U∩ S′ = C∩ S′= T . T , ∅, a∈ T, a∈ U ( T = U∩ S′), U a X 的一 open neighborhood, a∈ cl(S ) ( T ⊆ S′ ⊆ cl(S )),
s∈ U ∩ S . 言 U∩ S S 一 的 open set. 外
C∩ S = C ∩ (S′∩ S ) = (C ∩ S′)∩ S = (U ∩ S′)∩ S = U ∩ S,
U∩ S S 的 closed set, U∩ S S 的 clopen set. S connected 以及 Proposition 3.1.2 S = U∩ S = C ∩ S , S ⊆ C. cl(S ) X S 的 closed set (Theorem 2.2.3), cl(S )⊆ C. S′ ⊆ cl(S ) T = C∩ S′= S′.
T , S′ , S′ connected.
Question 3.10. S topological space X 的 connected subset. cl(S ) connected. 外 int(S ) connected ?
Connected topological space 的性質, 以 的 的
( ). 以 topological space X connected , a ∈ X,
a 的 connected subset, a 的 connected component. 的
a connected component 一 ? 的. {a} a 的
一 connected subset, 以 a 的 connected subset 一 . a
的 connected subset, a 的 connected subset ,
S ={S ∈ P(X) | a ∈ S S is connected}, D =∪
S∈SS . a 一 S
, a∈ D. , S, S′∈ S a∈ S ∩ S′, S ∩ S′ , ∅.
些 S connected 以及 Question 3.8 的 , D connected.
a 的 connected component 一的. connected component
的 .
Definition 3.1.16. X topological space S X 的 connected subset. X S 外 的 connected subset S , S X 的一 connected component.
, 一些拓樸的 “ ” 的 connected subset connected component.
的 connected subset, 的 connected subset
. 的 的 total order 的 (
), 以 的 “ ” 的 的 . 的 的
的 一 的. 前 的 論 a 的 connected component
a 的 connected subset .
Connected component 以 性質.
Proposition 3.1.17. X topological space.
(1) X 的 connected components X 的一 partition.
(2) X 的 connected component X 的 closed subset.
(3) S X 的 connected subset, 一的 connected component S . Proof. (1) X 的 connected components X 的一 partition,
. 一: 的 a∈ X connected component . 前 的 論
. : 的 connected component . S, S′ 的 connected
component S ∩ S′ , ∅. Proposition 3.1.14 S ∪ S′ connected. S connected component 的性質, S = S ∪ S′, S′ ⊆ S . S′ connected component, S′= S . S , S′ , S ∩ S′ =∅.
(2) S X 的一 connected component. S connected, Proposition 3.1.15 cl(S ) connected. S closed ( S ( cl(S ), cl(S ) S 的
connected set, S connected component , S closed.
(3) S connected. a ∈ S . 一 connected component C
a ∈ C. S ∩ C , ∅ S, C connected, Proposition 3.1.14 S ∪ C
connected. C connected component C = C∪ S , S ⊆ C, S
connected component C. C, C′ S 的 connected component S ⊆ C ∩ C′ C∩ C′ , ∅. C, C′ connected C∪ C′ connected. C connected component C = C∪ C′, C′⊆ C. C ⊆ C′, C = C′, 一性. Question 3.11. X topological space X connected component.
X 的 connected component X 的 open subset.
Question 3.12. X topological space S ⊆ X.
E = {C ∈ P(X) | S ⊆ C C is connected}.
(1) S connected. ∪
C∈EC S 一的 connected component.
(2) S disconnected. ∪
C∈EC 一 S 的 connected
component?
Proposition 3.1.17 connected component 一 closed set. 一 拓
樸 connected component open set. 拓樸 的 .
Definition 3.1.18. X topological space. a ∈ X 及 的 open neighborhood U a 的 open neighborhood V V ⊆ U V connected. X
locally connected space.
R standard topology , R 的 connected, 以
standard topology R locally connected space. locally connected space
“ 部” 的性質, space connected. locally connected space
connected space 的拓樸性質. 以 一 topological space
connected locally connected. 的 (0, 1) ∪ (1, 2) R 的 standard topology 的 subspace disconnected, locally connected. 外 一 topological space connected locally connected. 的 “topologist’s sine curve” R2的 standard topology 的 subspace connected, locally connected.
Topologist’s sine curve 一 的拓樸 , 的 以 一 拓樸 的
, .
locally connected space 的 connected component open set.
X locally connected space. X 的 connected component S , a∈ S . X a 的一 open neighborhood, locally connected 的性質, a 的 open neighborhood V connected. S ∩ V , ∅ S, V connected, S ∪ V connected. S connected component, S ∪ V = S , V ⊆ S .
a∈ S , a 的 open neighborhood V V ⊆ S , S open set.
以 的 .
Proposition 3.1.19. X locally connected topological space, X 的 connected component X 的 open subset.
Proposition 3.1.19 的 , X 一 a connected open neighborhood 性質, X 的 connected component open.
, 一 connected open neighborhood, locally connected 的 .
Locally connected space , 以 以 的性質.
Proposition 3.1.20. X topological space. X locally connected X 的 open set 以 一些 X 的 connected open sets 的 .
Proof. X locally connected S X 的 open subset. a ∈ S , S
open X locally connected, Va X 的一 connected open set
a∈ Va 及 Va⊆ S . ∪a∈SVa= S , S 以 一些 X 的 connected open sets
的 .
, X 的 open set 以 一些 connected open sets 的 . a∈ X, U a 的 open neighborhood. U 以 一些 connected open sets 的 , indexed family {Vi}i∈I i∈ I, Vi X 的 connected open set, U =∪
i∈IVi. i∈ I a∈ Vi. Vi a 的一 connected open neighborhood
Vi ⊆ U, X locally connected.
3.1.3. Connectedness of R. R standard topology connected.
的 , 一些 , ,
的 least upper bound property. 的 , 界, “
界”. 的 界, “ 界”.
的 (a, b) connected. ,
的 open set U, V (a, b) = U ∪ V U∩ V = ∅, .
c∈ U, a< c < b. S ={r ∈ R | [c, r) ⊆ U}. U open, c∈ U, ε > 0, (c− ε, c + ε) ⊆ U. c +ε ∈ S , S 的 .
U⊆ (a, b), r ∈ S , [c, r) ⊆ (a, b), r≤ b, b S 的一
界. l∈ R S 的 界. S 的 界 S , l∈ S ,
[c, l) ⊆ U. x ∈ [c, l), x < l l S 的 界,
r∈ S x< r < l ( x S 的 界, l 界 ) [c, r) ⊆ U,
x ∈ U, [c, l) ⊆ U. , l S 的 界, 以 l< U. l∈ U,
U open, ϵ > 0 (l− ϵ, l + ϵ) ⊆ U, [c, l + ϵ) ⊆ U,
l +ϵ ∈ S , l S 的 界 . l = b. l≤ b ( b S 的
界), l, b, l< b. l∈ (a, b) = U ∪ V 以及 l < U, l∈ V. V open, γ > 0 (l− γ, l + γ) ⊆ V. [c, l) ∩ (l − γ, l + γ) ⊆ U ∩ V,
U∩ V = ∅ 的 . l = b, [c, b) ⊆ U. ,
(a, c] ⊆ U. (a, b) = (a, c] ∪ [c, b) = U ( V =∅). (a, b) connected.
(a, b) connected 以及 Proposition 3.1.15 [a, b), (a, b] 以及 [a, b]
connected. Question 3.8, (a, ∞), [a, ∞), (−∞, a), (−∞, a] 以及 R
connected. 以 的 .
Proposition 3.1.21. R 的 standard topology. 的 , , ,
以及R connected.
Question 3.13. Proposition 3.1.21 的 .
Proposition 3.1.21 的 的, R 的 connected subsets
的 , , , 以及R . R 的 connected subsets 以
的性質.
Proposition 3.1.22. R 的 standard topology. S R 的 connected subsets a, b ∈ S a< b. a< c < b, c∈ S .
Proof. , c < S . R 的 U = (−∞, c), V = (c, ∞).
subspace topology , U∩ S S 的 open set ( a∈ U ∩ S ). V∩ S S 的 open set. S = (U∩ S ) ∪ (V ∩ S ) (U∩ S ) ∩ (V ∩ S ) = (U ∩ V) ∩ S = ∅,
S disconnected. S connected 的 , c∈ S .
以 Proposition 3.1.22 R 的 connected subsets. , S R 的
connected subset 界 界. R 一 c, S 界, b∈ S
c< b. S 界, a∈ S a < c, Proposition 3.1.22, c ∈ S .
S =R. , R connected 的 . , S
R 界 界的 connected subset, 一 的 S =R. R
界 界的 connected subset, 以 R connected. R
connected 前 least upper bound property 的性質 .
Question 3.14. Proposition 3.1.22 S R 界的 connected
subset, a, b ∈ R S (a, b), [a, b), (a, b] [a, b] ( least upper bound
greatest lower bound). S connected, S 界 界
以及 S 界 界 , S 的 .
R 的 connected subsets 些, 以 一些 的
的性質. 以 Proposition 3.1.9 f :R → R , f (R) ⊆ Z,
f constant function; Proposition 3.1.13 的 .