# Homotopy of Paths

In document 一些特殊的拓樸性質 (Page 77-85)

## Homotopy Theory

### 4.1. Homotopy of Paths

, 一 t0 ∈ I, Ft0(s) : I → X, Ft0(s) = F(s, t0),∀ s ∈ I.

Ft0I X 的 , 以 X 的 path. σ τ homotopic

, 以 一 “ ” 的 paths Ft, F0 =σ “ ” F1 =τ.

, F : I× I → X , t0 ∈ I, Ft0 F(s, t0) X

Example 4.1.2. S1 = {(cos θ, sin θ) : 0 ≤ θ < 2π} R2 的 standard topology 的 subspace. σ, τ S1 的 paths, σ(t) = (cos(tπ), sin(tπ)), τ(t) = (cos(−tπ), sin(−tπ)), ∀ t ∈ I.

G(s, t) = (1 − t)σ(s) + tτ(s), ∀ (s, t) ∈ I × I.

G(s, 0) = σ(s), G(s, 1) = τ(s), S1 σ, τ homotopic.

G(s, t) I× I S1 的 ( 0< t0< 1/2 Gt0(s) = G(s, t0)

S1 的 path). G(s, t) I× I R2 的 , 的, 以

σ, τ R2 homotopic.

σ, τ S1 homotopic. 一 , 一 I× I

S1 的 . 以

F(s, t) = (cos((1 − 2t)sπ), sin((1 − 2t)sπ)), ∀ (s, t) ∈ I × I.

F : I× I → S1 I× I S1F0(s) =σ(s), F1(s) =τ(s). σ, τ S1 homotopic.

Question 4.2. Example 4.1.2 的 F(s, t), t = 1/2 F1/2 S1 一 path?

F σ τ.

Question 4.3. X topological space, σ X 的 path.

(1) τ(t) =

{ σ(2t), 0 ≤ t ≤ 1/2;

σ(1), 1/2 < t ≤ 1. X σ ≃ τ.

(2) F : I× I → X F0 =σ, X t0∈ I σ ≃ Ft0.

homotopy function 的, 性, 的

Gluing Lemma I× I 的 . Proposition 1.4.4 open sets

sets 的 , homotopy function 的 ,

.

Lemma 4.1.3 (Gluing Lemma). X topological space X1, X2 X 的 closed subsets X1∪ X2= X. Y topological space X1, X2 X 的 subspace topology,

f1: X1→ Y, f2 : X2 → Y continuous f1(x) = f2(x),∀ x ∈ X1∩ X2. f : X→ Y

f (x) =

{ f1(x), x∈ X1; f2(x), x∈ X2. f continuous function.

X 的 path homotopic , equivalence relation

Proposition 4.1.4. Xtopological space, homotopy relationX 的 paths 的一 equivalence relation.

Proof. X 的 path σ, σ ≃ σ. F(s, t) = σ(s), ∀ t ∈ I. F I× I X 的 continuous function F0 = F1 =σ, ≃ reflexive.

σ ≃ τ, F : I × I → X F0 = σ, F1 = τ. G(s, t) =

F(s, 1 − t), G I× I X 的 continuous function G(s, 0) = F(s, 1) = F1G(s, 1) = F(a, 0) − F0 =σ, τ ≃ σ, ≃ symmetric.

σ ≃ τ τ ≃ γ, σ ≃ γ. F, G I × I X 的

continuous function F0 = σ, F1 = τ, G0 = τ, G1 = γ, H : I× I → X continuous H0 =σ, H1=γ.

H(s, t) =

{ F(s, 2t), 0≤ t ≤ 1/2 G(s, 2t − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1.

[0, 1/2], [1/2, 1] I 的 closed subset, I× [0, 1/2], I × [1/2, 1] I× I 的 closed subset. (I× [0, 1/2]) ∩ (I × [1/2, 1]) = I × {1/2} 以及 F(s, 1) = G(s, 0) = σ,

Gluing Lemma (4.1.3) H , H0 =σ, H1 =γ. σ ≃ γ,

≃ transitive. 

σ ≃ τ. 一 一 的 homotopic 的 拓樸 的 ,

, 一 . 以 一 .

x0 ∈ X, constant function c(t) = x0, ∀ t ∈ II X 的

, 以 , 一 X 的 path. σ X 的 path x0,

t0 ∈ I σ(t0) = x0. F(s, t) = σ(tt0+ s(1− t)), ∀ (s, t) ∈ I × I. F

T × I X 的 F0(s) = σ(s) F1(s) = σ(t0) = x0. σ 的

x0 homotopic. 言 , 的 path 的 一

paths , X 的 . 以 path ,

. 的 的 X 的一 path component. 一 ,

path . , 一 path component 的 path homotopic; path

component 的 path homotopic. , X 的 path homotopy relation 的 的 equivalence class X 的 path component 一 一 的

. 特 的 X 一 path component, 以 的 .

Definition 4.1.5. X topological space a, b ∈ X 一 pathσ σ(0) = a, σ(1) = b, X path connected space.

Question 4.4. X ={a, b} indiscrete topology path connected? S1 R2 standard topology 的 subspace path connected?

X path connected space X X 的 path .

path connected connected ? 的, 以 的 .

Proposition 4.1.6. X path connected topological space, X connected.

Proof. , X disconnected. X 的 open set U, V

U∪V = X U∩V = ∅. U, V , a∈ U b∈ V. X path connected, σ : I → X σ(0) = a, σ(1) = b. σ−1(U), σ−1(V), σ , σ−1(U), σ−1(V) I 的 open set ( 0∈ σ−1(U), 1 ∈ σ−1(V)),

σ−1(U)∪ σ−1(V) =σ−1(U∪ V) = I, σ−1(U)∩ σ−1(V) =σ−1(U∩ V) = ∅.

I = [0, 1] connected (Proposition 3.1.21) , X connected. 

Proposition 4.1.6 的 一 , connected space path

connected. 的 “topologist’s sine curve”. connected,

locally connected. path connected. 的 以 一 拓樸

homotopy relation ( 的 path homotopic), 以

σ, τ X 的 paths σ(1) = τ(0) ( σ 的 τ 的 ),

σ ∗ τ(t) =

{ σ(2t), 0≤ t ≤ 1/2;

τ(2t − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1.

X 的 path σ ≃ σ, τ ≃ τ. σ(1) τ(0), σ, τ

“ ” . homotopy relation , path “ ”

well-defined. , 的 一 . 以

pathσ, σ homotopic , .

F : I× I → X F0 =σ, F1 外, σ(0) = σ(0)以

. path connected space, path 一 的 一 的

. 的 , 的 paths . 以 的

Question 4.3 σ ≃ τ , σ, τ 的 homotopy function F 一 t0∈ I,

σ(0) = τ(0) 以及 σ(1) = τ(1), σ, τ 的 homotopy function F : I× I → X F(0, t) = σ(0) = τ(0) F(1, t) = σ(1) = τ(1), ∀ t ∈ I. σ τ 的

, . “ 性” 的 , 以

.

Definition 4.1.7. X topological space σ, τ X 的 paths σ(0) = τ(0) σ(1) = τ(1). 一 F : I× I → X, F(s, 0) = σ(s), F(s, 1) = τ(s),

∀ s ∈ I 以及 F(0, t) = σ(0), F(1, t) = σ(1), ∀ t ∈ I. σ, τ homotopic with end points fixed, σ ≃{0,1}τ . F σ, τ 的 homotopy function with end points fixed.

Example 4.1.8. Example 4.1.2 σ, τ R2 的 paths, σ(t) = (cos(tπ), sin(tπ)), τ(t) = (cos(−tπ), sin(−tπ)), ∀ t ∈ I

G(s, t) = (1 − t)σ(s) + tτ(s), ∀ (s, t) ∈ I × I.

G(s, 0) = σ(s), G(s, 1) = τ(s), G(0, t) = σ(0) = τ(0) G(1, t) = σ(1) =

τ(1), ∀ t ∈ I. 以 G σ, τ 的 homotopy function . 以 R2

σ ≃{0,1}τ.

Example 4.1.2 σ, τ S1 的 paths. 一 S σ, τ

F(s, t) = (cos((1 − 2t)sπ), sin((1 − 2t)sπ)), ∀ (s, t) ∈ I × I.

F(0, t) = σ(0) t, 1 , F(1, t) = (cos(1 − 2t)π, sin(1 − 2t)π) , σ(1), 以 F

σ, τ S1 的 homotopy function. 以 , S1 σ

τ homotopic with end points fixed.

, equivalence relation . 以 Proposition

4.1.4 的 的 homotopy function , 的 homotopy function 的

. 以 ≃{0,1} 一 equivalence relation. .

Proposition 4.1.9. Xtopological space, 的 homotopy relation{0,1}

X 的 paths 的一 equivalence relation.

path 的 . σ, τ X 的 paths σ(1) = τ(0),

σ ∗ τ(t) =

{ σ(2t), 0≤ t ≤ 1/2;

τ(2t − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1.

σ, τ X 的 paths σ ≃{0,1}σ τ ≃{0,1}τ, σ(1) =σ(1) = τ(0) = τ(0), 以 σ∗ τ. 的 , σ ∗ τ ≃{0,1}σ∗ τ? F, G

σ σ 以及τ τ 的 homotopy function with end points fixed,

H : I× I → X, σ ∗ τ σ∗ τ 的 homotopy function with end points fixed?

H(s, t) =

{ F(2s, t), 0≤ s ≤ 1/2;

G(2s− 1, t), 1/2 ≤ s ≤ 1.

H H0 = F0 ∗ G0 = σ ∗ τ, H1 = F1 ∗ G1 = σ ∗ τ, H X σ ∗ τ σ∗ τ 的 homotopy function. t ∈ I, H(0, t) = F(0, t) = σ(0), H(1, t) = G(1, t) = τ(1), H homotopy function with end points fixed, σ ∗ τ ≃{0,1}σ∗ τ. 以 .

Proposition 4.1.10. σ, τ topological space X 的 paths σ(1) = τ(0). σ, τ X 的 paths σ ≃{0,1}σ τ ≃{0,1}τ, σ ∗ τ ≃{0,1}σ∗ τ.

Proposition 4.1.10 的 ∗ X 一些 paths 的 .

τ(1) = γ(0),

F(s, t) =



σ(t+14s ), 0≤ s ≤ (t + 1)/4;

τ(4s − t − 1), (t + 1)/4 ≤ s ≤ (t + 2)/4;

γ(4s2−t−2−t ), (t + 2)/4≤ s ≤ 1.

Lemma 4.1.11. σ, τ, γ topological space X 的 paths σ(1) = τ(0) τ(1) = γ(0). (σ ∗ τ) ∗ γ ≃{0,1}σ ∗ (τ ∗ γ).

Question 4.5. σ, τ, γ Lemma 4.1.11 的 , (σ ∗ τ) ∗ γ 以及 σ ∗ (τ ∗ γ)

. Lemma 4.1.11.

Question 4.6. σ topological space X 的 path. σ(0) = a c constant path c(t) = a,∀ t ∈ I.

(1) c∗ σ ≃{0,1}σ.

(2) 一 pathτ σ ∗ τ ≃ c.

(3) pathγ σ ∗ γ ≃{0,1}σ.

Lemma 4.1.11 以及 Question 4.6, 以 X 一些特 的 paths

homotopic with end points fixed 的 一 group. 一 ,

fundamental group . 4.2. Homotopy of Functions

paths 的 homotopic , 的 homotopic , 拓樸

Definition 4.2.1. X, Y topological space. X Y 的 f, g : X → Y.

F : X × I → Y ( X× I X, I 的 product space), F(x, 0) = f (x), F(x, 1) = g(x), ∀ x ∈ X, f, g homotopic f ≃ g. F f, g 的 homotopy function.

, 一 t0 ∈ I, Ft0 : X → Y, Ft0(x) = F(x, t0), ∀ x ∈ X.

Ft0X Y 的 . f g homotopic , 以 一 “

” 的 Ft, F0 = f “F1 = g. 一 的

, F : X× I → Y , t0 ∈ I, Ft0 F(x, t0) X

Y 的 .

Example 4.2.2. Y Rn的一 convex subset, a, b ∈ Y ta+(1−t)b ∈ Y,

∀ t ∈ I. f : X→ Y, 以及y0∈ Y,

F(x, t) = ty0+ (1− t) f (x), ∀ (x, t) ∈ X × I.

F F0(x) = F(x, 0) = f (x) 以及 F1(x) = F(x, 1) = y0,∀ x ∈ X, f (x)≃ cy0, cy0 : X → Y,cy0(x) = y0,∀ x ∈ X 的 constant function.

Example 4.2.2 的拓樸 Y 特 的拓樸 , 的

constant function homotopic. 特 的, X = Y, f identity function (

f = idY), idY≃ cy0. 特 拓樸 一 .

Definition 4.2.3. X 一 拓樸 . 一 constant function c : X → X idX ≃ c, X contractible space.

Example 4.2.2 Rn 的 convex sets contractible. S1

contractible.

Question 4.7. indiscrete topological space contractible space.

Question 4.8. X discrete topological space. f : X → X

f ≃ idX, f = idX. , discrete space X 以 的 , X

contractible.

equiv-alence relation. 的. Proposition 4.1.4 ,

.

Proposition 4.2.4. X, Y topological space. X Y的 homotopy relationequivalence relation.

, 以 , .

, homotopy equivalence 以 ? 以 的.

Proposition 4.2.5. f0, f1 : X → Y, g0, g1 : Y → Z f0 ≃ f1, g0 ≃ g1. g0◦ f0≃ g1◦ f1.

Proof. F : X× I → Y, G : Y × I → Z, f1, f2 以及 g1, g2 的 homotopy function, F, G F0 = f0, F1= f1 以及 G0 = g0, G1 = g1. H : X× I → Z

H(x, t) = G(F(x, t), t), ∀ (x, t) ∈ X × I.

H(x, 0) = G(F(x, 0), 0) = G( f0(x), 0) = g0( f0(x)),

H(x, 1) = g1( f1(x)), H continuous, g0◦ f0≃ g1◦ f1.  特 , Y contractible, Y 的 constant function c : Y → Y idY ≃ c,

Proposition 4.2.5 , X Y 的 f : X→ Y, f = idY◦ f ≃ c ◦ f.

c◦ f : X → YX Y 的 constant function, 以 的 . Corollary 4.2.6. X, Y topological spaces, Y contractible.

f : X → Y,X Y 的 constant function c f ≃ c.

Question 4.9. Corollary 4.2.6 的 以 一 X Y 的 constant

function c f : X → Y, f ≃ c. 特 的 Y contractible space,

constant function c : Y → Y c≃ idY.

Question 4.10. X contractible space X path connected.

X, Y topological spaces, [X, Y] X Y 的 的

homotopy relation , 的 equivalence classes. 特 , X Y 的

Y X 的, [X, Y] [Y, X].

Question 4.11. Y topological space, 以 的:

(1) Y is contractible.

(2) [Y, Y] 一 .

(3) 拓樸 X [X, Y] 一 .

homo-topy equivalence, 的 以 . , 以

Definition 4.1.7 的 .

Definition 4.2.7. X, Y topological spaces. X 的一 subset A, f, g :

X → Y f (a) = g(a) ∀ a ∈ A.F : X× I → Y,

F(x, 0) = f (x), F(x, 1) = g(x), ∀ x ∈ X 以及 F(a, t) = f (a) = g(a), ∀ a ∈ A, t ∈ I.

f, g homotopic with A fixed, fA g . F f, g 的 homotopy function with A fixed.

.

Proposition 4.2.8. X, Y topological spaces A X 的 subset.A X Y 的 的一 equivalence relation.

Question 4.12. A =∅ ,≃A 的 equivalence relation?

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