第三章 基本模型與賽局均衡
第四節 小結
產業經濟的文獻已經對於廠商之間合作與非合作的福利比較，做了不少的討 論，如 R&D、水平合併與 FDI 議題之下福利比較。然而卻未把廠商的產能限制 及設廠區位的選擇納入考慮加以分析。在過去探討啞鈴模型的文獻中也鮮少有學 者進行合作與非合作下社會福利之比較。因此，在第四章將進行合作與 Cournot 競爭之社會福利比較，並在第五章結論部分與以往相關文獻進行對照。
第三章 基本模型與賽局均衡
1 1
1 q q
qA B (5)
2 2
2 q q
q A B (6)
在上述模型設定下，如果兩廠商採取非合作(亦即 Cournot 競爭)的策略，則 兩廠商的競爭形成一個兩階段賽局，在第一階段，兩廠商分別決定利潤極大之最 適區位x1及x2；第二階段，兩廠商進行 Cournot 數量競爭之
q
1A、q
1B、q
2A及q
2B。 模型的解法採取倒解法，先給定的x1與x2下，求解最適的q
1A、q
1B、q
2A及q
2B。 再根據所得之均衡求解第一階段最適之x1及x2。如果兩廠商採取合作(亦即勾結)的策略，則兩廠商共同選擇區位x1及x2及 兩市場銷售量
q
1A、q
1B、q
2A及q
2B，以追求聯合利潤極大。聯合利潤標記為2
1
。解法亦採取兩階段：先求解給定的x1及x2下，在兩市場的聯合總收 益極大之最適qA及qB，再解最節省運輸成本之兩廠商最適區位x1及x2。在下面 兩節中，我們將要依據上述模型，求解廠商之區位及市場均衡。第二節 Cournot 競爭下的均衡
在本節中，我們將依據上述基本模型，探討兩廠商在產量限制下，從事 Cournot 競爭時的最適設廠區位及產量均衡。此一情況構成一兩階段賽局，分成 兩階段：在第一階段，兩廠商決定利潤極大之最適區位x1及x2；第二階段，兩 廠商進行 Cournot 競爭之q1A、q1B、q2A及q2B。模型的解法採取倒解法，先給定 的x1及
x 下，求解兩廠商利潤極大之兩市場均衡銷售量
2 q1A、q1B、q2A及q2B，再 根據第二階段所得之市場均衡銷售量，求解第一階段兩廠商之最適區位x1及x2。 第二階段 市場均衡假設兩廠商在兩市場的總銷售量等於其總產量，亦即(5)、(6)式為 binding。
我們將q1Bq1q1A及q2Bq2q2A代入兩廠商之利潤函數(3)、(4)式，並分別對
q
1A及q
2A微分，可得其利潤極大之一階條件如下：0
由(13)式可知，兩廠商的利潤函數為區位的凸函數(convex function)，因此，最適 區位皆為角解；換句話說，區位均衡可能是(x1,x2)(0,0)、(0,1)、(1,0)和(1,1)，即
接著，我們再利用表 1，Cournot 競爭下兩廠商的償付矩陣，分析雙占廠商 Cournot 競爭之下的 Nash 均衡區位：
表 1、Cournot 競爭下兩廠商的償付矩陣(payoff matrix)
0 1
0
(
1(0,0),
2(0,0)) (
1(0,1),
2(0,1))1
(
1(1,0),
2(1,0)) (
1(1,1),
2(1,1))由表 1 可得知，各區位組合的為 Nash 均衡的參數條件如下：
(1) (x1,x2)(0,0)：
) 0 , 0 ( ) ,
(x1 x2 為均衡的條件為1(0,0)1(1,0)，2(0,0)2(0,1)。根據(14)式可 知，1(0,0)1(1,0)的參數條件為9bq18t9q1；而2(0,0)2(0,1)的參數條件 為2(0,0)2(0,1)，且9bq28t9q2。將此二參數條件重新整理可得，當
) ( 9
8
1
b
q t 且
) ( 9
8
2
b
q t 時，(x1,x2)(0,0)為 Nash 均衡。
(2) (x1,x2)(0,1)：
) 1 , 0 ( ) ,
(x1 x2 為均衡的條件為1(0,1)1(1,1)且2(0,1)2(0,0)。根據(14)式可 知，1(0,1)1(1,1)的參數條件為8t9bq19q1，此式在b 之下恆成立；而
) 0 , 0 ( ) 1 , 0
( 2
2
的參數條件為8t9q29bq2。將此二參數條件重新整理可得，
當 9( ) 8
1
b
q t 且
) ( 9
8
2
b
q t 時，(x1,x2)(0,1)為 Nash 均衡。
(3) (x1,x2)(1,0)：
) 0 , 1 ( ) ,
(x1 x2 為均衡的條件為1(1,0)1(0,0)且2(1,0)2(1,1)。根據(14)式可 知，1(1,0)1(0,0)的參數條件為8t9bq29q2，此式在b之下恆成立；而
) 1 , 1 ( ) 0 , 1
( 2
2
的參數條件為8t9q19bq1。將此二參數條件重新整理可得，
當 9( ) 8
2
b
q t ，且
) ( 9
8
1
b
q t 時，(x1,x2)(1,0)為 Nash 均衡。
x
1x
2(4) (x1,x2)(1,1)
(2) (x1,x2)(0,1)均衡：
(ii). (x1,x2)(0,1)均衡：
(i). 17
9b
，Cournot 競爭下 Nash 均衡區位如圖 2：
ABC 區：N(0,0)為 Nash 均衡，參數條件為
) ( 9
8
1
b
q t 且
) ( 9
8
2
b
q t 。
CBDFG 區：N(0,1) 為 Nash 均衡，參數條件為
q1 t ，且
) ( 9
8
2
b
q t b
t 。
BDE 區：N(1,0) 為 Nash 均衡，參數條件為
q2 t ，
) ( 9
8
1
b
q t b
t 。
q
1q2
0
2
1 q
q
) ( 9
8
b
t
) ( 9
8
b
t
t
t b
t
b t
A
B C
D E
F G
N(0,0)
N(0,1) N(1,0)
圖 2 b b 17
9 ，Cournot 競爭下，產能與 Nash 均衡區位 關係圖
(ii).
17 9 11
3b b，Cournot 競爭下 Nash 均衡區位如圖 3：
ABD 區：N(0,0)為 Nash 均衡，參數條件為
) ( 9
8
1
b
q t 且
) ( 9
8
2
b
q t 。
DCEF 區：N(0,1)為 Nash 均衡，參數條件為
q1 t 且
) ( 9
8
2
b
q t b
t 。
q
1q2
0
2
1 q
q
) ( 9
8
b
t
) ( 9
8
b
t
t
t b
t
b t
A
B C D
E F
N(0,0)
N(0,1)
圖 3
17 9 11
3b b，Cournot 競爭下，產能與 Nash 均衡區位 關係圖
(iii).
11 3 9
b
b ，Cournot 競爭下 Nash 均衡區位如圖 4：
ABD 區：N(0,0)為 Nash 均衡，參數條件為
1 3
q t 且
2 3
q t 。
EDFG 區：N(0,1)為 Nash 均衡，參數條件為
q1 t 且
) ( 9
8
2
b
q t b
t 。
q
1q2
0
2
1 q
q
) ( 9
8
b
t
) ( 9
8
b
t
t
t b
t
b t
A
B C
D E
F G
3
t
3
t
N(0,0)
N(0,1)
圖 4
11 3 9
b
b ，Cournot 競爭下，產能與 Nash 均衡區位 關係圖
(iv).
09b，Cournot 競爭下，產能與 Nash 均衡區位如圖 5：
ABD 區：N(0,0)為 Nash 均衡，參數條件為
1 3
q t 且
2 3
q t 。
第三節 合作下的均衡
在本節，我們探討雙占廠商在產量限制下合作的情形。在合作下，兩廠商追 求聯合利潤極大，其決策局分成兩階段，在第一階段，兩家廠商決定利潤極大之 最適區位x1及x2；在給定的x1及x2之下，求解聯合總收益極大之qA及qB。模型 的解法採取倒解法，x1及x2之下，求解最適的qA及qB，再根據所得之均衡求解 第一階段最適之x。
兩廠商之聯合利潤函數為(3)式及(4)式之和：
A A
B B A A
C 1 2 p q p q t(1x1)q1t(1x2)q2t(2x21)q 2t(x1x2)q1
(18) 第二階段決策
先求總產量為qq1q2之下，兩市場的總收益極大，其條件為MRAMRB， 亦即2qAa2bqB，再將產能限制的條件
q
B q q
A及 a
代入，可得出兩 市場之總收益極大的產量為：q
1q2
0
2
1 q
q
A
B C
3
t
3
t
N(0,0)
圖 5
0 b9，Cournot 競爭，產能與 Nash 均衡區位關係圖
)
在上述各式中，因為，(0,0)(1,1)t(qAqB)0， (0,0)(1,0)t(2q1BqA)0， 所以，(1,1)及(1,0)不可能為均衡，故可能的均衡剩下(0,1)及(0,0)。當qAq1時，
) 1 , 0 ( ) 0 , 0
(
t(q1q2qA)t(q1qA)tq2 0，所以，(0,1)較大，故最適區位 為(0,1)。當
q
A q
1時，(0,0)(0,1) t(q1q2qA)t(qAq1) t(2q1q22qA)， 若qAq1q2/2，則(2q1q22qA)0，(0,0)(0,1)，所以，(0,1)較大，最適區 位為(0,1)；若qAq1q2/2，則(2q1q22qA)0，(0,0)(0,1)。(0,0)較大，故 最適區位為(0,0)。歸納上述分析結果，我們可知兩廠商合作下的均衡區位為:
(1)當 /2
) ( 2
2
2
1 q
b q q
qA b
時，亦即 2 2 q1
q b
時，合作下的最適區位為(0,1)。
(2)當 /2
) ( 2
2
2
1 q
b q q
qA b
時，亦即 2 2 q1
q b
時，合作下的最適區位為(0,0)。
此時，因為本文假設q1q2，此一範圍存在的前題為 2 2 q1 q b
，亦即
b
1 2 ，化簡得
3
b
。因此，當
3
b
時， 2 2 q1 q b
，合作下的最適區位為(0,1)；
當 3
b
，若 2 2 q1 q b
，均衡為(1,0)，若 2 2 q1 q b
，均衡為(0,0)。
假設兩間廠商之間的產能有差異，其中廠商 1 為大廠，故q1q2。根據(20) 可知價格為正的條件為
b q (b )
，並將上述合作下的區位均衡繪於圖 6 與圖 7：
q
2q
10
C(0,1) C(0,0)
1 2
2 q
q b
1
2 q
q b
b
q (b ) q2q1
圖 7
3
b
，兩廠商合作下，產能與均衡區位關係圖
q
2q
10
C(0,1)
1
2 q
q b
b
q (b ) q2 q1
圖 6
3
b
，兩廠商合作下，產能與均衡區位關係圖
因此，合作下最適均衡區位只有(0,0)與(0,1)，我們可得命題 2：
命題 2：在產能限制下，當兩廠商合作時，當兩市場的規模差異較小，即
3
b
時，
合作下的最適區位為(0,1)，則兩廠商的最適區位為大廠設廠在大市場，而小廠商 設廠在小市場。當兩市場的規模差異較大，即
3
b
時，若 2 1
2 q
q b
，均衡為(0,1) 亦即若兩廠商產能差異較大時，大廠將在大市場設廠，小廠將在小市場設廠；若
1 2
2 q
q b
，均衡為(0,0)，亦即兩廠商產能差異接近時，兩廠商將聚集在大市場 中設廠。
命題 2 的經濟涵義如下：當雙占廠商合作時，為了節省運輸成本將產能做最 有效的配置，因此，若兩市場規模差異較小時，兩家廠商各佔據一個市場，供應 完就近的市場後，再將剩餘的產能賣到對面的市場，來節省運輸成本；若兩市場 規模差異較大時，兩家廠商選擇在大市場中設廠，再將剩餘的產能供應給小市場。
第四節 小結
在本章中，我們分別推導出產能限制下，兩廠商合作及 Cournot 競爭下的區 位均衡及其對應的參數條件，接著在下一章中，我們也將藉著本章所求之均衡，
比較合作及 Cournot 競爭下的社會福利。