第四章 社會福利之比較
第三節 Cournot 競爭與合作的福利效果比較
在本節中，我們要進一步根據前面的分析結果，比較在產能限制下，兩廠商 合作與 Cournot 競爭的福利效果。圖 8、圖 16、圖 17、圖 19、圖 22 及圖 23 是 根據前述各參數值下，兩廠商合作及合作下的區位均衡所劃出，其間的差別在於 兩市場規模的大小。在這些圖中，我們以N(x1,x2)代表兩廠商 Cournot 競爭下的 區位均衡，譬如：N(0,0)代表 Cournot 競爭下，區位均衡為(x1,x2)(0,0)，又如N(0,1)
代表 Cournot 競爭下，區位均衡為(x1,x2)(0,1)；同理，C(x1,x2)代表兩廠商合作 下的區位均衡，譬如：C(0,0)代表合作下，區位均衡為(x1,x2)(0,0)，又如C(0,1)代 表合作下，區位均衡為(x1,x2)(0,1)。
圖 8 與圖 16 為兩市場之規模差異相對較小的情況，圖 17 為兩市場規模差異
相對居中的情況，圖 19、圖 22 與圖 23 為兩市場規模差異較大的情況。在圖 8 中，當兩市場的規模差距較小，即 b b
17
9 時，各參數值將合作及 Cournot 競爭 下的區位均衡切割成七個區塊：
(i). I 區(ABCP): 為 N(0,0)及 C(0,1)。因此，根據(25)式及(35)式，此區域內合作均衡與 Cournot 競 爭均衡的社會福利差為：
區域 I(ABCP):N(0,0)、C(0,1)。區域 II(PCD): N(0,0)、C(0,1)。
區域 III(BEC):N(0,1)、C(0,1)。區域 IV(CEHGIJKD):N(0,1)、C(0,1)。
區域 V(BFGE):N(1,0)、C(0,1)。區域 VI(EGH):N(1,0)、C(0,1)。
區域 VII(FIG):N(0,1)、C(0,1)。
圖 8 b b
17
9 下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域
8
(ii). II 區(PCD):
此區域的參數條件為
) ( 9
8
1
b
q t 、
) ( 9
8
2
b
q t 、q1 qA(亦即 2 q1
q b )、q1q2、
b q b
( )
，重新整理上述參數條件可知，
8 ) ( 9 8
) (
9 2 1
q b q b
t 。區位 Nash
均衡為 N(0,0)、C(0,1)。因此，根據(25)式及(36)式，此區域內合作均衡與 Cournot 競爭均衡的社會福利差為：SWc(0,1)SWN(0,0)
) ( 9
) ( 9
4 2 2
b b q t
t 。此福利差距
亦為運輸費率 t 的凸函數。根據上式，我們可劃出運輸費率與社會福利差的關係 圖如圖 10 所示。當t0時，0；當
8 ) ( 9 2
q b
t 時，有極大值；當運費的上
限為 8
) ( 9 2
q b
t 時， 0
) ( 144
) 3 ( ) (
81 2
b
b q
b 。上述分析表示，在此區域內0， 合作均衡下的社會福利必不低於 Cournot 競爭均衡下的社會福利。
0
t
8 ) ( 9q2 b
圖 10 II 區(PCD)，運輸費率與社會福利差的關係圖
(iii). III 區(BEC):
此區的參數條件為 t q1
、
) ( 9
8
2
b
q t b
t 、q1 qA(亦即 2 q1
q b
)，q1q2、
b q b
( )
，由上述參數條件可知， 2 1
8 ) (
9q b tq
，區位 Nash 均衡為 N(0,1)、
C(0,1)。因此，根據(26)式及(35)式，此區域內合作均衡與 Cournot 競爭均衡的社 會福利差為：SWC(0,1)SWN(0,1)
) (
2
2 2 1
b
q t
t 。根據上式，我們可劃出運輸費
率與社會福利差的關係圖如圖 11 所示。依然是開口向下的拋物線，當t0時，
0
；當
2 q1
t
時，有極大值；當運費的上限為tq1時，0。上述分析表 示，在此區域內0，合作均衡下的社會福利必不低於 Cournot 競爭均衡下的社 會福利。
0
t
8 ) ( 9q2 b
圖 11
III 區(BEC)，運輸費率與社會福利差的關係圖
2q1
q
1
(iv). IV 區(CEHGIJKD):
此區的參數條件為 t q1
、
) ( 9
8
2
b
q t b
t 、q1 qA(亦即 2 q1
q b
)、q1 q2、
b q b
( )
，由上述參數條件可知， 2 2
8 ) (
9q b t bq
，區位 Nash 均衡為 N(0,1)、
C(0,1)。因此，根據(26)式及(36)式，此區域內合作均衡與 Cournot 競爭均衡的社 會福利差為：SWC(0,1)SWN(0,1)
) (
2
2 2 2
b
q tb
t 。依然是開口向下的拋物線。
根據上式，我們可劃出運輸費率與社會福利差的關係圖如圖 12 所示。當t0時，
0
；當
2 q2
tb 時，有極大值；當運費的上限為tbq2時，0。上述分析表 示，在此區域內0，合作均衡下的社會福利必不低於 Cournot 競爭均衡下的社 會福利。
0
t
8 ) ( 9q2 b
2 q1
bq2
圖 12 IV 區(CEHGIJKD)，運輸費率與社會福利差的關係圖
(v). V 區(BFGE):
此區的參數條件為
) ( 9
8
1
b
q t b
t 、 t q2
、q1 qA( 亦即 2 q1 q b
)、q1 q2、
b q b
( )
，區位 Nash 均衡為 N(1,0)、C(0,1)。因此，根據(27)式及(35)式，此 區 域 內 合 作 均 衡 與 Cournot 競 爭 均 衡 的 社 會 福 利 差 為 ：
) 0 , 1 ( )
1 , 0
( N
C SW
SW
( )
)]
( [
22 1 2
b
q q b q t
t 。依然是開口向下的拋物線，由上
述參數條件可知， 1 2
8 ) (
9b q tq
。當t0時，0。當
4 )]
( [ q bq1 q2
t 時，有
極大值；當運費的上限為tq2時， ( )( 1 2) 0
b
q q
b 。上述分析表示，在此
區域內0，合作均衡下的社會福利必大於 Cournot 競爭均衡下的社會福利。根 據上式，我們可劃出運輸費率與社會福利差的關係圖如圖 13 所示。
0
t
8 ) ( 9q1 b
2 q1
q2
圖 13 V 區(BFGE)，運輸費率與社會福利差的關係圖
(vi). VI 區 (EGH):
此區的參數條件為
) ( 9
8
1
b
q t b
t 、 t q2
、q1qA( 亦 即 2 q1 q b
) 、q1q2、
b q b
( ) ，區位 Nash 均衡為 N(1,0)、C(0,1)。因此，根據(27)式及(36)式，此區
域 內 合 作 均 衡 與 Cournot 競 爭 均 衡 的 社 會 福 利 差 為 ：
) 0 , 1 ( )
1 , 0
( N
c SW
SW
( )
)]
( [
22 1 2
b
q q q b t
t 。依然是開口向下的拋物線，由上
述參數條件可知， 1 2
8 ) (
9b q tq
。當t0時，0；當
4 )]
( [bq q1 q2
t 時，有
極大值；當運費的上限為tq2時， 2( )0
b
b q
q 。上述分析表示，在此區域
內
0，合作均衡下的社會福利必大於 Cournot 競爭均衡下的社會福利。根據 上式，我們可劃出運輸費率與社會福利差的關係圖如圖 14 所示。
0
t
8 ) ( 9q1 b
2 q1
q2
圖 14 VI 區 (EGH)，運輸費率與社會福利差的關係圖
(vii). VII 區(FIG):
此區的參數條件為 t q1
、
) ( 9
8
2
b
q t b
t 、q1qA(亦即 2 q1
q b )，q1q2、
b q b
( )
，由上述參數條件可知， 2 1
8 ) (
9q b t q
，區位 Nash 均衡為 N(0,1)、
C(0,1)。因此，根據(26)式及(35)式，此區域內合作均衡與 Cournot 競爭均衡的社 會福利差為：SWC(0,1)SWN(0,1)
) (
2
2 2 1
b
q t
t 。根據上式，我們可劃出運輸費
率與社會福利差的關係圖如圖 15 所示。依然是開口向下的拋物線，當t0時，
0
；當
2 q1
t 時，有極大值；當運費的上限為tq1時，0。上述分析表 示，在此區域內0，合作均衡下的社會福利必不低於 Cournot 競爭均衡下的社 會福利。
0
t
8 ) ( 9q2 b
2 q1
q1
圖 15 VII 區(FIG)，運輸費率與社會福利差的關係圖
圖 16 是 b bb 17 9 7
3 下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域，此區域為兩 市場的差異居中的情況。此條件下 Cournot 競爭下的均衡區位為 N(0,0)、N(0,1) 與 N(1,0)，合作之最適區位為 C(0,1)：
圖 16 與圖 8 唯一不同處在於當
17
9b
時，N(1,0)不為均衡區位。而其餘社會 福利之比較結果與圖 8 皆相同，在
17 9 7
3b b
之下，合作之社會福利將高於 Cournot 競爭下之社會福利。為解省篇幅，本文不再贅述。根據上述結果，我們 可得命題 5：
q2
q1
O
) ( 9
8
b
t
) ( 9
8
b
t
t
t b
t b
t
2
1 q
q
b q (b )
A
B C D E
F
I
II
各區域之 Nash 均衡：
區域 I(ABDP):N(0,0)、C(0,1)。區域 II(PDE): N(0,0)、C(0,1)。
區域 III(CFD): N(0,1)、C(0,1)。區域 IV(DFGE): N(0,1)、C(0,1)。
圖 16
17 9 7
3b b下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域
1
2 q
q b
III IV
G P
命題 5：當
b b
73 ，即 A、B 兩市場的規模差異較小時，合作下的社會福利 將會大於 Cournot 競爭下的社會福利。
雙占廠商考慮產能限制的條件時，當運費為 0 時，Cournot 競爭與合作的情 況下總產量與各市場的均衡價格、以及消費者剩餘皆相同。而在兩市場規模差異 較小時，兩廠商合作時，將產能做最有效的配置以節省運費，合作下利潤必定高 於 Cournot 競爭，也因此合作下社會福利也必定高於 Cournot 競爭。
圖 17 是
7 3 3
b
b 下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域，此區域為兩市 場的差異居中的情況。此條件下 Cournot 競爭均衡區位為 N(0,0)、N(0,1)與 N(1,0)，合作之最適區位為 C(0,1)。
q2
q1
O
) ( 9
8
b
t
) ( 9
8
b
t
t
t b
t b
t
2
1 q
q
b q (b )
A
B C D E
F
I
II
各區域之 Nash 均衡：
區域 I(ABDP):N(0,0)、C(0,1)。區域 II(PDE): N(0,0)、C(0,1)。
區域 III(CFD): N(0,1)、C(0,1)。區域 IV(DFGE): N(0,1)、C(0,1)。
圖 17
7 3 3
b
b
下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域1
2 q
q b
III IV
G P
(i). I 區(ABDP)：
N(0,0)及 C(0,1)。根據(25)式及(35)式，此區域內合作均衡與 Cournot 競爭均衡的 社會福利差為：社會福利差為
Cournot 競爭之消費者剩餘都將高於合作時，也因此 Cournot 競爭之社會福利將 高於合作下之社會福利。
圖 17 中其它區域的福利比較與圖 8 完全相同，為節省篇幅，本文不再贅述。上 述結果，我們可得命題 6：
命題 6：當
7 3 3
b
b ，即 A、B 兩市場的規模差異居中時，若兩廠商的產能較大，
且廠商 1 的產能與廠商 2 的產能差距較小時，且qAq1，Cournot 競爭下的區位 均衡為 N(0,0)，合作下的區位均衡為 C(0,1)，此時，在運輸費夠大時，Cournot 競爭下的社會福利將會大於合作下的社會福利。在其餘的產能條件下，合作下的 社會福利將不小於 Cournot 競爭下的社會福利。
當 7
3b
時，且qAq1，在最適區位為 N(0,0)與 C(0,1)的情況下，運費的提 高將使 Cournot 競爭下的消費者剩餘提高，而當運費夠大時，Cournot 競爭下兩 廠商選擇在大市場設廠的所獲得的總利潤，將大於合作時兩廠商各佔據一個市場 的總利潤；而在其他均衡區位下，合作之社會福利必定高於 Cournot 競爭下之社 會福利。
t
08
)]
( 2
[
9 q1q2 b
8 ) ( 9q2 b
圖 18 I 區(ABDP)，運輸費率與社會福利差的關係圖
圖 19 是
3 11
3b b
下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域，此區域為兩市 場的差異較大的情況。當
3
b
時，若 2 2 q1 q b
，合作下最適區位為 C(0,0)；若
1 2
2 q
q b
，合作下最適區位為 C(0,1)。而當
17
9b
時，N(1,0)不為均衡區位，故 在11 3
3b b
下，Cournot 競爭均衡區位為 N(0,0)與 N(1,0)。
q2
q1
O
) ( 9
8
b
t
) ( 9
8
b
t
t
t b
t b
t
2
1 q
q
b q (b )
A
B C D E F I
II
各區域之 Nash 均衡：
區域 I(ABDQ):N(0,0)、C(0,0)。區域 II(QDEP): N(0,0)、C(0,1)。
區域 III(PEF):N(0,0)、C(0,1)。區域 IV(CGD):N(0,1)、C(0,0)。
區域 V(DGHE):N(0,1)、C(0,1)。區域 VI(EHFI):N(0,1)、C(0,1)。
圖 19
3 11
3b b下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域
1 2
2 q
q b
1
2 q
q b
G H
P Q
III IV V VI
I
(i). I 區(ABDQ):
N(0,0)與 C(0,0)。因此，根據(25)式及(34)式，此區域內合作均衡與 Cournot 競爭 均衡的社會福利差為：
情況下，Cournot 競爭下之利潤與消費者剩餘必不低於合作下。也因此 Cournot 競爭下之社會福利必不低於合作下之社會福利。
(ii). IV 區(CGD):
此區的參數條件為參數條件為 t q1
、
) ( 9
8
2
b
q t b
t 、 2 2 q1
q b
、 q
b b
( )
， 區位均衡為 N(0,1)、C(0,0)。因此，根據(26)式及(34)式，此區域內合作均衡與 Cournot 競 爭 均 衡 的 社 會 福 利 差 為 ： 社 會 福 利 差 為
) (
) ( ) 2
1 , 0 ( )
0 , 0
( 1
2
b
b q t SW t
SWC N 。由參數條件可知 2 1
8 ) (
9b q t q
，當
0
t 時，0；當
4 )
1(
q b
t 時，有極大值；當運費的上限為tq1時，
b
b
q12( 3 )，因為
3
b
，故 12( 3 )0
b
b
q ，因此，0。上述分析顯示 Cournot 競爭下的社會福利必小於合作下的社會福利。根據上式，我們可劃出運 輸費率與社會福利差的關係圖如圖 21 所示。
圖 19 其它均衡區域之社會福利比較結果與圖 17 相同，為了節省篇幅，本文不再 贅述。
0
t
8 ) ( 9q2 b
4 )
1(b
q q1
圖 21 IV 區(CGD)，運輸費率與社會福利差的關係圖
圖 20 是
11 3 9
b
b 下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域，此區域為兩市
場的差異較小的情況。當
3
b
時，若 2 2 q1 q b
，合作下最適區位為 C(0,0)；若
1 2
2 q
q b
，合作下最適區位為 C(0,1)。而當
17
9b
時，N(1,0)不為均衡區位，故
在11 3
3bb下，Cournot 競爭均衡區位為 N(0,0)與 N(1,0)：
圖 22 中各個區域的福利比較與圖 19 完全相同，為節省篇幅，本文不再贅述。
q2
q1
0
) ( 9
8
b
t
) ( 9
8
b
t
t
t b
t b
t
2
1 q
q
b q (b )
3
t
3 t
I
II
AB C D E
F G
各區域之 Nash 均衡：
區域 I(ABCQ):N(0,0)、C(0,0)。區域 II(QCDP): N(0,0)、C(0,1)。
區域 III(PDE): N(0,0)、C(0,1)。區域 IV(FJG): N(0,1)、C(0,0)。
區域 V(GJKH): N(0,1)、C(0,1)。區域 VI(HKLMI): N(0,1)、C(0,1)。
圖 22
11 3 9
b
b 下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域
1 2
2 q
q b
1
2 q
q b
Q P
H I
J
K L M
III IV V
VI
圖 23 是
09b下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域，此區域為兩市場 的差異較小的情況。當
3
b
時，若 2 2 q1
q b
，合作下最適區位為 C(0,0)；若
1 2
2 q
q b
，合作下最適區位為 C(0,1)。而當
9
b
時，N(1,0)以及 N(0,1)不為均 衡區位，故在
09b下，Cournot 競爭均衡區位為 N(0,0)：
圖 23 中各個區域的福利比較與圖 19 完全相同，為節省篇幅，本文不再贅述。
根據上述結果，我們可得命題 7：
q2
q1
0
2
1 q
q
b q (b )
3 t
3 t
I
AB G
各區域之 Nash 均衡：
區域 I(ABCQ):N(0,0)、C(0,0)。區域 II(QCDP):N(0,0)、C(0,1)。
區域 III(PDG):N(0,0)、C(0,1)。
圖 23
09b下，合作均衡與 Cournot 競爭均衡區位之區域
II
III
1 2
2 q
q b
1
2 q
q b
Q P C D
命題 7：當 A、B 兩市場的規模差異較大時，若兩廠商的產能較大，且廠商 1 的 產能與廠商 2 的產能很接近時，Cournot 競爭下的區位均衡為 N(0,0)，合作下的 區位均衡為 C(0,0)，此時，Cournot 競爭下的社會福利將不會小於合作下的社會 福利；若兩廠商的產能較大，且廠商 1 的產能與廠商 2 的產能差距較小時，且
q1
qA ，Cournot 競爭下的區位均衡為 N(0,0)，合作下的區位均衡為 C(0,1)，此時，
在運輸費夠大時，Cournot 競爭下的社會福利將會大於合作下的社會福利。在其 餘的產能條件下，合作下的社會福利將不小於 Cournot 競爭下下的社會福利。
在兩市場規模差異大，當雙占廠商不論是 Cournot 競爭或合作下最適區位皆 為在大市場設廠時，Cournot 競爭與合作下的總利潤皆相同，然而 Cournot 競爭 下的消費者剩餘必定高於合作時，也因此 Cournot 競爭下之社會福利必定高於合 作時；當qAq1，Cournot 競爭下的區位均衡為 N(0,0)，合作下的區位均衡為 C(0,1)，如命題 6 所示，當運高夠大時，Cournot 競爭下之社會福利將高於合作 時；而在其它最適區位中，由於合作時產能做最有效的配置，節省運輸成本，所 獲得利潤必定高於 Cournot 競爭下之利潤，而消費者剩餘皆相同，因此合作之社 會福利必定較高。