FRF 指標圖及改良

此節為研究步驟第二階段的頻率反應函數分析，將詳細說明指標 化公式和曲率改良法公式的使用，以及展現改良後的頻率反應函數指 標圖在判斷損壞位置上的成果。

4.2.1 頻率反應函數識別和指標公式的使用

時間域下的加速度反應在此將經由 Labview 軟體所發展的頻率 反應函數指標程式，轉換為頻率域分析下的頻率反應函數指標值，而 頻率反應函數的理論已在前章提過，故在此不贅述。藉由 SAP2000 軟體模擬的六層樓加速度資料，轉換後可得到對應之六層樓頻率反應 函數資料，再利用各層的頻率反應函數資料建立各自的指標值，公式 如前章所示，分別為平均絕對差值(Mean Absolute Difference)以及平 均平方差值(Mean Square Difference)。

而如何將頻率反應函數值帶入公式中以獲得指標值，在此有更進 一步的說明，我們可比較圖 4-4(a)和圖 4-4(b)，兩圖中的虛線皆為表 示一樓損壞15%的頻率反應函數圖，不同的是圖 4-4(a)為量測一樓的 訊號反應，而圖4-4(b)為量測五樓的訊號反應，兩指標圖中所示之實 線代表結構在完整無損壞狀態下所量測到的反應，故在兩圖中也皆可 看出同一位置所量測到的損壞及未損壞反應資料繪在一起比較的情 形，而獲得指標值的作法則為，將代表結構損壞的虛線和代表結構完 整的實線在對應同一段的頻率範圍內代入公式中各點相減，在此所取 頻率範圍為第 20 個頻率點開始到構架無損壞狀態的第一個頻率峰值 (即為第一模態頻率)結束，取第 20 個頻率點起頭是為了去除一開始 可能發生的雜訊，而取至無損壞構架的峰值結束則是測試出來的最佳 結果，如此取法可使損壞位置的指標值較明顯，且在每次分析時峰值

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也都會是固定的，而每個頻率點的頻率間隔為 0.019996，故第 20 點 的頻率值約為0.4，而無損壞構架的第一模態頻率值約為 1.64。

圖 4-4(a)和圖 4-4(b)中透過公式所計算出來的值即代表在此損壞 狀態下一樓和五樓的頻率反應函數指標值，由圖4-4(a)可看出當量測 的樓層位置有損壞時，虛線頻率反應函數的能量反應將會明顯的變大，

所以當我們將此樓的反應代入公式中，所得的指標值將會大於其他未 損壞樓層的指標值，故可助我們判斷損壞的位置；而由圖4-4(b)可看 出由於在這個損壞的結構中，五樓並非破壞的位置，且五樓離破壞位 置有一定的距離，故除了整體頻率的折減之外，頻率函數的能量反應 和原本未損壞結構的反應幾乎相同，故將此五樓的反應代入公式中將 會小於損壞位置的指標值。

4.2.2 建立頻率反應函數指標圖

利用上節所取的兩種公式，可以得到結構各層樓的頻率反應函數 指標值，將得到的頻率反應函數指標值依樓層順序繪於圖上，便可組 成結構體在某種損壞狀態下的頻率反應函數指標圖，在指標圖中我們 希望能分析出此結構損壞的情形，但此種原始的頻率反應函數圖在判 斷損壞位置上會有不夠明顯的問題，連帶之後程度的判斷也會受到影 響，於是須想辦法將其改良至更好，而此節將直接用圖例配合說明來 介紹原始的頻率反應函數指標圖及其缺點所在。

此章所有指標圖將皆以地震力Kobe 100gal 及平均絕對差值所建 立的指標為例，首先將先說明單點破壞的情況，圖4-5 為一樓損壞 15%

的原始指標圖，於此圖中可看出一樓的指標值為最可能的損壞點，但 其他樓層的指標值也偏大；同樣的圖4-6 為三樓損壞 15%的原始指標 圖，於圖中也可看出三樓為最可能的損壞點，但四、五、六樓的指標

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值卻也偏大接近於三樓的指標值，故單點破壞的原始頻率反應函數指 標圖，雖然破壞點的指標值皆為指標圖中的最大值，可藉此判斷該點 為損壞點，但其餘未破壞位置的指標值會有偏大的現象。至於兩點破 壞的情況，圖4-7 為三樓和五樓同時破壞 15%的原始指標圖，因為六 樓受五樓損壞的影響，導致圖中未損壞六樓的指標值高於損壞三樓的 指標值，此情況下很容易產生損壞位置的誤判；又圖4-8 為一樓和五 樓同時破壞15%的原始指標圖，但也因為損壞的交互作用，未損壞二 樓和三樓的指標值和五樓的指標值接近，在此也容易產生誤判的情況，

故在兩點破壞的情況下，直接比較指標值的大小已無法用來判斷損壞 的位置，唯圖4-7 和圖 4-8 中的破壞位置皆為區域中的極大值，可藉 此以人工直覺判斷，但此情況卻在連續樓層的損壞案例時不成立，圖 4-9 即為三樓和四樓同時損壞 15%的案例，但因為連續樓層破壞的影 響，三樓既不為圖中各指標值中的最大值也不為區域最大值，此時很 可能被忽略有損壞的危險，故此可看出在使用原始頻率反應函數指標 圖時，兩點破壞位置的判斷將比單點的更複雜。又在探討三點破壞的 案例，圖4-10 為同時一樓損壞 5% 及三樓損壞 15% 及五樓損壞 10%

的原始指標圖，可看出在三點破壞的情形之下，圖中各點的指標值大 小已無法用來判斷破壞點的位置，僅可看出破壞點可能為圖中的區域 極大值，但同樣的在連續樓層破壞的情形時，則無此區域最大值的規 則可供判斷，其他樓層單點及多點破壞的案例將列於附錄B。

由以上的原始頻率反應函數指標圖可歸結出，當多點破壞的交互 作用越明顯時，原始頻率反應函數指標圖的判斷將更為困難，而本研 究的改良法將於下節中說明。

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4.2.3 曲率法的改良

從上節可知，使用原始的頻率反應函數指標圖時，損壞位置對其 他位置的交互作用影響會導致各樓層的指標值皆為頗大的正值，此種 情況會使得損壞位置的指標值僅略高於其他未損壞位置的指標值，且 若是損壞的位置越多時(即多點破壞)，其交互影響的作用會讓我們更 難於圖上辨識，甚至於當多點破壞時，損壞點的指標值可能會小於其 他未損壞點的指標值，此情況將很可能使我們誤判結構物損壞的情形，

但由於繪於圖上的損壞點之特性為斜率的改變，故以曲率法的改良正 好可凸顯損壞位置的頻率反應函數指標值，以下將列舉曲率化後的頻 率反應函數指標圖做說明，破壞案例將和前節的相同以方便比較。

在此曲率化指標圖以直方圖的形式呈現，且我們將小於零的指標 值視為零，圖 4-11 為一樓損壞 15%的曲率化指標圖，可看出經過曲 率化後的指標圖，一樓的破壞將更明顯，而其他未損壞位置的指標圖 皆是相對小的負值，若和上節同樣破壞情況的原始頻率函數反應指標 圖比較，曲率化後的指標圖對損壞位置的判定有明顯加強的效果；圖 4-12 為三樓損壞 15%的曲率化指標圖，曲率化後的效果讓三樓的破 壞指標值更明顯，而其他未損壞位置的指標圖也皆是相對小的負值，

故在單點破壞的情況下，曲率化後的指標圖皆有不錯的效果來判斷出 破壞的位置。在兩點破壞的情況下，圖 4-13 為三樓和五樓同時損壞 程度15%的曲率化指標圖，曲率化後的指標圖可將損壞的三樓和五樓 指標值凸顯，其他未損壞樓層則皆是相對小的負值，而在原始的指標 圖中，受到交互作用影響最大的四樓也因為曲率法的關係而變成負值；

圖 4-14 為一樓和五樓同時損壞程度 15%的曲率化指標圖，曲率化後 的指標圖可將損壞的一樓和五樓的指標值凸顯，其他未損壞樓層則皆 是相對小的負值，唯一樓和五樓雖皆是同樣程度的破壞，但其指標值

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相差甚大，至於在兩點連續破壞的情況下，圖 4-15 為三樓和四樓同 時損壞15%的曲率化指標圖，曲率化後的指標圖也展現出較原始指標 圖好的判斷效果，因為在三樓和四樓的指標值被凸顯，而其他未損壞 樓層則皆為相對小的負值，故兩點破壞的分析時，曲率化後的指標圖 也有不錯的效果能判斷損壞的位置。圖 4-16 為一樓損壞 5% 及三樓 損壞15% 及五樓損壞 10%的曲率化指標圖，在此三點破壞的情況下，

曲率化過後的指標圖依然能將破壞點凸顯出，而未破壞點皆為相對小 的負值，故曲率化方法在三點破壞的情況下依然是可行的，其他樓層 兩點破壞的案例將於附錄B。

從結果我們可看出使用曲率法改良後的指標圖在判斷損壞位置 上有很好的效果，指標圖上損壞位置的頻率反應函數值皆為相對極大 的正值，而未損壞位置的頻率反應函數值皆是負值或相對極小的正值，

且在單點及多點的情形都能順利的判斷。

而在相互之間判斷損壞程度方面也有不錯的效果，原因在相同破 壞位置的情況下，隨著損壞程度增大，該損壞位置的頻率反應函數指 標值也將相對增大，在此將舉出單點、兩點、及三點的範例說明，圖 4-17 分別為三樓破壞 10%、20%、30%、40%、50%的情形，可看出 在單點破壞的情況下，指標值依損壞程度的大小，破壞點的指標值也 跟著由小到大排列，圖 4-18 中的實線為一樓和五樓皆損壞 15%的情 形，而虛線為一樓和五樓皆損壞20%的情形，可看出當損壞程度增大 時，各點的指標值也會隨之增加，同樣的三點破壞之情況，圖 4-19 中的實線為一樓和三樓和五樓皆損壞15%的情形，而虛線為一樓和三 樓和五樓皆損壞20%的情形，可看出此時當損壞程度增大時，各點的 指標值也會隨之增加。

而在相互之間判斷損壞程度方面也有不錯的效果，原因在相同破 壞位置的情況下，隨著損壞程度增大，該損壞位置的頻率反應函數指 標值也將相對增大，在此將舉出單點、兩點、及三點的範例說明，圖 4-17 分別為三樓破壞 10%、20%、30%、40%、50%的情形，可看出 在單點破壞的情況下，指標值依損壞程度的大小，破壞點的指標值也 跟著由小到大排列，圖 4-18 中的實線為一樓和五樓皆損壞 15%的情 形，而虛線為一樓和五樓皆損壞20%的情形，可看出當損壞程度增大 時，各點的指標值也會隨之增加，同樣的三點破壞之情況，圖 4-19 中的實線為一樓和三樓和五樓皆損壞15%的情形，而虛線為一樓和三 樓和五樓皆損壞20%的情形，可看出此時當損壞程度增大時，各點的 指標值也會隨之增加。