Force command 到位置以及角度的轉移函數

在4.2.2 節中，我們鑑別出 Force command 至加速度的轉移函數模型，為了將角度與 Force command 的轉移函數結合在一起，將其轉移函數作以下的推導，目的在求出 Force command 到位置以及角度的轉移函數。

式(4-4)是我們所得到的 Force aommand 對加速度的轉移函數，式(2-7)為加速度對單擺角

x

&&

θ

(4-5)

因此我們藉由Force command 對加速度的轉移函數以及式(4-5)、式(4-6)，可以分別推導 出Force command 對位置以及對角度的轉移函數：

Force command 對位置以及角度的轉移函數分別有四個相同的極點以及三個相同的零 點，因此我們可以利用flow chart 將相同的狀態共用，得到簡化的 state space：

⎥ ⎥

圖 4-21 控制器求解之流程圖

設計步驟如下：

„ 步驟一：選擇 weighting，並且求出加入 weighting 後 shaped plant 的特徵值(singular value)

圖 4-22 原來系統以及加入 weighting 系統的特徵值圖形

在此利用matlab 中的 loop shaping design procedure 的工具- lsdp toolbox，來得到 shaped plant；此 toolbox 並非 matlab 內建，而是參考文獻[8]所設計的 GUI 介面來使用。

G 為原 nominal plant 的 singular value 值，Gs 為 shaped plant 的 singular value 值，W1 為 pre-weighting 的 bode plot。利用此 toolbox 可簡化得到 shaped plant 的方法。以倒單擺系 統而言，系統本分為一個輸入(電壓命令)兩個輸出(台車位置、單擺角度)，因此

pre-weighting ( W1 )階數為

[ ]

^1×1 的轉移函數，post-weighting ( W2 )階數則為

[

^2×2

]

的轉移 函數；利用此介面的好處在於可以在選擇完weighting 之後，立即得到 shaped plant 的 singular value 圖形，觀察圖形是否合乎要求，減少我們選擇 weighting 所需要的時間。

„ 步驟二：找出加入 weighting 系統( shaped plant )的頻寬；

圖 4-23 利用加入 weighting 系統的特徵值圖形找出頻寬

利用特徵值的cross-over frequency，我們可以評估出此時的頻寬(圖中約為 7rad/s = 1.11Hz)；利用此頻寬，作為設計參考模型( reference model )的頻寬值；此頻寬值的範圍 對控制器也有影響，我們將在4.2、4.3 以及 4.4 小節討論各階 weighting 時，對此頻寬作 一討論、比較。

„ 步驟三：給定一個二階系統作為參考模型( reference model )，可以使整個閉迴路響 應逼近此reference model，完整的架構圖可參考圖 4-24。參考模型形式如下：

2 2

2

2 _{n n}

n

r

s s

M ζω ω

ω

+

= + (4-10)

其中有兩個參數值要決定，一個是damping ratioζ，一個是

ω

_n； 根據參考文獻[2] ， damping ratio 取決於台車位置的最大位移量，可由下式表示；

2

shaped plant 的頻寬是 7 rad/s，所以我們也要將 reference model 頻寬取在該值附近，此時 的

ω

_n值我們發現也大約為7 rad/s。值得注意的是，我們利用

ω

_n值設計reference model 的頻寬，但其本身值和台車的最大速度也有相關性(參考文獻[2])，完整的推導可參考附 錄B。

„ 步驟四：求出 normalized left coprime 系統( generalized plant P )；

利用加入weighting 的 shaped plant 解兩個 riccati equation：

0

根據riccati equation 的解 X、Z、shaped plant 以及 reference model，我們可以依照下面的 架構圖，先將系統拆解為normalized left coprime 形式：

圖 4-24 兩自由度的H_∞控制器架構圖

由[r,

Φ , u]到[u, y, z, β , y]的關係可以得到 normalized left coprime 的系統，此系統一般稱

為generalized plant P，其形式如下：(G_s為shaped plant 的狀態矩陣，G_r為reference model 的狀態矩陣，並且G_s可拆解為M_s⁻¹N_s)

其中，

ρ

=1、

R

_S =

I

+

D

_S

D

_S^*；

圖 4-25 H^∞ output feedback controller

之後將weighting 和控制器結合才算完整的 output feedback 控制器的設計：

圖 4-26 加入 weighting 的 output feedback controller

至此，我們已經求出了output feedback 控制器；我們參考文獻[2]、[6]將 output feedback 拆解為可觀測控制器( observer controller )¹¹。

在文檔中 倒單擺定位系統之多自由度H∞ 控制器設計 (頁 58-67)