N 值過大則會使第一項的隨機誤差過大，因此 N 值的選取必須折衷，隨目標建築物高度

lim 1 ]

[

lim

^* Y ²

E T T YY

E

S yy

T → ∞

(3.2)

其中

E 代表取期望值，Y 代表 y(t)的富利葉轉換，Y ^*

代表

Y 的共軛複數。由此可知自相

關能量譜可以由富利葉轉換的振幅近似之。

因此本研究資料分析的程序如下：首先記錄位移、速度、加速度之歷時資料，然後對記錄之位移(速度、加速度)歷時資料作快速富利葉轉換(Fast Fourier Transformation，

FFT)，以求得富利葉振幅。假定系統沒有雜訊的干擾，則快速富利葉轉換的振幅圖之尖峰值所對應之頻率即代表結構物之自然振動頻率。

離散化的富利葉轉換是可寫成下列形式：

∑ ⁻

=

¹ − 0

/ ) 2

)

(

( )

(

N k

N j

e kn

k y n

Y ^π

n = 0, 1, …., N-1 (3.3)

其中

γ

為正整數、

j

= −1，而

N 值可以有很多種選法，而最常選取的方法即為 N = 2 ^γ

，。

在本研究中，取樣點之時間間距

Δ t=0.01 sec。在 N 值的選取方面，當 N 取 1024 時，代

表每 1024 個資料點即為一個周期，則 60000 個資料點可以視為 58 個周期的組合；當 N 取 2048 時，則可以視為 29 個周期的組合，依此類推。但依據頻譜分析的誤差理論可知，

當我們利用上述方法來求的自相關能量譜時，其正規化平方誤差(Normalized mean square error)可表示為

" 2 2 2

24 1  





 

 + 

≈

yy yy e r

e S

S B T

ε B

(3.4)

其中

B e

為自相關能量譜在頻率域上的解析度(Resolution Bandwidth)，與 N 值大小有關，

即

B e =1/N ∆ t 。 ∆t 為採樣間隔時間，本研究均固定為 0.01 秒；而 T r

為實驗總量測時間，

本研究均固定為 600 秒。當 N 值過小，B

e

會過大。從(3.4)可以看出，此時第一項的隨機誤差(Random Error)雖然會減小，但第二項的偏見誤差項(Bias Eerror)會隨之擴大；反之，

N 值過大則會使第一項的隨機誤差過大，因此 N 值的選取必須折衷，隨目標建築物高度

的不同而有所不同。

另外，使用快速富利葉轉換時，必須注意避免在轉換過程中發生 Aliasing 的現象。

假設時間域函數為

h(t)，經過富利葉轉換可以得到 H(f)，若想要使頻率 f c

以內的

H(f)均

為可靠的，則在時間域

h(t)取點離散化的時候， Δ t 必須小於 1/(2f c

)。以本實驗而言，

Δ t=0.01 sec，經富利葉轉換後 50Hz 以內的訊息應該都屬於可以信賴的，換言之，結構物

周期只要在 0.02sec 以上，均可以透過快速富利葉轉換後在頻率域清楚的看到尖峰值。

這個範圍已經可以涵蓋建築物的基本周期。

3.2 勁度與強度的關係

本研究建立了 18 棟建築物的數值模型，首先在 3.2.1 小節便是要介紹這 18 棟建築物的設計流程、設計參數與設計結果。在 3.2.2 小節以迴歸分析的方式，類似 2.2 節中日本社團法人建築研究振興協會研究報告的作法，找到利用微振量測計算彈性勁度的流程。其次，在 3.2.3 小節便以結構系統的觀點對這 18 棟建築物進行靜力側推分析(static push-over analysis)，文中會對斷面彎矩曲率關係以及塑性角產生機制作一描述。在 3.2.4 小節，即是利用這 18 棟建築物勁度與強度的關係，進行迴歸分析，瞭解以哪一種參數來表示勁度、以哪一種參數來表示強度，對於勁度與強度的關係能有最佳的描述。最後在 3.2.5 小節以兩個數值例題驗證 3.2.4 小節之勁度與強度關係。

3.2.1 數值模型的建立

此小節之目的在於建立數值模型以供迴歸勁度與強度關係時使用。本研究利用建築結構分析及設計軟體 ETABS7.2 版建立了 18 棟鋼筋混凝土建築物空構架的數值模型。

這 18 棟建築物均為正方形配置，樓層數從 5 樓至 15 樓，跨數為三跨或四跨，跨距為 6 公尺、7 公尺或 8 公尺。二樓以上至頂樓為標準層樓高，一樓樓高另加上 30 公分以考慮常見的挑高設計。

一些設計參數與模擬方法如下所列：

(1) 在樓層數為 5F 至 7F 的建築物，混凝土的抗壓強度為 210 kg/cm

²

、楊氏係數為 2.08*10

⁵

kg/cm

²

，在其他樓層數的建築物，混凝土的抗壓強度為 280 kg/cm

²

、楊氏係數為 2.51*10

⁵

kg/cm

²

。鋼筋混凝土之單位體積重均為 2400 kg/m

³

，鋼筋降伏強度為 4200 kg/cm

²

。

(2) 所有的樓版均為 15 公分厚。

(3) 每層之柱斷面尺寸及其配筋量均相同，每層之梁斷面尺寸及其配筋量除頂樓只有一種外，其餘各層皆分為兩種，結構平面示意圖如圖 3.4 所示。為方便起見，

暫時將梁之兩端的鋼筋量設為相同。

(4) 樓版上考慮附加靜載重非結構牆 250 kg/m

²

、粉刷層與地板等 100 kg/m

²

、家具、

櫥櫃及其內容物 80 kg/m

²

，共計 430 kg/m

²

。

在空構架模型中加入牆的重量是為了模擬牆只貢獻重量而不貢獻勁度的情形。

而家具、櫥櫃及其內容物等，是因應耐震設計規範中倉庫與書庫必須至少加入四分之一活載重作為靜載重的規定，雖然一般住宅的活載重遠比倉庫與書庫小，但實際上一般住宅中所含之活載重其移動之頻率相當低，性質與倉庫或書庫類似，加入 80 kg/m

²

相當於建築技術規則中規定 200 kg/m

²

活載重的 40%，

應已經足夠。

(5) 樓版上考慮附加活載重 120 kg/m

²

。

建築技術規則中規定，住宅類建築物活載重不得低於 200 kg/m

²

，但在計算建築物的靜載重時已經將其中的 80 kg/m

²

納入考慮，因此活載重部份僅考量剩餘之 120 kg/m

²

。此外，考量靜載重與活載重的載重因子不同，在數值模型中應當放大為 134 kg/m

²

，詳細說明及計算請見附錄 A。

(6) 同一層樓之所有結點遵守剛性樓版(rigid diaphragm)之假設。

(7) 梁柱交會區視為剛性區域，因此梁之淨長度為柱心距扣掉柱寬度，柱之淨高度為兩樓層間之高度扣掉梁深。

設計流程如下：

(1) 首先選取梁柱尺寸，使建築物在水平總橫力

W

F C V ZIF _m

u

( )

5 .

= 4 且有 5%平面尺寸

偏心量的作用下，其各層層間位移角最大不超過 0.004，其中 Z=0.23 為震區水 平加速度係數、I=1.0 為用途係數、C 為工址正規化水平加速度反應譜係數、W 為建築物全部靜載重、F

u

為結構系統地震力折減係數，且上式中( )

_m

≤1.0

F u

C

。

此部份對應耐震設計規範中 2.13.1 節之規定。雖然耐震設計規範中對於最大容許層間位移角的規定為 0.005，但一般而言最大層間位移角為 0.004 時，一方面可以符合規範規定，另一方面在下一步計算鋼筋量時，可使柱斷面縱向鋼筋比較小而使梁柱接頭處更具有可施工性。此部份的尺寸計算工作實際上大部分已經在陳易瑞(2002)的碩士論文當中完成，本文使用其模型進行下一步的設計工作。

(2) 其次計算鋼筋量，以

1.4DL

1.4DL + 1.7LL

1.05DL + 1.275LL ± 1.4025EQ 0.9DL ± 1.43EQ

等六種載重組合計算梁柱斷面所需要的縱向鋼筋量，其中 DL、LL 分別為前述步驟所提之靜載重與活載重。EQ 為地震力，依照耐震設計規範 2.2 至 2.8 節規

定，水平總橫力

W

F C

V ZI _m

u y

) 4 (

. 1 α

=

且有 5%平面尺寸的偏心量，其中 Z、I、C、

F u

、W 之定義及其限制如前述步驟，而起始降伏地震力放大係數α

y

取 1.5。梁斷面之縱向鋼筋量必須提供梁足夠之彎矩，以承擔上述六種載重組合之外力；

柱斷面之縱向鋼筋量，則必須使柱在軸力與彎矩的互制作用下，仍能承擔上述六種載重組合之外力，且仍滿足強柱弱梁的設計準則。梁斷面縱向鋼筋比最少不能低於 0.5%。如果柱斷面縱向鋼筋比超過 4%以上，則梁柱接頭部份可能有施工性不佳的問題，此時應將柱尺寸放大，再重新計算鋼筋量。此部份計算工作可由 ETABS 7.2 軟體代為執行。

依照上述流程，可決定各建築物梁柱之實際尺寸與鋼筋量，各棟建築物之基本設計參數如表 3.1 所示，詳細設計參數如表 B.1 至 B.18 所示，各柱在六種載重組合作用下，

均為達到極限強度，且均符合強柱弱梁之設計。其中需注意的為：

(1) 軸力與彎矩互制因子 R

PMM

之定義為：在軸力、強軸彎矩、弱軸彎矩之三度空間上，該柱受力狀態之點與原點之距離若稱為

L 1

，該柱受力狀態之點及原點連線或其延伸線，與極限強度面之交點為

P F

，若稱原點與與

P F

點之距離為

L 2

，則軸力與彎矩互制因子

R PMM

即為

L 1

與

L 2

的比例。該比例小於 1.0 代表該柱未達極限強度；大於 1.0 則代表已經破壞。

(2) 強柱弱梁因子 R

SCWB

之定義為：該梁柱交會區所有梁端之彎矩強度總和的 1.2 倍，與所有柱端彎矩強度之比值。該比例小於 1.0 代表該梁柱交會區符合強柱弱梁之設計理念；大於 1.0 則代表未符合。

3.2.2 彈性勁度之計算

在 2.2 節所介紹的彈性勁度計算方法，是在日本社團法人建築研究振興協會研究報告中所提出，該方法的麻煩之處在於必須識別每層樓之側向彈性勁度，造成必須識別的模態數目增加。本研究希望只要識別建築物側向彈性勁度即可。換言之，希望由微振量測所得到的基本振動周期，求得建築物之側向彈性勁度，而此彈性勁度之定義為：單位頂層位移所需側力總和，且側力均依照耐震設計規範豎向分配之比例並具有 5%平面尺寸之偏心量。

以一懸臂梁而言，如圖 3.5 所示，若側向位移 v(x,t)可以利用變數分離拆解為形狀 函數與時間函數之乘積，即

v(x,t)=Φ(x) Γ(t)

(3.5)

則其自然振動頻率可以寫為

∫

∫ ^Φ ^Φ

=

ω ^L EI dx ^L m dx

M K

0 2 0

" 2

*

(3.6)

又若依照虛位移法之觀念，若在懸臂梁之自由端受一集中側力

P，則其自由端之位移與

集中側力

P 的關係可以寫為

dx EIv t

L Pv

∫ L

=

0 " 2

) ,

(

(3.7)

利用變數分離將時間函數的部份消去，可得

dx

EI L

P

L ∫ ^Φ

= Φ

0 " 2

)

(

(3.8)

將(3.6)式帶入(3.8)式，並利用Φ(L)=1 的關係，且將積分離散化可得

∫ ∑

∫ ^Φ ⁼ ^ω ^Φ ⁼ ^ω ₌ ^Φ

= ⁿ

i

i i L

L

m dx

EI P

1 2 2

0 2 2 0

" 2

(3.9)

其中

m i

為第

i 層樓之質量、

i

為振形函數在第

i 層樓之值。不過以此得到之 P 並非單位

在文檔中以微振量測探討鋼筋混凝土建築物之補強成效 (頁 26-31)

N 值過大則會使第一項的隨機誤差過大，因此 N 值的選取必須折衷，隨目標建築物高度

* Y 2

E T T YY

E

S yy

T → ∞

T → ∞

E 代表取期望值，Y 代表 y(t)的富利葉轉換，Y *

Y 的共軛複數。由此可知自相

∑ −

=

1 − 0

/ ) 2

(

N k

N j

e kn

k y n

Y π

γ

j

N 值可以有很多種選法，而最常選取的方法即為 N = 2 γ

Δ t=0.01 sec。在 N 值的選取方面，當 N 取 1024 時，代

" 2 2 2

24

1  





 

 + 

≈

yy yy e r

e S

S B T

ε B

B e

B e =1/N ∆ t 。 ∆t 為採樣間隔時間，本研究均固定為 0.01 秒；而 T r

e

N 值過大則會使第一項的隨機誤差過大，因此 N 值的選取必須折衷，隨目標建築物高度

h(t)，經過富利葉轉換可以得到 H(f)，若想要使頻率 f c

H(f)均

h(t)取點離散化的時候， Δ t 必須小於 1/(2f c

Δ t=0.01 sec，經富利葉轉換後 50Hz 以內的訊息應該都屬於可以信賴的，換言之，結構物

2

5

2

2

5

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

W

F C V ZIF m

u

u

u

m

F u

C

W

F C

V ZI m

u y

) 4 (

. 1 α

=

F u

y

PMM

^* Y ²

E 代表取期望值，Y 代表 y(t)的富利葉轉換，Y ^*

∑ ⁻

¹ − 0

Y ^π

N 值可以有很多種選法，而最常選取的方法即為 N = 2 ^γ

²

⁵

²

²

⁵

²

³

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

F C V ZIF _m

_m

V ZI _m

∫ ^Φ ^Φ

ω ^L EI dx ^L m dx

L ∫ ^Φ

∫ ^Φ ⁼ ^ω ^Φ ⁼ ^ω ₌ ^Φ

= ⁿ