No Free Lunch 檢驗

在計算理論中^, 有一個相當著名的理論叫 「無免費午餐理論」 (No Free Lunch Theorem, 以下稱作 ^NFL)。 這個理論是由 Wolpert and Macready (1995b) 及 Wolpert and Macready (1995a) 首先提出。 對於搜尋或最適化的問題^{, NFL} 理 論指出在考量所有可能的問題後^, 每一個用來求解的演算法的表現平均而言是相 同的。 也就是說^, 沒有一個策略是可以全面性地適用於所有的問題^:

“We show that all algorithms that search for an extremum of a cost function perform exactly the same, when average over all possible cost functions. In particular, if algorithm A outperforms algorithm B on some cost functions, then loosely speaking there must exist exactly as many other functions where B outperforms A.” (Wolpert and Macready, 1995b)

這是很強的一個結論^,它說明了即始是隨機的策略^,也可以在解決某些問題上 勝過其他的演算法。 沒有一個演算法可以在每一個可能的問題上都能做得比別的 演算法來得好^, 再白話點說^, 就是有一好沒兩好^, 因此這個理論便被命名為 「無免 費午餐理論」。

根據這個理論^, 既然所有的演算法表現平均而言皆相同^, 意即不存在一個具有 普遍優勢的演算法的話^, 我們花費在尋找字宙間最佳演算法的精力便會是徒勞無 功的。 那我們還需要做什麼呢^? 是不是隨便選一個演算法就好^? 還是既然不存在 最佳的演算法^, 人們就可以根據個人喜好恣意選擇想要使用的演算法^?

恰恰相反的是^{, NFL} 理論告訴我們不存在普遍最佳演算法的原因^, 是每個演 算法都會在某些問題上表現較佳^, 而在解決其他問題上則不盡理想。 因此^, 我們有 需要針對不同的問題來尋找適合該問題的演算法^,而這樣的作法^,會比仰賴一個一 般性的演算法來得好。 如圖 ^5.10 所示^, 針對當前問題設計一個合適的求解法^, 毋 需考慮該求解法在其他問題上的表現。

5.3 學習性個體 ¹⁰⁹

Performance

Type of Problems general-purpose algorithm Highly specialized algorithm

圖 ^{5.10: NFL}示意圖

雖然我們的實驗目的並不在於驗證 ^NFL的正確性^, 不過^NFL理論卻為我們 帶來了一個十分有趣的問題^: 我們知道許多文獻上搜集而得的策略^, 其設計目的 便是在一定範圍的市場環境中^,在已知的問題框架中設法極大化交易者的獲利^,因 此可以說是一種針對雙方喊價市場的客製化求解策略。 但是在我們的實驗結果中 GP 交易者的平均表現的確有可能勝過其他交易策略^, 這是否代表 ^GP 在每一個 市場中都可以擊敗其他交易策略^,代表存在著免費的無餐呢^? 換句話說^, 我們想知 道^GP是否是一個普遍較優的交易演算法^,是否不管市場形態為何^{, GP}都能後來 居上^, 拔得頭籌^?

從平均財富及財富變異的觀點來看^,如果真的有白吃的午餐^,代表不論是何種 市場^{, GP} 最後都能拔得頭籌^, 而與市場環境無關。 在這種情況下^, 如果將 ^GP 最 終的表現放到如同圖 ^5.9 的空間中^, 我們應該可以看到 ^GP跳脫 「高利潤高變異」

的規範^,進而達成 「高利潤低變異」 的創舉^, 獨自落在效率前緣的左上方。

為了檢驗這個效果是否存在^, 我們將所有交易者的首期及末期之平均財富與 財富變異繪於圖 ^5.11 中。⁸

8圖^5.11與圖^5.9的差別在於圖^5.9 繪製的是從頭到尾平均的結果^,而圖^5.11僅將期初及期 末兩個時間點的表現繪製出來。

GP

5.3 學習性個體 ¹¹¹ 圖中同樣形式但較小的標示為期初的表現^, 較大且有陰影的標示為期末表現^, 我們用箭頭將其相連以顯示出變化的方向。 由圖 ^5.11 可以看出以下有趣的現象^: 首先^{, GP} 並沒有突破 「高利潤高變異」 的法則^, 相反地^, 隨著 ^GP 交易者的學習 與平均財富的增長^, 財富變異反而是愈來愈大的。 而且不僅^GP交易者如此^, 幾乎 所有的交易策略連退步時都遵循著這個法則^, 而沿著右上^–左下的方向變動。

圖^5.11告訴我們^GP交易者的表現還是與市場環境習習相關。 但表現與市場 習習相關^,也不能充份說明^GP交易者的表現到底是普遍地優於其他交易策略^,還 是如同圖 ^5.10 所示的在某些市場中表現特優^, 但在大多數市場中則表現普通。 如 果是前者^{, GP} 交易者的財富變異雖大^, 但大多數都比其他人好^, 是一種較為理想 的情況^;如果是後者的話^{, GP} 交易者財富的高變異性就是一種十分不好的特質。

GP 交易者表現較好的可能性有^{: (1) GP} 交易者獲勝的次數本來就多^{; (2)} GP交易者獲勝次數有限^,但可以靠著有限次數內的大量領先來拉抬整體平均。 為 了檢驗這點^, 我們改採計算排名的方式^, 以去除掉獲利水準值的影響。 表 ^5.3 列出 了各個智商水準下^{, GP}交易者在^p5L、^p20L、^p50L這三個實驗的期末平均排名。

數字愈低^, 就代表拔得頭籌的次數愈多。 由表可知 ^GP 交易者的平均排名皆為第 一^,代表了 ^GP交易者在絕大部分的情況下最後都是表現最佳的策略。