第五章 OFDM 決策迴授等化系統模擬
5.3 OFDM BI-DFE 系統模擬
由上一節的模擬，我們知道要讓 OFDM 決策迴授等化系統有更好的效能，
則必需多考慮迴授資訊有錯誤的情況，也就是我們在演算法推導的過程中，必需 考慮線性等化器輸出資訊與真實資訊的錯誤率，因此我們試著用 block iterative DFE 的架構來解這個問題。這一部份的系統架構與演算法我們已經在 4.2 節裡推 導過了，演算法的部分是使用最大化訊號對干擾加雜訊比(SINR)，與 4.1 節單純 的 DFE 架構不同的是，BI-DFE 有考慮每一次疊代時迴授資訊的錯誤情況，並根 據那些錯誤情況來適應性調變該次疊代的濾波器係數，因此每一次疊代濾波器係 數都會不同，如式子(4.2-11)與(4.2-18)所示。
由於演算法的關係，我先以相位調變-QPSK 來模擬，之後再說明為何此演 算法不適合震幅調變模式，以及改進的方法。對於相位調變而言，接收端在決策 資料時是以該資料的相位來決策傳送的資料，以 QPSK 來說，最大化 SINR 的演 算法並不會影響資料決策。在通道 A 與通道 B 的情況，使用編碼率 1/2 的迴旋 碼，不同疊代數的 BI-DFE 錯誤率如圖 5.3.1 與 5.3.2 所示，其中第一個 iteration 就是沒有迴授部分，也就是一般 OFDM MMSE 等化器的錯誤率曲線，第二、第 三個 iteration 表示有迴授的疊代處理，perfect feedback 曲線表示我們使用理論值 (正確值)迴授的錯誤率曲線，該曲線代表迴授資料皆為正確的情況下(ρ = )，迴1 授所能達到的最佳效能。
0 2 4 6 8 10 12 14 16
1st iteration (MMSE) 2nd iteration
3rd iteration perfect feedback
圖 5.3.1 QPSK 調變在通道 A 的情況下使用 BI-DFE 的錯誤率比較
1st iteration 2nd iteration 3rd iteration perfect feedback
圖 5.3.2 QPSK 調變在通道 B 的情況下使用 BI-DFE 的錯誤率比較
由圖 5.3.1 與圖 5.3.2 可看出，在第一次疊代時，由於接收端沒有迴授資訊，
我們只能以一般 OFDM MMSE 等化器的方式來處理接收到的資訊，到了第二次 疊代處理時，我們就以第一次疊代處理的結果來當作迴授的資料，並以第一次迴 授結果的好壞來設計第二次疊代處理的等化器係數，所以第二次處理的效能會比 第一次還來的好。同樣的，到第三次疊代處理時，我們就以第二次疊代處理的結 果當作迴授資訊，因此第三次疊代後的錯誤率會比第二次疊代還好，而迴授能達 到的最佳效能是完美迴授的曲線。
對於震幅調變系統而言，例如 16QAM 與 64QAM 等，最大化訊號對干擾加 雜訊比會造成訊號震幅的放大，雖然訊號功率比上干擾功率的比值是最佳化，卻 會對決策時造成影響，所以基本上這個演算法對震幅調變是不適用的。但是在我 們仔細觀察模擬的數據後，我們發現會放大訊號造成決策誤差的是線性濾波器係 數，由式子(4.2-18)的分母部分，可以知道當相關係數ρ( 1)i− 越接近 1，以致於
( 1) 2
(1 (− ρi− ) )項會越接近 0，所以當雜訊功率很低的情況下，線性濾波器的係數會 很大，所以資料在等化處理的時候會先乘以線性濾波器係數，此刻的訊號功率就 已經放大了，這也就是導致震幅調變系統產生誤差的原因。
所以在這裡的模擬，我們不對線性濾波器做變動，而是只對迴授濾波器做適 應性係數調變，也就是說 feedforward filter 係數{ }W 對每次疊代而言都是一樣l 的，而 feedback filter 係數{Bl( )i}是根據第 i 次疊代而變化。由(4.2-11)式可以知道 迴授濾波器係數{Bl( )i}會隨著相關係數ρ( 1)i− 與線性濾波器係數{ }W 而變化，當l {W 固定時，l} {Bl( )i}的變化就只有跟相關係數有關連而已。
至於線性濾波器係數{ }W 的值，我們使用的是式子(2.4-4)的 MMSE 等化器l 係數，因為 MMSE 等化是一起考慮 ISI 與雜訊的影響，所以會有剩餘的 ISI 沒有 消除乾淨，我們就利用迴授來扣除那些剩餘的 ISI 影響。以 16QAM 為例，對於 不同疊代輸出的錯誤率比較如圖 5.3.3 與圖 5.3.4 所示，該比較是沒有加上通道編 碼的情況。
5 10 15 20 25 30 35 40
BER performance of BI-DFE, 16QAM, channel A
1st iteration (MMSE) 2nd iteration
3rd iteration perfect feedback
圖 5.3.3 16QAM 調變在通道 A 的情況下使用 BI-DFE 的錯誤率比較
BER performance of BI-DFE, 16QAM, channel B
loop 1 (MMSE) loop 2
loop 3 perfect
圖 5.3.4 16QAM 調變在通道 B 的情況下使用 BI-DFE 的錯誤率比較
由圖稍微可以看出在高 SNR 的情況下，第三次疊代處理已經有比 MMSE 等 化效能還來的好一點。效能不會好很多的原因就是 OFDM MMSE 等化器的處理 已經盡量把 ISI 成分消除掉了，而迴授處理的只是消除殘存的 ISI 成分，也只是 改善那些稍微的影響，但足以證明說我們有加上適應性迴授處理的效果真的有比 MMSE 等化好。
以通道 A 在 SNR＝30dB，16QAM 調變為例子，我們把一個 2048 點的 OFDM symbol 的星座圖來看每次等化處理後的變化，如圖 4.3.5 所示。其中(a)表示 OFDM 符元在接收端經過 FFT 之後的每筆資料位置，也就是還沒經過等化處理的資料 落點，由圖可以看出訊號受到通道影響後會散亂成一片，而且集中在零點附近。
(b)表示我們經過第一次疊代(也就是 MMSE 等化)處理後資料所座落的點，因為 是 16QAM 調變，所以等化器處理完的資料不管實部或虛部都落在-3, -1, 1, 3 的 位置，只是扔有其他的點比較散亂。(c)(d)表示同一個 OFDM 符元經過第二與第 三次疊代後的結果，與第一次的結果相比雖然差距不會很明顯，但卻可以看出某 些點的位置不同，那也就是不同疊代處理的效應。(e)表示迴授資訊皆是正確值迴 授的情況，也就是迴授等化所能達到的最好效能。
為了讓錯誤率比較更為明顯，我們使用 4.2.2 節說明過的 BI-DFE 配合通道 編碼的方法。由於我們使用的是區塊迴授系統，所以迴授部分的資料可以先解 碼，再以解碼過後比較正確的資料再經過一次編碼，然後代回去迴授扣除剩餘的 ISI 影響。因此，以比較正確的資料進行迴授後，處理完的資料當然也比較正確，
之後再進行決策與解碼以得到更好的效能。以 16QAM 調變在通道 A 與通道 B 來模擬，其錯誤率曲線如圖 5.3.6 與圖 5.3.7 所示。
(a) Before equalization
(b) 1st iteration (c) 2nd iteration
(d) 3rd iteration (e) Perfect feedback 圖 5.3.5 16QAM 調變在 block iterative 等化系統下，不同等化疊代數目處理後的 星座圖比較，通道 A，SNR＝30dB
5 10 15 20 25
1st iteration (MMSE) 2nd iteration
3rd iteration perfect feedback
圖 5.3.6 16QAM 調變加上通道編碼在 BI-DFE 的錯誤率比較，通道 A
1st iteration (MMSE) 2nd iteration
3rd iteration perfect feedback
圖 5.3.7 16QAM 調變加上通道編碼在 BI-DFE 的錯誤率比較，通道 B
由上述錯誤率的圖可以知道，當 BI-DFE 系統使用通道編碼的情況，跟 MMSE 線性等化器相比，效能差距更為明顯。在我們的模擬裡發現，使用的疊代數目越 高，模擬運算結果越久，效能應該是要越逼近於 perfect feedback 曲線。但我模 擬算到第 5 個疊代時發現，錯誤率其實跟第三個疊代很接近，也就是說到第三個 疊代時，疊代系統已經接近於穩定了。
到這裡我們對以上的模擬先下一個結論：從一開始的 OFDM DFE 係數設計 開始，我們只是以通道的資訊來設計等化器每次迴授的係數，所以每次迴授處理 的係數都是固定的，以這些固定的係數來等化同一筆 OFDM 資料，所得到的效 能是一樣的。但是當系統演變至 BI-DFE 系統時，我們是以通道資訊以及迴授資 料的正確程度來設計每次迴授所需的等化器係數，因此每次疊代的等化器係數都 會變化，所以每次疊代處理後的結果都會稍微的改進一些，直到迴授系統趨近於 穩定為止。
5.4 通道估測誤差對決策迴授等化器的影響
以上的模擬與比較都是基於接收端有完美的通道資訊，但在實際的系統裡，
傳收器必需要有一套通道估測的方法。對於使用頻域等化的 OFDM 系統來說，
所需的通道資訊是頻譜響應，所以估測的方法只要在不同的次載波(頻率)上插入 已知的訊息(pilot)，利用那些已知訊息的變化來求出整體的通道頻譜響應。傳送 端如何在傳送的資料內插入 pilot，而接收端如何利用那些 pilot 來估測通道的演 算法，pilot 位置上的通道響應我們是用 LS(least square)演算法來求出，而其餘傳 送資料的載波位置上的通道響應值是用一階線性內插法求出，我們在第二章都已 經有介紹過了，這裡我們就直接以模擬結果來分析通道估測對決策迴授等化器的 影響。
對於 comb-type 通道估測而言，我們知道估測誤差的來源有兩個，第一種情 況是 pilot 擺放密度不符合取樣定理，也就是有兩個 pilot 位置不在同調頻寬內，
如圖 5.4.1 所示，在這種情況下兩個 pilot 之間的通道變化太大，由內插法估測出 來通道響應與實際通道響應之間的誤差也會很大。另一個通道估測誤差的原因是 即使 pilot 密度符合取樣定理，而在通道內插時也會有誤差產生，如圖 5.4.2 所示，
這種內插誤差遠比第一種原因還來的小，而且如果使用的內插法越複雜、階數越 高，通道估測的誤差也會越小。
p( )
H i Hp(i+1)
( 1) p i+ ( )
p i
圖 5.4.1 Pilot 密度不夠時，內插法估出的通道響應與實際通道響應的差距
p( )
H i Hp(i+1)
( 1) p i+ ( )
p i p i( +2) ( 2) Hp i+
圖 5.4.2 Pilot 密度足夠時，內插法估出的通道響應與實際通道響應的差距
在我們使用的通道模型裡，通道 A 有較長的通道延遲，而通道 B 的延遲時 間較短，對頻譜來說通道 A 的變化比較快，反之通道 B 的變化比較慢，因此對 於通道估測來說，通道所需的 pilot 密度會比通道 B 還來的高。這裡我們使用 pilot ratio 為 1/4 與 1/8 兩種 pilot 密度來看，通道內插出來的平均 MSE 分別如圖 5.4.3 與 5.4.4 所示，很明顯可以看出在高 SNR 的情況，通道 B 估測的 MSE 會遠比通 道 A 估測的 MSE 還來的小。
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Average MSE (dB)
LS演算法在pilo space=4,8 的平均MSE的比較，Channel A
Average MSE (dB)
LS演算法在pilo space=4,8 的平均MSE的比較，Channel B PS=4 PS=8
圖 5.4.4 Comb-type 通道估測在不同 pilot ratio 的效能比較，通道 B
接下來我們把通道估測誤差納入 OFDM BI-DFE 系統，來看通道估測對傳輸 系統的影響。使用編碼率 1/2 的迴旋碼系統情況下，16QAM 調變模式在通道 A 與通道 B 估測的 pilot ratio=1/4 時的錯誤率曲線如圖 5.4.5 與 5.4.6 所示。由圖可 以看出在 pilot 密度高的時候，BI-DFE 在通道 A 與通道 B 估出的通道誤差小，
對我們的 OFDM 迴授等化系統影響還不至於很大，也可以看出在第三個 iteration
對我們的 OFDM 迴授等化系統影響還不至於很大，也可以看出在第三個 iteration