國 立 交 通 大 學
電 信 工 程 學 系
碩 士 論 文
OFDM 決策迴授等化系統設計與分析
Design and Analysis in Decision Feedback
Equalizer of OFDM System
研 究 生：施 義 浩
指導教授：張 文 鐘 博士
OFDM 決策迴授等化系統設計與分析
Design and Analysis in Decision Feedback Equalizer of
OFDM System
研 究 生：施義浩 Student：I-Hao Shih
指導教授：張文鐘 博士 Advisor：Dr. Wen-Thong Chang
國 立 交 通 大 學
電 信 工 程 學 系 碩 士 班
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Department of Communication Engineering College of Electrical Engineering and Computer Science
National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Communication Engineering
August 2005
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
OFDM 決策迴授等化系統設計與分析
研究生：施義浩
指導教授：張文鐘 博士
國立交通大學電信工程學系碩士班
摘
要
無線通道因為電磁波的反射、繞射等現象，會產生多重路徑干
擾的衰減現象(multi-path fading effect)，因而造成系統效能降低、錯
誤率提高等現象，所以在接收端都會使用等化器(equalizer)來補償通
道效應並抑制干擾與雜訊。等化器會依架構與演算法而分類，其中
以決策迴授等化器最能有效消除多路徑干擾且不會放大雜訊。
本篇論文主要的內容就是針對單載波系統(Single carrier system)
中的決策性等化器構造，設計並推廣到正交分頻多工系統(OFDM
system)，並且比較此架構與線性等化器架構的效能差異。此外，不
同的等化系統受到通道估測誤差、通道編碼的影響也會不同，所以
在這論文最後模擬的部分，我會把這些影響納入考慮並探討效能的
差異。
Design and Analysis in Decision Feedback Equalizer of
OFDM System
Student: I-Hao Shih
Advisor: Dr. Wen-Thong Chang
Department of Communication Engineering
National Chiao Tung University
ABSTRACT
Due to the reflection and diffraction of the EM wave, the wireless
channels have the multipath fading effects. These influences reduce the
system performance and the bit error rates of transmission raise.
Therefore, we use the equalizer at the receiver to compensate the
multipath channel influences and suppress the noise effect. The
architecture and algorithms of equalizers are different, and in which, the
decision feedback equalizer can remove the multipath interference
effectively without enhancing the noise.
In this thesis, we design the architecture and the algorithms of
decision feedback equalizer which originally belonged to the single
carrier system for OFDM system. We will compare the performances of
our architecture and the linear equalizer. Furthermore, different
equalization systems have different influences when they have channel
estimation errors or with channel coding systems, so we will take these
influences into account in the simulations which is in the end of this
thesis.
誌
謝
兩年的研究生涯已經到了尾聲，能完成這篇論文，首先我要感
謝我的指導教授張文鐘博士，藉由他在課業以及研究上的指導，讓我
踏入了無線通訊這個領域。還有感謝口試當天的委員：鐘嘉德教授、
蘇育德教授、林大衛教授，謝謝你們的建議跟指導，讓我的論文更為
完備。
其次我要感覺我實驗室的伙伴：家瑋學長、旃偉學長、心賢學
長、建華、其瑩、智維，在空閒時，能跟你們一起出遊跟唱歌，幫助
我釋放讀書研究的壓力，在忙碌時，有你們的鼓勵打氣以及互相討
論，讓我這兩年研究所的路走的並不孤單。然後我要感謝研究所這兩
年來的好室友：啟宗、銘福、櫸壇，謝謝你們在生活上的照顧，包容
我的作息，我受傷時能載我去看醫生，讓我在生活上能有個照應。
最後我更要感謝我的家人，我的求學生涯中多虧有你們的支持
與關懷，令我對未來人生有了方向。
目
錄
頁次 中文摘要 ……… I 英文摘要 ……… II 誌謝 ……… III 目錄 ……… IV 表目錄 ………VI 圖目錄 ………VII 第一章 簡介 ……… 1 1.1 背景知識 ……… 1 1.2 研究動機 ……… 2 1.3 論文組織 ……… 2 第二章 正交分頻多工簡介……… 3 2.1 OFDM 架構……… 3 2.2 通道效應與防護間區的插入……… 6 2.3 領航式通道估測 ……… 8 2.3.1 領航符號的位置安排 ……… 9 2.3.2 領航符號位置上的通道響應估測 ………12 2.3.3 通道內插 ………14 2.4 線性等化器 ……… 15 第三章 802.16 單載波調變系統等化器簡介 ……… 18 3.1 單載波系統的頻域等化器 ……… 18 3.2 單載波頻域等化器與迴授等化器………20 3.3 單載波與 OFDM 的共存系統 ………21第四章 OFDM 決策迴授等化系統 ………24 4.1 OFDM 決策迴授電路………24 4.1.1 OFDM DFE 架構………24 4.1.2 數學式子表示式與架構轉換………26 4.1.3 等化器係數演算法設計………27 4.1.4 雙重決策 OFDM 系統 ………29
4.2 Block iterative decision feedback equalizer ………31
4.2.1 BI-DFE 架構與等化器設計 ………31 4.2.2 編碼系統的延伸………37 第五章 OFDM 決策迴授等化系統模擬 ………40 5.1 系統模擬參數說明 ………42 5.2 OFDM 決策迴授系統模擬 ………44 5.3 OFDM BI-DFE 系統模擬 ………53 5.4 通道估測誤差對決策等化器的影響 ………60 第六章 結論 ………66 參考文獻 ………67
表 目 錄
頁次 表 5.1.1 系統模擬參數 ………42 表 5.1.2 通道模型的延遲與平均功率 ………43
圖 目 錄
頁次 圖 1.1 決策迴授等化器架構 ……… 2 圖 2.1.1 多載波調變系統傳輸架構 ……… 3 圖 2.1.2 分離式次載波頻率分配 ……… 4 圖 2.1.3 重疊式次載波頻率分配 ……… 4 圖 2.1.4 OFDM 傳送接收器的架構 ……… 5圖 2.2.1 沒有 guard interval 的 OFDM symbol ……… 6
圖 2.2.2 含有 guard interval 的 OFDM symbol ……… 6
圖 2.2.3 Cyclic prefix ……… 7
圖 2.2.4 含有 cyclic prefix 的連續 OFDM symbol ……… 7
圖 2.3.1 OFDM symbol 中 pilot 的編排方式……… 9
圖 2.3.2 以時域與頻域的方式來編排 pilot 的位置 ………10 圖 2.3.3 兩種常用的 pilot 編排方式 ………12 圖 2.3.4 一階線性內插法示意圖，pilot space=4 ………15 圖 3.1.1 SC-FDE 的傳送端架構………19 圖 3.1.2 SC-DFE 的接收端架構………19 圖 3.1.3 OFDM 等化器與 SC-DFE 複雜度比較 ………20 圖 3.2.1 SC-FDE 的決策迴授等化器架構 ………21 圖 3.3.1 SC-FDE 與 OFDM 的共存架構 ………22
圖 4.1.1 時域迴授的 OFDM block DFE 架構 ………25
圖 4.1.2 頻域迴授的 OFDM block DFE 架構 ………27
圖 4.1.3 雙重決策 OFDM 架構 ………30
圖 4.2.2 SC 決策迴授系統的編碼架構 ………39
圖 4.2.3 OFDM BI-DFE 的編碼架構 ………39
圖 5.0.1 不同調變方式在 AWGN 通道下的錯誤率 ………41
圖 5.0.2 不同調變方式在 Rayleigh fading 通道下的錯誤率………41
圖 5.1.1 Binary rate 1/2 convolutional encoder………44
圖 5.2.1 OFDM 完美迴授等化系統與線性等化系統在通道 A 的錯誤率比較…45 圖 5.2.2 OFDM 完美迴授等化系統與線性等化系統在通道 B 的錯誤率比較…45 圖 5.2.3 QPSK 調變在完美迴授等化系統下，線性等化係與不同迴授數目的效能 比較，通道 A………46 圖 5.2.4 QPSK 調變在完美迴授等化系統下，線性等化係與不同迴授數目的效能 比較，通道 B………47 圖 5.2.5 QPSK 調變在完美迴授等化系統下，線性等化器與不同迴授數目的星座 圖比較，通道 A，SNR＝20dB………48 圖 5.2.6 OFDM DFE 使用真實資料迴授的錯誤率比較 ………49 圖 5.2.7 OFDM DFE 使用真實資料迴授的錯誤率比較，通道 B………50 圖 5.2.8 雙重決策 OFDM 系統在通道 A 的錯誤率比較 ………51 圖 5.2.9 雙重決策 OFDM 系統在通道 B 的錯誤率比較 ………51 圖 5.2.10 以時域方式解釋 OFDM 在多路徑通道下的干擾情況………52 圖 5.3.1 QPSK 調變在通道 A 的情況下使用 BI-DFE 的錯誤率比較 …………54 圖 5.3.2 QPSK 調變在通道 B 的情況下使用 BI-DFE 的錯誤率比較 …………54 圖 5.3.3 16QAM 調變在通道 A 的情況下使用 BI-DFE 的錯誤率比較 ………56 圖 5.3.4 16QAM 調變在通道 B 的情況下使用 BI-DFE 的錯誤率比較 ………56
圖 5.3.5 16QAM 調變在 block iterative 等化系統下，不同等化疊代數目處理後的 星座圖比較，通道 A，SNR＝30dB………58
圖 5.3.6 16QAM 調變加上通道編碼在 BI-DFE 的錯誤率比較，通道 A………59
圖 5.4.1 Pilot 密度不夠時，內插法估出的通道響應與實際通道響應的差距…61 圖 5.4.2 Pilot 密度足夠時，內插法估出的通道響應與實際通道響應的差距…61
圖 5.4.3 Comb-type 通道估測在不同 pilot ratio 的效能比較，通道 A…………62
圖 5.4.4 Comb-type 通道估測在不同 pilot ratio 的效能比較，通道 B…………62
圖 5.4.5 OFDM BI-DFE 在 pilot ratio=1/4 的效能比較，通道 A………63
圖 5.4.6 OFDM BI-DFE 在 pilot ratio=1/4 的效能比較，通道 B………64
圖 5.4.7 OFDM BI-DFE 在 pilot ratio=1/8 的效能比較，通道 A………64
第一章 簡 介
1.1 背景知識
無線通訊的多重路徑效應會造成所謂的符號間干擾(inter-symbol interference, ISI)，意思就是傳送的的訊號受到反射、延遲等現象，繼而影響其他要接收的資 料，所以在接收端使用等化器的目的就是想把這些經由不同路徑傳送過來的通道 效應給補償掉。 一般來說，等化器可分為線性(linear)跟非線性(non-linear)兩種[1]，線性等化 器如強制歸零等化器(ZF-EQ)與最小平方誤差等化器(MMSE-EQ)等，ZF-EQ 的優 點就是架構簡單、容易實現，缺點就是在通道有嚴重衰減(deep-fading)時，等化 器會造成很嚴重的雜訊放大效應(noise enhancement)，而 MMSE-EQ 就是改善 ZF-EQ 會放大雜訊的問題，概念就是在有通道衰減的情況下同時考慮 ISI 跟雜訊，允許殘留 ISI 的影響以減輕雜訊放大的效應。
非線性等化器以決策迴授等化器(Decision feedback equalizer, DFE)最為普 遍。概念就是在一連串的資料傳輸系統，使用已經決策好的資料配合通道的資訊 來估測出 ISI 影響，然後在往後接收到的資料處理時會直接扣除這些 ISI 效應。 由此可知在良好的通道估測情況下，DFE 並不會造成雜訊放大的效果，這也就 是為何非線性等化器的效能會優於線性等化器的原因。
而決策迴授等化器的缺點就是迴授只能消除過去資料造成的 ISI (post-cursor ISI)，並不能消除未來資料造成的 ISI (pre-cursor ISI)。 因此一般的 DFE 系統都
會配合線性等化器來處理 pre-cursor ISI，如圖 1.1 所示。前端的 Feedforward filter(FFF)就是一種線性等化器，它雖然會放大雜訊，卻可以處理過去資料造成
的 ISI 也可以處理未來資料造成的 ISI，而後端的 Feedback filter (FBF)就是決策 迴授等化器，它雖然僅僅處理過去資料造成的 ISI 影響，但卻不會造成雜訊放大 的效應。
{ }rm {dm} {dm}
圖 1.1 決策迴授等化器架構
1.2 研究動機
正交分頻多工(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)系統是一 種有效的抵抗多重路徑效應的調變方式，它可以把多重路徑的通道影響等同於雷 利衰減(Rayleigh fading)通道影響。為了讓 OFDM 有進一步更好的效能，我們試 著把 DFE 架構運用在 OFDM 系統，
由之前的介紹可以知道，DFE 的架構適用在 Symbol-by-Symbol 的傳輸系 統，也就是一般單載波傳輸架構才會使用，而 OFDM 系統是以一整個區塊(block) 的資料為處理對象，因此 symbol-by-symbol 的決策迴授系統並不適用於 OFDM 調變方式，所以我的論文主要是提出 block feedback 的 OFDM 等化器架構，希望 藉由反覆性區塊決策迴授 (Block iterative decision feedback equalizer, BI-DFE)的 架構來提高整體的效能。
1.3 論文組織
因為我的系統都是以 OFDM 為主，所以論文的第二章將簡述 OFDM 系統中 的調變模式跟多路徑通道模型。另外，等化器的係數會決定於通道的狀況，所以 在接收端一定要有通道估測的功能，所以在論文的第二章也會簡單介紹領航式通 道估測(pilot-based channel estimation)的方法。第三章將簡單介紹單載波系統的 DFE 架構。第四章就會描述 OFDM 系統中 block-DFE 架構與演算法推導。第五
第二章
正交分頻多工簡介
正交分頻多工(OFDM)的概念就是將一串資料收集起來，利用多個不同且互 相正交的次載波(subcarrier)去平行傳送，以達到有效利用頻寬以及高速傳輸的目 的。另外，為了抵抗多重路徑的通道影響，OFDM 的資料傳送前端會外加防護 區間(Guard interval)來降低符號間干擾(ISI)，於是在接收端即可使用簡單的等化 器來消除 ISI 影響。這一章我們將介紹 OFDM 的架構、通道影響、通道估測以及 一般 OFDM 慣用的等化技術。2.1 OFDM 架構 [2]
OFDM 源於多載波調變 (Multi-carrier modulation) 系統，其架構如圖 2.1.1
所示，在傳送端一連串的資料(d d0, 1,...,dM−1)經過串列轉平行(serial-to-parallel, S/P) 處理後，把每個資料負載在不同的次載波上總和後一起傳送，M 代表所使用的次 載波數。 0 2 j f t e π 1 2 j f t e π 1 2 M j f t e π − 圖 2.1.1 多載波調變系統傳輸架構 多載波系統中 M 個次載波的頻率(f0, f1, ..., fM−1)選擇要特別考慮，以防止
不同頻率的訊號互相干擾(Inter-carrier Interference, ICI)。一般來說次載波的頻率 選擇有兩種方式，第一種就是每個次載波的頻段彼此分開不互相重疊，而且兩個
頻段間都得空出一小段頻率，我們稱為 Guard band，那是為了防止不同頻率間干 擾所必需添加的，如圖 2.1.2 所示。這樣一來只要接收端解調頻率正確，就不會 產生不同頻段互相干擾的問題，但是這種頻率選擇方式有很嚴重的頻寬浪費。而 另一種頻率選擇的方式就是讓每個次載波所使用的頻段有互相重疊，如圖 2.1.3 所示，只要所重疊的頻率滿足正交(orthogonal)的特性，此特性就是任一載波上的 峰值點會是其他載波上的零點的，如此一來接收端只要在次載波的峰值取樣，這 樣就不會受到其他次載波頻段的干擾了。此種方式可以省下不少的頻寬，讓頻率 使用更有效率，這也就是 OFDM 所使用的調變方式。 圖 2.1.2 分離式次載波頻率分配 圖 2.1.3 重疊式次載波頻率分配
在實際硬體上，OFDM 可以使用逆離散傅立業轉換(Inverse-Discrete Fourier Transform, IDFT)來滿足每個次載波的正交性。為了簡化起見，我們只考慮基頻
(baseband)訊號，時域上 OFDM symbol 傳送模式可用數學式子表示為：
2 1 0
1
for 0,1, ....,
1
M j lm M m l la
A e
m
M
M
π − ==
∑
=
−
(2.1-1)其中，M 表示使用的次載波數，Al代表負載在第 l 個載波上的資料，而a 的物m
理意義就是 M 個弦波的總和。以複雜度來分析的，IDFT 需要 M2個複數乘法器，
若選擇 M 為 2 的次方數 (M =2 )x ，則 OFDM 調變可以更有效率的使用逆快速傅
立業轉換(Inverse-Fast Fourier Transform)來實現，因此只需要( /2) log (M ⋅ 2 M)個複
數乘法器，所以當 M 的選擇越大，則 IFFT 的複雜度會遠比 IDFT 來的低。 圖 2.1.4 表示 OFDM 傳送接收器的區塊圖。一開始的二位元資料以調變方式 (如 PSK、QAM 等)做對應，再經過串列轉平行(serial-to-parallel, S/P)後的資料
{ }A ，就送入 IFFT 區塊去做轉換，IFFT 把資料轉換為時域上的信號後，經過平l
行轉串列(parallel-to-serial, P/S)後可得一連串要傳送的信號{ }am ，最後再加上一
段循環字首(Cyclic-Prefix, CP)後就是一整個 OFDM 傳送的 symbol{ }am ，其中加
上 CP 的目的是為了減輕多路徑通道的效應，至於 CP 的內容將於下個小節介紹。 OFDM symbol 經過通道後來到接收端，在接收端一開始的處理是先移除掉 CP， 然後通過 S/P 跟 FFT 後轉回頻域的訊號{ }R ，再經過一個線性等化器還原通道效l 應，得到的輸出{ }Y 即是我們要偵測的訊號。 l 0 A 1 A 1 M A − 0 a 1 a 1 M a − m a am m r m r 0 r 1 M r − 0 R 1 R 1 M R − 1 r 0 Y 1 Y 1 M Y − 圖 2.1.4 OFDM 傳送接收器的架構
2.2 通道效應與防護間區的插入
OFDM 最大的特色之一就是該系統能有效的對抗多重路徑干擾，由於 OFDM 把 M 筆資料放在不同的次載波上傳送，所以每筆資料傳送的時間(symbol time) 可以拉長為 M 倍。當 M 越大，多重路徑的延遲即遠小於 symbol time。圖 2.2.1 表示一個簡單的雙路徑通道的情況下，OFDM symbols 可能遭受到的影響。圖中 上面的區塊表示兩個連續傳送的 OFDM 資料，而下面的區塊代表同一筆資料經 過反射、延遲後到達的資料，灰色的部分表示受到多重路徑而延遲收到的第 n 個 OFDM symbol，會影響沒有延遲的第 n+1 個 OFDM symbol。圖 2.2.1 沒有 guard interval 的 OFDM symbol
因此我們會在連續的兩個 OFDM symbol 之間空出一段時間，好讓不同 symbol 之間不會互相干擾，如圖 2.2.2 所示。但是這樣又會衍生出另一個問題，
如圖灰色的區塊表示，因為空出一段空白的時間，以致於延遲收到的資料會造成 載波間的正交性消失，造成不同載波之間的干擾。
圖 2.2.2 含有 guard interval 的 OFDM symbol
不是不傳資料，而是傳送一小段該 symbol 的後半部資訊來滿足相同 symbol 之間 的正交性，我們稱之為循環字首(Cyclic Prefix, CP)，如圖 2.2.3 所示。
圖 2.2.3 Cyclic prefix
圖 2.2.4 表示加上 CP 的連續 OFDM symbol 在雙路徑通道下傳送的情況，以 第 n+1 個符號來看，假設 CP 的長度大於通道脈衝響應(channel impulse response) 的長度，所以沒有延遲的路徑在 FFT 區間是一整個正確的 OFDM 資料，而受到 延遲的路徑在 FFT 區間則會變成一個迴旋偏移(circular shift)，所以我們可以根據 這樣的特性，把 FFT 區間內收到的資料表示成 OFDM 傳送的資料跟通道脈衝響 應作迴旋積(circular convolution)。
圖 2.2.4 含有 cyclic prefix 的連續 OFDM symbol
假設 N 代表循環字首的長度，也就是我們複製後端傳送資料的長度，以圖 2.1.4 的符號表示，加上 CP 後我們傳送的時域訊號{am}可以表示為： 2 1 ( ) 0
1
0
(
1)
M j l m N M m l la
A e
m
M
N
M
π − − ==
∑
≤
≤
+
−
(2.2-1) 通過通道後收到的資料{ }rm ，可以表示成傳送資料與通道脈衝響應的線性旋積 (linear convolution)再加上雜訊：0
1
m m m mr
=
a
∗
h
+
n
≤ ≤
m
M
+ + −
N
L
(2.2-2) 其中h 為通道脈衝響應，L 為通道的最長路徑延遲，而m n 為加成性白色高斯雜m 訊(AWGN)，對非時變通道而言h 的值不隨時間而改變。把(2.2-2)式去掉 CP 後m 可得 OFDM 有效資料的部分{ }rm ，而且{ }rm 可以等效於真正傳送資料{ }am 與通 道脈衝響應的迴旋積加上雜訊：0
1
m m m mr
=
a
⊗
h
+
n
≤ ≤
m
M
−
(2.2-3)其中符號⊗表示迴旋積(circular convolution)。因此 OFDM 有效資料部分經過 FFT
後轉回頻域訊號後，輸出可簡單的表示成原始訊號與通道頻譜響應的乘積：
for 0,1, 2,...,
1
l l l l
R
=
A H
⋅
+
N
l
=
M
−
(2.2-4)由上式可以知道，OFDM 系統經過多路徑通道後，通道效應在頻域上可以 等同於訊號受到平坦衰減效應(flat fading effect)，因此要做通道效應的補償最簡
單的只需要把{ }R 除以通道響應{l Hl}即可： l l l R Y H = ，故 OFDM 等化器處理的複 雜度很低。但是這樣又會有雜訊放大的問題產生，所以才會有 MMSE 等化器設 計，以及我們所提出來的 OFDM 決策迴授的概念，以減低雜訊放大的問題。
2.3 領航式通道估測
由上面的介紹，我們知道訊號會受到通道的衰減而失真，而在接收端要還原 受損的資訊時，要知道通道的資訊，所以需要有通道估測的方法。OFDM 系統 的通道估測可以分為領航式(pilot-based)[3][4]通道估測以及盲目式(blind-based)[5] 通道估測兩種。領航式通道估測就是在傳送的資訊中額外加入一些已知的訊息， 我們稱做為領航符號(pilot)，接收端就是利用那些已知訊息經過通道後的變化， 去估測出整體的通道響應，而盲目式通道估測則是利用接收端收到資訊的正確性 來估計通道。一般來說，領航式通道估測需要付出額外的頻寬去傳送 pilot，但相 對的會有比較準確的估測能力，複雜度也比較低，而盲目式通道估測的優點就是可以不浪費額外的頻寬，但估測出來的通道誤差會較大。在這篇論文裡，我們比 較的是通道估測誤差對等化器效能的影響，所以只考慮效能較佳而且複雜度低的 領航示通道估測。
2.3.1 領航符號的位置安排
領航符號的位置、密度會隨著不同的通道響應而有所改變，對一個 OFDM symbol 而言插入 Pilot 的方式如圖 2.3.1 所示，其中 pilot carrier 的位置就是代表
該次載波是用來傳送 pilot 的，而 data carrier 是用來傳送我們要傳的資料的次載 波。由圖可以看出 pilot 的密度越高，用來傳送 pilot 的載波就越多，相對的用來 傳送資料的頻寬就變少了。
圖 2.3.1 OFDM symbol 中 pilot 的編排方式
將傳送的連續資料經果 S/P 之後的二維排列，也就是把 pilot 安排在時域與 頻域來看，如圖 2.3.2 所示，其中橫軸是時間函數，代表不同的 OFDM 封包，每 個封包為一個單位；縱軸是頻率函數，代表不同的 OFDM 次載波，每個次載波 為一個單位。白色的區塊是要傳送資料的次載波，而灰色的區塊則用來傳送 pilot 的次載波。 接收端收到資料後的估測方式就是，先利用灰色部分已知的 pilot 資訊，配 合在 pilot 位置上收到的訊號，估測出該點的通道值，之後再以內差法的方式計 算出白色區塊(真正傳送的 data)的通道值。若先以一個時間點來看，就是對一個 OFDM symbol 做通道估測，用 pilot 算出的通道值做內插法後，得到是該 OFDM
的 OFDM symbol 通道(含有 pilot 的 symbol)，用時間軸上的內插法去估計沒有 pilot 的 OFDM symbol 的通道響應。
圖 2.3.2 以時域與頻域的方式來編排 pilot 的位置
對同一個 OFDM symbol 而言，Pilot 數目的多寡會影響 pilot 間隔(pilot spacing)，pilot 數越多表示 pilot spacing 越小，也代表 pilot 的密度越大，pilot 的
密度越大，則使用內插法計算通道響應的誤差較小，通道估測越準確，但是 pilot 的數目越多，就會減少 data 的傳送量。相對的來說，如果 pilot 數目太少，雖然 所能傳送的資料量多，卻會導致內插法的誤差提高，所以這面臨一個通道估測準 確性跟資料傳送率之間的取捨(trade off)問題。 對通道來說，安排 pilot 就如同對該通道響應做取樣，由取樣的值來做內插 法求其餘的點，所以不管是對時間軸上或者頻率軸上取樣，都需要滿足 Nyquist 取樣定理(sampling theorem)：取樣頻率必需大於兩倍單邊頻寬。以時間軸上的變 化來說，變動的頻寬是都卜勒擴散(Doppler spread) max D f ；而頻率軸上的變動頻寬
max t D f > f max f f >τ 其中 f 與t f 分別為時間與頻率軸上 pilot 擺放的頻率，取倒數後分別可看成時間f 軸與頻率軸上 pilot 的間隔： max 1 1 p t D t f f ∆ = < (2.3-1) max 1 1 p f f f τ ∆ = < (2.3-2) max 1 D f 我們定義為同調時間(coherent time)，意義就是說在這段同調時間內通道受 到都卜勒擴散會一致，而 max 1 τ 定義為同調頻寬(coherent bandwidth)，意義就是那 這段同調頻寬內，所遭受到的延遲擴散會一致。因此簡單的來說，任兩個 pilot 在時間軸上的距離至少要小於同調時間；且任兩個 pilot 在頻率軸上的距離至少 要小於同調頻寬，如此一來 pilot 之間的通道變化不會太大，用內插法即可比較 準確的估測出通道。 不同的通道環境適合不同的 pilot 編排方式[6]，其中兩種最常被使用到的 pilot 編排方式，如圖 2.3.3 所示。第一種編排方式稱為 block-type，如圖 2.3.3(a)，
此種編排方式的 pilot 佔滿某幾個特定 OFDM 的整個 symbol，因此我們不需要做 頻率軸上的內插法，而是利用 pilot 排滿的 OFDM training symbol 去估測該時段 的通道響應，再利用兩個 training symbol 得到的通道去內插其他時間點上的通道 響應，所以可以看出，這種 pilot 編排方式適合使用在慢速衰減(slow fading)的通 道。第二種編排方式稱為 comb-type，如圖 2.3.3(b)，此種編排方式跟第一種相反， 它是把 pilot 安排在每個 OFDM symbol 的相同次載波位置上，而且每個 OFDM symbol 都是平均插入 pilot。因此我們不需要做時域上的內插，而是只需要頻域
上的內插法即可求出整個通道響應，所以這種編排方式適合使用在快速衰減(fast fading)的通道環境。
圖 2.3.3 兩種常用的 pilot 編排方式
在我們第五章的模擬裡，雖然使用的是固定式通道模型，比較適合 block-type pilot 編排方式，但是我們的目的是為了比較通道誤差對我們等化器設計的影響，
所以採用的是 comb-type 編排方式來估測每個 OFDM symbol 的通道，所以之後 的演算法介紹，都是以 comb-type 來進行討論。
2.3.2 領航符號位置上的通道響應估測
假設 Np代表每個 OFDM symbol 插入的 pilot 數目，Xp(m)代表第 m 個 pilot
所傳送的值，m 的值介於 1～Np-1 之間，對於 comb-type 而言，將 pilot 的值均勻 插入要傳送的資料後，我們可以把要傳送的訊號表示為：
( )
0,
0,1,...,
1
( )
(
)
information data
1, 2,...,
1
p p p pX
m
l
m
N
X k
X mL
l
l
L
=
=
−
⎧⎪
=
+ = ⎨
=
−
⎪⎩
(2.3-3) 其中 Lp＝M/Np代表任兩個 pilot 之間的間隔，也就是說每 Lp個資料中第一個訊號 是 pilot，其餘才是真正要傳送的資料。而 Xp(m)的值可以是任意的複數，也可以 全部固定為同一個值以減少運算複雜度。假設 Hp(m)代表第 m 個 pilot 位置上的通道響應，而矩陣 Hp表示 Np個 pilot 位置上通道響應的集合：
(
)
(
)
(0)
(0)
(
)
(1)
(
1)
1
p p p p p p pH
H
H L
H
H
N
H
N
L
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
−
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
pH
(2.3-4) 接收端收到 pilot 位置上的訊號為Y m
p( ) , m=0...N
p−
1
，以矩陣表示為全部集 合可得：(
)
(0)
(0)
(
)
(1)
(
1)
(
1)
p p p p p p pY
Y
Y L
Y
Y N
Y
N
L
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
−
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
pY
(2.3-5) 我們不考慮次載波之間的干擾，由式子(2.2-4)的結果可知 pilot 上接收到的訊號可 表示成： P p p pY = X H + N
i
(2.3-6) 其中 Xp是表示 pilot 值的矩陣，內容如下：( )
( )
(
)
0
0
0
0
1
0
0
0
1
p p p pX
X
X
N
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
pX
(2.3-7) Np矩陣表示 pilot 位置上的雜訊。 我們的目的就是要求得 pilot 位置上的通道響應 Hp，以下我們使用一種最簡 單常用的最小平方差(Least Square, LS) 演算法。在式子(2.3-6)中，我們已知的訊 號為Y 與p X ，要估計通道響應p H 使平方誤差p 2 ⋅ p p p Y - X H 最小，由[4]可以知道 最佳解為：⋅
-1 p p pH = X
Y
(2.3-8) 把(2.3-5)(2.3-7)代入上式後，可以得到：(0)
(0)
(0)
(1)
(1)
(1)
(
1)
(
1)
(
1)
p p p p p p p p p p p p pY
X
H
Y
H
X
H
N
Y N
X
N
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
−
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
H
(2.3-9) 雖然 LS 演算法的複雜度低，但是卻很容易受到雜訊的影響而導致通道估測的不 準確，所以有其他通道估測的演算法被提出來得到更好的估測效能，但在這論文 裡我不是要比較通道估測的準確度，而是要探討估測誤差對我們系統的影響，所 以就不繼續介紹其他更準確、更複雜的演算法。 2.3.3 通道內插 當我們估測出 pilot 位置上的通道響應{Hp}後，即可使用內插法求得其他用 來傳送真正資料的載波位置上的通道響應，內插法的方式有一階、二階相位補償 內插法等。一般來說，越高階的演算法估測出來的通道會越接近真正的通道值， 但是複雜度也相對的高。在我們的模擬裡面，會用到的是一階線性內插法，概念 如圖 2.3.4 所示，箭頭的部分表示 pilot 估出來的通道{Hp}，其餘圓圈上的通道 值就是我們要利用內插法運算的目標，對第 k 個次載波而言通道響應為H k 可( ) 表示成： interp( ) for
0,
0...
1
( )
(
)
(
+ ) for
1...
1,
0...
1
p p p p p pH
m
l
m
N
H k
H mL
l
H
mL
l
l
L
m
N
⎧
=
=
−
⎪
=
+ = ⎨
=
−
=
−
⎪⎩
(2.3-10)其中
H
interp(
mL l
+
)
是利用內插法估測出來的通道響應值，利用一階線性內插法 公式，可得： interp p1
(
)
p( )
(
p( )
p(
1))
0
, 1
m
N
1
pH
mL l
H
m
H
m
H
m
l
L
L
+ =
+
−
−
< <
≤ ≤
−
(2.3-11) (0) p H (1) p H (2) p H ( 1) p p H N − ( 2) p p H N − 圖 2.3.4 一階線性內插法示意圖，pilot space=4 做完內插法後，通道估測就已經完成了，至於通道估測的誤差我們以均方誤 差(Mean square error, MSE)來當指標，定義為：2 interp
( )
( )
MSE
=
E H k
⎡
⎢
−
H
k
⎤
⎥
⎣
⎦
(2.3-12) 其中 k 需滿足(
m
−
1)
L
p< <
k
mL
p，m
=
1 ~
N
p−
1
。 當估測出通道響應值後，接收端即可利用這些資訊，對接收到的訊號進行通 道還原，下一節我們先不考慮通道估測的效應，直接假設通道效應為已知然後去 介紹一般 OFDM 慣用的等化技術。2.4 線性等化器[7]
在 2.2 節我們已經介紹過接收到訊號Rl =Hl⋅ +Al Nl，若要還原通道效應， 最直接的方法是把R 直接除以通道效應，我們稱此方法為強制歸零(Zero forcing, l ZF)等化：for 0,1,...,
1
l l l l l lR
N
Y
A
l
M
H
H
=
=
+
=
−
(2.4-1) 其中Nl/H 就是雜訊除以通道響應，這一項會影響我們接收端資料的偵測，尤其 l 當H 的值很小時，會嚴重的放大雜訊，要改善這個影響就會有最小均方誤差等l化器(Minimum mean square error, MMES)的等化方法，假設{ }W 為接收端的等化l
器係數，所以接收到的資料經過等化器後輸出為：
for 0,1,...,
1
l l l l l l l lY
=
W R
⋅
=
W H
⋅
⋅ +
A
W N
⋅
l
=
M
−
(2.4-2) 所以均方誤差可以定義為E Y⎡⎣ l−Al 2⎤⎦ ，假設訊號跟雜訊都是互相獨立而且平均 為零，把(2.4-2)式代入後整理可得： 2 2 2 2 21
l l a l l n lMSE
=
E Y
⎣
⎡
−
A
⎦
⎤
=
σ
W H
⋅
− +
σ
W
(2.4-3) 其中 2 a σ 與 2 n σ 分別是訊號與雜訊的平均功率，由式子可以看出，均方誤差的值會 隨著通道影響與等化器係數而變化，因為通道影響對傳輸系統而言是固定的，所 以我們要設計最佳的等化器係數{W 使得 MSE 最小，而且由(2.4-3)式可以看出l} MSE 是以{W 為變數的二次曲線，所以可以由微分的概念求出一組最佳的等化l} 器係數使得 MSE 最小，經過微分後可得最佳係數為： 2 2 2for 0,1, 2,...,
1
(
/
)
l l l n aH
W
l
M
H
σ σ
∗=
=
−
+
(2.4-4) 結果可以看出，MMSE 等化方式不僅僅只是為了消除通道影響，而是必需 同時考慮通道響應大小與雜訊功率，最小化兩者所造成的均方誤差，這表示說 MMSE 等 化 器 造 成 的 雜 訊 放 大 效 應 會 比 ZF 等 化 器 來 的 小 ， 可 是 在 高 SNR(Signal-to-Noise Ratio)的情況下，(2.4-4)式中(σ σn2/ a2)跟通道效應比起來會相 對的小，所以 MMSE 等化器係數會近似 ZF 等化器係數。這個物理意義就是在高 SNR 的情況下，雜訊的影響會遠比通道效應來的小，所以在等化器設計時我們 只要對通道去做補償即可。不管是 MMSE 或者 ZF 等化器，都會有雜訊放大的影響，尤其在通道有零點 的情況下更為嚴重，所以我們在第四章提出了決策迴授等化器(Decision feedback equalizer, DFE)運用在 OFDM 的系統上的演算法，目的是希望藉由決策迴授等化
第三章 802.16 單載波調變系統等化器簡介
近年來，無線寬頻存取(Broadband wireless access, BWA)技術有很大的進步， 例如增加無線通訊系統的輕便性、提升傳輸速度與效能的維持，其中以提升傳輸 速度的技術更令人感興趣， BWA 技術希望能提供 10Mb 每秒的傳輸速度，來滿 足客戶對無線傳輸速度的要求。國際電機電子工程師協會(IEEE)訂定了一套 802.16a 的 標 準 [8] ，來規定一個都會型區 域網路 (Metropolitan area network,
MAN)，該技術中定義了三種傳輸模式：Single carrier, OFDM and OFDMA，其中
我們最感興趣的就是單載波調變系統對抗多路徑干擾的技術。 我們知道單載波調變系統不能像 OFDM 一樣，能有效抵抗多路徑干擾的通 道效應，原因就是原始單載波等化器的架構是以時域的方式處理 ISI 影響，所以 在[9][10][11]文獻裡有提出一套特殊的等化技術，讓單載波調變系統也使用頻域 的等化方式，使效能能夠媲美 OFDM 傳輸系統。所以在這一章裡面，我們會稍 微介紹這個新的等化技術，然後在下一章，我們再試著把這個等化技術推演至 OFDM 系統。
3.1 單載波系統的頻域等化器
對單載波調變系統而言，資料都是負載在同一個載波上，若為了滿足我們所 需要的高傳輸率，傳送端則必需以很高的符元率(symbol rate)來調變。例如說在 QPSK 調變模式下，要達到 10Mb 每秒的速度，則符元率必需高達 5M symbol 每 秒，對於以往的技術而言，高符元率代表符元傳送時間(symbol time)很小，因此 受到多路徑通道的影響會更嚴重，例如說在符元率為 5M symbol 每秒的系統下， 傳輸受到 10 us 的延遲時，就等同於 ISI 會對以後的第 50 個符元造成影響，因此 一般時域等化器架構的複雜度就會相對的提高。 後來有人把 OFDM 等化的技術拿來應用，而提出了單載波頻域等化的方法(Single-carrier with frequency domain equalization, SC-FDE)，該觀念跟 OFDM 一 樣，就是把單載波的資料以整個區塊(block)來做處理。所以在傳送端，必需先規 定哪些資料為一個區塊，然後再傳送。又為了要滿足頻域等化器的條件，如第二 章所述，也就是要讓接收的資料是傳送資料與通道脈衝響應的迴旋積，所以也要 在資料傳送前端加上一串循環字首(Cyclic Prefix)，其傳送架構如圖 3.1.1 所示。 圖 3.1.1 SC-FDE 的傳送端架構 在接收端的處理，一開始跟 OFDM 系統一樣，去除循環字首後，把接收到 的 M 個符元收集起來，再經過串列轉平行(S/P)後即可做 FFT 處理，FFT 輸出後 就是頻域訊號了。跟以往單載波調變不同的是，SC-DFE 系統是在頻域上對通道 做等化處理，就是在頻譜上對每個載波去做 1 tap 的複數乘法。等化器處理後完 的訊號再經過 IFFT 轉回原來的時域訊號後，即可對每個符元去做偵測，整體接 收端架構如圖 3.1.2 所示。 圖 3.1.2 SC-FDE 的接收端架構
單載波系統使用頻域等化器跟 OFDM 系統的複雜度比較，如圖 3.1.3，圖的 上半部是 OFDM 整體的傳送與接收系統架構，而下半部是單載波使用頻域等化 方式的價構圖。我們根據兩個架構的區塊來看，可以發現 OFDM 與 SC-FDE 不 同的地方只有 IFFT 區塊的位置。這就是表示說 SC-FDE 的複雜度是跟 OFDM 系 統一樣的，而且根據文獻上的說明，我們可以知道單載波系統沒有 OFDM 特有 的 PAPR(peak-to-average-power ratio)問題，因此在實際的傳輸系統中，反而比 OFDM 節省功率放大器的使用。 圖 3.1.3 OFDM 等化器與 SC-FDE 複雜度比較
3.2 單載波頻域等化器與迴授等化器
在多路徑通道有嚴重衰減的情況下，決策迴授等化器(DFE)可以減低線性等 化器造成的雜訊放大效應，而有比線性等化器更好的效能，所以在單載波調變系 統下，常會使用 DFE 來改善系統錯誤率。決策迴授等化器最原始的設計是 symbol-by-symbol 的架構，也就是說資料決策後就直接迴授到以後要處理的訊 息，以消除他對以後資料所造成的 ISI 影響。 對我們前一節介紹的單載波頻域等化器而言，等化器處理完且在決策前，我們必需把資料經過 IFFT 轉回時域的訊號，這樣才能對每個符元去做決策。所以 就有人結合了頻域與時域等化的概念，而提出了頻域等化器加上決策迴授系統， 如圖 3.2.1 所示，圖中前半部是單載波頻域等化器，是以 M 點的區塊資訊一起處 理通道效應。圖的後半段即是迴授等化器，訊號傳送與多路徑干擾都是以時域的 概念來描述，又因為頻域等化器的輸出即是時域訊號，因此我們可以直接決策後 迴授處理頻域等化器沒處理完的 ISI 成分。 圖 3.2.1 SC-FDE 的決策迴授等化器架構 多加上決策迴授系統，是希望藉由兩個等化器架構彼此分工合作，一方面處 理 ISI 效應，另一方面抑制雜訊放大的效果。所以在設計等化器係數部分，演算 法必需同時考慮這兩個等化器係數，因此數學推導的過程也比一般的線性等化複 雜的多。為了改善每次通道改變就得重新設計等化器係數的情況，也有人提出了 LMS 跟 RLS 等適應性等化系統，以簡化接收端的運算量。
3.3 單載波與 OFDM 的共存系統
我們知道無線通訊的使用都是以簡化用戶端(subscriber)的複雜度為主，原因 是為了讓無線通訊用品達到輕薄省電的目的，所以我們會希望把複雜度高的運算 留給基地台(base-station)去處理。因此對於資料的傳送與接收而言，可以定義一 個雙模(dual-mode)系統，雙模的意思就是讓傳送與接收的資料處理方式不同，因 此我們可以把運算少的處理模式都用在用戶端，運算多的模式都留給基地台。由圖 3.1.3 的比較可以知道，單載波使用頻域等化器跟 OFDM 等化器的架構 相比，只有 IFFT 處理位置的不同。OFDM 是在傳送端發射訊號前就處理 IFFT 運算，而在 SC-FDE 的系統，則是在接收端頻率等化器輸出後才做 IFFT 運算。 因此我們可以歸納出對傳送端而言，SC-FDE 的傳送端的複雜度比較低，可是對 接收端而言，OFDM 等化器的接收端擁有較少的複雜度。 因此就有研究提出了 OFDM 與單載波共存的架構，如圖 3.3.1 所示。根據定 義，資料從用戶端傳送到基地台的傳輸過程，我們稱之為上行(uplink)，而資料 從基地台傳送到用戶端，我們稱之為下行(downlink)。所以基於複雜度來考慮， 對於用戶而言，為了節省運算的複雜度，上行的部分可以使用複雜度較低的 SC-FDE 傳送系統，而下行的部分則換成 OFDM 等化器系統，因此由圖 3.3.1 可 以看出用戶端的架構比基地台還要小了許多。簡單來說，該共存架構就是用戶端 都不處理 IFFT 運算，而是把那些運算都留給基地台去處理，好讓用戶端有簡化 的架構。 圖 3.3.1 SC-FDE 與 OFDM 的共存架構 以上就是我們簡單介紹單載波調變系統的最新等化技術，其中我們最感興趣 的就是頻域等化器配合決策迴授系統，一般來說決策迴授等化器是適用於
symbol-by-symbol 的架構，這與 OFDM 的區塊(block)處理不同，所以我們再下一
章將稍微改變迴授的架構，變成以區塊迴授為基準，期望 OFDM 系統也能有決 策迴授等化的效果。
第四章 OFDM 決策迴授等化系統
在上一章我們已經簡單介紹了單載波調變系統，使用頻域等化器後再利用決 策迴授等化器處理剩餘的 ISI，這一章的研究就是以那些理論與演算法為基礎， 把決策迴授系統運用到 OFDM 調變，期望讓原本就有頻域等化的 OFDM 系統也 能有決策迴授的效能改善。一般來說，多路徑通道效應是在時域上的干擾，所以 決策迴授的架構是即時決策後即時迴授，而且迴授部分都是在時域上去扣除 ISI 影響的，但是對於資料都負載在頻域上的 OFDM 系統而言，就沒辦法讓每一筆 資料決策後就立刻在時域上迴授到下一筆資料，為了跨越這項限制，我們試著用 區塊迴授(block-feedback)的等化器概念來處理多路徑干擾。 區塊迴授的意思就是說，我們先針對同一個 OFDM symbol 去做處理，一次 處理一整個 OFDM block，而且把該次處理完決策後的結果當作迴授資料，然後 再以時域迴授的概念代回去處理同一筆 OFDM 資料以消除 ISI 影響。以下我將介 紹我們所做的兩種 OFDM DFE 的架構以及演算法，這兩種演算法都是由單載波 DFE 的概念推演而來的。4.1 OFDM 決策迴授電路
跟一般的線性等化器不同的是，決策迴授等化器是把 ISI 影響分成兩個階段 處理，如圖 1.1 所示，把接收到的資料先經過線性濾波器後，再利用之前決策好 的信號來扣除 ISI 影響，所以線性濾波器與迴授濾波器的係數就是我們演算法要 設計的，目標是讓兩個濾波器的處理能夠彼此配合而消除通道效應。 4.1.1 OFDM DFE 架構 決策迴授等化器演算法的推導概念就是假設迴授的資料正確，再代回以後的 資料去處理 ISI 影響，因此我們先不考慮迴授資料有錯誤的情況。OFDM blockDFE 的最初架構如圖 4.1.1 所示，該架構是參考單載波系統，使用頻域等化加上 時域決策迴授的系統而推演出我們的架構。假設線性濾波器的輸出為{ }Y ，是 Ml 點頻域上的訊號，為了處理迴授的問題，我們再把{ }Y 經過 IFFT 轉回時域的訊l 號{ }ym ，這樣一來才能利用時域的概念扣除 ISI 影響。 我們知道迴授處理主要是針對 ISI 來設計等化器，假設迴授的資料為正確的 訊號{ }Al ，為了扣除在時域上的多路徑效應，我必需先把訊號轉成真正在通道上 傳送的訊息，所以經過 IFFT 之後可以得到 M 點時域傳送的訊號{ }am 。假設 f 表k 示等化器對通道第 k 個延遲的迴授量，至於 k 的大小跟數目是隨著我們等化器設 計而定，所以對第 m 個時間點而言，迴授的成分可以寫成x ： m B m m k k k F
x
a
−f
∈=
∑
⋅
(4.1-1) 其中 FB代表迴授路徑的集合，B 代表迴授處理的路徑數，B 越大迴授處理的 ISI 越多，若 B=0 表示我們不做迴授部分，只考慮線性等化器。在這裡我們可以把 迴授濾波器看成一個迴授的脈衝響應，所以迴授成分{ }xm 可以視為傳送的訊號與 該脈衝響應的迴旋積。 把線性濾波器的輸出{ }ym 扣除迴授的成分{ }xm 後，可得等化器處理完的輸 出{ }
zm ，再經過 FFT 轉回頻域訊號{ }Z 後，才是我們 OFDM 要決策的資料。需l 要注意的是，迴授資料{ }Al 的求法會在稍後介紹，而且在實際系統模擬裡，把{ }Al 當作正確的訊號會影響模擬結果，因此我們在 4.2 節會對此假設作修正。 { }Al4.1.2 數學式子表示式與架構轉換 假設每個 OFDM 使用的次載波數目為 M，負載在這些次載波上的資料為 { }, 0,1,...,Al l= M−1，通道頻譜響應為
{ }
Hl ，由第二章的介紹我們知道在接收端 的 FFT 輸出{ }
R 為： l{ }
for
0,1, 2,...,
1
l m l l lR
=
FFT r
=
A H
+
N
l
=
M
−
(4.1-2) 其中{ }
Nl 為 M 個 AWGN 雜訊經過 FFT 後的輸出。假設圖 4.1.1 的 Feedforwardfilter 跟 feedback filter 係數分別為
{ }
W 跟{ }l fk ，這也就是我們演算法要去設計的。這裡值得提醒的是，此架構中我們 Feedforward 濾波器是跟一般 OFDM 使用 的等化器一樣，在頻域上對每個次載波做通道等化，而 feedback 部分則是先假設 { }fk 是時域上的迴授量。所以經過迴授後的輸出為： *
{
}
for
0,1, 2,...,
1
B m m m l l k m k k Fz
y
x
IFFT R W
f
a
−m
M
∈=
−
=
−
∑
⋅
=
−
(4.1-3) 再經過 FFT 後，也就是要送入決策的資料為： * 2 *for
0,1, 2,...,
1
B B l l l k m k k F j kl M l l l k k FZ
R W
FFT
f
a
R W
A
f
e
l
M
π − ∈ − ∈⎧
⎫
⎪
⎪
=
−
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
=
−
⋅
=
−
∑
∑
i
(4.1-4) 對每個載波 l 而言，我們假設一個迴授係數(feedback coefficient)B ： l 2 * B j kl M l k k FB
f
e
π − ∈=
∑
⋅
(4.1-5) 迴授係數的意義就是說，不同路徑(k)對 l 載波的影響，很明顯的可以看出是個弦 波和，也就是迴授處理的是對通道頻域上相位與增益做補償。所以(4.1-4)式可以 寫成：for
0,1, 2,...,
1
l l l l lZ
=
RW
−
A B
l
=
M
−
(4.1-6) 由上式可以知道，我們把時域上的迴授量轉換成頻域上的迴授，也就是對每個次 載波 l 而言，其迴授量為B ，因此整個 OFDM DFE 的架構可以把時域上兩個序l 列相減轉換兩個頻域上的序列相減，如圖 4.1.2 所示： {Al} 圖 4.1.2 頻域迴授的 OFDM block DFE 架構4.1.3 等化器係數演算法設計 定義完等化器的架構後，我們接下來要做的就是設計一組濾波器係數
{ }
W 跟l { }fk 來最佳化這個等化器系統，所以這一小節我們將介紹最小均方誤差(MMSE) 演算法求等化器的係數。由式子(4.1-4)可知要送入決策的資料為Z ，因此可以知l 道對每個載波 l 而言，決策誤差e 為： l l l le
=
Z
−
A
(4.1-7)所以決策訊號與原始傳送資料的均方誤差(mean square error, MSE)可以寫成：
2 2 2 (1 ) B l l j k l M l l l k k F MSE E Z A E R W A f e π − ⋅ ∈ ⎡ ⎤ = ⎣ − ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − + ⋅ ⎢ ⎥ ⎣
∑
⎦ (4.1-8) 為了簡化計算過程，我們令傳送的資料與雜訊都是相互獨立而且平均為零，其統 計特性如下：1 2 1 2 * 1 2 * 2 1 2
(
)
(
)
l l l l nE A
A
M
l
l
E N
N
M
l
l
δ
σ δ
⎡
⋅
⎤
=
⋅
−
⎣
⎦
⎡
⋅
⎤
=
⋅
−
⎣
⎦
其中， 2 n σ 為 AWGN 平均功率，而頻域上訊號與雜訊的功率必需為 M，原因是因 為傅立業轉換的效應，根據 Parseval’s theorem 可以知道訊號通過傅立業轉換後， 功率會變成 M 倍，而訊雜比的定義則是時域上傳送的訊號跟雜訊的功率比，所 以才會假設資料的功率為 M。代入後即可得知收到訊號的統計特性為： 1 2 1 2 * * 2 1 2 1 2(
)
(
)
l l l l nE R
⎡
⎣
⋅
R
⎦
⎤
=
M H H
⋅
⋅
δ
l
−
l
+
M
σ δ
⋅
l
−
l
(4.1-9) 把式子(4.1-9)代入(4.1-8)後，我們可以展開每個載波 l 的均方誤差值為：(
)
2 2 2 * * * 2 l l n l l l l l l lMSE
=
M W
⋅
H
+
σ
−
M W H F
⋅
−
M W H F
⋅
+
M F
⋅
(4.1-10) 其中： 2 * 1 , 0,1, 2,..., 1 B j k l M l k k F F f e l M π − ⋅ ∈ = +∑
⋅ = − (4.1-11) 由式子(4.1-10)與式子(4.1-11)可以看出，MSE 的變數有兩個，分別是{ }W 跟l { }fk ，因此我們要計算最小均方誤差的話，我們採用比較近似的分開微分方法。 這裡我先對{ }W 微分後可得線性濾波器的係數為： l 2 * * 2 21
, for
0,1, 2,...,
1
B j kl M l k k F l n lH
f
e
W
l
M
H
πσ
− ∈⎡
⎤
+
⋅
⎢
⎥
⎣
⎦
=
=
−
+
∑
(4.1-12) 在(4.1-12)式子中可以看出線性濾波器的係數會決定於通道與迴授量，也就是說 以迴授量的多寡來決定線性濾波器要處理 ISI 的程度。在決定完線性濾波器的係 數後，把{ }W 代回(4.1-10)式，再對所有 l 取平均後可得新的 MSE 數學式： l 2 2 1 2 2 0_
M l n l n lF
MSE
new
M
H
σ
σ
− ==
+
∑
(4.1-13) 在新的均方誤差式子可以看出變數只剩下迴授變數{ }fk ，又因為{ , }fk k∈FB ， 代表我們有 B 個 f 值需要去求得，所以我們把式子(4.1-13)分別對 B 個變數k f 微k分，微分完後可得到 B 個 B 元聯立方程式，寫成矩陣後即可使用逆矩陣的方式 解變數{ }fk ，假設 f 表示迴授濾波器的係數矩陣，也就是我們最終要求的數值， 代入後即可表示成： 1
(
)
−=
⋅ −
f
V
v
(4.1-14) 其中 1 1 2 2 0 1 2 1 2 1 0 2 1 2 0, =
, =
B B B k k k k k k k k k k kB k kB k kB k k k
f
v
v
v
v
f
v
v
v
v
v
v
v
f
v
− − − − − −⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
f
V
v
(4.1-15) 而矩陣裡面的元素v ： k 2 2 1 2 2 0|
|
j k l M M n k l l ne
v
M
H
πσ
σ
− ⋅ − ==
+
∑
(4.1-16) 線性濾波器的係數{ }W 的值會跟 feedback 的值{ }l fk 有關，也就是說當決定完 迴授濾波器的係數後，我們就已經知道迴授量為多少，在依迴授量來決定線性濾 波器係數，這也就是說決策迴授系統的兩個濾波器彼此分工合作以消除 ISI 跟雜 訊影響。所以要求完整的等化器係數，我們得先決定我們要 feedback 的係數，由 式(4.1-14)我們知道求{ }fk 的過程得經過逆矩陣的運算，而如果 FB的數值越大， 代表所要求的逆矩陣越大，這樣所需的複雜度也更高，但是相對的 FB越大，就 表示迴授處理的 ISI 越多，雜訊放大效應會越小，所以效能會有更好的表現。當 我們決定好迴授的量{ }fk 之後，就可以代回(4.1-12)式，去求每個次載波上的的 線性等化器係數。 4.1.4 雙重決策 OFDM 系統 經過上面的推導後，在第四章的模擬裡會顯示出有迴授扣除 ISI 跟沒迴授的 線性等化器的比較，效能會很明顯的有差異。然而對於實際的系統來說，我們需要迴授的資訊才能處理 ISI 的通道影響，所以我們試著用兩次的等化決策處理， 第一次只是普通的等化決策，而另外一次才是真正的決策迴授等化系統，系統架 構如圖 4.1.3 所示： { }Al { }Al 圖 4.1.3 雙重決策 OFDM 架構 資料經過 FFT 之後，上半部的處理是上一章我們所介紹的 OFDM MMSE 線 性等化器的輸出，把決策之後的資料當作迴授資料{ }A ，代回去同一筆資料處理l 第二次。而下半部的架構就是上述介紹的 OFDM 決策迴授系統，對於同一筆 OFDM 資料，我們先經過線性等化，然後再利用上面線性等化決策後的資料扣 除 ISI 影響。 對於整個系統而言，我們要比較的是線性等化器輸出{Al}與決策迴授等化器 輸出{ }Al 的錯誤率好壞，模擬的部分會列在第四章來探討分析。但在這裡我們先 提到說理論值迴授與實際值迴授的兩個系統，兩者的效能有很大的差異，所以在 下一小節裡，我們將介紹另外一種架構跟演算法。與之前介紹的演算法不同點在 於該演算法中有考慮迴授資訊的準確度來決定迴授的”可靠性”，意思是說錯誤率 越低，迴授值會越可靠，也就盡量多利用迴授處理 ISI，相反的如果錯誤率高， 線性等化會不準確，我們就少用迴授處理 ISI。
4.2 Block iterative decision feedback equalizer
Block iterative decision feedback equalizer (BI-DFE)的架構原本也是適用於單
載波調變系統[12][13][14]，但跟 OFDM 相同的是，BI-DFE 的架構也是以整個 block 一起處理、決策與迴授，所以我們把這個架構套用在 OFDM 系統。如此一
來，可以把 OFDM BI-DFE 看成 4.1 節介紹的雙重決策等化器的延伸。跟 4.1 不 同的是，這部分由於式子推導複雜的關係，採用的演算法是以是最大化訊號對干 擾加雜訊比(signal-to-interference and noise ratio, SINR)為基準。而且該演算法有 考慮每一次等化處理時迴授資訊的錯誤情況，所以每一次疊代(iteration)的輸出都 會有個平均錯誤率，然後把錯誤率納入考慮，去設計下一個 iteration 的等化器係 數，以期望每多一次疊代後效能會更好。 4.2.1 BI-DFE 架構與等化器設計 BI-DFE 的概念就是把每一次資料的處理稱為一次的疊代，每一次疊代都是 針對同一筆 OFDM 接收的資料來做等化，等化的過程還是跟一般的決策迴授等 化器一樣，先經過線性等化器之後，再利用上一次疊代的輸出當作迴授的資料去 扣除剩餘的 ISI，然後再送入決策，決策完的資料就是這一次疊代的輸 ( ) 1 i M B − 出。 結構如圖 4.2.1 所示： ( 1) ( ) 0 0 i i
A
−⋅
B
( 1) ( ) 1 1 i i M MA
−−⋅
B
−+
+
−
−
( ) 0 iZ
( ) 1 i MZ
− ( 1) 0 iA
− ( 1) 1 i MA
−− ( ) 0 iB
( ) 1 i MB
− 0W
1 MW
−其中 ( ) {Wli }與 ( ) {Bli}分別是線性濾波器與迴授濾波器的係數，( )i 表示第 i 次疊代， 迴授的部分就是第(i-1)次疊代的輸出，配合著設計好的第(i)次迴授濾波器係數來 當作 ISI 估計值。 對第(i)次疊代而言，接收到的資料{ }R 首先經過線性濾波器，然後在經過迴l 授扣除 ISI 效應後，可以得到要決策的訊號為： ( 1) ( ) ( ) ( )
