SIFTA 對稱遞迴傅立葉轉換演算法

在介紹對稱遞迴傅立葉轉換演算法前，先介紹一下其前身：遞迴傅立葉轉換演 算法(簡稱 IFTA[15])。此演算法的原理，是讓影像函數在影像空間以及傅氏空間中 來回遞迴並且作修正，使重建影像函數越來越接近目標影像函數。而演算法遞迴的

說，我們希望在影像空間的振幅能夠與原來影像相同，因此以原來影像振幅分佈作

圖 9 IFTA 空間關係流程圖

介紹完詳細流程，我們以圖 9 表示 IFTA 的空間關係演算流程。從 IFTA 的流程 裡可以發現，在遞迴的過程中，不管是影像空間還是傅立葉空間，我們都不處理函 數的相位，我們稱此演算法有「相位自由度」。而正是此相位自由特性使得演算法能 夠改進影像品質。

介紹完 IFTA，回到我們使用的對稱遞迴傅立葉演算法 SIFTA。

SIFTA 與 IFTA 基本上流程圖相同，最大的不同處有二，其一是根據 IFTA 的相 位自由度特性，SIFTA 欲在影像空間部分加上振幅自由度，而所謂的振幅自由度，

意思就是在遞迴的過程中不加上振幅限制，讓函數反覆迭代後能使重建影像比 IFTA 的運算結果更趨近於原來影像。

為了達到上述目的，用於 SIFTA 的目標影像被分成兩部分區域，一部分是訊號 區、另一部份的是雜訊區。對於訊號區，我們如同 IFTA 給予振幅限制，繼續迴圈；

對於雜訊區，我們不給予振幅限制，保留振幅及相位，繼續迴圈。以下，我們用一 個簡單的表格來表示訊號區以及雜訊區不同空間中的自由度：

SIFTA 影像空間 傅氏空間

影像訊號區 振幅限制、相位自由 振幅限制、相位自由 影像雜訊區 振幅自由、相位自由 振幅限制、相位自由

表 1 SIFTA 之目標影像在不同空間中的自由度

我們設計目標鍵盤影像如圖 10 所示。我們給予訊號區代號 S，雜訊區代號 N，

訊號區及雜訊區的選定並不是唯一，也沒有一定比例關係。從圖 10 中可以發現，我

詳細原因我們將在 2.3 節解釋。

圖 10 SIFTA 目標影像之訊號區及雜訊區

第二個不同之處，則是在影像空間中的振幅限制函數。SIFTA 的振幅限制，想 法是希望能將每次遞迴之中，重建影像強度比原始影像低的部分加強；強度比原始 影像高的部分減弱，就像以原始影像的強度當作對稱軸，將重建影像強度調整得更 接近原始影像，再進行下一次的迴圈，也因此稱作對稱式遞迴傅立葉演算法。下式 即為 SIFTA 中的振幅限制：

{{2𝑐|𝑓| − |𝑓_𝑛,𝐾|}𝑒^{𝑖𝛼𝑛,𝐾}, 𝑛 ∈ 𝑆

|𝑓_𝑛,𝐾|𝑒^{𝑖𝛼𝑛,𝐾}, 𝑛 ∈ 𝑁 (4) 其中，

c = ^{∑ 𝑓}_{∑ 𝑓}^𝑛,𝐾, 𝑛 ∈ 𝑆 (5) 舉例來說，假設以圖 7 之目標影像以 IFTA 及 SIFTA 增進重建影像品質，並設 定迴圈次數 150 圈及相位階數 200 階後，計算出 Kinoform 電腦全像片，並以電腦重 建影像，結果如下圖 11(a)(b)所示。由於我們擴增了原來的鍵盤影像，增加了雜訊區 的部分，使得目標影像解析度(600 × 600)變成鍵盤影像解析度(300 × 300)的兩倍，

因此電腦全像片以及重建影像的解析度大小也將是原來鍵盤影像的兩倍(600 × 600)。另外，從圖 11 中可以發現，SIFTA 重建影像在訊號區的對比度較 IFTA 重建 影像高，訊雜比也較高，然而相對的 SIFTA 影像有些許能量散落在雜訊區。但我們 注重的是訊號區的重建影像品質，故未來我們將以 SIFTA 作為產生 Kinoform 的主 要演算法。

(a). IFTA 重建影像，影像畫素大小600 × 600

(b). SIFTA 重建影像，影像畫素大小600 × 600 圖 11 IFTA 與 SIFTA 影像品質比較