TIMSS 試題與國內數學課程關係之分析

在魔術師的題組中，研究者希望學生透過摺紙的方式，不管對摺幾次，最後 限制只能用剪刀剪一次的情況下，要求學生剪出下列 3 個圖型：

每個學生剪每個圖型都有 3 次機會，這個題組的目的不止希望學生可以運用 全等的直覺，利用幾何操作如平移、旋轉、翻轉等方式，印證平時的經驗，並將 全等的概念更加清晰，還希望學生透過摺紙的方式了解認識垂直和對稱，而剪紙 又可以增進學童分解圖形與建構圖形的能力，所以本題組主要在測量學生對於全 等的直覺跟幾何操作、垂直跟對稱和空間關係的瞭解，以及解決非慣例題目的能 力。

在圖形題中，前 2 個小題分別要求學生在一個長方形中劃一條直線，將該長 方形分成 2 個三角形或 2 個長方形，第 3 小題要求學生在一個長方形中劃兩條直 線，將該長方形分成 2 個三角形跟 1 個長方形，第 4 小題則給等腰梯形並連接 2 條對角線，在內部形成的 4 個三角形中，要求學生找出形狀相同但大小不同的兩 個三角形，本題組在了解學生能否透過操作直尺或三角板，在二維空間上剪裁出 指定的基本圖型，並利用直觀的方式指出形狀相同但大小不同的三角形。

上述兩個題目在評量學生的幾何能力，根據我國國民中小學九年一貫課程綱 要數學學習領域中指出：小學教師在從事幾何教學時，最要避免的是來自本身歐 氏公設幾何訓練的干擾，處處受制於定義的認定與邏輯順序。由歷史來看，人類 是先由應用、操作、實踐中，認識各種幾何要素與性質，彼此之間並沒有一定的 先後關係。歐氏幾何的價值，首先是對這些先民知識的歸類與整理，其次才是作

為知識典範的演繹系統。所以將幾何課程概分成四階段，而學生在四年級時所應 該要學習到的幾何知識，就如下列所示：

一、階段一（一年級到三年級）：較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對 幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。

二、階段二（四年級到五年級）：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合「數」

與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素（如角、邊、面）及其數量性 質（如角度、邊長、面積）。

更詳細的相關能力指標，詳列如下：

1-S-04：能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊：給定的圖示 可為圖卡或實物，透過拼圖與堆積木等活動，讓學童進行平移、翻轉、重疊、

比對…等全等操作的練習。

3-S-06：能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。

4-S-02：能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。

4-S-03：能認識平面圖形全等的意義。

4-S-16：能理解平面上直角、垂直與平行的意義。

4-S-07：能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。

4-S-08：能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形 例：學童會使用直尺或三角板畫出直角及兩平行線段，進而用來繪製直角三角 形、正方形、長方形、平行四邊形與梯形。

因此學生在回答這兩個問題時，應已具備足夠的能力。

在幾何方塊的題組中，給學生 3 塊白色方塊、4 塊黑白相間的方塊和 3 塊黑 色方塊，要求學生完成

一、利用 2 張黑白相間方塊拼出一個較大的黑色三角形。

二、利用 4 張黑白相間方塊拼出一個黑色的正方形，並求出佔幾分之幾。

三、不准使用黑白相間方塊，將 4 張方塊拼出一個正方形使得黑色的部分佔 1/2。

四、請用 8 張方塊拼出一個如下圖的長方形，使得黑色部分佔 5/8。

這是一種包含幾何跟數與量的題目，其中幾何的部份是要求學生建立一個二維圖 形，並滿足題目的要求（數與量），幾何部分已經如上所述，現在分析相關的數 與量

根據我國國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中指出：有理數是小學 的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主題，因為學生較缺 乏有理數的前置經驗，日常生活中的有理數情境也比整數少；分數的形式是學生 首次碰到兩整數並置的約定。至於什麼是穩當的有理數教學，並無定論。但是基 本的共識是，學生需要較長的時間，來學習掌握有理數的概念；不論是先形式程 序，或者先概念理解，兩者都必須不斷互相支持；在有理數教學中，必須將材料 作適當的安排，先從較容易的平分或測量入手，而將其它的應用課題，作為錘鍊 有理數數感的課題。

在相關的能力指標，詳列如下：

3-n-09：能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加 減問題：學童從具體情境或活動中掌握分數的概念，能學會分數的記號，並理 解運用分數記號來記錄同分母分數的比較與加減的方式。例如以平分為基礎的 活動（離散量）：問下列深色區域是全部圖形的幾分之幾。

。

4-n-07：能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，

並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。

4-n-08：能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分 數與小數的互換：在具體情境中，說明分數等值的理由。可先由分母的倍數差 2、

4 倍的分數先出發（因為切半的操作最簡單）。

在施測學校所使用的教科書中，第七冊第十單元分數中，其教學目標也有：

透過單位分數的合成和累加活動，以真分數來描述單位分數的幾份。可見此題對 施測學校的學生來說，應有能力解決。

另外兩題有關數與量的題目是數字卡跟猜一猜，在數字卡部份，題目分為兩 部份，第一部份為抽出三張 0-9 的數字卡，任意排列後找出最接近總和為 20 的 方法，第二部份為抽出三張 0-9 的數字卡，任意排列後分別找出和、差跟積最大 的方法。這在我國國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中，分類在數與量 中的整數部分，根據附錄說明中指出：整數計算是一切數學學習的基礎。在教學 中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略。

流暢的計算能力，有如語文學習中，基本的文字駕馭能力，不僅可以內化學童的 數字感，並且是日後（國、高中）學習抽象運算及形式推導的基礎，這樣的能力 固然是學習科學所必須，也是能夠有效處理日常生活的基本能力之一。所以國小 整數教學的課程目標在於：

一、從計數開始，學習位值的約定與換算，並在演算中，逐步熟悉，最後能掌握 大數。

二、在二年級下學期，理解算術的樞紐─九九乘法，作為日後所有計算的基礎。。

三、到四年級時，能夠不拘泥於位數，熟練加、減、乘、除的直式計算。

有關數與量的題目另一題是猜一猜，題目是：在 9 個碗中，前 4 個碗中豆子 的數量分別是 29、31、31、28 個，請猜一猜罐子中大約有幾個豆子，並解釋你 的想法？，這在我國國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中，分類在數與 量中的估算部分：估算在國民教育中可粗分為離散量的估算（自然數四則運算的 估算）與連續量的估算。前者的教學，應在學生已經能掌握確算後再進行。而後 者的教學，應透過測量時量不盡的正常情境，與小數的教學共同開展，認識小數 之細分與精確度的要求乃是一體的兩面。估算的教學，可以先在計算與驗算中強 調，讓學生能對不合理的答案，透過估算剔除；然後是，能判斷應用問題對答案 精確度的要求，並藉由過去的解題經驗，發展正確的估算策略；或者是，能針對

問題與解答，發展估算策略，驗算解答的合理性。要注意的是，估算屬於較高層 次的數學能力，學生必須先對所使用的概念程序與問題情境有相當的理解，才能 恰當地估算，進而能正確判斷估算的時機與精確度的要求。國小的估算教學，要 特別注意評量的問題。切忌因為強求估算，禁止學生使用正常計算。教師應在評 量的問題上下功夫，讓問題本身暗示估算的好處。

最後一題是擲骰子，題目是：用一個規則來改變骰子擲出來的數字，要求學 生發現改變後的數字有什麼特性，另外要求學生丟 30 次，將結果記錄並統計在 表格中。這是屬於統計與機率的部份，我國課程在這部份強調統計和機率的知識 背景應來自生活環境，因此以學生的生活經驗為主，從學生感興趣的主題出發，

使其學會敘述統計所呈現出的數字和圖表的意義，強調圖表的表達和溝通，並了 解抽樣、機率的初步概念，且能正確地運用各項統計資料於實際的生活中，並要 求在三年級之前， 先藉由簡易表格的製作，協助學生建立資料的整理與分組的 概念，進而練習報讀與說明資料，並建立個別資料出現頻率概念的認識。再藉著 直接和交叉對應表格的介紹，並配合「數與量」的教學，希望學生能掌握對表格 的認識，並能加以運用。