3.2 Variance-Gamma 因子連繫結構模型
雖然 Double-t 因子聯繫結構模型解決了高斯因子聯繫結構模型厚尾性不足的謬 誤，但同時也有著兩個 t 分配結合起來解析性不足的缺點。再者 student-t 分配本 身因具備對稱性，使得資產之間同時違約及同時存活的機率呈現等比增加，因此 分配特性未必符合市場特性，故本文甫再使用 Variance-Gamma 因子聯繫結構模 型來作比較，期待能改善 Double-T 因子聯繫結構模型的缺陷。
使用 Variance-Gamma 分配有著下列兩點好處:首先 Variance-Gamma 分配可以為 不對稱。此分配除了本身厚尾性之外，可以控制偏態係數(Skewness)，使分配不 具對稱性，在套入因子聯繫結構模型後，資產之間同時違約及同時存活的機率有 著不同比例的增加，其改善了高斯因子聯繫結構模型尾端損失機率刻劃不足的缺 點之外，亦可以改善 Double-T 因子聯繫結構模型此方面的缺點。其次，
Variance-Gamma 分配具有可解析性，假設系統風險因子以及個別風險因子為互 相獨立的 Variance-Gamma 分配情況下，資產債權報酬A t 為系統風險因子以及i( ) 個別風險因子相加，依舊符合 Variance-Gamma 分配，此一特性可以改善 Double-t 因子聯繫結構模型 不具解析性的缺點。
以下介紹 Variance-Gamma 分配特性，之後在將其引入因子連繫結構模型。
將 Variance-Gamma 分 配 引 入 因 子 連 繫 結 構 模 型 前 ， 以 下 將 先 介 紹 Variance-Gamma 分配的性質。首先我們就 Variance Gamma 分配作討論。假設 X 為一隨機變數，如果其機率密度符合：
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雖然 Variance -Gamma 分配的機率密度函數非常複雜，但卻有著簡潔的特徵函數 (characteristic function):
12 2 2
1,除了上述性質之外，Variance Gamma 分配還有著有著下列兩項重要特性:
1. 假如X ~ VG( , , , ) ，並且 c 為大於 0 的常數：
‧
個別風險因子Z t 的假設，但為了合於量尺比較(scale)，因此 Hull&White(2004)i( ) 皆使用標準常態分配、以及平均數為 0，變異數為 1 的 Student-t 來架構因子模型，藉由上述的兩項特性，我們可以在一定的假設下，設定出 Variance-Gamma 因子 聯繫結構模型使其債權資產報酬A t 分配符合平均數=0，變異數=1 之設定，俾i( ) 於實證結果上與高斯因子聯繫結構模型以及 Double-t 因子聯繫結構模型作比 較。
介紹了 Variance-Gamma 分配特性之後，在此類推建構高斯因子聯繫結構模型的 作法，建構出 Variance-Gamma 因子連繫結構模型。首先回顧公式(7):
( ) ( ) 1 2 ( )
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由於 Variance-Gamma 的分配特性，在兩個 Variance Gamma 分配相加後，該分配 性質依舊符合 Variance Gamma 分配。也就是假設系統因子與個別因子皆服從 Variance Gamma 分配時，資產報酬A 本身依舊符合 Variance Gamma 分配。如同i 以標準常態分配所架構的高斯因子聯繫結構模型，VG 因子聯繫結構模型也具有‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
機率上升，並不會帶動其他資產違約，所以當個別性風險因素影響資產違約的機 率上升時，將使資產同時違約與同時存活的機率下降，促使先償分券信用價差將 下降。若同時更改系統因子及個別風險因子為 Variance-Gamma 分配，系統風險 上升，造成先償分券信用價差上升，權益分券信用價差減少；同時個別風險上升，
造成權益分券信用價差上升而先償分券信用價差減少。看似會有矛盾的情形，然 而 系 統 風 險 對 先 償 分 券 影 響 較 大 而 個 別 風 險 對 權 益 分 券 影 響 較 大 ， 因 此 Variance-Gamma 因子聯繫結構模型使的權益分券以及先償分券的信用價差皆上 升之現象。若是對偏態係數 再做進一步調整，使得增加同時違約機率時，不等 比例增加同時生存機率，可以更進一步對權益分券以及先償分券的信用價差的變 化作精準的評價。
上列敘述中提到使用 Double-t 因子聯繫結構模型可以改善高斯因子聯繫結構模 型因為本身分配厚尾性不足，使得評價先償分券之合理信用價差低估之情形。然 而在本文實證中，發現 Double-t 因子聯繫結構模型具備的厚尾性質在描述損失 分配確實會增加標的債權資產同時違約機率，然而其厚尾性卻過度高估了尾端損 失的機率分配，使得第四章實證上的結果出現所評價 12~22%分券信用價差高於 市場信用價差達三倍的現象。再者 Variance-Gamma 因子聯繫結構模型具有可以 控制偏態與峰態的特性，藉由控制峰態特性，對於尾端損失分配作出適當調整，
實證結果發現在評價上 Variance-Gamma 因子聯繫結構模型確實有著較好評價 結果。