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回頭看社會公義的條件: 當 i < ¯i 時，則 pi+1,i > pi−1,i，故而 (¯i−i)(pi+1,i−pi−1,i) > 0;
當 i > ¯i 時，則 pi+1,i < pi−1,i，故而 (¯i− i)(pi+1,i− pi−1,i) > 0，因此 Ijustice 在分子的部 分為正數。當 p11，p22，…，pnn 連成折線圖長得像常態分佈時，(g(i)− pi,i)2 會很小且 為正數，因此擺在分母會讓 Ijustice 變大。所以在本節設計 Ijustice 的構想是當社會越公 義時，想辦法讓 Ijustice 的值為正數且越來越大; 當社會越不公義時，想辦法讓 Ijustice 的 值為負數且越來越小。Ijustice 為負數，代表在分子的部分為負，表示大多數在貧窮階段 的人會往越貧窮的階段，大多數在富有階段的人會往越富有的階段，此情形的確是財 富不公義。
二、 I
justice解釋模擬資料
在剛剛已建構出 Ijustice，在實際套入 93∼102 年申報資料之前，先用三種財富轉移 情形的模擬資料 (有 10000 個樣本) 去算出 Ijustice，看看這三種模擬的階級流動，Ijustice 分別會落在哪段區間，而到時候使用實際資料去算 Ijustice 才會比較了解該時段的社會 背景比較像哪一種階級流動。
(一) 模擬一: 常態分配的財富階級流動
第一個要模擬社會是公義的情況: 令 T=0 時，從 N ormal(100, 10) 抽取 10000 個樣 本，每一個樣本就當作申報人的財富價值。接下來的轉移過程設定若申報人的財富價 值小於這 10000 筆之中位數的話，則讓他的財富價值增加; 若申報人的財富價值大於這 10000 筆之中位數的話，則讓他的財富價值減少，如此營造出一個財富公平的環境。當 轉移完畢後，T=1 就會有一個分配了。接著重複上述的轉移過程一直做到 T=10 就停 止。所以從 T=1 到 T=10 總共有九個間隔，意即會做出九個轉移矩陣，因而會算出九個
Ijustice。以下用切 25 等份的情況來當作例子，從 T=1 到 T=10 的財富價值分配圖就沿用
Imask_v 模擬一的圖 3.3.1 跟圖 3.3.2。
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而對應到的 Ijustice 折線圖如下。以第一個點座標 (1.5, 7.70416952) 為例:1.5 是說明 從 T=1 財富價值分配轉移到 T=2 財富價值分配的意思; 然後 7.70416952 意即從 T=1 到 T=2，算出來的 Ijustice = 7.70416952，其它點座標就以此類推。
圖 3.4.12 Ijustice 模擬一 從 T=1 到 T=10 切 25 等分的 Ijustice 折線圖
從圖 3.4.12，觀察到把財富價值切成 25 等分，Ijustice 的值介於 [6.6913, 10.6597]。
至於其它等分 Ijustice 的範圍是如何? 表 3.4.4 列出從 5 等分到 200 等分，模擬的結果。
表 3.4.4 Ijustice模擬一 從 5 等分到 200 等分 Ijustice的範圍
切幾等分 Ijustice 範圍
5 等分 [2.758748123825343, 3.0927096096656275]
10 等分 [3.7715085901463694, 4.877190131027459]
15 等分 [4.675488433770565, 6.6986926347874185]
20 等分 [6.800459408982967, 9.056337126003113]
25 等分 [6.691356965142999, 10.659703097390166]
30 等分 [8.01269889048218, 10.550726171817713]
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表 3.4.4 – continued from previous page(延續前頁)
切幾等分 Ijustice 範圍
35 等分 [8.111705110207092, 13.055269974719481]
40 等分 [10.686375946440895, 15.187415713104214]
45 等分 [8.542524749437712, 16.566251108997065]
50 等分 [10.05655113365998, 18.891509688805787]
55 等分 [14.235791354628136, 19.770551800373838]
60 等分 [13.185511967429086, 23.358160479453822]
65 等分 [11.69830220690755, 26.70392202103357]
70 等分 [8.481566326638001, 24.182668842662917]
75 等分 [13.71928567716005, 26.815443782093954]
80 等分 [12.843430942289611, 33.013738476419604]
85 等分 [16.13515033803463, 30.06855800437528]
90 等分 [9.712002827140928, 35.58352542434864]
95 等分 [19.105799353097208, 40.147558765291805]
100 等分 [6.242970078490857, 35.597560843564914]
105 等分 [15.871427932673116, 43.545462224245306]
110 等分 [12.846696708066169, 42.742055954773875]
115 等分 [9.668598022064538, 47.648102556156765]
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表 3.4.4 – continued from previous page(延續前頁)
切幾等分 Ijustice 範圍
120 等分 [12.61843689160772, 48.92242322358028]
125 等分 [11.679905676280624, 68.82791725683288]
130 等分 [7.803920898245222, 82.13990865862277]
135 等分 [23.626788600271535, 76.40194771072996]
140 等分 [5.853657052667224, 80.0206557060473]
145 等分 [11.413688981078321, 124.819043363601]
150 等分 [4.286307803058028, 120.45093737423234]
155 等分 [12.133882096244463, 108.23981317962676]
160 等分 [0.3053344165536156, 103.49559009475202]
165 等分 [8.173079020116086, 128.38416606170435]
170 等分 [2.925834241735368, 131.94011289059623]
175 等分 [10.991265185791436, 141.34274735717614]
180 等分 [16.365861094757058, 147.87614209452997]
185 等分 [19.012789680934898, 151.52261731936198]
190 等分 [5.331373610067452, 131.16535984680652]
195 等分 [1.5548264508304621, 171.2563108237779]
200 等分 [14.4019220875045, 131.76614012328912]
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(二) 模擬二: 伽瑪分配的財富階級流動
第二個要模擬社會是不公義的情況: 令 T=0 時，從 Gamma(0.1, 100) 抽取 10000 個 樣本，分配圖沿用圖 3.3.4，意即先設定財富分配都集中偏向貧窮階段，而每一個樣本 就當作申報人的財富價值。
接下來的轉移過程設定讓多數申報人的財富價值往貧窮階段移動，少數申報人的 財富價值往富有階段移動，如此營造出一個社會財富為多數貧窮的的環境。當轉移完 畢後，T=1 就會有一個分配了。接著重複上述的轉移過程一直做到 T=10 就停止。所以 從 T=1 到 T=10 總共有九個間隔，意即會做出九個轉移矩陣，因而會算出九個 Ijustice。 以下用切 25 等份的情況來當作例子，從 T=1 到 T=10 的財富價值分配圖就沿用 Imask_v 模擬二的圖 3.3.5 跟圖 3.3.6。
而對應到的 Ijustice 折線圖如下。以第一個點座標 (1.5,−0.31797125) 為例:1.5 是說 明從 T=1 財富價值分配轉移到 T=2 財富價值分配的意思; 然後−0.31797125 意即從 T=1 到 T=2，算出來的 Ijustice =−0.31797125，其它點座標就以此類推。
圖 3.4.13 Ijustice 模擬二 從 T=1 到 T=10 切 25 等分的 Ijustice 折線圖
從圖 3.4.13，觀察到把財富價值切成 25 等分，Ijustice 的值介於 [−0.5341, 0.4830]。
至於其它等分 Ijustice 的範圍是如何? 表 3.4.5 列出從 5 等分到 200 等分，模擬的結果。
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表 3.4.5 Ijustice模擬二 從 5 等分到 200 等分 Ijustice的範圍
切幾等分 Ijustice 範圍
5 等分 [0.46468274144772037, 0.20620280604418717]
10 等分 [0.23900738753265183, 0.059610695919843866]
15 等分 [0.3365199514103711, 0.22582688545593319]
20 等分 [0.3485235154972502, 0.2142125143338069]
25 等分 [0.534131845694928, 0.48302795444982866]
30 等分 [0.580674632985064, 0.5192464581533054]
35 等分 [0.6817559751740708, 0.6760099345463032]
40 等分 [1.1939262155733386, 0.5063941383734349]
45 等分 [1.8338443968676923, 0.6902577923116563]
50 等分 [2.0625740336921554, 0.6762247457984615]
55 等分 [2.603599484305186, 0.4094893731205276]
60 等分 [2.7981202962326615, 0.5722630307585576]
65 等分 [3.5443537667866782, 0.5911296081737794]
70 等分 [4.035604220490681, 0.46434023371913774]
75 等分 [5.237548252955874, 0.6072036179170173]
80 等分 [5.2696977939476675, 0.7293754905832404]
85 等分 [6.296482894604288, 1.0222490986148263]
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表 3.4.5 – continued from previous page(延續前頁)
切幾等分 Ijustice 範圍
90 等分 [5.663109249206046, 0.9339879930532863]
95 等分 [6.234350592672382, 1.1425158683263847]
100 等分 [8.279095791555857, 0.2551543246059561]
105 等分 [7.835167868875376, 0.03218755462450866]
110 等分 [9.03423310412139, 0.6781203924032361]
115 等分 [8.589153822033033, 0.15346071538497436]
120 等分 [10.252284626380163, 1.3838424046182904]
125 等分 [10.377808941229558, 0.07491371027971572]
130 等分 [9.925428535707102, 0.02441198346166292]
135 等分 [12.338519485664298, 0.10732397913287121]
140 等分 [11.073838670222438, 0.12304478290826269]
145 等分 [14.146447576978362, 0.8491860518687383]
150 等分 [13.680664861730444, 0.06594049237450725]
155 等分 [13.790733082359782, 0.24278439590871798]
160 等分 [15.640527031838472, 2.2928518249868715]
165 等分 [16.532514868406004, 1.0034088188558785]
170 等分 [17.352556164938918, 1.1251089728461197]
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表 3.4.5 – continued from previous page(延續前頁)
切幾等分 Ijustice 範圍
175 等分 [16.907004020358492, 2.7745475435160407]
180 等分 [17.49289321439205, 0.7849691975865949]
185 等分 [17.531116186786946, 1.9038133905242958]
190 等分 [24.222214322702538, 2.5715181954469877]
195 等分 [18.389606911031144, 1.2904864089526333]
200 等分 [21.319827294818058, 3.8502210287843335]
(三) 模擬三: 雙峰分配的財富階級流動
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而對應到的 Ijustice 折線圖如下。以第一個點座標 (1.5,−2.89855809) 為例:1.5 是說 明從 T=1 財富價值分配轉移到 T=2 財富價值分配的意思; 然後−2.89855809 意即從 T=1 到 T=2，算出來的 Ijustice =−2.89855809，其它點座標就以此類推。
圖 3.4.14 Ijustice 模擬三 從 T=1 到 T=10 切 25 等分的 Ijustice 折線圖
從圖 3.4.14，觀察到把財富價值切成 25 等分，Ijustice 的值介於 [−2.8985, −0.7177]。
至於其它等分 Ijustice 的範圍是如何? 表 3.4.6 列出從 5 等分到 200 等分，模擬的結果。
表 3.4.6 Ijustice模擬三 從 5 等分到 200 等分 Ijustice的範圍
切幾等分 Ijustice 範圍
5 等分 [0.07948608320588121, 0.020828025187045025]
10 等分 [0.2112394591930707, 0.09441050249033395]
15 等分 [0.486804563773548, 0.23688598141006373]
20 等分 [1.3765219498182755, 0.44049247205033354]
25 等分 [2.898558091889275, 0.7177338840581783]
30 等分 [4.265269254916042, 1.052734179376258]
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表 3.4.6 – continued from previous page(延續前頁)
切幾等分 Ijustice 範圍
35 等分 [7.126792966308319, 1.8591648531881688]
40 等分 [8.744952065911727, 3.5372273681506807]
45 等分 [11.147783714078049, 5.781348738175983]
50 等分 [12.629530254461622, 7.7676065715375335]
55 等分 [16.03725547521152, 8.496933097172299]
60 等分 [18.57925967935928, 11.75197981450218]
65 等分 [19.228749077769013, 11.907466776604034]
70 等分 [23.43183918494564, 14.393651940790438]
75 等分 [24.855489644532287, 15.687660089337689]
80 等分 [32.52147763744266, 20.585970626034026]
85 等分 [33.75745988627911, 23.87723126980458]
90 等分 [35.83691011478778, 24.976723997095092]
95 等分 [41.14947234834629, 27.869653729168892]
100 等分 [45.39019860311685, 28.26921105355636]
105 等分 [43.26574828403977, 31.270168994452266]
110 等分 [44.20366264657651, 30.277151265891888]
115 等分 [48.03011667053008, 27.051199689817366]
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表 3.4.6 – continued from previous page(延續前頁)
切幾等分 Ijustice 範圍
120 等分 [46.65140662259385, 27.18824823726794]
125 等分 [53.11721127499029, 27.812699568300978]
130 等分 [52.65285373254888, 32.1710046228532]
135 等分 [54.74842237208768, 33.32237426354832]
140 等分 [61.482762086048076, 40.49895346865308]
145 等分 [65.3506661797218, 27.555279277847212]
150 等分 [69.40288491992938, 29.453639585566226]
155 等分 [66.68250488992192, 42.048166414261104]
160 等分 [67.66654703709409, 29.01506410763463]
165 等分 [67.25796296833853, 32.63860053756334]
170 等分 [73.00764478101696, 41.26969942724863]
175 等分 [75.1637264919885, 53.162361415762376]
180 等分 [80.60776900983296, 36.774134473663786]
185 等分 [89.1690181258253, 28.331882242504037]
190 等分 [94.0363626346281, 26.58366777018576]
195 等分 [86.36493171116908, 19.600240344140765]
200 等分 [87.08953359096971, 17.537556089797896]
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(四) 總結
經由上述三種模擬轉移情形，直覺認為模擬一是公義的社會，貧窮階級有機會上 升，而富有階級在模擬一會往下流動，達成財富公平的社會。而模擬二和模擬三都是 不公義社會，但進一步觀察，模擬二是整體財富流動偏向貧窮，所以沒有集中趨勢達 成財富公平; 模擬三的情形則是富有的人不但維持富有，而且又有機會朝向更富有的階 級，而貧窮的人不但維持貧窮，而且又有機會朝向更貧窮的階級，因此感覺模擬三的 財富流動情形比模擬二還要來的糟糕。據此，我們認為模擬三的 Ijustice 應該為最小，
模擬二的 Ijustice 居中，模擬一的 Ijustice為最大。
根據表 3.4.4∼ 表 3.4.6，看出模擬一的 Ijustice隨著等分切越多，指標範圍的右端點 從 5 等分的 3.09 一直到 195 等分的 171.25，正數越來越大; 模擬三的 Ijustice 隨著等分切 越多，指標範圍的左端點從 5 等分的0.079 一直到 190 等分的94.03，負數越來越小; 模 擬二的 Ijustice 隨著等分切越多，指標範圍大都落在 [−21, 1]，指標值介於模擬一跟模擬 三之間。故本節建模出的 Ijustice是有意義的。