結合T-S模糊模型與變結構控制技術於軌跡追蹤及可靠度控制之研究

國

立

交

通

大

學

電機與控制工程學系

碩

士

論

文

結合 T-S 模糊模型與變結構控制技術於軌跡追蹤及

可靠度控制之研究

Study of Trajectory Tracking and Reliable Control via a

Combination of T-S Fuzzy Model and Variable Structure

Control Approaches

研 究 生：陳丞昶

指導教授：梁耀文 博士

結合 T-S 模糊模型與變結構控制技術於軌跡追

蹤及可靠度控制之研究

Study of Trajectory Tracking and Reliable Control

via a Combination of T-S Fuzzy Model and Variable

Structure Control Approaches

研 究 生：陳丞昶 Student：Cheng-Chang Chen

指導教授：梁耀文 博士 Advisor：Dr. Yew-Wen Liang

國 立 交 通 大 學

電機與控制工程學系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Electrical and Control Engineering College of Electrical Engineering and Computer Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Electrical and Control Engineering July 2008

結合 T-S 模糊模型與變結構控制技術於軌跡追蹤及

可靠度控制之研究

學生：陳丞昶 指導教授：梁耀文 博士

國立交通大學電機與控制工程學系碩士班

摘

要

本論文結合 T-S 模糊模型及變結構控制技術探討非線性控制系統之追蹤

及可靠度控制議題。由於使用 T-S 模糊模型來近似原非線性系統模型，此

結合技術不但可以減輕在線之計算負擔；同時由於使用變結構控制技術，

閉迴路系統也保留了變結構控制特有的反應快速及穩健之優點。所獲得的

結果也成功的應用在機器手臂之軌跡追蹤及衛星姿態控制之可靠度控制議

題。模擬結果驗證了所提出的整合方法之有效性。

Study of Trajectory Tracking and Reliable Control via a

Combination of T-S Fuzzy Model and Variable Structure

Control Approaches

Student: Cheng-Chang Chen Advisor: Dr. Yew-Wen Liang

Department of Electrical and Control Engineering National Chiao Tung

University

ABSTRACT

Issues concerning trajectory tracking and reliable control are studied in this

thesis using a combination of T-S fuzzy model and Variable Structure Control

(VSC) approaches. The combined scheme is shown to preserve the benefits of

both approaches. It not only alleviates the on-line computational burden because

of most of the T-S fuzzy model parameters can be off-line computed, it also

inherits the advantages of rapid response and robustness from the VSC

approaches. The obtained analytic results are then applied to the tracking and the

reliable attitude control issues of a two-link robot manipulator and a spacecraft,

respectively. Simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed

scheme.

致謝

能夠完成本篇論文需要很多人的努力與幫助。首先，我要感謝指導教

授梁耀文博士的用心指導，除了在專業上提供寶貴的意見與想法來幫助我

完成本篇論文，在生活上有任何的問題老師也都能適時的給予幫助，使我

這兩年的學習中受益良多。還要感謝口試委員廖德誠博士、黃正自博士和

陳俊宏博士給予寶貴的建議與指導使得本論文更加的完整。

接下來要感謝徐聖棟學長、陳逸康學長、曾昭銘學長以及陳宏泰學長

在我遇到困難時能給予適時的幫助與鼓勵，再來要感謝實驗室的同學益銘

與紹偉，陪伴了我兩年研究所生活，不管在任何時候總是給我很大的幫助

與支持。而學弟們立偉、家榮以及士盺也都適時的給予我一些意見，並且

為實驗室帶來更多的歡樂，讓整個研究所生活變得更加輕鬆愉快。

最後我要感謝我的家人，不管發生任何事情總是支持著我，並且給我

最大的鼓勵，讓我可以無後顧之憂的在學業上勇往直前，進而完成研究所

的學業，謝謝你們！實在辛苦你們了！我將這論文獻給你們。

目錄

中文摘要...i 英文摘要...ii 致謝...iii 目錄...iv 圖目錄...v 第一章 緒論 1 1.1 研究背景動機...1 1.2 論文架構...3 第二章 預備知識 4 2.1 變結構控制...4 2.2 T-S 模糊模型...12 第三章 結合 T-S 模糊模型及變結構控制之追蹤問題研究 15 3.1 問題描述...15 3.2 建立 T-S 模糊模型……..……….15 3.3 控制器設計………..……….16 3.4 在兩軸機器手臂上的應用………..………19 第四章 結合 T-S 模糊模型及變結構控制之可靠度問題研究 38 4.1 問題描述………..………38 4.2 建立 T-S 模糊模型………..……….38 4.3 控制器設計………..….39 4.3.1 被動式可靠度控制器設計………..…39 4.3.2 主動式可靠度控制器設計………..…41 4.4 衛星姿態之可靠度控制………..…43 4.4.1 衛星動態……….……….…43

4.4.3 模擬結果…..………50

第五章 結論與未來研究方向……….85

5.1 結論………..85

5.2 未來研究方向………..86

圖目錄

圖 2.1 順滑軌跡示意圖………...5 圖 2.2 順滑層………...6 圖 2.4 平行分配補償設計概念………...14 圖 3.1 兩軸機器手臂系統圖……….19 圖 3.2 每一個時間間隔中所觸發的四個相鄰操作點...21 圖 3.3 Case A所選取的操作點及其歸屬函數……….21 圖 3.4 Case B所選取的操作點及其歸屬函數……….23 圖 3.5 例一狀態變數之比較圖...27 圖 3.6 例一順滑函數之比較圖………...27 圖 3.7 例一控制輸入之比較圖………..……….28 圖 3.8 例一誤差之比較圖………..……….28 圖 3.9 例二狀態變數之比較圖...29 圖 3.10 例二順滑函數之比較圖………..………...29 圖 3.11 例二控制輸入之比較圖……..………..……….30 圖 3.12 例二誤差之比較圖……..………..……….30 圖 3.13 例三狀態變數之比較圖...31 圖 3.14 例三順滑函數之比較圖……..………...31 圖 3.15 例三控制輸入之比較圖……..………..……….32 圖 3.16 例三誤差之比較圖……..………..……….32 圖 4.1 錯誤偵測診斷程序圖………...48 圖 4.2 x1à x6之歸屬函數………..51

圖 4.3 在每一個時間間隔中所觸發四個相鄰的操作點………...52 圖 4.5 使用被動式可靠度控制器在正常運作時之系統狀態響應圖………...58 圖 4.6 使用被動式可靠度控制器在正常運作時之順滑函數響應圖………...58 圖 4.7 使用被動式可靠度控制器在正常運作時之控制輸入響應圖………...59 圖 4.8 使用被動式可靠度控制器在u1故障時之系統狀態響應圖………...59 圖 4.9 使用被動式可靠度控制器在u1故障時之順滑函數響應圖………...60 圖 4.10 使用被動式可靠度控制器在u1故障時之控制輸入響應圖……….60 圖 4.11 使用被動式可靠度控制器在u2故障時之系統狀態響應圖………...61 圖 4.12 使用被動式可靠度控制器在u2故障時之順滑函數響應圖……….61 圖 4.13 使用被動式可靠度控制器在u2故障時之控制輸入響應圖……….62 圖 4.14 使用被動式可靠度控制器在u3故障時之系統狀態響應圖……….62 圖 4.15 使用被動式可靠度控制器在u3故障時之順滑函數響應圖……….63 圖 4.16 使用被動式可靠度控制器在u3故障時之控制輸入響應圖……….63 圖 4.17 使用被動式可靠度控制器在u4故障時之系統狀態響應圖……….64 圖 4.18 使用被動式可靠度控制器在u4故障時之順滑函數響應圖……….64 圖 4.19 使用被動式可靠度控制器在u4故障時之控制輸入響應圖……….65 圖 4.20 使用主動式可靠度控制器在正常運作時之系統狀態響應圖……….65 圖 4.21 使用主動式可靠度控制器在正常運作時之順滑函數響應圖……….66 圖 4.22 使用主動式可靠度控制器在正常運作時之殘留訊號響應圖……….66 圖 4.23 使用主動式可靠度控制器在正常運作時之警報訊號響應圖………...67 圖 4.24 使用主動式可靠度控制器在正常運作時之控制輸入響應圖………...67 圖 4.25 使用主動式可靠度控制器在u1故障時之系統狀態響應圖……….68 圖 4.26 使用主動式可靠度控制器在u1故障時之順滑函數響應圖……….68

圖 4.27 使用主動式可靠度控制器在u1故障時之殘留訊號響應圖……….69 圖 4.28 使用主動式可靠度控制器在u1故障時之警報訊號響應圖………..69 圖 4.29 使用主動式可靠度控制器在u1故障時之控制輸入響應圖………..70 圖 4.30 使用主動式可靠度控制器在u2故障時之系統狀態響應圖……….70 圖 4.31 使用主動式可靠度控制器在u2故障時之順滑函數響應圖……….71 圖 4.32 使用主動式可靠度控制器在u2故障時之殘留訊號響應圖……….71 圖 4.33 使用主動式可靠度控制器在u2故障時之警報訊號響應圖………..72 圖 4.34 使用主動式可靠度控制器在u2故障時之控制輸入響應圖………..…72 圖 4.35 使用主動式可靠度控制器在u3故障時之系統狀態響應圖……….73 圖 4.36 使用主動式可靠度控制器在u3故障時之順滑函數響應圖……….73 圖 4.37 使用主動式可靠度控制器在u3故障時之殘留訊號響應圖……….74 圖 4.38 使用主動式可靠度控制器在u3故障時之警報訊號響應圖………..74 圖 4.39 使用主動式可靠度控制器在u3故障時之控制輸入響應圖………..75 圖 4.40 使用主動式可靠度控制器在u4故障時之系統狀態響應圖……….75 圖 4.41 使用主動式可靠度控制器在u4故障時之順滑函數響應圖……….76 圖 4.42 使用主動式可靠度控制器在u4故障時之殘留訊號響應圖……….76 圖 4.43 使用主動式可靠度控制器在u4故障時之警報訊號響應圖………..77 圖 4.44 使用主動式可靠度控制器在u4故障時之控制輸入響應圖………..77 圖 4.45 在正常運作時被動式與主動式控制器之系統狀態比較圖...78 圖 4.46 在正常運作時被動式與主動式控制器之順滑函數比較圖...78 圖 4.47 在正常運作時被動式與主動式控制器之控制輸入比較圖……….79 圖 4.48 在u2故障時被動式與主動式控制器之系統狀態比較圖……….79 圖 4.49 在u2故障時被動式與主動式控制器之順滑函數比較圖...80

圖 4.50 在u2故障時被動式與主動式控制器之控制輸入比較圖……….80

圖 4.51 在u3故障時被動式與主動式控制器之系統狀態比較圖……….81

圖 4.52 在u3故障時被動式與主動式控制器之順滑函數比較圖...81

第一章

緒論

1.1 研究背景與動機

現代化的工程技術系統正朝向大規模、複雜化的方向發展，而這類系統一旦發生 事故就可能造成人員及財產的巨大損失。例如：1998 年 8 月到 1999 年 5 月短短十個 月間，美國的三種運輸火箭：“大力神（Titan）＂、“雅典娜(Athena)＂、“德爾他 (Delta)＂共發生了五次發射失敗，造成了 30 多億美元的經濟損失，迫使美國航空局 於 1999 年 5 月下令停止了所有商業發射計劃，美國的航空計畫受到了嚴重的打擊。 因此可靠度控制的研究就顯得相當的重要及熱門。可靠度控制的目的就是設計一個適 當的控制器使得閉迴路系統可以容忍某些特定的控制元件不正常運作而仍能保持整 個系統的穩定度及可接受的性能。不正常的運作也許包括放大（amplification）、衰減 (degeneration)、甚至嚴重到完全故障。一般而言，可靠度控制器的設計可以劃分成被 動式[1][2][3]與主動式[4][5][6]兩類。在被動式可靠度控制中，系統利用冗餘 （inherent redundancy)來設計一個固定的控制器使得閉迴路系統無論在正常操作下或 是內部各種元件故障的情況下都能達到可接受的性能。被動式可靠度控制的優點如 下：第一，可以容忍錯誤使系統還能達到可接受的性能表現。第二，某些系統在錯誤 發生時不容許有任何的反應時間，此時被動式可靠度控制器是一個很好的設計方法。 而缺點是：第一，必須根據統計以及經驗事先假定某個容易故障的驅動器。如果實際 發生故障的驅動器並非事先假定的，則被動式的方法有可能會失敗。第二，設計出來 的控制律不太有彈性。反之，主動式的方法則是採用錯誤偵測與診斷機制(Fault Detection and Diagnosis, FDD)來辨別錯誤並根據即時錯誤診斷的結果來進行控制律重 組。主動式的優點是如果錯誤偵測與診斷機制的可靠度夠高則控制器會根據當時的情

況做最佳化的重組動作。因此在 FDD 可靠度夠高的前提之下，主動式會比被動式較 具強健性（robustness），而缺點有以下三項：第一、對錯誤偵測與診斷機制可靠度的 要求較高。第二、錯誤偵測與診斷機制會增加分析上的複雜度。第三、當系統的空間 有限時，錯誤偵測與診斷機制會造成系統額外的負擔，例如：額外的空間以及重量等 等。而這些缺點是使用被動式控制器不需要去考慮的。 在現今可靠度控制當中，很多論文都已經被提出。例如，Boskovic 與 Mehra[7] 針對多重模型（multiple models）驅動器故障進行主動式可靠度控制研究。Liang 等人 [5]採用主動式可靠度控制方法處理追蹤控制(output tracking control)的議題。Moerder 等人[6]採用自身修復(self-repairing)飛行器控制概念來建構控制策略。另一方面，設 計可靠度控制器的方法有很多，例如：H-J（Hamilton-Jacobi）方法[1][11]、LMI(linear matrix inequality)方法[3]以及 ARE(algebraic Riccatti equation)方法[13][14]。H-J 方法 主 要 是 針 對 非 線 性 系 統 ， 一 個 無 法 避 免 的 困 難 就 是 其 控 制 器 的 設 計 必 須 倚 賴 Hamilton-Jacobi 方程式或不等式的解，我們都知道解決 Hamilton-Jacobi 方程式或不等 式會產生很複雜計算過程，但這卻是設計 LQR 以及 H-infinity 控制器所必須的過程。 另一方面，使用冪級數（power series）方法來求解 Hamilton-Jacobi 方程式或不等式可 以減輕 H-J 方法的困難，可是所獲得的解只是近似值而且當系統很複雜時計算的負擔 會隨著增加。在此，我們提出一種結合 T-S 模糊模型與變結構控制的可靠度控制器， 這種控制器容易實現且不需要去解 Hamilton-Jacobi 方程式或不等式，同時運用 T-S 模 糊模型的優點（計算快速）來減輕計算上的負擔。在本篇論文中，將會針對衛星姿態 控制系統考慮被動式與主動式可靠度控制器的設計方式並展示此方法依然可以在某 些特定的推進器故障時達到容忍錯誤的(fault tolerant)目的。 另一方面，已有很多研究結果顯示 T-S 模糊模型方法可以將複雜的系統分解成多 個子系統並且利用模糊混合(fuzzy blending)方法來代表在每一個局部操作點的原始模 型。雖然這樣的概念很簡單，不過 T-S 模糊模型在理論上已經被證明是一種全域近似 器[15][16]。特別是在原始非線性模型很複雜時[17][18][19][20][21][22][23] [24][25]，T-S 模糊模型方法會特別有用。當我們針對任何所需求的精確性使用適當 選取的 T-S 模糊模型來近似原始非線性模型時，通常會產生一些額外的系統不確定性 (uncertainty)。因此我們需要去考慮設計一個強健（robust）控制器，在控制器設計的

過程中能有效地消除系統模型不確定性(uncertainty)以及外在干擾(external disturbance) 所造成的影響。為了消除這些不確定性以及干擾，很多控制器的設計與分析已經被提 出。例如，其中一種控制策略是以線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)與平 行分散式補償(Parallel Distributed Compensation, PDC)技巧來設計的[17][16][19]。另 一個強健控制方法就是最近被提出的變結構控制(Variable Structure Control, VSC)方 法。最近有關變結構控制的研究已經引起了相當多學者的注意。我們知道變結構控制 有很多比以往的一些方法更好的優勢[26][27]，例如:響應快速、對系統不確定性 (uncertainty)以及外界干擾(external disturbance)的靈敏度低，容易設計等等。基於這些 理由，變結構控制理論被廣泛地使用在各種相關的控制議題上。 本文所提出的以 T-S 模糊模型為基礎之變結構控制器是根據原來的非線性系統動 態選取適當的操作點所建立的。在每個子區間中，T-S 模糊模型與原來非線性系統的 差距可以事先被計算出來，因此這種結合 T-S 模糊模型與變結構控制的方法不僅僅可 以大量地減輕線上計算的負擔，同時還可以保留變結構控制的優點，例如：響應快速 以及強健性（robustness）。除此之外，這種方法還有一個優點就是儘管模糊邏輯法則 (fuzzy rules)增加還是不會造成額外的計算負擔。為了解釋說明此方法的好處，本篇論 文將進行兩軸機器手臂的模擬來驗證。

1.2 論文架構

本論文架構如下：第二章將會介紹變結構控制理論與 T-S 模糊模型。第三章針對 兩軸機器手臂系統來探討 T-S 模糊模型中模糊法則的多寡對系統的影響以及與原始非 線性變結構控制的比較。第四章利用 T-S 模糊模型結合變結構控制針對衛星姿態控制 系統設計可靠度控制器，並且分為兩類：被動式可靠度控制器與主動式可靠度控制 器，並比較兩種可靠度控制器的優缺點。第五章提出結論與未來研究方向。

第二章

預備知識

2.1 變結構控制

由於變結構控制器在設計上的容易性以及其高抗雜訊的能力，在本論文中我們將 採用變結構來設計控制器。本章將簡述變結構控制的基本概念、順滑平面、線性及非 線性變結構控制器的設計方法、以及考慮輸入具有非線性限制時之變結構控制律之設 計。

2.1.1 變結構控制簡介

變結構控制(variable structure control, 簡稱 VSC)是一種不連續的狀態回授控制， 是在 1960 年代初期由前蘇聯科學家們所發展出的一種非線性控制法則，為俄國人 Filippov 所率先提出的。此種控制之特色為利用不連續的控制輸入，使系統在所設定 之轉換平面(Switching Plane)或稱之超平面(Hyperplane)上改變結構，而獲得所謂之滑 動模式控制(Sliding Mode Control) 。

我們所採用的變結構控制法則，由於設計方法較為容易，已成為最廣為人使用的 控制方法之一。由於 VSC 是一種高速切換的回授控制(feedback control) ，其回授方式 可以為狀態回授(state feedback)或輸出回授(output feedback) 。採用 VSC 可使系統具 有較強的系統強健性(Robustness) ，因此對於一些具有不確定因素(uncertainties)的系 統而言，VSC 的高抗雜訊能力的確是一種不錯的控制方法。

VSC 最大的特點則是系統最後會被規範在一個預先決定的順滑平面(Sliding surface)上，而控制器的設計者則利用設計的控制法則將系統的狀態軌跡控制在預先設 計好的順滑平面上，如圖 2.1，在理論上當順滑函數為零時，亦即系統上到了順滑平

面上，而受控系統的行為則是由順滑平面來規範的，運動軌跡不隨系統內部參數變動 而變動，此種沿著順滑平面滑行的運動方式稱為滑動模式(Sliding mode) ，因此，順 滑平面的選取在 VSC 的設計上就顯得相當的重要，對於一般線性的系統而言，順滑 函數可以選取如下: S(x)=Cx (2.1) 其中， x 表示系統的狀態變數。 而要讓系統上順滑平面的條件便要使得所設計的控制器滿足下式： 0 , > − < ⋅ σ σ S S ST (2.2) (2.2)式又稱為”reaching condition” 。 圖 2.1 順滑軌跡示意圖 上式條件，因它充分保證在任一 S 鄰域之狀態起點，其軌跡必定趨近到順滑平面Ｓ， 且沿此平面滑動。由上述可知，當系統進入滑動模式，系統動態反應受控於順滑平面。 但是，在滑行的過程中，狀態代表點因受到不連續控制之輸入影響，並非完全在 順滑平面（S(x)=0）上，而是在S(x)=0的鄰域來回變動，使用 VSC 時有一個最大 的缺點就是控制器在高速作切換時會導致”切跳(Chattering)”的現象產生。輕則會影響

系統的最終狀態（steady state），嚴重則會激發出一些系統潛在的未模式高頻部分（high

frequency unmodeled parts），將影響到系統整個控制的結果，導致系統的不穩定現象

發生。因此，要在變結構控制系統中，切跳現象是無法避免的，而切跳的大小視控制 輸入之不連續程度而定，要改善”切跳(Chattering)”所導致的負面影響，可以引入順滑 層(Sliding layer)的想法，順滑層的簡單示意圖如下: x(0) s=0 x=0 順滑平面(sliding surface) 高頻切換

圖 2.2 順滑層

將 原 來 的 符 號 函 數 (Sign Function) 用 飽 和 函 數 (Saturation Function) 、 磁 滯 函 數 (Hysteresis Function)或磁滯-飽和函數（Hysteresis Saturation Function）等方式取代，經 證實，這些方法可應用於實際的系統中，對系統之切跳行為可獲得明顯有效的改善。 總括而言，在設計變結構控制器有兩個主要步驟: ¾ 步驟一:選取適當的順滑平面S(x)，使得系統軌跡在順滑模態時能滑向控制 目標點。 ¾ 步驟二:設計適當的控制器，使得系統軌跡在有限時間內接觸到順滑平面產生順滑 模態。

2.1.2 變結構控制律之設計

2.1.2.1 線性系統變結構控制律設計 假設系統動態方式如下： s>0 s<0 s=0 x(0)

) , ( 2 2 1 1 1 3 2 2 1 t x d u x a x a x a x x x x x x x n n n n n + + + + + = = = = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ L M (2.3) 其中

[

]

T n x x x x= _{1 2 L} 是系統狀態且所有的狀態變數都是可以量測的，u 為控制輸 入，d( tx, )是系統雜訊且為一匹配式雜訊(matched noise)，在不失一般性的情況下，假 設雜訊的大小都有上界 ) , ( ) , (x t x t d ≤δ (2.4) 其中δ( tx, )為一已知的上限函數，此有雜訊干擾的系統，我們的主要的目的是將系統 的軌跡準確的控制到原點x=0，以下將利用變結構控制來完成所要的目標。 依據變結構控制的理論，選定順滑函數(sliding function)S(x)後，系統之狀態空間 會被順滑平面S(x)=0分隔成S(x)>0及S(x)<0的兩個子空間，再利用迫近及順滑條 件來迫使系統在有限時間內接觸到順滑面，並且經由切換，使系統在順滑面上產生順 滑模態(sliding mode)，在順滑模態上的軌跡最後必須逼近目標點x=0，方能達到控制 的目標。 接下來為順滑函數的選擇，在此步驟中，首先假設系統已成功的被控制在順滑模 態 下 ， 其 餘 的 主 要 工 作 就 是 選 擇 順 滑 函 數 S(x) ， 也 就 是 選 擇 一 適 當 的 順 滑 面 0 ) (x = S ，讓系統經由不斷的切換滑向目標。 由於順滑模態下的系統軌跡會朝向目標點逼近，所以選取的順滑面必須包含此目 標點，也就是說必須符合S

( )

x _x=0 =0，在一般情況下，通常順滑函數設定為 n nx c x c x c CX x S( )= = _{1 1}+ _{2 2} +_L+ (2.5) 其中C=

[

c₁ c_{2 L} c_n

]

，C 之選取將於稍後在作說明，根據以上的敘述必須假設系 統已經處於順滑模態下，亦即滿足S(x)=c1x1+c2x2 +L+cnxn =0，事實上，向量中 的 n 個係數只要是彼此間的比例關係不變的話，都是代表同一個順滑面，假設cn =1，

亦即選取順滑函數為 n n n x x c x c x c CX x S( )= = 1 1+ 2 2 +L+ ₋1 ₋1+ (2.6) 其中C =

[

c1 c2 L cn−1 1

]

。 為了使順滑模態S(x)=0具有不變(invariant)的特性，我們必須加入以下條件 0 ) ( = _{1 1}+ _{2 2}+ + _{1 1}+ = ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ =u n n n u c x c x c x x x s eq L (2.7) 利用(2.3)式可得 0 ) , ( ) ( ) ( ) (x ₌ =a₁x₁+ a₂+c₁ x₂+ + a +c −₁ x +u +d x t = s _{u u n n n eq} eq L & (2.8) 在(2.8)式可看出順滑函數經過一次微分後會產生控制輸入 u 項，因此可取等效控制如 下 n n n eq ax a c x a c x u =− _{1 1}−( ₂+ ₁) ₂−_L−( + ₋₁) (2.9) 代回(2.3)式後成為 0 ) ( 1 3 2 2 1 = = = = ⋅ − ⋅ ⋅ x s x x x x x x n n M (2.10) 根據等效控制的觀點，系統在順滑模態下(s(x)=0且s&(x)=0)只需考慮前面的 n-1 條 方程式，亦即 1 1 2 2 1 1 1 3 2 2 1 − − ⋅ − ⋅ ⋅ − − − − = = = n n n c x c x c x x x x x x L M (2.11) 其中最後一式已經利用S(x)=c₁x₁+c₂x₂ +_L+x_n =0的關係把x 改為 _n

1 1 2 2 1 1 − − − − − − = _{n n} n c x c x c x x _L (2.12) 為了使(2.11)式的系統穩定，必須選取適當的係數c ，i i=1,2,L,n−1，首先，令 ) 1 ( − = K K z x ，K =2,_L,n−1，其中 (K−1) Z 表示 z 對於時間 t 的 K-1 次微分，再代回(2.11) 式的最後一個等式後，可得(n-1)次的微分方程如下: 0 1 2 ) 2 ( 1 ) 1 ( + − + + ⋅+ = − − z c z c z c z n n n L (2.13) 故特徵方程式為 0 1 2 ) 2 ( 1 ) 1 ( + − + + + = − − _{λ λ λ} λn c_n n _L c c (2.14) 只要選取的係數c ，_i i=1,2,_L,n−1，能夠使特徵方程式的(n-1)個根都具有負實 部，亦即RE(λ)<0，其中λ為特徵方程式的特徵根，因此，當t→∞時，對所有
i=1,2,_L,n−1
，x_i →0，經由(2.12)式可得
x_n →0，即可達到控制的目標。一旦決 定出適合的順滑函數後，便可開始進行控制法則的設計。 而控制法則的設計是利用迫近及順滑兩種條件為基礎，迫使系統在有限時間內產 生順滑模態，在此利用(2.2)式的迫近順滑條件，表示如下: 0 , > − < ⋅ σ σ S S ST (2.15) 以保證系統在有限時間內進入順滑模態，並滑向控制目標。由(2.3)及(2.6)式計算 順滑函數的一次微分式可得 ) , ( ) ( ) ( _{2 1 2 1} 1 1x a c x a c x u d x t a s= + + + + _n + _n− _n + + ⋅ L (2.16) 為了符合迫近順滑條件，令控制法則如下: ) ( ) ) , ( ( ) ( ) ( _{2 1 2 1} 1 1x a c x a c x x t sign s a u=− − + −L− _n + _n− _n − δ +σ (2.17) 代回(2.8)式後變為 ) , ( ) ( ) ) , ( ( x t sign s d x t s=− + + ⋅ σ δ (2.18) 兩邊同乘 s 後整理為

s s t x s t x d s t x s s t x d s s t x s s σ δ δ σ σ δ − ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = + − − = ⋅ ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( ) , ( (2.19) 由(2.19)式，可知所設計的控制法則(2.17)式，可以保證迫近條件(2.15)式成立，所以能 使系統在有限時間內產生順滑模態。 在真實的情況中，在(2.17)式中 sign(s)是一理想的切換函數，這個函數必須借助 無窮大的切換頻率才可能達成，但此種切換頻率在現實的系統裡是無法實現的，因此 一般都只是利用極高速的切換元件來取代，這樣系統的軌跡必定會在順滑模態 s=0 兩 側的極小空間中不斷的跳動，造成了不當的高頻雜訊，也就是說會有切跳的現象產 生，若我們將 sign(s)修正為 1 ( , ) 1 ( ) / s s sa t s s s sig n s s s s ε ε _ε ε ε ε ε ε > = ≤ − < − > = ≤ (2.20) 可由(2.20)式可看出系統空間被分為s>ε、s ≤ε、s<−ε，其中包含順滑面 s=0 的中 間地帶 s ≤ε就是所謂的順滑層，該層的厚度為ε，為了方便表示，也將包夾順滑層 的兩個區域s>ε、s<−ε，進一步表示為 s >ε，故我們以sat(s,ε)取代 sign(s) ，所 以將(2.17)式修正為 ) , ( ) ) , ( ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 1x a c x a c x δ x t σ sat s ε a u=− − + −L− n + n− n − + (2.21) 在未進入順滑層前，也就是當 s >ε 時，sat(s,ε)=sign(s) ，修正前後的控制法則是完 全相同的，故系統依舊向著順滑面 s=0 逼近，由於順滑面包含在順滑層內，所以系統 軌跡朝著順滑層 s ≤ε逼近，系統會在有限時間內進入順滑層，一旦進入順滑層後，

控制法則(2.21)式變成 ε σ δ x t s x c a x c a x a u=− 1 1 −( 2 + 1) 2 −L−( n + n−1) n −( ( , )+ ) (2.22) 由於 ε s 的值通常都小於 1，因此控制輸入 u 的增益值在順滑層終將明顯降低，而(2.18) 式也同樣被修正為 ) , ( ) ) , ( ( x t s d x t s=− + + ⋅ ε σ δ (2.23) 由(2.23)式可以清楚的看到 S 會受到雜訊 d(x,t)的影響，也就是說在順滑層中只要雜訊 d(x,t)存在，系統很難維持順滑模態，亦即 s 不恆為 0，此時(2.12)式必須重寫為 s x c x c x c xn =− 1 1 − 2 2 −L− n−1 n−1+ (2.24) 同樣地(2.11)式變成 s x c x c x c x x x x x n n n =− − − − + = = − − ⋅ − ⋅ ⋅ 1 1 2 2 1 1 1 3 2 2 1 L M (2.25) 由於在順滑層 s ≤ε中，s 可視為一個有限量的值，因此不影響(2.25)式的的穩定性， 先前所選取之向量 C 仍然適用，可是卻因為 S 的存在將無法讓所有的狀態變數趨近於 0，換句話說系統軌跡將不再逼近原點，而只在原點的附近遊動，這樣雖降低了控制 的精準度，這也是利用順滑層概念所必須付出的代價，但這樣的代價是值得的，因為 具備順滑層的控制器可以利用實際元件製作出來，並且只要順滑層的厚度夠寬，就不 會激發出高頻雜訊或產生不希望的切跳現象，此外控制輸入由於使用了比率項 ε s ，其 增益值也跟著降低。

2.2 T-S 模糊模型

模糊控制是經由專家意見，資料庫的建立以及模糊推論機制的組合，並藉由 IF-THEN 規則來取代傳統的控制方法，此種控制技術是將 Zadeh 教授於 1965 年提出 的模糊集理論應用到控制領域的先進技術。由於模糊控制通常不需要精確的數學模 型，且模糊系統的規則庫一旦建立之後便可經由查表(table lookup)的方式來進行控 制。因此，這種控制技術通常可有效地縮短計算時間。此外，模糊控制也具有極佳的 適應性，強健性及容錯性，所以不少傳統控制無法達到的優異效果卻可以藉由模糊控 制的經驗法則來達成。在 1987 年 7 月開始營運的日本仙台市地下鐵路系統便是應用 模糊控制技術來進行管制，將列車的運行規劃成為自動化控制系統。此外，目前市面 上已有許多電機電子產品已應用了模糊控制的相關技術。雖然模糊理論的應用已受到 高度的重視，然而，長久以來，模糊控制最受人質疑的便是其穩定度的問題。近年來 隨著解決非線性系統之理論及技術的快速成長與累積，提供給模糊控制很好的理論基 礎。由 Takagi 與 Sugeno 所提出的 T-S 模糊控制模型是利用多個線性化模式以權重的 方式來近似原來的非線性系統，並以 Lyapunov Function 的處理方式來建立模糊控制系 統穩定度分析的基礎。所獲得近似的模糊控制系統再利用平行分散式補償器(Parallel Distributed Compensation,PDC)的觀念來設計控制器與估測器，最後再將穩定性分析的 問題轉換成線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality,LMI)的形式，以 Matlab LMI toolbox 來求解。

T-S 模型有時被稱為 Takagi-Sugeno-Kang(T-S-K)模糊模型。由於一開始的模糊模 型是由 Takagi 與 Sugeno 所提出，後來，Sugeno 與 Kang 則繼續在關於模糊模型判別 的研究上發揚光大。在此論文中，我們統稱 T-S 模糊模型。T-S 模糊模型的主要原理 是利用多個線性化模式以權重的方式來近似原來的非線性系統模型，經由對個別的線 性模型設計控制規則再依權重組合來實現非線性模型所需要的控制律。因此，T-S 模 糊模型適合用來近似非線性模型。近年來 T-S 模糊模型的應用已廣泛受到重視，如 Tanaka 與 Wang[16]已成功地將 T-S 模糊模型的控制方法應用於聯結車輛的倒車入庫的 控制法則設計；Chen 等人[17]藉由 T-S 模糊模型對非線性動態系統做模糊追蹤控制設 計；Su 等人[28]提出新的穩健 T-S 模糊模型化的方法；Lee[29]對於 Affine T-S 模糊控

制系統提出了混合補償控制的方法；Wang[30]設計 T-S 模糊模型的模糊回授控制器來 穩定不確定之模糊時間延遲系統，並應用於連續攪動槽反應器模型(Continuous stirred tank reactor, CSTR)；Hsiao[20][31][32]則將 T-S 模糊模型與控制應用再大型連結系統與 具有時間延遲的大型系統之穩定度分析。T-S 模糊模型的狀態空間表示法如下: -連續時間系統(Continuous-Time System,CTS): 規則i: IF e1(t) is Gi1 and … and ep(t) is Gip THEN xç(t) = Aix(t) + Biu(t) i = 1, 2, 3, ....r y(t) = Cix(t) ú 其中e1(t)，e2(t)，…，ep(t)為已知變數可以是狀態空間的函數，外部干擾或時間，Gip 是 歸 屬 函 數 ， x(t) = [x1, ..., xm]T 是 系 統 的 狀 態 向 量 ， u(t) = [u1, ..., uf]T 與 y(t) = [y1, ..., yh]T分別是系統的輸入與輸出。Ai ∈ Rmâm，Bi ∈ Rmâf與Ci∈ Rhâm， r 是規則數。整個模糊模型可以表示成: xç(t) = _P i=1 r Wi(e(t)) P i=1 r Wi(e(t))[Aix(t)+Biu(t)] = P i=1 r Hi(e(t))[Aix(t) + Biu(t)] (2.50) y(t) = _P i=1 r Wi(e(t)) P i=1 r Wi(e(t))Cix(t) =P i=1 r Hi(e(t))Cix(t) (2.51) 其中e(t) = [e1(t), e2(t), ..., ep(t)]，Wi(e(t)) = P j=1 p Gij(ej(t))，Hi(e(t)) =_P i=1 r wi(e(t)) wi(e(t))

-離散時間系統(Discrete- Time System, DTS):

x(t + 1) = _P i=1 r Wi(e(t)) P i=1 r Wi(e(t))[Aix(t)+Biu(t)] =P i=1 r Hi(e(t))[Aix(t) + Biu(t)] (2.52) y(t) = _P i=1 r Wi(e(t)) P i=1 r Wi(e(t))Cix(t) =P i=1 r Hi(e(t))Cix(t) (2.53)

其中e(t) = [e1(t), e2(t), ..., ep(t)]，Wi(e(t)) = P j=1 p Gij(ej(t))，Hi(e(t)) =_P i=1 r wi(e(t)) wi(e(t)) -平行分散式補償

平行分散式補償(Parallel Distributed Compensation, PDC)的設計概念如圖 2.4 所 示。每一條控制規則皆使用相對應於 T-S 模糊模型的規則來做分配式設計，模糊控制 器與模糊模型共用相同的模糊集。由於模糊模型的每一條規則被一個線性狀態方程式 所描述，線性系統控制理論可以被用來設計這模糊控制器部分，所設計出的整個模糊 控制器一般而言為非線性，其可以藉由個別的線性控制器經由模糊混合(fuzzy blending) 而完成。模糊控制器的規則可以用平行分配補償來設計: 第i條控制規則: IF e1(t) is Gi1 and … and ep(t) is Gip THEN u(t) =_{à K}i(t)x(t) 其中i = 1, 2, ..., r。最後，以模型基礎(model-based)的模糊控制器輸出則為: u(t) =_{à P} i=1 r Wi(e(t)) P i=1 r Wi(e(t))Kix(t) =_àP i=1 r Hi(e(t))Kix(t) (2.54) 圖 2.4 平行分配補償設計概念

第三章

結合 T-S 模糊模型及變結構控制之追蹤問題研究

3.1 問題描述

考慮一個二階非線性微分方程如下： xç1= x2 xç2= f(x) + G(x)(u + d) (3.1) 其中 x1∈ Rn，x2∈ Rn，x := (xT₁, xT₂)T代表系統狀態，u∈ Rn為控制輸入，d ∈ Rn代 表可能的系統不確定項以及外在干擾，f(x)∈ Rn_{以及G(x) ∈ R}nân_{為平滑函數，( )á} T 代表矩陣或向量的轉置。 本章主要的目的為設計一個控制律使得系統能在面對外在干擾與系統不確定項 時達到追蹤的任務，也就是當t → ∞時x1(t)→ xd(t)，xd(t)為追蹤的目標。

3.2 建立 T-S 模糊模型

我們知道一個非線性系統可以藉由p個線性模型做權重的相加而以 T-S 模型做近 似，p 個線性模型如下: xç1= x2 xç2= Ai(x)x + Bi(x)u i=1,...,p (3.2) 利用(3.2)式可將原始非線性系統改寫成 T-S 模型: xç1= x2

xç2= P i=1 p ëi(x)Ai(x)x +4f + (P i=1 p ëi(x)Bi(x) +4Gö)(u + d) (3.3) 其中ëi(x)為權重，滿足ëi(x) > 0, i = 1, ..., p, P i=1 p ëi(x) = 1 其中4f = f(x) àP i=1 p ëi(x)Ai(x)x，4Gö = G(x) àP i=1 p ëi(x)Bi(x)

3.3 控制器設計

將(3.3)式改寫成以下型式: xç1= x2 xç2= P i=1 p ëi(x)Ai(x)x +4f + ( P i=1 p ëi(x)Bi(x))(I +4G)(u + d) (3.4) 其中4G = (P i=1 p ëi(x)Bi)à1á 4Gö。在本論文中，針對(P i=1 p ëi(x)Bi)à1的存在性提出一項 假設。 假設 3.1 :對所有的狀態而言，P i=1 p ëi(x)Bi為非奇異矩陣。

變結構控制器設計

我們知道設計變結構控制器有兩個主要的步驟: (1) 選取適當的順滑平面，使得在順滑平面上的系統狀態最終都能達到我們所要的性 能。 (2) 設計一個控制律，使得系統狀態在有限時間內會到達順滑平面而且會持續待在順 滑平面上。 根據上述的步驟，首先選定一個適當的順滑平面。我們假設e = x1à xd，並且選定順 滑平面為 s = eç + Ke = 0 (3.5) 其中K = diag k{ 1, k2, ..., kn} > 0。顯而易見地，如果狀態持續保持在順滑平面上即可

達成我們的目標，也就是e → 0。 第二個步驟為設計一個控制律，使得系統狀態在有限時間內會到達順滑平面而且 會持續待在順滑平面上。從(3.4)-(3.5)可得 sç = e¨ + Keç = x¨1à x¨d+ Keç =à x¨d+ Keç +P i=1 p ëi(x)Ai(x) +4f + (P i=1 p ëi(x)Bi(x))(I +4G)(u + d) （3.6） 根據變結構控制的設計程序[12][33]，我們採用 u = ueq+ ure (3.7) ueq = (P i=1 p ëi(x)Bi(x))à1á àP i=1 p ëi(x)Ai(x)x + x¨dà Keç ô õ (3.8) 將(3.7)，(3.8)代入(3.6)中，可將(3.6)改寫成 sç =4f + (P i=1 p ëi(x)Bi(x))(I +4G)(ure+ d) + (P i=1 p ëi(x)Bi(x))4G á ueq (3.9) 為了讓系統狀態在有限時間內到達順滑平面，我們提出以下假設: 假設3.2 : 存在非負函數ú(x, t)以及û(x, t)，使得以下兩式成立 4f + (P i=1 p ëi(x)Bi(x))[(I +4G) á d + 4G á ueq] íí íí íííí ô ú(x, t) (3.10) n √ ₍P i=1 p ëi(x)Bi(x))4G(P i=1 p ëi(x)Bi(x))à1 íí íí íííí ô û(x, t) < 1 (3.11) 值得注意的一點，儘管在不等式(3.10)中需要ueq_{的資訊，但是因為4f與4G的最大值} 可以事先被計算出來，所以只要ueq計算出來之後就可以很容易地算出ú(x, t)。透過假 設3.2的幫助，所以我們設計ure如下:

ure= _à1ú(x,t)+ñ_àû(x,t)(P i=1 p ëi(x)Bi(x))à1á sgn(s) (3.12) 其中ñ為正的常數。因為 sgn(s)k k ô √n，所以從(3.9)，(3.12)以及假設3.2可得 sTsç_{ô ú(x, t) sk k + s}T(P i=1 p ëi(x)Bi(x))(I +4G)ure ô ú(x, t) sk k à₁ú(x,t)+ñ_àû(x,t)á sT_{á [I + (}P i=1 p ëi(x)Bi(x))4G( P i=1 p ëi(x)Bi(x))à1]sgn(s) ô ú(x, t) sk k à₁ú(x,t)+ñ_àû(x,t)(P i=1 p si | | à û(x, t) sk k) ô ú(x, t) sk k à 1_àû(x,t) ú(x,t)+ñ ( s_{k k à û(x, t) sk k)} ô à ñ á sk k (3.13) 也就是系統狀態在有限時間內會到達順滑平面。由以上的討論我們會有以下的結果: 定理 3.1 :令假設 3.1與假設 3.2同時成立，則採用控制律(3.7)，(3.8)以及(3.12) 時，此系統(3.1)會達到追蹤的性能表現。 如同以上的討論，這種以 T-S Fuzzy model 為基礎的控制器有一項重要的特徵。 這種方法不需要計算f(x)中的非線性項與G(x)的反轉換，而這兩個計算是典型的變結 構控制[12]無法避免的。取而代之地，系統參數Ai(x)， Bi(x)與假設 3.2中提到的 4f k k ，k4Gk以及û(x, t)的最大值可以事先被計算並透過查表的方式適時地將這些 參數代入系統。因此這種以 T-S Fuzzy model 為基礎的方法可以減輕一些在計算控制 器方面的負擔並且提升控制器實現的可行性，尤其是當系統動態較為複雜的時候。

3.4 在兩軸機器手臂上的應用

考慮一個兩軸機器手臂的系統，如圖 3.1，其動態方程式[10][17]如下: 圖 3.1 兩軸機器手臂示意圖 M(q)q¨+ C(q, qç)qç + g(q) = ü + d (3.14) 其中 q = (q1, q2)T ∈ R2, ü = (ü1, ü2)T ∈ R2, d∈ R2分別代表廣義座標( rad)，控制力道 (Newton-meter)以及可能的外來干擾。M(q)代表慣量，C(q, qç)代表科氏力與向心力， g(q)代表重力。 M(q) = (m1+ m2)l 2 1 m2l1l2(c1c2+ s1s2) m2l1l2(c1c2+ s1s2) m2l22 ò ó (3.15) C(q, qç) = m2l1l2(c1s2à s1c2) 0 à qç2 à qç1 0 ò ó (3.16) g(q) = à (m1+ m2)l1gs1 à m2l2gs2 ò ó (3.17) 其 中 m₁, m2(kg) 為 兩 軸 機 器 手 臂 的 質 量 ， l1, l2(m) 為 兩 軸 機 器 手 臂 的 長 度 ， g = 9.8(m/sec2_{)為重力加速度，c} 1= cos(q1), c2= cos(q2), s1= sin(q1), s2= sin(q2) 。令 x1= (x1, x2)T= (q1, q2)T， x2= (x3, x4)T = (qç1, qç2)T以 及u = ü 。我們可將(3.14)寫成狀態空間方程式:

xç1= x2 xç2= f(x) + G(x)(u + d) (3.18) 其中 f(x) = m2l1l2a1a3x 2 3à m2l22a1x24+ (m1+ m2)gs1/(l1a2)à m2ga3s2/(l1a2) m2l1l2a1a3x24+ (m1+ m2)(l21a1x23à ga3s1/(l2a2) + gs2/(l2a2)) ò ó (3.19) G(x) = 1/(l 2 1a2) à a3/(l1l2a2) à a3/(l1l2a2) (m1+ m2)/(m2l22a2) ò ó (3.20) a1= (s1c2à c1s2)/a2, a2= m1+ m2à m2a23, a3= c1c2+ s1s2 因為 a| | = c3 | 1c2+ s1s2| = cos(x| 1à x2)| ô 1，所以a2> m1> 0 。就直觀上來看， trace(G(x)) =_l2 1a2 1 ₊ m2l2₂a2 m1+m2 > 0而且因為a2> 0所以det(G(x)) = _m 2l2₁l2₂a2₂ m1+m2àm2a23 = m2l2₁l2₂a2 1 _{> 0。對所有的x來說，G(x)會是一個正定且非奇異矩陣。而由G(x)所得到} 的Bi也會是正定矩陣，因此P i=1 p ëi(x)Bi也會是正定矩陣。 為了找出適當的 T-S 模糊系統來近似原始非線性系統，我們選擇了一組操作點來 建構出相關的線性模型。這些操作點的選擇是根據可能的操作範圍來選定的，如此一 來機器手臂的動作就可以藉由相關的線性模型以權重組合的方式來做適當地近似。在 模 擬 中 ， 我 們 假 設 參 數 m1= m2= 1 ， l1= l2= 1 而 且 角 度 的 位 置 限 制 在 à ù/2 ô xi ô ù/2, i = 1, 2。操作點的選定如下: xij = (x1,i, x2,j, 0, 0)T ⏐ ⏐i = 1, ..., n1 and j = 1, ..., n2 è é ， 其 中 x1,1, ..., x1,n1 è é 與 x2,1, ..., x2,n2 è é 為[_{à ù/2, ù/2]之間所選定的兩個區間，n}1, n2分別為x1, x2所選取操作 點的個數。在這個例子中，我們針對x1, x2均採用三角形的歸屬函數，如圖 3.3 所示。 因為本文的 T-S 模糊控制器只使用兩個前鑑部變數x1, x2，所以在每個時刻都只會觸 動 四 個 法 則 ， 也 就 是 四 個 相 關 的 線 性 模 型 ， 如 圖 3.2 所 示 ， 其 中 Dij= x{ ììx1,iô x1ô x1,i+1 x2,j ô x2ô x2,j+1}

圖 3.2 每一個時間間隔中所觸發的四個相鄰操作點 因此，如果適當地選取x1, x2的區間，這種方式並不會造成即時運算的負擔。然而， 針對一個函數在較小的子區間內取最大值會比在整個操作區間內所取的最大值來得 小，所以只要適當地選取x1, x2的區間就會使得û(x, t)與ú(x, t)的值變小。因此控制的 力道就會比較小以致於在實際操作應用上會比較容易實現。為了探討區間大小所造成 的影響，以下考慮兩個情況: Case A :n1= n2= 5(以下稱 TS55) 在這個情況下，我們選取 25 個操作點為: xij = (x1,i, x2,j, 0, 0)T ⏐ ⏐x1,i, x2,j= à ù/2, à ù/4, 0, ù/4, ù/2 è é (3.21) 歸屬函數如圖 3.3： 圖 3.3 Case A所選取的操作點及其歸屬函數 根據所選取的操作點並且取 A,B 矩陣為

Ai(x) = a_a11i a12i a13i a14i 21i a22i a23i a24i ò _{ó ⏐} ⏐_u0 i,x 0 i a11i= l1a2x1 (m1+m2)gs1 a12i= l1a2x2 àm2ga3s2 a13i = m2l1l2a1a3x3 a14i=à m2l 2 2a1x4 a21i= l2a2x1 (m1+m2)ga3s1 a22i= l2a2x2 (m1+m2)gs2 a23i = (m1+ m2)l 2 1a1x3 a24i = m2l1l2a1a3x4 Bi(x) = G(x) = b_b11i b12i 21i b22i ò _{ó ⏐} ⏐ u0_i,x0_i b11i= 1/(l 2 1a2) b12i=à a3/(l1l2a2) b21i=à a3/(l1l2a2) b22i= (m1+ m2)/(m2l 2 2a2) 其中x0_i, u0_i, i = 1, ..., p為選取之 p 個操作點。 可獲得相對應的 25 組線性模型可以很簡單地得到，以下列舉六組: A11= 12.4777 à 6.2389 0 0 à 12.4777 12.4777 0 0 ð ñ , B11= 1 à 1 à 1 2 ð ñ A12= 8.3185 à 4.1592 0 0 à 5.8821 11.7641 0 0 ð ñ , B12= 0.6667 à 0.4714 0.4714 1.3333 ð ñ A13= 6.2389 0 0 0 0 9.8 0 0 ð ñ , B13= 0.5 0 0 1 ð ñ A21= 11.7641 à 2.9410 0 0 à 8.3185 8.3185 0 0 ð ñ , B21= 0.6667 à 0.4714 à 0.4714 1.3333 ð ñ

A22= 17.6462 à 8.8231 0 0 à 17.6462 17.6462 0 0 ð ñ , B22= 1 à 1 à 1 2 ð ñ A23= 11.7641 à 4.6198 0 0 à 8.3185 13.0667 0 0 ð ñ , B23= 0.6667 à 0.4714 à 0.4714 1.3333 ð ñ 在算出 25 組線性模型之後，只要知道機器手臂的角度位置與歸屬函數，則 T-S 系統 模型就可以輕易地得到。定義區間 Dij:= x ⏐ ⏐x1,iô x1ô x1,i+1, x2,j ô x2ô x2,j+1, à 1 ô x3, x4ô 1 è é 在每個 Dij區間內的 û(x, t)與k4fk_∞:= supx∈Dijk4fk 可以事先被計算出來，如表 3.1。 Case B :n1= n2= 9 (以下稱 TS99) 針對這個情況，我們選取 81 個操作點為: xij= (x1,i, x2,j, 0, 0)T ⏐ ⏐x1,i, x2,j= kù/8, k = 0. æ 1, æ 2, æ 3, æ 4 è é (3.22) 歸屬函數如圖 3.4： 圖 3.4 Case B所選取的操作點及其歸屬函數 相關的 81 組線性模型可以被計算出來，以下同樣列舉六組: A11= 12.4777 à 6.2389 0 0 à 12.4777 12.4777 0 0 ð ñ , B11= 1 à 1 à 1 2 ð ñ A12= 10.8838 à 6.1933 0 0 à 10.0554 13.4071 0 0 ð ñ , B12= 0.8723 à 0.8059 à 0.8059 1.7445 ð ñ A13= 8.3185 à 4.1592 0 0 à 5.8821 11.7641 0 0 ð ñ , B13= 0.6667 à 0.4714 à 0.4714 1.3333 ð ñ

A21= 13.4071 à 5.0277 0 0 à 12.3866 10.8838 0 0 ð ñ , B21= 0.8723 à 0.8059 à 0.8059 1.7445 ð ñ A22= 15.3706 à 7.6853 0 0 à 15.3706 15.3706 0 0 ð ñ , B22= 1 à 1 à 1 2 ð ñ A23= 13.4071 à 7.1102 0 0 à 12.3866 15.3921 0 0 ð ñ , B23= 0.8723 à 0.8059 à 0.8059 1.7445 ð ñ 在每個 Dij區間內的 û(x, t)與k4fk_∞:= supx∈Dijk4fk 可以事先被計算出來，如表 3.2。 例一：模擬結果如圖 3.5、圖 3.6、圖 3.7 以及圖 3.8，系統狀態的初始值選定為 x0= (0.8,à 0.4, 1, 1)T，希望到達的角度及角速度為 xd = (0.1,à 0.7, 0, 0)T。三個系 統的控制參數設定相同，即 K = 5I ， ñ = 1 ，將符號函數 (sgn(s)) 改成飽和函數 (sat(s/ï), ï = 0.005)，干擾d = 0.1sin(t)。如模擬圖所示，三種控制律都能達到追蹤 的目的，也就是追蹤誤差都會收斂為零。為了觀察性能，透過表 3.3 對三種控制律進 行分析。

在到達時間treach方面，我們可以看出(Speed)TS55õ (Speed)TS99õ (Speed)classic，

這是因為 T-S 方法需要額外的控制能量來消除系統的不確定項而這些不確定項是來自 於典型非線性模型與 T-S 模糊模型之間的差距。然而，如同之前所提到的，經由 T-S 模 糊 模 型 之 變 結 構 控 制 理 論 所 設 計 出 的 控 制 律 大 小 與 ú(x, t), û(x, t) 有 關 ， 而 ú(x, t), û(x, t)的大小則取決於操作區間劃分的大小。 透過表 3.3 可知( uk k∞)classic= 31.1355 < ( uk k∞)TS99= 40.3763 < ( uk k∞)TS55= 60.9290，其中 uk k∞:= suptku(t)k。很明顯地，當操作區間劃分的越 小，所需要的控制能量也會越小。這種情況也可以在圖 3.19 觀察出來。 另一個值得觀察的地方是( ⎧ ⎭uT_u) TS99= 731.36 < ( ⎧ ⎭uT_u) TS55= 805.98 < (⎧⎭uT_u) classic = 820.96以及( ⎧ ⎭eT_e) TS55= 0.21 < ( ⎧ ⎭eT_e) TS99= 0.398 < (⎧⎭eT_e) classic= 0.81，也就是說雖然 T-S 變結構控制律會比典型非線性變結構控制律

需要較多的控制能量，可是在整個過程當中 T-S 變結構控制律所消耗的總能量有可能 會比典型非線性變結構控制律來得少且過程中的總誤差值也比較小。這可能是因為 T-S 變結構控制律一開始所需的能量較大，一開始能量較大會使得系統狀態能快速地 接近目標；而典型非線性變結構控制律一開始所需的能量較小，在過程中隨著狀態越 來越靠近目標且越來越靠近順滑平面其所需的能量也一直在變小，所以到達目標的時 間會比較長。就總能量來說，T-S 變結構控制律一開始所需的能量較大，但是隨著狀 態快速地到達目標而變小；反觀典型非線性變結構控制律一開始所需的能量雖然比較 小，但是接近目標的速度較慢，所以過程中典型非線性變結構控制律所消耗的總能量 有可能會比較多。 從控制律輸入能量圖(圖 3.7)中可以觀察到會有兩個切跳現象(Jump)，這是因為系 統狀態到達順滑平面的緣故。同時這種情形也可以分別從圖 3.6 觀察到。 在計算時間方面，我們將 T-S 變結構控制律與典型非線性變結構控制律各計算了 106_{次之後發現(CPU)}

TSù 4.766 sec < (CPU)Classicù 7.625 sec。由此可以知道 T-S

變結構控制律可以節省計算時間。這是因為 T-S 模糊模型有很多的參數都可以事先被 計算出來，在過程中利用查表(look-up table)的方式將這些參數帶入即可。 例二：模擬結果如圖 3.9、圖 3.10、圖 3.11 以及圖 3.12，系統狀態的初始值選定為 x0= (à 0.5, à 0.1, 1, 1)T，希望到達的角度及角速度為xd = (0.1,à 0.7, 0, 0)T。如模擬 圖所示，三種控制律都能達到追蹤的目的，也就是追蹤誤差都會收斂為零。為了觀察 性能，透過表 3.4 對三種控制律進行分析。 可以觀察出與例一相似的結果，TS55 使用的能量還是最大，TS99 次之，CLASSIC VSC 最小。所以同樣的在到達時間以及誤差收斂的速度方面，TS55 最快，TS99 次之，

CLASSIC VSC 最慢。唯一不一樣的結果是在過程中使用的總能量⎧⎭uT_{u，TS55 最大，}

TS99 次之，CLASSIC VSC 最小。在此情況下，CLASSIC VSC 所使用的能量比 TS 小，而 響應速度比 TS 慢。

x0= (à 1.3, 0.1, 0.5, à 0.5)T，希望到達的角度及角速度為xd= (à 1, à 0.6, 0, 0)T。如 模擬圖所示，三種控制律都能達到追蹤的目的，也就是追蹤誤差都會收斂為零。為了 觀察性能，透過表 3.4 對三種控制律進行分析。 可以觀察出與例二相同的結果，TS55 使用的能量還是最大，TS99 次之，CLASSIC VSC 最小。所以同樣的在到達時間以及誤差收斂的速度方面，TS55 最快，TS99 次之， CLASSIC VSC 最慢。因此，在此情況下，CLASSIC VSC 所使用的能量比 TS 小，而響應 速度比 TS 慢；TS99 所使用的能量比 TS55 小，響應速度也比 TS55 慢。這是因為 TS 控制律比 CLASSIC VSC 控制律多考慮了4f & 4G，因此使得控制能量較大。而 TS99 所劃分的操作區間數比 TS55 多，因此4f & 4G比較小，TS99 控制輸入會比 TS55 小。

圖 3.5 例一 狀態變數之比較圖

圖 3.7 例一 控制輸入之比較圖

圖 3.9 例二 狀態變數之比較圖

圖 3.11 例二 控制輸入之比較圖

圖 3.13 例三 狀態變數之比較圖

圖 3.15 例三 控制輸入之比較圖

表 3.1 TS55 之_{k4 fk∞}與û Ts55 k4 fk∞ û D11 2.5629 0.4055 D12 2.3826 0.1302 D13 2.3818 0.1595 D14 1.8818 0.1244 D21 2.3899 0.1302 D22 4.4399 0.4055 D23 4.4399 0.125 D24 2.4891 0.1595 D31 2.4891 0.1595 D32 4.4399 0.125 D33 4.4399 0.4055 D34 2.3899 0.1302 D41 1.8818 0.1244 D42 2.3818 0.1595 D43 2.3826 0.1302 D44 2.5629 0.4055

表 3.2 TS99 之_{k4 fk∞}與û Ts99 k4 fk_∞ û D11 1.166 0.1294 D12 1.5069 0.07 D13 1.7451 0.0499 D14 1.6475 0.0645 D15 1.3724 0.0538 D16 1.2165 0.0645 D17 1.2387 0.0499 D18 1.2706 0.07 D21 1.5702 0.07 D22 1.017 0.1294 D23 1.3987 0.07 D24 1.6568 0.0499 D25 1.6285 0.0645 D26 1.357 0.0538 D27 1.202 0.0645 D28 1.2057 0.0499 D31 1.6729 0.0499 D32 1.391 0.07 D33 0.976 0.1294 D34 1.3336 0.07 D35 1.5997 0.0499 D36 1.6146 0.0645 D37 1.3674 0.0538 D38 1.1816 0.0645 D41 1.6114 0.0645 D42 1.6022 0.0499 D43 1.3157 0.07 D44 0.976 0.1294 D45 1.3019 0.07 D46 1.5798 0.0499 D47 1.6084 0.0645 D48 1.3816 0.0538 D51 1.3816 0.0538 D52 1.6084 0.0645 D53 1.5798 0.0499 D54 1.3019 0.07 D55 0.976 0.1294 D56 1.3157 0.07 D57 1.6022 0.0499 D58 1.6114 0.0645 D61 1.1816 0.0645

D62 1.3674 0.0538 D63 1.6146 0.0645 D64 1.5997 0.0499 D65 1.3336 0.07 D66 0.976 0.1294 D67 1.391 0.07 D68 1.6729 0.0499 D71 1.2057 0.0499 D72 1.202 0.0645 D73 1.357 0.0538 D74 1.6285 0.0645 D75 1.6568 0.0499 D76 1.3987 0.07 D77 1.0171 0.1294 D78 1.5702 0.07 D81 1.2706 0.07 D82 1.2387 0.0499 D83 1.2165 0.0645 D84 1.3724 0.0538 D85 1.6475 0.0645 D86 1.7451 0.0499 D87 1.5069 0.07 D88 1.166 0.1294

表 3.3 例一 各項性能指標 classic TS55 TS99 treach(xdæ 0.005) 2.83s 1.3s 1.72s 2 , 1 , maxui i= 30.3876, 7.3012 57.1228, 21.1974 38.9742, 10.5477 ∞ u 31.1355 60.9290 40.3763 2 , 1 , 2 =

∫

ui i 453.6812, 367.2833 385.3909 420.5963 339.9181 391.4421

∫

uTu 820.9646 805.9872 731.3603

∫

eTe 0.8128 0.2133 0.3980 Cputime(計算 106次) 7.625s 4.766s 4.766s 表 3.4 例二 各項性能指標 classic TS55 TS99 treach(xdæ 0.005) 2.94s 1.35s 1.83s 2 , 1 , maxu_i i= 4.477, 7.8217 22.1439, 15.4717 8.005, 9.0314 ∞ u 8.1236 27.0135 9.0907 2 , 1 , 2 =

∫

u_i i 40.6743, 341.8560 58.4768 400.0224 43.6779 381.3498

∫

uTu 382.5303 458.4992 425.0276

∫

eTe 0.6091 0.1037 0.2825 Cputime(計算 106次) 7.625s 4.766s 4.766s

表 3.5 例三 各項性能指標 classic TS55 TS99 treach(xdæ 0.005) 2.41s 1.45s 1.63s 2 , 1 , maxui i= 18.0073, 6.7158 28.6859, 9.9209 23.0265, 8.6423 ∞ u 19.2189 29.3154 23.2261 2 , 1 , 2 =

∫

ui i 2725.5, 270.9631 2733.9 311.8068 2733.7 297.1432

∫

uTu 2996.5 3045.7 3030.9

∫

eTe 0.2903 0.1139 0.1616 Cputime(計算 106次) 7.625s 4.766s 4.766s

第四章

結合 T-S 模糊模型及變結構控制之可靠度問題研究

4.1 問題描述

考慮一個二階非線性微分方程如下： xç1= x2 xç2= f(x) + G(x)u （4.1） 其 中 x1∈ Rn， x2∈ Rn代 表 系 統 狀 態 ， u∈ Rn+m為 控 制 輸 入 ， f(x)∈ Rn以 及 G(x)_{∈ R}nâ(n+m)為平滑函數，( )_á T_{代表矩陣或向量的轉置。為了方便討論，假設} f(0) = 0並且系統（4.1）的控制輸入具有冗餘(inherent redundancy)。 本章的目的是要設計一個控制律使得當某些驅動器遭遇故障時依然能利用其他 正常的驅動器來完成穩定的任務，而正常的驅動器數量不可少於 n 個。在此提出兩種 設計方法：被動式與主動式可靠度設計方法。在被動式可靠度設計方法中，系統利用 冗餘來設計一個固定的控制器使得閉路系統無論在正常運作或是各種故障的情況下 均可以達到可接受的性能表現。然而，主動式的設計方法則是根據錯誤偵測與診斷機 制（FDD）的結果來重組控制器。也是因為這個原因，在主動式方法中，錯誤偵測與 診斷機制的可靠度也就顯得十分重要。

4.2 建立 T-S 模糊模型

我們知道一個非線性系統可以藉由p個線性模型做權重的相加而以 T-S model 做 近似，p 個線性模型如下:

xç1= x2 xç2= Ai(x)x + Bi(x)u i=1,...,p (4.2) 利用(4.2)式可將原始非線性系統改寫成 T-S model: xç1= x2 xç2= P i=1 p ëi(x)Ai(x)x +4f + G(x)u (4.3) 其中ëi(x)為權重，滿足ëi(x) > 0, i = 1, ..., p, P i=1 p ëi(x) = 1 4f = f(x) àP i=1 p ëi(x)Ai(x)x。

4.3 控制器設計

4.3.1 被動式可靠度控制器

在被動式可靠度控制器的設計中，會事先將驅動器分為正常運作的驅動器(H)以 及容易故障的驅動器(F)。所謂正常運作的驅動器是指在系統整個操作過程中當某些驅 動器產生錯誤時仍然能保持正常的驅動器，而容易故障的驅動器是指在系統運作過程 中有可能產生錯誤的驅動器。可將(4.3)式改寫成 xç1= x2 xç2=P i=1 p

ëi(x)Ai(x)x + 4f + GH(x)uH+ GF(x)uF (4.4)

其中4f,f(x) àP i=1 p ëi(x)Ai(x)x，x1∈ Rn, x2∈ Rn, uH代表正常運作的致動器，uF代 表容易故障的致動器。在變結構控制理論中，GH必須是非奇異矩陣，如此一來才存 在等效控制[34]。所以我們必須假設事先設定運作正常的致動器uH∈ Rn而且 GH∈ Rnân為非奇異矩陣。這項假設代表我們盡可能地將敏感致動器的數目假設夠 多，也就是說我們盡可能地考慮各種會產生錯誤的情形。 首先，我們先設計正常運作的致動器(uH)之控制律。假設容易故障之致動器有某些 出錯或全部出錯，因此(4.4)可寫成 xç1= x2

xç2= P i=1 p

ëi(x)Ai(x)x +4f + G(x)u + GF(x)(uãFà uF)

其中，uã_F代表實際的控制值，uF代表我們設計之控制值。這項方法主要的概念是將 GF(x)(uã_Fà uF)視為外來的干擾並且設計出一個控制律來抵消它。設計過程如下:根據 變結構控制理論，先選取一個順滑平面 s = x2+ Mx1= 0 (4.5) 其中，M ∈ Rnân_{是一個正定矩陣。我們知道當系統狀態持續保持在順滑平面上時，} (4.4)式可改寫成xç1+ Mx1= 0，也就是說x1與x2= à Mx1均會指數收斂到零而達到 我們所要的穩定度性能。透過(4.4)以及(4.5)式我們會有以下的結果: sç = xç2+ Mxç1 = P i=1 p

ëi(x)Ai(x)x +4f + GH(x)uH+ GF(x)uã_F+ Mx2 (4.6)

為了抵消外來干擾與系統錯誤，我們提出以下的假設: 假設 4.1 :存在一個非負純量函數úi(x, t)使得 (_4f)i k k + (Gíí F(x)uãF)iíí6úi(x, t)，i = 1, ..., n 利用變結構控制理論[35]設計出的控制律如下: uH= à Gà1H(x) P i=1 p ëi(x)Ai(x)x + Mx2+ ΛHá sgn(s) ú û (4.7) 其中ΛH= diag(ú1(x, t) + ñ1, ..., ún(x, t) + ñn)，ñi> 0，i = 1, ..., n sgn(s) = (sgn(s1), ..., sgn(sn))T代表符號函數。透過(4.7)式與假設 4.1我們可知 sTsç = sT P i=1 p

ëi(x)Ai(x)x + 4f + GH(x)uH+ GF(x)uãF+ Mx2

ò ó = sT _{4f + G} F(x)uã_F à ΛH á sgn(s) ð ñ 6 àP i=1 n ñiá s| | i 由上式告訴我們系統狀態會在有限時間內到達順滑平面[35]。事實上，當我們所選取 的ñi值越大則系統狀態第一次到達順滑平面的時間就越短[35]。 接下來設計當容易錯誤的致動器(uF)運作正常時之控制律。透過(4.5)，(4.6)，(4.7) 式我們可以得到以下的結果:

sTsç = sT P i=1 p ëi(x)Ai(x)x +4f + GHuH+ GFuF+ Mx2 ò ó 6sT_G F(x)uFàP i=1 n ñiá s| | (4.8) i 很明顯地，我們將uF的控制器設計成 uF=à ΛFá sgn(GTF(x)s) (4.9) 如此一來，系統狀態就會比容易故障的致動器全部錯誤(uF= 0)時更快到達順滑平

面，其中ΛF= diag(ñn+1, ..., ñn+m)且ñn+i> 0，i = 1, ..., m。將(4.9)式代入(4.8)式，

則(4.8)式可改寫成: sTsç6 àP i=1 n ñiá s| | ài P i=n+1 n+m ñiá Gìììà F(x)Tsá_iììì 這樣的結果表示uF在兼顧到穩定度的狀況下可以從零變化到允許的最大控制輸入 值，也就是uF故障的情形可以是全部發生錯誤，部分發生錯誤，任何形式的衰減或放 大以及組合。因此結果如下: 定理 4.1：令假設 4.1成立，在(4.7)，(4.9)兩個控制律作用下無論uF全部故障或 部份故障，則(4.4)的原點就會是局部漸進穩定 LAS( ) 。

4.3.2 主動式可靠度控制器

之前介紹的被動式可靠度控制器不需要錯誤偵測與診斷的資料，但是必須事先設定 一些容易故障的致動器。有一點我們必須要知道，事實上很難去斷定哪些是健康的致 動器或者哪些是敏感的致動器。通常是等到錯誤真的發生時，才會知道哪個致動器故 障了。雖然被動式可靠度控制器可以達到穩定度的性能指標，但是這種不管錯誤是否 發生控制器都不會改變的方式是一種保守的方式。由於缺乏錯誤偵測與診斷的資料， 被動式的可靠度控制器通常會過度地估計錯誤值的大小。雖然這種過度估計的情形會 加快系統狀態收斂到順滑平面的時間，不過有可能會導致一些我們不想要的性能表 現，例如:控制能量的浪費以及所設計出來的控制輸入大小超過系統所允許的範圍。為 了改善這種情形，以下提出主動式可靠度控制器的設計方法。 在錯誤發生之前，工程師也許會採用各種控制律來實現所要的系統性能指標。一旦 錯誤發生時，原來的系統可能會變得不穩定而且有可能出現一些我們不想要的暫態

[36]。在偵測與診斷過錯誤之後，控制律將會被切換成主動式可靠度控制律並且如我 們預期地系統狀態將會收斂。不失一般性，我們假設錯誤發生在以下這些控制輸入埠

uk+1, ..., un+m, k>n而且這些故障的控制輸入不實際輸出值也成功地被偵測到且被診

斷為uã_j = uêj+ 4uj, j = k + 1, ..., n + m。其中uêj代表估計的控制值，4uj代表估計誤

差。我們定義的順滑平面如(4.5)式，我們可以得到以下的結果 sç = xç2+ Mxç1=P

i=1 p

ëi(x)Ai(x)x + 4f(x) + GH(x)uH+ GF(x) uêF+ 4uF

à á

+ Mx2

其中 uH= u( 1, ..., uk)T, uF= u( k+1, ..., un+m)T, uêF= uê( k+1, ..., uên+m)T,

4uF=(4uk+1, ...,4un+m)T, GH= [g1( x ), ..., gk( x )], GF= [gk+1( x ), ..., gn+m( x )] gj(x)代表G(x)第 j 行。我們將4f(x) + GF(x)4uF視為干擾並且提出以下的假設: 假設 4.2 :存在一個非負存量函數ûi(x, t)使得 4f(x) k k + Gíí F(x)4uFíí6ûi(x, t), i = 1, ..., n 很明顯地，如果估測誤差_{|4uj| , j = k + 1, ..., n + m很小的話，假設 4.2的}ûi(x, t)值 會比Assumption 4.1的úi(x, t)值小很多，事實上，錯誤診斷越精準估測誤差就會越 小，也就是說觀察器的設計是一個很重要的步驟。透過與之前被動式可靠度控制器同 樣的設計程序，我們可以將正常致動器的控制律設計成 uH=à GTH(x)(GH(x)GTH(x))à1 _â P i=1 p ëi(x)Ai(x)x + GF(x)uêF+ Mx2+ ΛHá sgn(s) ú û (4.10) 其中ΛH= diag û( 1(x, t) + ñ1, ..., ûn(x, t) + ñn) , ñi > 1, i = 1, ..., n，值得注意的一點 是(4.10)中的GF(x)uêF與錯誤診斷的資料有關。因此透過假設 4.2我們可以得到以下的 結果 sTsç = sT GF(x)4uFà ΛHá s g n(s) è _é6àP i=1 n ñi| | si 在此提出一項結果 定理 4.2 :假設原系統(4.1)在這些控制輸入uk+1, ..., un+m, k> n發生了驅動器故 障的情形，同時估計的值為uêj且估計誤差為4uj。除此之外，如果這些錯誤與外來干

擾滿足假設 4.2，則系統的原點在控制律(4.10)給定的情況下會是局部漸進穩定 (LAS)。

4.4 衛星姿態之可靠度控制

4.4.1 衛星動態

首先考慮在原型軌道上有三個致動器的衛星系統動態方程式。根據尤拉方程式的 定義[8]，衛星系統動態方程式以角動量守衡法則來表現有以下形式 T + G =dh_dt = [dh_dt]b+ wâ h (4.11)

其中 T 代表外界的干擾(包括太陽壓力力矩(solar pressure torque),磁場干擾(magnetic field disturbance)以及外部輸入力矩( external input torque))，G 是地球的重力梯度力矩

(gravity gradient torque)，h 是總角動量，w是主軸的角度率。這個符號[ ]_á b是表示衛星

相對於本體座標軸。定義iê, jê, kê為本體座標軸中的標準基底向量，因此總角動量可以 表示成: h = (Ixwx+ hwx)iê + (Iywy+ hwy)jê + (Izwz+ hwz)kê (4.12) 其中Ix, Iy, Iz為相對於x, y, z軸的慣量，wx, wy, wz定義為相對應於x, y, z軸的角度率， hwx, hwy, hwz為輸入力矩。將(4.12)式代入(4.11)式可得 T + G = Ixwçx+ hwx+ (Izà Iy)wywz+ wyhwzà wzhwy Iywçy+ hçwy+ (Ixà Iz)wxwz+ wzhwxà wxhwz Izwçz+ hçwz+ (Iyà Ix)wxwy+ wxhwyà wyhwx ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ (4.13) 根據[8]，角度率與尤拉角度率有以下的關係 wë = òçë+ w0E2á eë, ë = x, y, z (4.14) 定義òx= þ, òy= ò, òz= ψ為相對於x, y, z軸的旋轉角度，E2為軌道座標的單位向 量，eë為本軸的單位向量，w0為軌道率。將(4.14)式寫成向量形式:

w =

þç_{à w}0á sinψ á cosò

òç + w0(cosψá cosþ à sinψ á sinò á sin þ)

ψç + w0(cos ψá sin þ + cos þ á sin ψ á sin ò)

⎛ ⎝ ⎞ ⎠ (4.15) 重力梯度力矩可以寫成: G = à 3/2 á w2 0(Iyà Iz)cos2òá sin2þ 3/2_{á w}2₀(Izà Ix)sin2òá cosþ à 3/2 á w20(Ixà Iy)sin2òá sinþ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ (4.16) 將(4.14),(4.15),(4.16)組合並定義狀態變數 x1= þ, x2= ò, x3= ψ, x4= þç, x5= òç, x6= ψç 衛星動態系統可以表示成以下的形式 xç = f(x) + g(x)u (4.17) 其中x = x( 1 x2 x3 x4 x5 x6)T，u = T( x/Ix Ty/Iy Tz/Iz)T， f = f( 1 f2 f3 f4 f5 f6)T f1= x1 (4.18) f2= x2 (4.19) f3= x3 (4.20) f4= w0x6cx3cx2à w0x5sx3sx2+Iy_IàI_xzâ â x5x6+ w0x5cx1sx3sx2+ w0x5cx3sx1 + w0x6cx3cx1+ 0.5w2₀s(2x3)c2x1sx2+ 0.5w2₀c2x3s(2x1) à w0x6sx3sx2sx1 _{à 0.5w}2₀s2x2s2x3s(2x1)à 0.5w20s(2x3)sx2s2x1à 1.5w20c2x2s(2x1) ã + 1/Ix[à hçwx à hwz(x2+ w0cx4cx1à w0sx4sx5sx1) + hwy(x6+ w0cx1sx4sx5+ w0cx4sx1)] (4.21) f5= w0x6sx3cx1+ w0x4cx3sx1+ w0x6cx3sx2sx1+ w0x5sx3cx2sx1 + w0x4sx3sx2cx1+Iz_IàI_y xâ â x4x6+ w0x4cx1sx3sx2+ w0x4c x3sx1