第一章 緒論
1.2 論文架構
本論文架構如下：第二章將會介紹變結構控制理論與 T-S 模糊模型。第三章針對 兩軸機器手臂系統來探討 T-S 模糊模型中模糊法則的多寡對系統的影響以及與原始非 線性變結構控制的比較。第四章利用 T-S 模糊模型結合變結構控制針對衛星姿態控制 系統設計可靠度控制器，並且分為兩類：被動式可靠度控制器與主動式可靠度控制 器，並比較兩種可靠度控制器的優缺點。第五章提出結論與未來研究方向。
第二章 預備知識
2.1 變結構控制
由於變結構控制器在設計上的容易性以及其高抗雜訊的能力，在本論文中我們將 採用變結構來設計控制器。本章將簡述變結構控制的基本概念、順滑平面、線性及非 線性變結構控制器的設計方法、以及考慮輸入具有非線性限制時之變結構控制律之設 計。
2.1.1 變結構控制簡介
變結構控制(variable structure control, 簡稱 VSC)是一種不連續的狀態回授控制，
是在 1960 年代初期由前蘇聯科學家們所發展出的一種非線性控制法則，為俄國人 Filippov 所率先提出的。此種控制之特色為利用不連續的控制輸入，使系統在所設定 之轉換平面(Switching Plane)或稱之超平面(Hyperplane)上改變結構，而獲得所謂之滑 動模式控制(Sliding Mode Control) 。
我們所採用的變結構控制法則，由於設計方法較為容易，已成為最廣為人使用的 控制方法之一。由於 VSC 是一種高速切換的回授控制(feedback control) ，其回授方式 可以為狀態回授(state feedback)或輸出回授(output feedback) 。採用 VSC 可使系統具 有較強的系統強健性(Robustness) ，因此對於一些具有不確定因素(uncertainties)的系 統而言，VSC 的高抗雜訊能力的確是一種不錯的控制方法。
VSC 最大的特點則是系統最後會被規範在一個預先決定的順滑平面(Sliding surface)上，而控制器的設計者則利用設計的控制法則將系統的狀態軌跡控制在預先設 計好的順滑平面上，如圖 2.1，在理論上當順滑函數為零時，亦即系統上到了順滑平
面上，而受控系統的行為則是由順滑平面來規範的，運動軌跡不隨系統內部參數變動 (2.2)式又稱為”reaching condition” 。
圖 2.1 順滑軌跡示意圖
圖 2.2 順滑層
將 原 來 的 符 號 函 數 (Sign Function) 用 飽 和 函 數 (Saturation Function) 、 磁 滯 函 數 (Hysteresis Function)或磁滯-飽和函數（Hysteresis Saturation Function）等方式取代，經 證實，這些方法可應用於實際的系統中，對系統之切跳行為可獲得明顯有效的改善。
總括而言，在設計變結構控制器有兩個主要步驟:
¾ 步驟一:選取適當的順滑平面S(x)，使得系統軌跡在順滑模態時能滑向控制 目標點。
¾ 步驟二:設計適當的控制器，使得系統軌跡在有限時間內接觸到順滑平面產生順滑 模態。
2.1.2 變結構控制律之設計
2.1.2.1 線性系統變結構控制律設計 假設系統動態方式如下：
s>0
s<0
s=0 x(0)
亦即選取順滑函數為
1
s
控制法則(2.21)式變成
2.2 T-S 模糊模型
模糊控制是經由專家意見，資料庫的建立以及模糊推論機制的組合，並藉由 IF-THEN 規則來取代傳統的控制方法，此種控制技術是將 Zadeh 教授於 1965 年提出 的模糊集理論應用到控制領域的先進技術。由於模糊控制通常不需要精確的數學模 型，且模糊系統的規則庫一旦建立之後便可經由查表(table lookup)的方式來進行控 制。因此，這種控制技術通常可有效地縮短計算時間。此外，模糊控制也具有極佳的 適應性，強健性及容錯性，所以不少傳統控制無法達到的優異效果卻可以藉由模糊控 制的經驗法則來達成。在 1987 年 7 月開始營運的日本仙台市地下鐵路系統便是應用 模糊控制技術來進行管制，將列車的運行規劃成為自動化控制系統。此外，目前市面 上已有許多電機電子產品已應用了模糊控制的相關技術。雖然模糊理論的應用已受到 高度的重視，然而，長久以來，模糊控制最受人質疑的便是其穩定度的問題。近年來 隨著解決非線性系統之理論及技術的快速成長與累積，提供給模糊控制很好的理論基 礎。由 Takagi 與 Sugeno 所提出的 T-S 模糊控制模型是利用多個線性化模式以權重的 方式來近似原來的非線性系統，並以 Lyapunov Function 的處理方式來建立模糊控制系 統穩定度分析的基礎。所獲得近似的模糊控制系統再利用平行分散式補償器(Parallel Distributed Compensation,PDC)的觀念來設計控制器與估測器，最後再將穩定性分析的 問題轉換成線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality,LMI)的形式，以 Matlab LMI toolbox 來求解。
T-S 模型有時被稱為 Takagi-Sugeno-Kang(T-S-K)模糊模型。由於一開始的模糊模 型是由 Takagi 與 Sugeno 所提出，後來，Sugeno 與 Kang 則繼續在關於模糊模型判別 的研究上發揚光大。在此論文中，我們統稱 T-S 模糊模型。T-S 模糊模型的主要原理 是利用多個線性化模式以權重的方式來近似原來的非線性系統模型，經由對個別的線 性模型設計控制規則再依權重組合來實現非線性模型所需要的控制律。因此，T-S 模 糊模型適合用來近似非線性模型。近年來 T-S 模糊模型的應用已廣泛受到重視，如 Tanaka 與 Wang[16]已成功地將 T-S 模糊模型的控制方法應用於聯結車輛的倒車入庫的 控制法則設計；Chen 等人[17]藉由 T-S 模糊模型對非線性動態系統做模糊追蹤控制設 計；Su 等人[28]提出新的穩健 T-S 模糊模型化的方法；Lee[29]對於 Affine T-S 模糊控
制系統提出了混合補償控制的方法；Wang[30]設計 T-S 模糊模型的模糊回授控制器來 穩定不確定之模糊時間延遲系統，並應用於連續攪動槽反應器模型(Continuous stirred tank reactor, CSTR)；Hsiao[20][31][32]則將 T-S 模糊模型與控制應用再大型連結系統與 具有時間延遲的大型系統之穩定度分析。T-S 模糊模型的狀態空間表示法如下:
-離散時間系統(Discrete- Time System, DTS):
x(t + 1) = P
其中e(t) = [e1(t), e2(t), ..., ep(t)]，Wi(e(t)) = P
第三章
結合 T-S 模糊模型及變結構控制之追蹤問題研究
3.1 問題描述
考慮一個二階非線性微分方程如下：
xç1= x2
xç2= f(x) + G(x)(u + d) (3.1)
其中 x1∈ Rn，x2∈ Rn，x := (xT1, xT2)T代表系統狀態，u∈ Rn為控制輸入，d ∈ Rn代 表可能的系統不確定項以及外在干擾，f(x)∈ Rn以及G(x) ∈ Rnân為平滑函數，( )á T 代表矩陣或向量的轉置。
本章主要的目的為設計一個控制律使得系統能在面對外在干擾與系統不確定項 時達到追蹤的任務，也就是當t → ∞時x1(t)→ xd(t)，xd(t)為追蹤的目標。
3.2 建立 T-S 模糊模型
我們知道一個非線性系統可以藉由p個線性模型做權重的相加而以 T-S 模型做近 似，p 個線性模型如下:
xç1= x2
xç2= Ai(x)x + Bi(x)u i=1,...,p (3.2)
利用(3.2)式可將原始非線性系統改寫成 T-S 模型:
xç1= x2
xç2= P
達成我們的目標，也就是e → 0。
ure= à1ú(x,t)+ñàû(x,t)(P
3.4 在兩軸機器手臂上的應用
考慮一個兩軸機器手臂的系統，如圖 3.1，其動態方程式[10][17]如下:
圖 3.1 兩軸機器手臂示意圖
M(q)q¨+ C(q, qç)qç + g(q) = ü + d (3.14) 其中 q = (q1, q2)T ∈ R2, ü = (ü1, ü2)T ∈ R2, d∈ R2分別代表廣義座標( rad)，控制力道 (Newton-meter)以及可能的外來干擾。M(q)代表慣量，C(q, qç)代表科氏力與向心力，
g(q)代表重力。
M(q) = (m1+ m2)l21 m2l1l2(c1c2+ s1s2) m2l1l2(c1c2+ s1s2) m2l22
ò ó
(3.15)
C(q, qç) = m2l1l2(c1s2à s1c2) 0 à qç2 à qç1 0
ò ó
(3.16)
g(q) = à (m1+ m2)l1gs1
à m2l2gs2
ò ó
(3.17) 其 中 m1, m2(kg) 為 兩 軸 機 器 手 臂 的 質 量 ， l1, l2(m) 為 兩 軸 機 器 手 臂 的 長 度 ，
g = 9.8(m/sec2)為重力加速度，c1= cos(q1), c2= cos(q2),
s1= sin(q1), s2= sin(q2) 。令 x1= (x1, x2)T= (q1, q2)T， x2= (x3, x4)T = (qç1, qç2)T以 及u = ü 。我們可將(3.14)寫成狀態空間方程式:
xç1= x2
圖 3.2 每一個時間間隔中所觸發的四個相鄰操作點
因此，如果適當地選取x1, x2的區間，這種方式並不會造成即時運算的負擔。然而，
針對一個函數在較小的子區間內取最大值會比在整個操作區間內所取的最大值來得 小，所以只要適當地選取x1, x2的區間就會使得û(x, t)與ú(x, t)的值變小。因此控制的 力道就會比較小以致於在實際操作應用上會比較容易實現。為了探討區間大小所造成 的影響，以下考慮兩個情況:
Case A :n1= n2= 5(以下稱 TS55) 在這個情況下，我們選取 25 個操作點為:
xij = (x1,i, x2,j, 0, 0)T⏐
⏐x1,i, x2,j= à ù/2, à ù/4, 0, ù/4, ù/2
è é
(3.21) 歸屬函數如圖 3.3：
圖 3.3 Case A所選取的操作點及其歸屬函數
根據所選取的操作點並且取 A,B 矩陣為
Ai(x) = a11i a12i a13i a14i
A22= 17.6462 à 8.8231 0 0
A21= 13.4071 à 5.0277 0 0
需要較多的控制能量，可是在整個過程當中 T-S 變結構控制律所消耗的總能量有可能 會比典型非線性變結構控制律來得少且過程中的總誤差值也比較小。這可能是因為 T-S 變結構控制律一開始所需的能量較大，一開始能量較大會使得系統狀態能快速地 接近目標；而典型非線性變結構控制律一開始所需的能量較小，在過程中隨著狀態越 來越靠近目標且越來越靠近順滑平面其所需的能量也一直在變小，所以到達目標的時 間會比較長。就總能量來說，T-S 變結構控制律一開始所需的能量較大，但是隨著狀 態快速地到達目標而變小；反觀典型非線性變結構控制律一開始所需的能量雖然比較 小，但是接近目標的速度較慢，所以過程中典型非線性變結構控制律所消耗的總能量 有可能會比較多。
從控制律輸入能量圖(圖 3.7)中可以觀察到會有兩個切跳現象(Jump)，這是因為系 統狀態到達順滑平面的緣故。同時這種情形也可以分別從圖 3.6 觀察到。
在計算時間方面，我們將 T-S 變結構控制律與典型非線性變結構控制律各計算了 106次之後發現(CPU)TSù 4.766 sec < (CPU)Classicù 7.625 sec。由此可以知道 T-S 變結構控制律可以節省計算時間。這是因為 T-S 模糊模型有很多的參數都可以事先被 計算出來，在過程中利用查表(look-up table)的方式將這些參數帶入即可。
例二：模擬結果如圖 3.9、圖 3.10、圖 3.11 以及圖 3.12，系統狀態的初始值選定為 x0= (à 0.5, à 0.1, 1, 1)T，希望到達的角度及角速度為xd = (0.1,à 0.7, 0, 0)T。如模擬 圖所示，三種控制律都能達到追蹤的目的，也就是追蹤誤差都會收斂為零。為了觀察 性能，透過表 3.4 對三種控制律進行分析。
可以觀察出與例一相似的結果，TS55 使用的能量還是最大，TS99 次之，CLASSIC VSC 最小。所以同樣的在到達時間以及誤差收斂的速度方面，TS55 最快，TS99 次之，
CLASSIC VSC 最慢。唯一不一樣的結果是在過程中使用的總能量⎧
⎭uTu，TS55 最大，
TS99 次之，CLASSIC VSC 最小。在此情況下，CLASSIC VSC 所使用的能量比 TS 小，而 響應速度比 TS 慢。
例三：模擬結果如圖 3.13、圖 3.14、圖 3.15 以及圖 3.16，系統狀態的初始值選定為
x0= (à 1.3, 0.1, 0.5, à 0.5)T，希望到達的角度及角速度為xd= (à 1, à 0.6, 0, 0)T。如 模擬圖所示，三種控制律都能達到追蹤的目的，也就是追蹤誤差都會收斂為零。為了 觀察性能，透過表 3.4 對三種控制律進行分析。
可以觀察出與例二相同的結果，TS55 使用的能量還是最大，TS99 次之，CLASSIC VSC 最小。所以同樣的在到達時間以及誤差收斂的速度方面，TS55 最快，TS99 次之，
CLASSIC VSC 最慢。因此，在此情況下，CLASSIC VSC 所使用的能量比 TS 小，而響應 速度比 TS 慢；TS99 所使用的能量比 TS55 小，響應速度也比 TS55 慢。這是因為 TS 控制律比 CLASSIC VSC 控制律多考慮了4f & 4G，因此使得控制能量較大。而 TS99
CLASSIC VSC 最慢。因此，在此情況下，CLASSIC VSC 所使用的能量比 TS 小，而響應 速度比 TS 慢；TS99 所使用的能量比 TS55 小，響應速度也比 TS55 慢。這是因為 TS 控制律比 CLASSIC VSC 控制律多考慮了4f & 4G，因此使得控制能量較大。而 TS99