T-S 模糊模型

模糊控制是經由專家意見，資料庫的建立以及模糊推論機制的組合，並藉由 IF-THEN 規則來取代傳統的控制方法，此種控制技術是將 Zadeh 教授於 1965 年提出 的模糊集理論應用到控制領域的先進技術。由於模糊控制通常不需要精確的數學模 型，且模糊系統的規則庫一旦建立之後便可經由查表(table lookup)的方式來進行控 制。因此，這種控制技術通常可有效地縮短計算時間。此外，模糊控制也具有極佳的 適應性，強健性及容錯性，所以不少傳統控制無法達到的優異效果卻可以藉由模糊控 制的經驗法則來達成。在 1987 年 7 月開始營運的日本仙台市地下鐵路系統便是應用 模糊控制技術來進行管制，將列車的運行規劃成為自動化控制系統。此外，目前市面 上已有許多電機電子產品已應用了模糊控制的相關技術。雖然模糊理論的應用已受到 高度的重視，然而，長久以來，模糊控制最受人質疑的便是其穩定度的問題。近年來 隨著解決非線性系統之理論及技術的快速成長與累積，提供給模糊控制很好的理論基 礎。由 Takagi 與 Sugeno 所提出的 T-S 模糊控制模型是利用多個線性化模式以權重的 方式來近似原來的非線性系統，並以 Lyapunov Function 的處理方式來建立模糊控制系 統穩定度分析的基礎。所獲得近似的模糊控制系統再利用平行分散式補償器(Parallel Distributed Compensation,PDC)的觀念來設計控制器與估測器，最後再將穩定性分析的 問題轉換成線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality,LMI)的形式，以 Matlab LMI toolbox 來求解。

T-S 模型有時被稱為 Takagi-Sugeno-Kang(T-S-K)模糊模型。由於一開始的模糊模 型是由 Takagi 與 Sugeno 所提出，後來，Sugeno 與 Kang 則繼續在關於模糊模型判別 的研究上發揚光大。在此論文中，我們統稱 T-S 模糊模型。T-S 模糊模型的主要原理 是利用多個線性化模式以權重的方式來近似原來的非線性系統模型，經由對個別的線 性模型設計控制規則再依權重組合來實現非線性模型所需要的控制律。因此，T-S 模 糊模型適合用來近似非線性模型。近年來 T-S 模糊模型的應用已廣泛受到重視，如 Tanaka 與 Wang[16]已成功地將 T-S 模糊模型的控制方法應用於聯結車輛的倒車入庫的 控制法則設計；Chen 等人[17]藉由 T-S 模糊模型對非線性動態系統做模糊追蹤控制設 計；Su 等人[28]提出新的穩健 T-S 模糊模型化的方法；Lee[29]對於 Affine T-S 模糊控

制系統提出了混合補償控制的方法；Wang[30]設計 T-S 模糊模型的模糊回授控制器來 穩定不確定之模糊時間延遲系統，並應用於連續攪動槽反應器模型(Continuous stirred tank reactor, CSTR)；Hsiao[20][31][32]則將 T-S 模糊模型與控制應用再大型連結系統與 具有時間延遲的大型系統之穩定度分析。T-S 模糊模型的狀態空間表示法如下:

-離散時間系統(Discrete- Time System, DTS):

x(t + 1) = _P

其中e(t) = [e1(t), e2(t), ..., ep(t)]，Wi(e(t)) = P

第三章

結合 T-S 模糊模型及變結構控制之追蹤問題研究

3.1 問題描述

考慮一個二階非線性微分方程如下：

xç₁= x₂

xç2= f(x) + G(x)(u + d) (3.1)

其中 x₁∈ Rⁿ，x₂∈ Rⁿ，x := (x^T₁, x^T₂)^T代表系統狀態，u∈ Rⁿ為控制輸入，d ∈ Rⁿ代 表可能的系統不確定項以及外在干擾，f(x)∈ Rⁿ以及G(x) ∈ R^nân為平滑函數，( )_á ^T 代表矩陣或向量的轉置。

本章主要的目的為設計一個控制律使得系統能在面對外在干擾與系統不確定項 時達到追蹤的任務，也就是當t → ∞時x1(t)→ xd(t)，xd(t)為追蹤的目標。

3.2 建立 T-S 模糊模型

我們知道一個非線性系統可以藉由p個線性模型做權重的相加而以 T-S 模型做近 似，p 個線性模型如下:

xç1= x2

xç₂= A_i(x)x + B_i(x)u i=1,...,p (3.2)

利用(3.2)式可將原始非線性系統改寫成 T-S 模型:

xç1= x2

xç₂= P

達成我們的目標，也就是e → 0。

u^re= à₁^ú(x,t)+ñ_àû(x,t)(P

3.4 在兩軸機器手臂上的應用

考慮一個兩軸機器手臂的系統，如圖 3.1，其動態方程式[10][17]如下:

圖 3.1 兩軸機器手臂示意圖

M(q)q¨+ C(q, qç)qç + g(q) = ü + d (3.14) 其中 q = (q₁, q₂)^T ∈ R², ü = (ü₁, ü₂)^T ∈ R², d∈ R²分別代表廣義座標( rad)，控制力道 (Newton-meter)以及可能的外來干擾。M(q)代表慣量，C(q, qç)代表科氏力與向心力，

g(q)代表重力。

M(q) = (m1+ m2)l²₁ m2l1l2(c1c2+ s1s2) m₂l₁l₂(c₁c₂+ s₁s₂) m₂l²₂

ò ó

(3.15)

C(q, qç) = m₂l₁l₂(c₁s₂à s1c₂) 0 à qç² à qç¹ 0

ò ó

(3.16)

g(q) = à (m¹+ m2)l1gs1

à m2l₂gs₂

ò ó

(3.17) 其 中 m₁, m₂(kg) 為 兩 軸 機 器 手 臂 的 質 量 ， l₁, l₂(m) 為 兩 軸 機 器 手 臂 的 長 度 ，

g = 9.8(m/sec²)為重力加速度，c₁= cos(q₁), c₂= cos(q₂),

s₁= sin(q₁), s₂= sin(q₂) 。令 x₁= (x₁, x₂)^T= (q₁, q₂)^T， x₂= (x3, x₄)^T = (qç₁, qç₂)^T以 及u = ü 。我們可將(3.14)寫成狀態空間方程式:

xç1= x2

圖 3.2 每一個時間間隔中所觸發的四個相鄰操作點

因此，如果適當地選取x1, x2的區間，這種方式並不會造成即時運算的負擔。然而，

針對一個函數在較小的子區間內取最大值會比在整個操作區間內所取的最大值來得 小，所以只要適當地選取x1, x2的區間就會使得û(x, t)與ú(x, t)的值變小。因此控制的 力道就會比較小以致於在實際操作應用上會比較容易實現。為了探討區間大小所造成 的影響，以下考慮兩個情況:

Case A :n₁= n₂= 5(以下稱 TS55) 在這個情況下，我們選取 25 個操作點為:

xij = (x1,i, x2,j, 0, 0)^T⏐

⏐x1,i, x2,j= à ù/2, à ù/4, 0, ù/4, ù/2

è é

(3.21) 歸屬函數如圖 3.3：

圖 3.3 Case A所選取的操作點及其歸屬函數

根據所選取的操作點並且取 A,B 矩陣為

Ai(x) = a_11i a_12i a_13i a_14i

A₂₂= 17.6462 à 8.8231 0 0

A₂₁= 13.4071 à 5.0277 0 0

需要較多的控制能量，可是在整個過程當中 T-S 變結構控制律所消耗的總能量有可能 會比典型非線性變結構控制律來得少且過程中的總誤差值也比較小。這可能是因為 T-S 變結構控制律一開始所需的能量較大，一開始能量較大會使得系統狀態能快速地 接近目標；而典型非線性變結構控制律一開始所需的能量較小，在過程中隨著狀態越 來越靠近目標且越來越靠近順滑平面其所需的能量也一直在變小，所以到達目標的時 間會比較長。就總能量來說，T-S 變結構控制律一開始所需的能量較大，但是隨著狀 態快速地到達目標而變小；反觀典型非線性變結構控制律一開始所需的能量雖然比較 小，但是接近目標的速度較慢，所以過程中典型非線性變結構控制律所消耗的總能量 有可能會比較多。

從控制律輸入能量圖(圖 3.7)中可以觀察到會有兩個切跳現象(Jump)，這是因為系 統狀態到達順滑平面的緣故。同時這種情形也可以分別從圖 3.6 觀察到。

在計算時間方面，我們將 T-S 變結構控制律與典型非線性變結構控制律各計算了 10⁶次之後發現(CPU)_TSù 4.766 sec < (CPU)Classicù 7.625 sec。由此可以知道 T-S 變結構控制律可以節省計算時間。這是因為 T-S 模糊模型有很多的參數都可以事先被 計算出來，在過程中利用查表(look-up table)的方式將這些參數帶入即可。

例二：模擬結果如圖 3.9、圖 3.10、圖 3.11 以及圖 3.12，系統狀態的初始值選定為 x0= (à 0.5, à 0.1, 1, 1)^T，希望到達的角度及角速度為x_d = (0.1,à 0.7, 0, 0)^T。如模擬 圖所示，三種控制律都能達到追蹤的目的，也就是追蹤誤差都會收斂為零。為了觀察 性能，透過表 3.4 對三種控制律進行分析。

可以觀察出與例一相似的結果，TS55 使用的能量還是最大，TS99 次之，CLASSIC VSC 最小。所以同樣的在到達時間以及誤差收斂的速度方面，TS55 最快，TS99 次之，

CLASSIC VSC 最慢。唯一不一樣的結果是在過程中使用的總能量⎧

⎭u^Tu，TS55 最大，

TS99 次之，CLASSIC VSC 最小。在此情況下，CLASSIC VSC 所使用的能量比 TS 小，而 響應速度比 TS 慢。

例三：模擬結果如圖 3.13、圖 3.14、圖 3.15 以及圖 3.16，系統狀態的初始值選定為

x₀= (à 1.3, 0.1, 0.5, à 0.5)^T，希望到達的角度及角速度為xd= (à 1, à 0.6, 0, 0)^T。如 模擬圖所示，三種控制律都能達到追蹤的目的，也就是追蹤誤差都會收斂為零。為了 觀察性能，透過表 3.4 對三種控制律進行分析。

可以觀察出與例二相同的結果，TS55 使用的能量還是最大，TS99 次之，CLASSIC VSC 最小。所以同樣的在到達時間以及誤差收斂的速度方面，TS55 最快，TS99 次之，

CLASSIC VSC 最慢。因此，在此情況下，CLASSIC VSC 所使用的能量比 TS 小，而響應 速度比 TS 慢；TS99 所使用的能量比 TS55 小，響應速度也比 TS55 慢。這是因為 TS 控制律比 CLASSIC VSC 控制律多考慮了4f & 4G，因此使得控制能量較大。而 TS99 所劃分的操作區間數比 TS55 多，因此4f & 4G比較小，TS99 控制輸入會比 TS55 小。

圖 3.5 例一 狀態變數之比較圖

圖 3.6 例一 順滑函數之比較圖

圖 3.7 例一 控制輸入之比較圖

圖 3.8 例一 誤差之比較圖

圖 3.9 例二 狀態變數之比較圖

圖 3.10 例二 順滑函數之比較圖

圖 3.11 例二 控制輸入之比較圖

圖 3.12 例二 誤差之比較圖

圖 3.13 例三 狀態變數之比較圖

圖 3.14 例三 順滑函數之比較圖

圖 3.15 例三 控制輸入之比較圖

圖 3.16 例三 誤差之比較圖

表 3.1 TS55 之_{k4 fk∞}與û

Ts55 k4 fk_∞ û

D11 2.5629 0.4055

D12 2.3826 0.1302

D13 2.3818 0.1595

D14 1.8818 0.1244

D21 2.3899 0.1302

D22 4.4399 0.4055

D23 4.4399 0.125

D24 2.4891 0.1595

D31 2.4891 0.1595

D32 4.4399 0.125

D33 4.4399 0.4055

D34 2.3899 0.1302

D41 1.8818 0.1244

D42 2.3818 0.1595

D43 2.3826 0.1302

D44 2.5629 0.4055

表 3.2 TS99 之_{k4 fk∞}與û

D62 1.3674 0.0538

D63 1.6146 0.0645

D64 1.5997 0.0499

D65 1.3336 0.07

D66 0.976 0.1294

D67 1.391 0.07

D68 1.6729 0.0499

D71 1.2057 0.0499

D72 1.202 0.0645

D73 1.357 0.0538

D74 1.6285 0.0645

D75 1.6568 0.0499

D76 1.3987 0.07

D77 1.0171 0.1294

D78 1.5702 0.07

D81 1.2706 0.07

D82 1.2387 0.0499

D83 1.2165 0.0645

D84 1.3724 0.0538

D85 1.6475 0.0645

D86 1.7451 0.0499

D87 1.5069 0.07

D88 1.166 0.1294

表 3.3 例一 各項性能指標

表 3.5 例三 各項性能指標

classic TS55 TS99

treach(xdæ 0.005) 2.41s 1.45s 1.63s

2 , 1 ,

maxu_i i= 18.0073, 6.7158

28.6859, 9.9209

23.0265, 8.6423

u ∞ 19.2189 29.3154 23.2261

2 , 1

2,

∫

^{ui i}= ^2725.5, _270.9631 ^2733.9 _311.8068 ^2733.7 _297.1432

∫

^uTu 2996.5 3045.7 3030.9

∫

^eTe 0.2903 0.1139 0.1616

Cputime(計算 10⁶次) 7.625s 4.766s 4.766s

第四章

結合 T-S 模糊模型及變結構控制之可靠度問題研究

4.1 問題描述

考慮一個二階非線性微分方程如下：

xç₁= x₂

xç₂= f(x) + G(x)u （4.1）

其 中 x1∈ Rⁿ， x2∈ Rⁿ代 表 系 統 狀 態 ， u∈ R^n+m為 控 制 輸 入 ， f(x)∈ Rⁿ以 及

G(x)∈ R^nâ(n+m)為平滑函數，( )_á ^T代表矩陣或向量的轉置。為了方便討論，假設

f(0) = 0並且系統（4.1）的控制輸入具有冗餘(inherent redundancy)。

本章的目的是要設計一個控制律使得當某些驅動器遭遇故障時依然能利用其他 正常的驅動器來完成穩定的任務，而正常的驅動器數量不可少於 n 個。在此提出兩種 設計方法：被動式與主動式可靠度設計方法。在被動式可靠度設計方法中，系統利用 冗餘來設計一個固定的控制器使得閉路系統無論在正常運作或是各種故障的情況下 均可以達到可接受的性能表現。然而，主動式的設計方法則是根據錯誤偵測與診斷機 制（FDD）的結果來重組控制器。也是因為這個原因，在主動式方法中，錯誤偵測與 診斷機制的可靠度也就顯得十分重要。

4.2 建立 T-S 模糊模型

我們知道一個非線性系統可以藉由p個線性模型做權重的相加而以 T-S model 做 近似，p 個線性模型如下:

xç1= x2

xç₂= P

s^Tsç = s^T P

[36]。在偵測與診斷過錯誤之後，控制律將會被切換成主動式可靠度控制律並且如我

擾滿足假設 4.2，則系統的原點在控制律(4.10)給定的情況下會是局部漸進穩定 (LAS)。

4.4 衛星姿態之可靠度控制

4.4.1 衛星動態

首先考慮在原型軌道上有三個致動器的衛星系統動態方程式。根據尤拉方程式的 定義[8]，衛星系統動態方程式以角動量守衡法則來表現有以下形式

T + G =^dh_dt = [^dh_dt]b+ wâ h (4.11)

其中 T 代表外界的干擾(包括太陽壓力力矩(solar pressure torque),磁場干擾(magnetic field disturbance)以及外部輸入力矩( external input torque))，G 是地球的重力梯度力矩 (gravity gradient torque)，h 是總角動量，w是主軸的角度率。這個符號[ ]á _b是表示衛星 相對於本體座標軸。定義iê, jê, kê為本體座標軸中的標準基底向量，因此總角動量可以 表示成:

h = (I_xw_x+ hwx)iê + (Iyw_y+ hwy)jê + (Izw_z+ hwz)kê (4.12)

其中_{Ix, Iy, Iz}為相對於x, y, z軸的慣量，w_x, w_y, w_z定義為相對應於x, y, z^{軸的角度率，}

h_wx, h_wy, h_wz為輸入力矩。將(4.12)式代入(4.11)式可得

T + G =

I_xwç_x+ hwx+ (Izà I^y)wyw_z+ wyh_wzà w^zh_wy Iywçy+ hçwy+ (Ixà I^z)wxwz+ wzhwxà w^xhwz

I_zwç_z+ hç_wz+ (I_yà Ix)w_xw_y+ w_xh_wyà wyh_wx

⎛

⎝

⎞

⎠ (4.13)

根據[8]，角度率與尤拉角度率有以下的關係

w_ë = òçë+ w₀E₂á e^ë, ë = x, y, z (4.14)

定義ò_x= þ, òy= ò, òz= ψ為相對於x, y, z軸的旋轉角度，E2為軌道座標的單位向 量，eë為本軸的單位向量，w₀為軌道率。將(4.14)式寫成向量形式:

w =

à w0x6sx3cx2à 0.5w²₀s(2x2)s²x3cx1à 0.5w²₀cx2sx1s(2x3) + 1.5w²₀s(2x2)cx₁ã

gö(x) =

a_21i= _I

圖 4.1 錯誤偵測診斷程序圖

在文檔中 結合T-S模糊模型與變結構控制技術於軌跡追蹤及可靠度控制之研究 (頁 23-0)