行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
分析數學擬題與日記
On analyzing mathematics pr oblem posing and diar y wr iting
計畫編號：NSC90-2521-S-110-004
執行期限：90 年 08 月 01 日至 91 年 07 月 31 日
主持人：梁淑坤 國立中山大學教育研究所
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一、摘要
本研究主旨在透過日記分析去理解數 學擬題教學與學習，其執行工作續前 一項補助專案--使數學擬題融合於國 小數學教室中。在前項工作中，三位 國小教師參加研習並投入研究工作， 包括建立教材，以及分析學生作品。 該三位教師於上學期不定期推廣數學 擬題，師生以日記方式溝通自己對該 活動的感受。學生撰寫數學日記有三 大功能: 展示學習者的解題策略和技 巧，創造例行或非例行的數學題目， 報告學習者的省思(對於解題也好，對 創造題目也好)。教師則安排機會分享 學生日記，教師也整理平時的教師日 記，研究者則以日記分析教師如何去 教，學習者如何去學。 Abstr actThis is a study on the teaching and
learning of mathematical problem posing, through the analysis of diary writing.
This is an extended study to previous funded projects on the integration of problem posing into the mathematics curriculum. In a prior study, three elementary school teachers committed to work with the investigator, to develop instructional materials for in-class problem posing, and to design in-class problem-posing materials. The same three teachers participated in this research. During the first semester of the academic year, these teachers integrate problem posing into
mathematics classroom and ask children to document their feeling about the activities in diaries. Teachers also keep a record of their teaching in teachers’ diaries. Three functions of diary writing will be used: to pose problems, to show problem solving, to share feelings about mathematics teaching and learning. Though submissting diaries were on irregular basis, teachers accumulate work
and arrange time for sharing diaries. The investigator will collate teachers’ findings and report on how teachers teach and how children learn, in lessons that integrate mathematical problem posing.
二、緣由與目的
本研究的目的在於了解教師如何 推動擬題於數學教室以及學習者如何 從擬題活動中學習。 本研究重點在擬題，而且指學習 者「自行想出數學問題來」的活動(梁 淑坤，民 83)，而非教師把已有的數學 題目重新再呈現出來。擬題有一些特 徵，其中包括個人化、含推理思考、 在解題前、中、後均可以及不完整性(見 梁淑坤，民 83)。愛因斯坦在 Evolution of Physics 一書也提及過想出題目來 是創造學問的關鍵，因此，數學擬題 是創造數學的關鍵，而 Polya 亦在 How To Solve It 一書說及數學的學習在於 做出數學來(Mathematics in the making, Polya, 1945)。為此，要鼓勵學生多擬 題是數學科教學及學習重點。本研究 的基礎建於前幾項研究工作的四個成 果： 1. 只要求學生擬題是不足夠的，因 為學生在死板的教學中被要求擬 題，會全班寫差不多一樣的題 目，或者與課本一模一樣的題目。 2. 若改變教學，使生動及引發學生 的創造力，應從教師研習開始， 亦即教師自己也要參與擬題和教 師也要自行學習如何分析學生擬 題作品。 3. 若要求教師推動擬題，在授課時 數無增加之下，擬題活動需配合 數學科課程，既要有現成的單元 活動，也要有空間讓教師自行設 計擬題活動來配合各單元之原本 教學進度。 教師參加研究的師生成果被研究計劃 主持人寫成報告再刊出，有鼓勵教師 繼續研究的作用。可是，大部份時間 中，教師無法看到別的教師如何任 教，學習者無法看到別的學習者如何 學習。由於時間與空間的限制，例如： 參加研習要交通時間，而且找大家均 有空出席的時間亦頗為困難，「寫」則 是一個分享的好辦法。教師和學習者 如何克服寫的困難？本研究試著透過 撰寫日記作為寫的形式，亦同時作為 收集資料的手段(means)，再以三角對 證法分析日記，從人探討教師如何任 教，同學如何學習。 相關背景 國內鄔瑞香老師一直以數學日記(見林 文生、鄔瑞香，民 88)強調學童的學習 要有所反省才有進步。計畫執行者則 於國內推廣擬題使主重學習數學。限 於教學進度，只要求教師在「不用增 加教學時數」的大原則下介紹此活 動。經三年來的同一組教師合作之 後，整理出多種推廣擬題於國小數學 教室的點子，其中包括以日記撰寫， 日記的功能多種之中，結合本研究主 題的有三個： 1. 報告如何解題 2. 創造新題目 3. 分享學習心情三 、方法
除了介紹擬題並解題，提昇數學 日記品質也是重點，使過程不流於形 式而無數學素養的進階，甚至因規定 寫而寫出一些空洞的日記功課，因 為，研究者以「主動寫日記」以及不 定期收集，使分享意願變得自然。 資料來源 暫以已熟悉的嘉義及香港教師為 共同研究者，協助實施融合擬題及日 記於數學教學中收集資料，因為教師 於本年已參與過及推廣過擬題及日記，所以資料的品質較有保証。另外， 主持人曾指導的碩士學生(論文也以擬 題為題材)於畢業後回到職任身份，亦 是本計劃實施者的重要研究老師之 一。 分析 以教師日記導出教學者的意圖， 以及學生日記導出學習者的圖畫，再 以教師和學生寫同一天的課或同一件 事情的日記看教學，可行的圖畫如下： 1. 2. 3. 在民 90 年度上學期中，師生間進 行擬題教學日記分享(亦交換日記及回 應)的作品，由沒有上學的研究人員分 析，看師生對教學中擬題活動的看法 是完全不同(1)；有些地方相同，有些 地方有差異(2)還是完全相同(3)。 進行步驟 教師在未上課之前，先看看上課 後要回答的題目是什麼？於上課後， 立即寫下她的心得，引導教師寫出教 學 日 記 的 問 題 大 綱 來 自 English （1997），大綱如下： 1、 心理學層面 ─學生是否理解題目（教學動活） 裡所包含的數學知識和關係？ ─學生是否有能力以數學知識及 關係去想出一道數學題目？ ─學生是否可以感覺到題目（別 人出的，自己出的）的可解性？ 2、 社會學層面 ─學生是否爭取參與班級裡的小 組或個人探索機會？ ─學生會不會辨證自己的論點及 參與對話？ ─學生會不會分享或批判所創造 的題目？ 當教師回答上列六個問題後，再 把當天的上課情形記下來，待收到本 計畫助理寄出的錄影帶及轉譯時，再 書寫第二次，撰寫後再寄返研究者。
四、結果
本研究結果兩方面：第一方面是 教師的教學，第二方面是學生的學 習。基於情簡報告格式及篇幅，指述 重要發現，其它資料改用附件呈現。 教師方面 在教師實施擬題教學的反省日記 中，教師以當天上課後用文定記錄， 與計劃主持人分享感受。幾位參與教 師的文字表達良好，清通過程中看出 教學後反省，分享坦誠，改進意願相 當高。 教師日記內容顯示，在進行活動的初 期，學生會問 「老師，什麼是日記?」 「老師，要不要算?」 「畫圖可以嗎?」 可是，過了介紹階段之後，老師日記 表示 「題目越來越豐富了」 「疑問也越來越少」 「題目與生活結合」 「有些學生參考課本」 到後期，教師日記出現的如 「學生非常興奮，期待當小小老師出 題目」 「發現現在考卷出錯題的話，孩子們 不再盲目解題，反而出來問題目是不 是出錯了，原來擬題經驗會帶來這個 好的後果給孩子們」 「評論別人的題目修改不良的時候， 大家會認真起來，有些會好什較…」 最後，日記中也包括教師想給別人的 老師們的一些建議： 「低年級的學生要較具體，但是，千 教 學 教 學 教學萬不要給例子，否則全班會擬題一致」 「也可以帶回家給家長解題」 「畫圖也可以，尤其是低年級，用注 音或上課用說的就好，以免減低擬題 興趣」 「不要用鉛筆寫，他們寫完又擦掉， 越是這樣越欠創意」 「寫好沒事做，請他們再出一題」 「可以討論後或說故事之後才去出題 目」 一位老師的反省如下： 雖然是以簡單的寫書(以教師日記)研 究者發表，這一組教師也與學生一 樣，不斷地成長，而且想出很多方法 解決問題。例如，由於想出整理好資 料與別人分享，連影印時間也沒有， 一位教師則用讚美句，「×同學，你創 造這個題目很棒，快點抄寫出來讓大 家欣賞」，這樣，同學樂意抄，而教師 又不用影印了… 學生方面 由於教師日記中有包括她們覺得學生 學得怎樣，於是，學生日記中也有反 應學生的學習，很有趣的發現，學生 日記也相對地寫出學生們認為老師教 得如何。以下是一些學生的話： 「今天老師說不用解題，改出題目， 好好，可是，不知道老師想我出什麼 題目」 顯示學生們仍舊習慣解題，以為擬題 活動中，老師有一個「標準題目」想 大家想出來。 「老師說同學出題目，我和媽媽一起 寫，給老師想答案」 顯示，出題目要有對象，憑空想像的 出題，較難意會，學生希望先想好個 人物或解題者。 對於結合解是，是必然的，雖然 老師說「請出題」甚至說，「不用解」， 學生還是慣性地於撰題時解題。 「×老師每次教我們的時候，尤其是 新課題，她用很多例子」 「×老師用比賽，好好玩」 「我愛×老師，因為她好認真準備」 「一週中最期待是數學課，心情特別 開朗」 最後，取其中一位學童的日記，自 己取名「課後記趣」：
五、結論與建議
從教師與學生提供的日記分享， 確實，擬題教學研究進行面貌來得較 全面。 本研究的前一項相關工作，包括拜 訪教師及訪談學生，以了解教師與學 生對擬題活題教學的接受程度和適應 與否。本研究則是一種補充，亦即是 說，教授沒有到現場時所出現的情 節，沒有用錄映帶拍上課情形也沒有 用錄音機記下與學生訪談，改用教師 與學生筆下的日記分享。開始時，研 究者也有自己撰寫日記給老師分享， 到收集全組教師日記後有彙整成小冊 子寄返各老師，老師反應看到別人的 實施情形，是一種很好的感覺。 同樣地，透過張貼學生日記作分 這次擬題檢討時，正巧老師也來參觀 教學，事後在和曾老師聊天時，由於 老師的發問，也給了我很多回饋和自 省的機會，如在這單元我所預期的目 的是什麼?學生在活動中有沒有什麼 改變等，使我在這次活動中除了看到 學生的進步外，也更清楚的看清楚自 己在指導學生的第一目的是什麼，那 就是「 能和生活結合」 ，願將這心得 和大家共勉。 我很久沒有郵票拿了!我很久沒有 郵票拿了!每次分郵票時候，總是 哥哥要全部的二分之一，媽媽要 剩下的二分之一，爸爸要全部的 四分之一，然後便異口同聲地說 餘下的就是我的了，我連忙答 應。誰知餘下的是---。後來我上 了鄺老師的分數課後才晃然大 悟，知道為什麼答案是零了。享，讓全班同學的認同感提高，所以， 擬題活動是受師生們歡迎，而同時在 有技巧帶領之下，日記記錄心得也是 可行與推動的方式之一。
六、參考文獻
Helton, S. M. (1995). I thik the citanre will hoder lase: Journal keeping in mathematics class. Teaching Children Mathematics, (1), 336-340.
Leung, S. K. & Wu, R. (2000). Sharing problem posing and problem solving at home through diary writing. Australian Primary Mathematics
Classroom, 5(1), 28-32.
Polya, G. (1945). How to solve it (2nd ed.). New York: Doubleday.
Silver, E. A. (1994). On mathematical problem posing. For the Learning of mathematics, 14(1), 19-28. 鄔瑞香(民 86)。從一年級兒童的數學日 記看課量。國民小學數學課程課量方 法初探。台灣省國民學校教師研習會 編印 林文生、鄔瑞香(民 88)。數學教育的藝 術與實務--另類教與學。心理出版社。 梁淑坤（民 83）。「擬題」的研究及其 在課程的角色。國民小學數學學術研 討會，國立嘉義範學院（4 月 30 日）。
