Shortest Path in class

(1)

Shortest Path in class

by 林品諺

(2)

Floyd-Warshall Floyd-Warshall

• 感覺對對的，但總有種不踏實感

• 為什麼說這個算法是某種 DP 呢？

(3)

Floyd-Warshall Floyd-Warshall

• 感覺對對的，但總有種不踏實感

• 為什麼說這個算法是某種 DP 呢？

(4)

我大 DP 我大 DP

• 原本的狀態：

• d[i][j]: 從點 i 走到點 j 的最短距離

• for k = 1..n

• for i = 1..n

• for j = 1..n

• d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j]);

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我大 DP 我大 DP

• 改個狀態：

• d[k][i][j]: 從點 i 走到點 j 的最短距離，且除了 i 跟 j 以外，只能經過前 k 個點

• for k = 1..n

• for i = 1..n

• for j = 1..n

• d[k+1][i][j] = min(d[k][i][j], d[k][i][k]+d [k][k][j]);

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Dijkstra Dijkstra

(7)

Dijkstra Dijkstra

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Dijkstra Dijkstra

• 從一個集合裡面找出最小的數字

• priority_queue(heap)!!

• 用 priority_queue 找到 d[] 最小的點，然後用它來更新其他點的 d[]

• 原本的做法： (V 輪 ) * ((O(V) 找到 d[] 最小的點 ) + ( 更新連到它的點 )) = O(E+V²)

• 新做法： (V 輪 ) * ((O(logV) 找到 d[] 最小的點 ) + ( 更新連到他的點 ) ，把更新後的點放進 heap) = O((V+E)logV)

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Bellman-Ford Bellman-Ford

• 設 d[i] 是從起點走到點 i 的最短距離

• 根據定義： d[j] <= d[i]+e(i, j) ，否則 d[j] 就不是最短距離

• 小性質：只要對於所有的 (i, j) 都滿足 d[j] <= d[i]+e(i, j)

，而且對每個 j 都存在 d[j] = d[i]+e(i, j) ，那麼 d[] 就是最短距離陣列

• 想法：如果找到一組 (i, j) 滿足 d[j] > d[i]+e(i, j) ，就把 d [j] 更新成 d[i]+e(i, j)

• 要怎麼更新？

• 亂更新！！

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• 每次都跑完整個盤面怎麼感覺笨笨的

• 如果圖很大的話，每次就花一堆時間在更新後面的 inf 們

• 可不可以每次只跑那些有被更新到的點？

• SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)!!

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SPFASPFA

• 1. 一開始把起點 push 到 queue 裡面

• 2. 從 queue 裡面 pop 出一個點 u

• 3. 用 u 去放鬆 ( 更新 ) 其他點

• 4. 把所有被更新到的點都 push 到 queue 裡面

• 5. 如果 queue 已經空了，那麼算法結束。否則回到 2.

(13)

SPFASPFA

• 這個算法感覺聰明多了！

• 我們來看看它的時間複雜度進步了多少吧！

• O(VE)

• 足夠慘的時候，還是會跑到 VE 的

• 不過有些人說這東西期望上大概是 O(kE) ， k 大概是 2

• 實務上其實挺快的，競賽的話就看出題者有沒有特別卡 ( 其實不太好卡 )

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怎麼卡 SPFA 怎麼卡 SPFA

• SPFA 感覺快快的，該怎麼卡呢？

• 生一個 V=sqrt(E) 的完全圖

• for i = 1..(n-1)

• e[i][i+1] = 1

• for i = 1..(n-1)

• for j = 1..n \ {i+1}

• e[i][j] = 10*n-2*i

• 這樣可以讓 SPFA 跑成大概 E*sqrt(E)

• 不知道有沒有別的卡法，而且好像也不一定卡得掉

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小總結小總結

• Bellman-Ford ：亂更新一通

• SPFA ：好好寫的 Bellman-Ford

• Dijkstra ：如果沒有負邊的話，利用這個好性質來更好的更新其他點

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各種比較各種比較

算法 Floyd-Warshall Bellman-Ford SPFA Dijkstra

時間複雜度 O(V³) O(VE) O(VE) (期望 O(kE)) O(V²) or O(ElogV)

處理負邊 O O O X

處理負環 X O O X

特點好寫沒用可以處理負環最快

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負環負環

• 什麼叫做處理負環呢？

• 不是說好有負環的話就沒有最短路嗎？

• 可以拿來看有沒有負環

• 例如更新的次數太多

• 但沒負環一定沒有解嗎？

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負環負環

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負環負環

• 前面提到的可以處理負環的演算法都可以處理上一頁的那種情況

• 那要怎麼分辨一個有負環的圖存不存在一個 s-t 最短路呢？

• 更新太多次  有負環

• 如果有負環的話，從終點回朔回去，看有沒有經過重複的點

• 如果走到了重複的點，那就表示有負環

• 順帶一提，如果只是要判斷有沒有負環的話， Floyd-Warshall 也可以判斷有沒有負環，而且只要看一下有沒有 d[i][i]<0 就好

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最短路徑樹最短路徑樹

• 每一個最短路徑一定都是簡單路徑

• 如果起點到每個點的最短路徑都唯一的話，那把這些路徑疊起來會變成一棵樹

• 我們稱這種樹叫做最短路徑樹

• 如果最短路徑們不唯一的話，一樣會存在一顆最短路徑樹，只是那棵樹不唯一