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专题二：工程问题的经典题型以及解题方法
小学奥数中的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳 理工作过程、灵活运用基本数量关系。工程问题的概念：
工程问题是中小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生逻辑思 维能力的重要工具。它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。工程应用题中的工作(或 工作)一般不给出具体数量。工程问题的解法：
解题时首先要将全部工程看作单位“1”，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之 几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作 量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。工程问题的经典例题：
例题一：一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲离开了，由乙继续 做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 解题方法：一共做了 6 天后，原来，甲做 24 天，乙做 24 天，现在，甲做 0 天，乙做 40=（24+16） 天，这说明原来甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天来代替。因此甲的工作效率是乙的工作效率 的 16/24=2/3。 如果乙独做，所需时间是 50÷2/3=75 天； 如果甲独做，所需时间是 30+30×2/3=50 天。 例题二：一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在两队合作，其间甲队 休息了 2 天，乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息）。问开始到完工共用了多少天时间？ 解题方法：甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天，共完成工作量 1/10×8+1/30×2=13/16，余下 的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+ 1= 11（天）最全苏教版初中数学分层练习资料 第 2 页 共 4 页 例题三：甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配 8400 元工资。按两队原计划的工作效率， 乙队应获 5040 元。实际从第 5 天开始，甲队的工作效率提高了 1 倍，这样甲队最终可比原计 划多获得 960 元。那么两队原计划完成修路任务要多少天? 解题方法：开始时甲队拿到 8400—5040=3360 元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为 3360： 5040＝2：3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为(3360+960)：(5040—960)=18：17；设甲 开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需 X 天完成任务。有(2×4+4X)： (3×4+3X)=18：17，化简为 X=40/7,于是共有工程量为 4×5+7×40/7=60，所以原计划 60÷(2+3) ＝12 天完成。 例题四：一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水.如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放 空，如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才 能把水放空？ 解题方法：先计算 1 个水龙头每分钟放出水量.2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水 4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8 × 8 × 90，其中 90 分钟内 流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 8×13，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要 5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）。所以打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟。 注意：水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先 求出池中原存有的水，这在题目中却是隐含着的。
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工程问题举一反三练习：
1、一件工作，甲单独做 12 天完成，乙单独做要 18 天完成，丙单独做要 24 天完成。这件工作 先由甲做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍；再由丙接着做，丙做 的天数是乙做的天数的 2 倍，终于完成这件工作。问共用了多少天？ 2、一项工程，甲乙丙三人合作需 13 天完成，如果丙休息 2 天，乙就要多做 4 天，或者由甲乙 两人合作多做 1 天，这项工程由甲单独做需要多少天？ 3、制作一批零件，甲车间要 10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要 6 天就能完成，乙车 间与丙车间一起做，需 8 天才能完成。现在三个车间一起做，完工时发现甲车间比乙车间多做 零件 2400 个，丙车间制作零件多少个？ 4、某工程由甲单独做 63 天可以完成，由乙单独做 28 天可完成。现在甲先单独 42 天，然后 再由乙来单独完成，乙还需要多少天？最全苏教版初中数学分层练习资料 第 4 页 共 4 页 5、师徒三人合作承包一项工程，4 天能够全部做完。已知师傅单独做所需要天数与两个徒弟 合作所需天数相等，而师傅与乙徒弟合做所需天数的 2 倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等。 那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？乙徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？ 6、一件工作，甲乙两人合作 30 天可以完成。甲乙两人共同做了 6 天后，甲离开了，由乙继续 做了 40 天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 7、老刘和小李合做一件工作，要 12 天完成，如果让老刘先做 8 天，剩下的工作由小李单独做， 小李还要 14 天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成？ 8、一项工程，甲单独做需 12 小时，乙单独做需 18 小时，若甲先做 1 小时，然后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时……两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？
