第四章 经典单方程计量经济学 模型：专门问题

第四章 经典单方程计量经济学 模型：专门问题

§4.1 虚拟变量

§4.2 滞后变量

§4.3 设定误差

§4.4 建模理论

第一节 虚拟变量模型

一、虚拟变量的基本含义 二、虚拟变量的引入

三、虚拟变量的设置原则

一、虚拟变量的基本含义

• 许多经济变量是可以定量度量的，如：商品需求 量、价格、收入、产量等

• 但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量，

如：职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害 对GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮）销售 的影响等等。

• 为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高 模型的精度，需要将它们“量化”，

这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来完 成的。根据这些因素的属性类型，构造只取“0”或

“1”的人工变量，通常称为虚拟变量（

dummy variables），记为D。

• 例如，反映文程度的虚拟变量可取为：

1， 本科学历 D=

0， 非本科学历

一般地，在虚拟变量的设置中：

• 基础类型、肯定类型取值为1；

• 比较类型，否定类型取值为0。

概念：

同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟 变 量 模 型 或 者 方 差 分 析 （ analysis-of variance:

ANOVA）模型。

一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪金的模型：

i i

i

i

X D

Y = β

+ β

+ β

+ µ

其中：Y_i为企业职工的薪金，X_i为工龄，

D_i=1，若是男性，D_i=0，若是女性。

二、虚拟变量的引入

• 虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方式：

加法方式和乘法方式。

i i

i

i X D X

Y

E( | , = 0) = β₀ + β₁

企业男职工的平均薪金为：

i i

i

i X D X

Y

E( | , =1) = (β₀ + β₂) + β₁

上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的引入采 取了加法方式。

在该模型中，如果仍假定E(µ_i)=0，则 企业女职工的平均薪金为：

1、加法方式

几何意义：

• 假定β₂>0，则两个函数有相同的斜率，但有不同 的截距。意即，男女职工平均薪金对教龄的变化 率是一样的，但两者的平均薪金水平相差β₂。

• 可以通过传统的回归检验，对β₂的统计显著性进 行检验，以判断企业男女职工的平均薪金水平是 否有显著差异。

年薪 Y 男职工

女职工

β

β₂

又例：在横截面数据基础上，考虑个人保健支出 对个人收入和教育水平的回归。

教育水平考虑三个层次：高中以下，

高中，

大学及其以上



=  0 1

D1

其他

高中



=  0 1

D2

其他

大学及其以上

模型可设定如下：

i i

i

X D D

Y

β

β

β

β

µ

在E(µ_i)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大学 及其以上教育水平下个人保健支出的函数：

• 高中以下： ^{E(Yi | Xi , D1 = 0, D2 = 0) = β0 + β1Xi}

• 高中： ^{E(Yi | Xi,D1 =1, D2 = 0) = (β0 + β2 ) + β1Xi}

• 大学及其以上：E(Y_i | X_i,D₁ = 0,D₂ =1) = (β₀ + β₃) + β₁X_i

假定β₃>β₂，其几何意义：

大学教育 保健 高中教育 支出

低于中学教育

收入

• 还可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“定 性”因素的影响。

如在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟 变量D₂：

i i

i

X D D

Y = β

+ β

+ β

+ β

+ µ



=  0 1 D2

本科及以上学历 本科以下学历

职工薪金的回归模型可设计为：

•女职工本科以下学历的平均薪金：

i i

i X D D X

Y

E( | , ₁ = 0, ₂ =1) = (β₀ + β₃) + β₁

•女职工本科以上学历的平均薪金：

i i

i X D D X

Y

E( | , ₁ = 1, ₂ = 1) = (β₀ + β₂ + β₃) + β₁

i i

i X D D X

Y

E( | , ₁ = 0, ₂ = 0) =

β

β

i i

i X D D X

Y

E( | , ₁ = 1, ₂ = 0) = (β₀ + β₂ ) + β₁

于是，不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为：

•男职工本科以下学历的平均薪金：

•男职工本科以上学历的平均薪金：

2、乘法方式

• 加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同，

• 许多情况下：往往是斜率就有变化，或斜率、截 距同时发生变化。

• 斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量来 测度。

例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收入水 平Y，但在一个较长的时期，人们的消费倾向会发生 变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年份，消费 倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过在 收入的系数中引入虚拟变量来考察。

t t

t t

t

X D X

C = β

+ β

+ β

+ µ

• 这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中，

从而可用来考察消费倾向的变化。

• 假定E(µ_i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：

正常年份：

t t

t

t X D X

C

E( | , =1) = β₀ + (β₁ + β₂)

反常年份：

t t

t

t

X D X

C

E ( | , = 0 ) = β

+ β

如，设

 

=  0 1

D

当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加 法与乘法形式的虚拟变量。

• 例4.1.1，考察1990年前后的中国居民的总储蓄-收 入关系是否已发生变化。

表5.1.1中给出了中国1979~2001年以城乡储蓄存 款余额代表的居民储蓄以及以GNP代表的居民收入 的数据。

表 5.1.1 1979~2001 年中国居民储蓄与收入数据（亿元）

90年前 储蓄 GNP 90年后 储蓄 GNP

1979 281 4038.2 1991 9107 21662.5

1980 399.5 4517.8 1992 11545.4 26651.9

1981 523.7 4860.3 1993 14762.4 34560.5

1982 675.4 5301.8 1994 21518.8 46670.0

1983 892.5 5957.4 1995 29662.3 57494.9

1984 1214.7 7206.7 1996 38520.8 66850.5

1985 1622.6 8989.1 1997 46279.8 73142.7

1986 2237.6 10201.4 1998 53407.5 76967.2

1987 3073.3 11954.5 1999 59621.8 80579.4

1988 3801.5 14922.3 2000 64332.4 88228.1

1989 5146.9 16917.8 2001 73762.4 94346.4

1990 7034.2 18598.4

以Y为储蓄，X为收入，可令：

• 1990年前： Y_i=α₁+α₂X_i+µ_1i i=1,2…,n₁

• 1990年后： Y_i=β₁+β₂X_i+µ_2i i=1,2…,n₂ 则有可能出现下述四种情况中的一种：

(1) α₁=β₁ ，且α₂=β₂ ，即两个回归相同，称为重合回 归（Coincident Regressions）；

(2) α₁≠β₁ ,但α₂=β₂ ，即两个回归的差异仅在其截距，

称为平行回归（Parallel Regressions）;

(3) α₁=β₁ ，但α₂≠β₂ ，即两个回归的差异仅在其斜率，

称为汇合回归(Concurrent Regressions)；

(4) α₁≠β₁，且α₂≠β₂ ，即两个回归完全不同，称为相

可以运用邹氏结构变化的检验。这一问题也可通过 引入乘法形式的虚拟变量来解决。

将 n

与 n

次观察值合并，并估计以下回归：

i i

i i

i

i

X D D X

Y = β

+ β

+ β

+ β

( ) + µ



=  0 1 Di

于是有：

i i

i

i

D X X

Y

E

β

β

i i

i

i D X X

Y

E( | = 1, ) = (

β

β

β

β

可分别表示1990年后期与前期的储蓄函数。

年后 年前 90

90

在统计检验中，如果β₄=0的假设被拒绝，则说 明两个时期中储蓄函数的斜率不同。

• 具体的回归结果为：

(-6.11) (22.89) (4.33) (-2.55)

由β₃与β₄的t检验可知：参数显著地不等于0，强 烈示出两个时期的回归是相异的，

储蓄函数分别为：

1990年前：

i i i

i

i

X D D X

Y ˆ = − 15452 + 0 . 8881 + 13802 . 3 − 0 . 4765

R 2 =0.9836

i

i X

Yˆ = −1649.7 + 0.4116 X Yˆ = −15452 + 0.8881

3、临界指标的虚拟变量的引入

在经济发生转折时期，可通过建立临界指标的虚 拟变量模型来反映。

例如，进口消费品数量Y主要取决于国民收入X 的多少，中国在改革开放前后，Y对X的回归关系明 显不同。

这时，可以t*=1979年为转折期，以1979年的国 民收入X_t*为临界值，设如下虚拟变量：



=  0 1 Dt

*

*

t t

t t

<

≥ 则进口消费品的回归模型可建立如下：

D X

X X

Y =

+

+

( −

) +

OLS法得到该模型的回归方程为

则两时期进口消费品函数分别为：

t t

t t

t

X X X D

Y ˆ ˆ ˆ ˆ (

)

2 1

0

+ + −

= β β β

当t<t*=1979年， Yˆt = βˆ₀ + βˆ₁Xt

当t≥t*=1979年， ^{Yˆt = (βˆ0 − βˆ2Xi*) + (βˆ1 + βˆ2)Xt}

三、虚拟变量的设置原则

虚拟变量的个数须按以下原则确定：

每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性变 量的类别数少1，即如果有m个定性变量，只在模型 中引入m-1个虚拟变量。

例。已知冷饮的销售量Y除受k种定量变量X_k的影 响外，还受春、夏、秋、冬四季变化的影响，要考察 该四季的影响，只需引入三个虚拟变量即可：



=  0 1 D1t

其他 春季



=  0 1 D2t

其他 夏季



=  0 1 D3t

其他 秋季

则冷饮销售量的模型为：

• 在上述模型中，若再引入第四个虚拟变量

t t

t t

kt k t

t X X D D D

Y = β₀ + β_{1 1} +β +α_{1 1} +α_{2 2} +α_{3 3} + µ



=  0 1 D4t

其他 冬季

则冷饮销售模型变量为：

t t

t t

t kt

k t

t X X D D D D

Y =

β

β

β

α

α

α

α

µ

α μ D) β (X,

Y  +



 



= 

如果只取六个观测值，其中春季与夏季取了 两次，秋、冬各取到一次观测值，则式中的：

显然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的线性组合，

从而(X,D)不满秩，参数无法唯一求出。

这就是所谓的“虚拟变量陷井”，应避免。

























=

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

) (

6 16

5 15

4 14

3 13

2 12

1 11

k k k k k k

X X

X X

X X

X X

X X

X X













D X,



 









 







=

βk

β β



1 0

β





















=

4 3 2 1

α

α

α

α

第二节 滞后变量模型

一、滞后变量模型

二、分布滞后模型的参数估计

三、自回归模型的参数估计

四、格兰杰因果关系检验

在经济运行过程中，广泛存在时间滞后效应。某 些经济变量不仅受到同期各种因素的影响，而且也 受到过去某些时期的各种因素甚至自身的过去值的 影响。

通常把这种过去时期的，具有滞后作用的变量 叫做滞后变量（Lagged Variable），含有滞后变量 的模型称为滞后变量模型。

滞后变量模型考虑了时间因素的作用，使静态 分析的问题有可能成为动态分析。含有滞后解释变 量的模型，又称动态模型（Dynamical Model）。

一、滞后变量模型

1 、滞后效应与与产生滞后效应的原因

因变量受到自身或另一解释变量的前几 期值影响的现象称为滞后效应。

表示前几期值的变量称为滞后变量。

如：消费函数

通常认为，本期的消费除了受本期的收入影响 之外，还受前1期，或前2期收入的影响：

C_t=β₀+β₁Y_t+β₂Y_t-1+β₃Y_t-2+µ_t Y_t-1，Y_t-2为滞后变量。

• 产生滞后效应的原因

1、心理因素：人们的心理定势，行为方 式滞后于经济形势的变化，如中彩票的人 不可能很快改变其生活方式。

2、技术原因：如当年的产出在某种程度 上依赖于过去若干期内投资形成的固定资 产。

3、制度原因：如定期存款到期才能提取，

造成了它对社会购买力的影响具有滞后性。

2、滞后变量模型

以滞后变量作为解释变量，就得到滞后变量模 型。它的一般形式为：

q，s：滞后时间间隔

自回归分布滞后模型（autoregressive distributed lag model, ADL）：既含有Y对自身滞后变量的回归，

还包括着X分布在不同时期的滞后变量

有限自回归分布滞后模型：滞后期长度有限 无限自回归分布滞后模型：滞后期无限，

t s

t s t

t q

t q t

t

t Y Y Y X X X

Y = β₀ + β_{1 −1} + β_{2 −2} ++ β ₋ +α₀ +α_{1 −1} ++α ₋ + µ

（1）分布滞后模型（distributed-lag model）

分布滞后模型：模型中没有滞后被解释变量，

仅有解释变量X的当期值及其若干期的滞后值：

t i

t i s

i

t X

Y = α + β ₋ + µ

∑

β₀：短期(short-run)或即期乘数(impact multiplier)， 表示本期X变化一单位对Y平均值的影响程度。

β_i (i=1,2…,s)：动态乘数或延迟系数，表示各 滞后期X的变动对Y平均值影响的大小。

如果各期的X值保持不变，则X与Y间的长 期或均衡关系即为

∑

i

i 0

β

X Y

E

s

i

i ) (

) (

∑

=

+

=

α β

2、自回归模型（autoregressive model）

而

t t

t

t

X Y

Y =

+

+

+

称为一阶自回归模型（first-order autoregressive model）。

自回归模型：模型中的解释变量仅包含X的当 期值与被解释变量Y的一个或多个滞后值

t q

i

i t i t

t X Y

Y = α +α +

∑

= −

1 1

0

二、分布滞后模型的参数估计

无限期的分布滞后模型，由于样本观测值的有 限性，使得无法直接对其进行估计。

有限期的分布滞后模型，OLS会遇到如下问题：

1、没有先验准则确定滞后期长度；

2、如果滞后期较长，将缺乏足够的自由度进 行估计和检验；

3、同名变量滞后值之间可能存在高度线性相 关，即模型存在高度的多重共线性。

1、分布滞后模型估计的困难

2、分布滞后模型的修正估计方法

人们提出了一系列的修正估计方法，但并不很 完善。

各种方法的基本思想大致相同：都是通过对各 滞后变量加权，组成线性合成变量而有目的地减 少滞后变量的数目，以缓解多重共线性，保证自 由度。

(1)经验加权法

根据实际问题的特点、实际经验给各滞后变量 指定权数，滞后变量按权数线性组合，构成新的 变量。权数据的类型有：

•递减型：

即认为权数是递减的，X的近期值对Y的影响较 远期值大。

如消费函数中，收入的近期值对消费的影响作 用显然大于远期值的影响。

例如：滞后期为 3的一组权数可取值如下：

1/2， 1/4， 1/6， 1/8 则新的线性组合变量为：

3 2

1

1 8

1 6

1 4

1 2

1

−

−

− + +

+

= _{t t t t}

t X X X X

W

即认为权数是相等的，X的逐期滞后值对值 Y的影响相同。

如滞后期为3，指定相等权数为1/4，则新的 线性组合变量为：

• 矩型：

3 2

1

2 4

1 4

1 4

1 4

1

−

−

− + +

+

= _{t t t t}

t X X X X

W

权数先递增后递减呈倒“V”型。

例如：在一个较长建设周期的投资中，历年 投资X为产出Y的影响，往往在周期期中投资对 本期产出贡献最大。

如滞后期为4，权数可取为 1/6， 1/4， 1/2， 1/3， 1/5 则新变量为

• 倒V型

4 3

2 1

3 5

1 3

1 2

1 4

1 6

1

−

−

−

− + + +

+

= _{t t t t t}

t X X X X X

W

例4.2.1 对一个分布滞后模型：

t t

t t

t

t X X X X

Y =α₀ + β₀ + β_{1 −1} + β_{2 −2} + β_{3 −3} + µ

给定递减权数：1/2， 1/4， 1/6， 1/8

令 _{1 1 2 3}

8 1 6

1 4

1 2

1

−

−

− + +

+

= _{t t t t}

t X X X X

W

原模型变为：Y_t = α₀ +α₁W_1t + µ_t

该模型可用OLS法估计。假如参数估计结果为

0 =0.5

αˆ _αˆ1=0.8

则原模型的估计结果为：

3 2

1 3

2

1 0.5 0.4 0.2 0.133 0.1

8 8 . 0 6

8 . 0 4

8 . 0 2

8 . 5 0 . ˆ 0

−

−

−

−

−

− + + = + + + +

+ +

= _{t t t t t t t t}

t X X X X X X X X

Y

经验权数法的优点是：简单易行 缺点是：设置权数的随意性较大

通常的做法是：

多选几组权数，分别估计出几个模型，

然后根据常用的统计检验（Ｒ方检验，

Ｆ检验，t检验，Ｄ-Ｗ检验），从中选

择最佳估计式。

（2）阿尔蒙（Ａlmon）多项式法

主要思想：针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙 变换，定义新变量，以减少解释变量个数，然后 用OLS法估计参数。

主要步骤为：

第一步，阿尔蒙变换 对于分布滞后模型

t i

t i s

i

t X

Y =α + β ₋ + µ

∑

假定其回归系数

β

i

∑

+

= ^m

k

k k

i i

1

) 1 α (

β i=0,1,…,s

其中，m<s-1。阿尔蒙变换要求先验地确定适当 阶数m，例如取m=2，得

2 2

1 2

1

) 1 ( )

1 ( )

1

( + = + + +

=

∑

=

i i

i

k

k k

i α α α

β （*）

将(*)代入分布滞后模型

t i

t k

k k

s

i

t i X

Y =α + α + ₋ + µ

=

=

∑

∑

1 0

) ) 1 ( (

t s

i

t s

i

i

t i X

X

i α µ

α

α + + + + +

=

∑ ∑

= −

= −

0

2 2

2 0

1 ( 1) ( 1)

t i

t i s

i

t X

Y =α + β ₋ + µ

∑

得

定义新变量

∑

= ^s

i

i t

t i X

W

0

1 ( 1) ∑

= + −

= ^s

i

i t

t i X

W

0

2

2 ( 1)

将原模型转换为：

t t

t

t W W

Y = α +α_{1 1} +α_{2 2} + µ

第二步，模型的OLS估计

对变换后的模型进行OLS估计，得

再计算出:

2 1, ˆ , ˆ

ˆ

α α α

βs

β

βˆ , ˆ , , ^ˆ

2

1 

求出滞后分布模型参数的估计值:

2 2

1 2

1

) 1 ( )

1 ( )

1

( + = + + +

=

∑

=

i i

i

k

k k

i α α α

β

由于 m+1<s ，可以认为原模型存在的 自由度不足和多重共线性问题已得到改 善。

需注意的是，在实际估计中，阿尔蒙

多项式的阶数 m 一般取 2 或 3 ，不超过 4 ，

否则达不到减少变量个数的目的。

例4.2.2 表5.2.1给出了中国电力基本建设投资X 与发电量Y的相关资料，拟建立一多项式分布滞 后模型来考察两者的关系。

表5.2.1 中国电力工业基本建设投资与发电量 年度 基本建设投资X

（亿元）

发电量

（亿千瓦时）

年度 基本建设投资X

（亿元）

发电量

（亿千瓦时）

1975 30.65 1958 1986 161.6 4495

1976 39.98 2031 1987 210.88 4973

1977 34.72 2234 1988 249.73 5452

1978 50.91 2566 1989 267.85 5848

1979 50.99 2820 1990 334.55 6212

1980 48.14 3006 1991 377.75 6775

1981 40.14 3093 1992 489.69 7539

1982 46.23 3277 1993 675.13 8395

1983 57.46 3514 1994 1033.42 9218

1984 76.99 3770 1995 1124.15 10070

1985 107.86 4107

由于无法预见知电力行业基本建设投资对发电 量影响的时滞期，需取不同的滞后期试算。

t t

t

t W W W

Yˆ = 3319.5 + 3.061 ₀ + 0.101 ₁ − 0.271 ₂

（13.62）（1.86） （0.15） （-0.67）

求得的分布滞后模型参数估计值为

ˆ0

β =0.323，βˆ₁=1.777，βˆ₂ =2.690，βˆ₃=3.061，βˆ₄ =2.891，βˆ₅=2.180，βˆ₆ =0.927

经过试算发现，在3阶阿尔蒙多项式变换下，滞 后期数取到第6期，估计结果的经济意义比较合理。

3阶阿尔蒙多项式估计结果如下：

为了比较，下面给出直接对滞后6期的模型进行 OLS估计的结果：

最后得到分布滞后模型估计式为：

3 2

1 2.690 3.061

777 . 1 323

. 0 5 .

3319 + + ₋ + ₋ + ₋

= _{t t t t}

t X X X X

Y

（13.62） (0.19) (2.14) (1.88) (1.86) + 2.891X_t−4 + 2.180X_t−5 +0.927X_t−6

(1.96) (1.10) (0.24)

3 2

1 15.14 4.71

43 . 11 424

. 8 9 .

3361 + − ₋ + ₋ + ₋

= _{t t t t}

t X X X X

Y

（12.43） (1.80) (-1.89) (1.21) (0.36) −14.70X_t−4 + 26.94X_t−5 − 25.42X_t−6

(-0.93) (1.09) (-1.12)

（3）科伊克（Koyck）方法

科伊克方法是将无限分布滞后模型转换为自回 归模型，然后进行估计。

对于无限分布滞后模型：

t i

i t i

t X

Y =α +

∑

= −

0

科伊克变换假设

β

i

i

i β λ

β = ₀

其中，0<λ<1，称为分布滞后衰减率，1-λ称 为调整速率（Speed of adjustment）。

科伊克变换的具体做法:

将科伊克假定β_i=β₀λⁱ代入无限分布滞后模型，得

t i

i t i

t X

Y =α + β

∑

= −

0 0

滞后一期并乘以λ ，得

(*)

1 1

0

1 −

∞

= −

− = + ∑ + ^t

i

i t i

t X

Y λα β λ λµ

λ

将（*）减去（**）得科伊克变换模型：

(**)

1 0

1 (1 ) ₋

− = − + + −

− _{t t t t}

t Y X

Y λ λ α β µ λµ

整理得科伊克模型的一般形式：

t t

t

t a bX cY v

Y = + + ₋₁ +

其中： a = (1−λ)α ， b = β₀， c = λ， v_t = µ_t −λµ_t−1

科伊克模型的特点：

（1）以一个滞后因变量Y_t-1代替了大量的滞后解释变量 X_t-i，最大限度地节省了自由度，解决了滞后期长度s难 以确定的问题；

（2）由于滞后一期的因变量Y_t-1与X_t的线性相关程度可 以肯定小于X的各期滞后值之间的相关程度，从而缓解 了多重共线性。

但科伊克变换也同时产生了两个新问题：

（1）模型存在随机项和v_t的一阶自相关性；

（2）滞后被解释变量Y_t-1与随机项v_t不独立。

这些新问题需要进一步解决。

三、自回归模型的参数估计

• 一个无限期分布滞后模型可以通过科伊克变换 转化为自回归模型。

• 事实上，许多滞后变量模型都可以转化为自回 归模型，自回归模型是经济生活中更常见的模 型。

• 以适应预期模型以及局部调整模型为例进行说 明。

1、自回归模型的构造

（1）自适应预期（Adaptive expectation）模型 在某些实际问题中，因变量Y_t并不取决于解释变 量的当前实际值X_t，而取决于X_t的“预期水平”或

“长期均衡水平”X_t^e。

例如，家庭本期消费水平，取决于本期收入的预 期值；

市场上某种商品供求量，决定于本期该商品价格 的均衡值。

因此，自适应预期模型最初表现形式是

t e

t

t

X

Y = β

+ β

+ µ

由于预期变量是不可实际观测的，往往作如下 自适应预期假定:

)

( ₁

1

e t t

e t e

t X r X X

X − ₋ = − ₋

其中：r为预期系数（coefficient of expectation）, 0≤r ≤1。

该式的经济含义为：“经济行为者将根据过去的 经验修改他们的预期”，即本期预期值的形成是一 个逐步调整过程，本期预期值的增量是本期实际值 与前一期预期值之差的一部分，其比例为r 。

这个假定还可写成：

e t t

e

t rX r X

X = + (1− ) ₋₁

将

t e

t t

t rX r X

Y =

β

β

µ

e t t

e

t rX r X

X = + (1− ) ₋₁ ^代入

t e

t

t

X

Y = β

+ β

+ µ

得

(*)

将（*）式滞后一期并乘以(1-r),得

1 1

1 0

1 (1 ) (1 ) (1 )

) 1

( − r Y_t− = β − r + β − r X_t^e₋ + − r µ_t− (**) 以(*)减去（**），整理得

t t

t

t r rX r Y v

Y = β₀ + β₁ + (1− ) ₋₁ +

) 1

1

( − ₋

−

= _{t t}

t r

v µ µ

其中

可见自适应预期模型转化为自回归模型。

（2）局部调整(Partial Adjustment)模型

• 局部调整模型主要是用来研究物资储备问题的。

• 例如，企业为了保证生产和销售，必须保持一定 的原材料储备。对应于一定的产量或销售量X_t， 存在着预期的最佳库存Y_t^e。

• 局部调整模型的最初形式为

t t

e

t

X

Y =

+

+

Y_t^e不可观测。由于生产条件的波动，生产管理 方面的原因，库存储备Y_t的实际变化量只是预期变 化的一部分。

)

( ₁

1 −

− = −

− _{t t}^e _t

t Y Y Y

Y δ

或：

) 1

1

( − ₋ +

= _t^e _t

t Y Y

Y δ δ (*)

其中，δ为调整系数，0≤ δ ≤1

将(*)式代入 ^Y_t^{e = β}₀ ^{+ β}₁^X_t ^{+ µ}_t 得

t t

t

t

X Y

Y =

+

+ ( 1 −

)

+

可见，局部调整模型转化为自回归模型

储备按预定水平逐步进行调整，故有如下局部 调整假设：

2、自回归模型的参数估计

0 )

,

cov(Y v ≠ cov(v ,v ) ≠ 0

考伊克模型：

对于自回归模型

t q

i

i t i t

t X Y

Y = α +α +

∑

= −

1 1

0

估计时的主要问题：滞后被解释变量的存在可能 导致它与随机扰动项相关，以及随机扰动项出现 序列相关性。

t t

t

t X Y v

Y = (1− λ)α + β₀ + λ ₋₁ +

−1

−

= _{t t} vt µ λµ

自适应预期模型：

t t

t

t r rX r Y v

Y = β₀ + β₁ + (1− ) ₋₁ + ) 1

1

( − ₋

−

= _{t t}

t r

v µ µ

显然存在：

局部调整模型：

t t

t

t X Y

Y = δβ₀ +δβ₁ + (1−δ ) ₋₁ +δµ

存在：滞后被解释变量Y_t-1与随机扰动项δµ_t的 异期相关性。

因此，对自回归模型的估计主要需视滞后被 解释变量与随机扰动项的不同关系进行估计。

以一阶自回归模型为例说明:

(1) 工具变量法

若Y_t-1与µ_t同期相关，则OLS估计是有偏的，并 且不是一致估计。

因此，对上述模型，通常采用工具变量法，即寻 找一个新的经济变量Z_t，用来代替Y_t-1。

参数估计量具有一致性。

对于一阶自回归模型

t t

t

t X Y

Y = α₀ +α₁ +α_{2 −1} + µ