D10 习题课

习题课

一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用

重积分的 计算 及应用

一、重积分计算的基本方法

1. 选择合适的坐标系

使积分域多为坐标面 ( 线 ) 围成 ;

被积函数用此坐标表示简洁或变量分离 . 2. 选择易计算的积分序

积分域分块要少 , 累次积分易算 .

图示法

列不等式法 ( 从内到外 : 面、线、

点 )

3. 掌握确定积分限的方法

—— 累次积分法

2 (3). 计算二重积分





周

x R y

x²  ²  _{所围成的闭区域 .} 提示 : 利用极坐标



r 

原式





 ²

0

3

3 (1 sin )d 3

2 R ^

 

3 ) ( 4

3

1 ₃ 

 R



y

D R x

 o

 :

D 0  r  Rcos



2

2 

 







 ²

2

 d





P182

7. 把积分



其中由曲面z  x²  y², y  x² y 1, z  0 提示 : 积分域

为

 :

原式



2 2

0

d ) , , (

y x

z z

y x f

及平面

2

0  z  x2  y

2  y 1 x

1 1 

 x



2

d

x







1 1

dx

所围成的闭区域 .

x y

z P183

D₁z

D₂z

8 (1) . 计算积分

2 2

2

2 y z R

x    及 x²  y²  z²  2Rz , d d

2 dx y z



( R > 0 ) 的公共部分

. 提示 : 由于被积函数缺 x , y ,

原式 =



z z

z R

R z

d ) 2

2 (

0

2







利用“先二后一” 计算方便 . z

R z

2 d

0





2





z z

R

R z

R ( )d

2

2 2







5

480

59





z R

x o y

R2

P183

8 (3). 计算三重积分



 5

x _{所围成的闭区域 .} 提示 : 利用柱坐标

 

z

r y

x x



原式



2 2 d

r x

绕 x 轴旋转而成的曲面与平 面

2 5

21 r  x  10 0  r 





r

10 r d

0





 ^2



0 d



3

 250

 :

z

x y

o 5

P183

二、重积分计算的基本技巧

分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法

2. 消去被积函数绝对值符号

练习题

P181 1 ( 总习题十 ) ; P182 4, 8(2), 解答提示 : ^{( 接下页 )}







证明 :

提示 : 左端积分区域如图 ,

D

o y

x x y  a

交换积分顺序即可证得 . P182 4.

8(2). d ,

1 ) 1 ln(

2 2

2

2 2

2 v

z y

x

z y

x



求 _其中是

2 1

2

2  y  z 

x _{所围成的闭区域 .}

提示 : 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0.

由球面 P182

例 1. 计算二重积分I (x² xye^{x2 y2} )dxdy ,

D

 





(1) D 为圆域 x²  y²  1;

(2) D 由直线y  x , y  1, x  1 解 : (1) 利用对称性

.

y

o 1 x

D y

x x

I ^



0 d

d ) 2 (

1 ₂  ₂ 









 ¹

0 2 3

0 d d

2

1 ^



4





y x

e y

D x

y

x^{2 2} d d





围成 .

y x e

y

D x

y

x d d

1

2



 (2) 积分域如图 :

o

1

y

1 x D1D²

x y  

x y  ,

x

y   _{将 D 分为}D₁, D₂,

y x x

I ^



y x e

y

D x

y

x d d

2

2





0 0

d

d 1

1 1

2  







3

 2

添加辅助线 利用对称性 , 得

例 2. 计算二重积分



4 4

2 2

2  y  x  y  

x _{所围成的平面域 .}

解 :

2 2

2 ( 2) 3

) 1

(x   y   其形心坐标为 :

面积为 : A  9





 D x x y

I 5 d d



2 3 )

1 ( 5

[     

 A



 3 D y dxdy 积分区域

线

形心坐标 2

,

1 



 y

x



 D x x y x A1 d d



 D y x y y A1 d d A

y A

x  



 5 3

1

1

1 x y

o 例 3. 计算二重积

分 (1) I sgn(y x²)dxdy,





, d d ) 2 2

( )

2

( I x² y² xy x y





2 1

2  y 

x _{在第一象限部分 .} 解 : (1) y  x²

2 1, D

D _{两部分 , 则}





1

d

D dx y I





 ^{1 1}

1d ² d

x y

x 3

 2

D2





2

d

D dx y





 ²

0 1

1d x ^x d y

1 0

1 1

:   x   y 

D ，

其中 D 为圆 域

把与 D 分

成 D¹

作辅助线

x y

o 1

1 y  x

(2) 提示 :

2 1 , D

D _两部分

D1





 ²



y x y

D ( x   2)d d





说明 : 若不用对称性 , 需分块积分以去掉绝对值符 号 .

x y 

作辅助线 ^{将 D 分}_成 D2



2

y x xy

y x

I ^



) 2 1 2

3 (

2 _{ }



  



x y sin

x y

o 2

例 4.





1

d ) ,

D

f ( x y 





 ¹

0dy



I















1

dy

如图所示

交换下列二次积分的顺序 :





 x ^x f x y y

I ^sin

0 2

0 ^ d ( , )d

D1

D2





2

d ) ,

D f (x y



解 :

例 5. 设 f (u)C, f (0)  0, f (0) 存在, 求 1 ( )， lim ₄

0 F t

t

t^



 ) (t F

解 : 在球坐标系

下 ^{F(t ) }



^ 

^

^ 



 ^t f r r r

0

2 d )

( 4



0 4

) lim (

t t F

t^



利用洛必达法则与导数定义 , 得

3 2

0 4

) ( lim 4

t t t f

t





 

t t f

t

) lim (

0

  f (0) 0

) 0 (  F

z y

x z

y x

f

t z

y x

d d

d ) (

2 2

2 2

2 2









 其中 

 0  f (0)

三、重积分的应用

1. 几何方面

面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心

质量 , 转动惯量 , 质心 , 引力

证明某些结论等 2. 物理方面

3. 其它方面