D11 习题课

习题课

一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法

线面积分的计算

一、曲线积分的计算法

1. 基本方法

曲线积分 第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )

(1) 统一积分变量



 转化 定积分

用参数方程

用直角坐标方程 用极坐标方程

(2) 确定积分上下限 第一类 : 下小上 大第二类 : 下始上终

计算 x² y² ds,



提示 : 利用极坐标 , )

2 ( 2

cos

: r  a











L d





^

^

说明 : 若用参数方程计算 ,

:

L (0  t  2



y r





 a

) cos 1

2 ( t

x  ^a  t y  ^a₂ sin

t 则

t y

x

s d

d   ²  ² a t 2 d

 P246 3 (1)

t t

a(1 cos )d



P246 3(3). 计算



) sin (t t a

x   y  a(1 cost) 上对应 t 从 0 到 2 的一段

弧 .提示 :





 ^2

0

2 tsin td t 原式 a

 

2 t cost sin t

a  

  2 a



) cos 1

( t

a 



t t a

t t

a(  sin )  sin d

 y

x x

y

a ) d d

2

(  

t t t

a² sin d



z

o y

x

1 P246 3(6). 计算 其中由平面 y = z 截球

2 面

2 y x 

提示 : 因在 上有x²  y2 ² 1, _故

 :

原式 = ² cos t sin td t

0

2 2

2

21



t t

t (1 cos )d cos

4 ²

0

2 2

2

21 ^



 ^



 



    

 2 2

1 4 3 2

2

2 1

 

16 2



 t

x cos

t y  ¹₂ sin

2 sin

1 t

z 

) 2 0

(  t 





从 z 轴正向看沿逆时针方向 . ,

2  1所得

 z

(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件 ;

(3) 利用格林公式 ( 注意加辅助线的技巧 ) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;

(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .

2. 基本技巧

例 1. 计算^{I }



C

o y

A x B

L 解法 1 令P  x²  y, Q  y²  x, _则

 

 x Q

这说明积分与路径无关 , 故

y x

y x

y x

I 





 ^a

a x d² x ³ 3 2 a





1

y P



 

a 为半径的上半圆周 .

解法 2 BA,_{它与 L 所围区域为} D,

C

o y

A x B

L



 D 0 d x d y

y x

y x

y

BA(x²  )d  ( ²  )d





x

a x

a ² d





D

( 利用格林公

思考 : 式 )

(2) 若 L 同例 2 , 如何计算下述积分 :



 L x y x y x y

I₂ ( ²

 y



 L x y x y x y

I₁ ( ²

3

3

3 2 a





(1) 若 L 改为顺时针方向 , 如何计算下述积分 :



 L BA x y x y x y

I ( ² )d ( ² )d

添加辅助线段 则

思考题解答 :



 L x y x y x y

I₁ ( ²

3





 LAB AB





 2 Dd x d y )

3 (2

2 



 a a



 L x y x y x y

I₂ ( ²

 y



 L(x² y)d x (y² x)dy ^



t t a sin³ d

0



 ^

, sin ,

cos

: x a t y a t

L  

3

3 2 a



 1

3 2 ³  2 

 a  2a³



 0

: t

3

3 2 a



 I

C

o y

A x B

D L



  

sin

) cos 1

: (

t a

y

t a

L x

D

y

a

L o x

计算 ^{I }



提示 :



 L

x

x y x e y y

e

I sin d ( cos 2)d ^{ 2}





 2 L ydx

B A

y

D 0d x d



 ^







 0

: t

a2





沿逆时针方向 .





 L AB AB

练习题 : P246 题 3(5) ; P247 题 6; 11 3(5).

P247 6 . 设在右半平面 x > 0 内 ,

构成力场 , 其中力 k 为常数 ,



提示 :

) d d

3(x x y y W k

L  



 _

令 ₃ , ₃





y Q k

x

P   k  

易证 3 ₅







x Q



  ( x  0 )

) ,

3 (x y F k







F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功 为

P247 11. 求力 沿有向闭曲线  所作的 功 , 其中  为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成 三

B A

z

y x

o C

从 z 轴正向看去沿顺时针方向 .

角形的整个边界 ,

) , ,

(y z x F 

设三角形区域为 , 方向向上

, 则



 y x z y x z

W d d d





 _^_{x }^_{y }^_z dS

13

13

13

y z x





 ¹₃ ( 3)d S (1,1,1)

13

 n 方法 2

B n

A

z

y x

o C

2

 3





y

Dx 3d x d y 3

利用斯托克斯公式

二、曲面积分的计算法

1. 基本方法

曲面积分  第一类 ( 对面积 )第二类 ( 对坐标 )

转化 二重积分 (1) 统一积分变量 — 代入曲面方程

(2) 积分元素投影



 第一类 : 始终非负 第二类 : 有向投影 (3) 确定二重积分域

— 把曲面积分域投影到相关坐标面

思 考 题

1) 二重积分是哪一类积分 ?

答 : 第一类曲面积分的特例 .

2) 设曲面 : z  0 , (x, y)  D ,问下列等式是否成立 ?





不对 ! 对坐标的积分与  的侧有 关





2. 基本技巧

(1) 利用对称性及重心公式简化计算

(2) 利用高斯公式



 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧

( 辅助面一般取平行坐标面的平面 ) (3) 两类曲面积分的转化

 z

x y o

练习 :



2 2

2 x y

R

z    _{的上侧 .} 且取下侧 ,

提示 : 以半球底面



原式 =



3

3

3 2



  0  2 R



0

z y

x d d d

3 ^



记半球域为  , 高斯公式有

计算

为辅助面 , 利用

例 3. 计算曲面积分

y r x

x z r z

z y r y

I 



其中 , r  x²  y²  z² ,  : x²  y²  z²  R² 取外侧. 解 : x y z y z x z x y

I R1 d d d d d d

3  





z y

R1 3d xd d

3



  4

