D11 习题课

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(1)

习题课

一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法

线面积分的计算

(2)

一、曲线积分的计算法

1. 基本方法

曲线积分 第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )

(1) 统一积分变量



 转化 定积分

用参数方程

用直角坐标方程 用极坐标方程

(2) 确定积分上下限 第一类 : 下小上 大第二类 : 下始上终

(3)

计算 x2 y2 ds,

L 其中 L 为圆周x2 y2 ax.

提示 : 利用极坐标 , )

2 ( 2

cos

: r  a

L

d dsr2r2 原式 = ax s

L d

22 a2 cos2

ad

2a2

说明 : 若用参数方程计算 ,

:

L (0  t  2

) o a x

y r

d

a

) cos 1

2 ( t

xat ya2 sin

t

t y

x

s d

d   22 a t 2 d

 P246 3 (1)

(4)

t t

a(1 cos )d

P246 3(3). 计算

L(2a y)d x xd y, 其中 L 为摆线 ,

) sin (t t a

x   ya(1 cost) 上对应 t 从 0 到 2 的一段

弧 .提示 :

2

0

2 tsin td t 原式 a

 

02

2 t cost sin t

a  

  2 a

2

) cos 1

( t

a

t t a

t t

a(  sin )  sin d

y

x x

y

a ) d d

2

(  

t t t

a2 sin d

(5)

z

o y

x

1 P246 3(6). 计算 其中由平面 y = z 截球

2

2 y x

提示 : 因在 上有x2  y2 2 1,

 :

原式 = 2 cos t sin td t

0

2 2

2

21

t t

t (1 cos )d cos

4 2

0

2 2

2

21



 

    

 2 2

1 4 3 2

2

2 1

 

16 2

t

x cos

t y12 sin

2 sin

1 t

z

) 2 0

(  t

,

xyzdz

从 z 轴正向看沿逆时针方向 . ,

2  1所得

 z

(6)

(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件 ;

(3) 利用格林公式 ( 注意加辅助线的技巧 ) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;

(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .

2. 基本技巧

(7)

例 1. 计算I

L (x2 y)d x (y2 x)dy, 其中 L 是沿 时针方向以原点为中心 , 逆

C

o y

A x B

L 解法 1 Px2y, Qy2x,

 

x Q

这说明积分与路径无关 , 故

y x

y x

y x

I

AB ( 2  )d  ( 2  )d

a

a x d2 x 3 3 2 a

1

y P

 

a 为半径的上半圆周 .

(8)

解法 2 BA,它与 L 所围区域为 D,

C

o y

A x B

L



D 0 d x d y

y x

y x

y

BA(x2  )d  ( 2  )d

x

a x

a 2 d

D

( 利用格林公

思考 : 式 )

(2) 若 L 同例 2 , 如何计算下述积分 :

L x y x y x y

I2 ( 2

y

2 )d ( 2 )d

L x y x y x y

I1 ( 2

3

) d ( 2 )d

3

3 2 a

(1) 若 L 改为顺时针方向 , 如何计算下述积分 :

L BA x y x y x y

I ( 2 )d ( 2 )d

添加辅助线段 则

(9)

思考题解答 :

L x y x y x y

I1 ( 2

3

)d ( 2 )d (1)

LAB AB



 2 Dd x d y )

3 (2

2

a a

L x y x y x y

I2 ( 2

y

2 )d ( 2 )d (2)

L(x2 y)d x (y2 x)dy

L y d2 x

t t a sin3 d

0

3

, sin ,

cos

: x a t y a t

L  

3

3 2 a

 1

3 2 3  2 

 a  2a3

 0

: t

3

3 2 a

I

C

o y

A x B

D L

(10)



  

sin

) cos 1

: (

t a

y

t a

L x

D

y

a

L o x

计算 I

L(ex sin y 2y)d x (ex cos y 2)dy, 其中 L 为上半圆周(xa)2y2a2, y  0,

提示 :

L

x

x y x e y y

e

I sin d ( cos 2)d 2

L ydx

 2 L ydx

B A

y

D 0d x d



02a 0d x 2a2

0 sin2 td t

 0

: t

a2

沿逆时针方向 .

L AB AB

练习题 : P246 题 3(5) ; P247 题 6; 11 3(5).

(11)

P247 6 . 设在右半平面 x > 0 内 ,

构成力场 , 其中力 k 为常数 ,

x2y2 , 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关 .

提示 :

) d d

3(x x y y W k

L  

3 , 3

y Q k

x

P   k  

易证 3 5

y x k P y

x Q

  ( x  0 )

) ,

3 (x y F k

F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功 为

(12)

P247 11. 求力 沿有向闭曲线  所作的 功 , 其中  为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成 三

B A

z

y x

o C

z 轴正向看去沿顺时针方向 .

角形的整个边界 ,

) , ,

(y z x F

(13)

设三角形区域为 , 方向向上

, 则

y x z y x z

W d d d



x y z dS

13

13

13

y z x

: x y z 1



13 ( 3)d S (1,1,1)

13

n 方法 2

B n

A

z

y x

o C

2

 3



y

Dx 3d x d y 3

利用斯托克斯公式

(14)

二、曲面积分的计算法

1. 基本方法

曲面积分 第一类 ( 对面积 )第二类 ( 对坐标 )

转化 二重积分 (1) 统一积分变量 — 代入曲面方程

(2) 积分元素投影

第一类 : 始终非负 第二类 : 有向投影 (3) 确定二重积分域

— 把曲面积分域投影到相关坐标面

(15)

思 考 题

1) 二重积分是哪一类积分 ?

答 : 第一类曲面积分的特例 .

2) 设曲面 : z  0 , (x, y)  D ,问下列等式是否成立 ?





f (x, y, z)d S D f (x, y,0)d xdy

不对 ! 对坐标的积分与  的侧有 关





f (x, y, z)d x d y D f (x, y,0)d xdy

(16)

2. 基本技巧

(1) 利用对称性及重心公式简化计算

(2) 利用高斯公式

注意公式使用条件 添加辅助面的技巧

( 辅助面一般取平行坐标面的平面 ) (3) 两类曲面积分的转化

(17)

z

x y o

练习 :

P247 题 4



(3) x d y d z y d z d x z d x d y,其中  为半球面

2 2

2 x y

R

z    的上侧 . 且取下侧 ,

提示 : 以半球底面

0

原式 =



3

3

3 2

R

  0  2 R

3

0

z y

x d d d

3



0 xdydz ydzdx zdxdy

记半球域为  , 高斯公式有

计算

为辅助面 , 利用

(18)

例 3. 计算曲面积分

y r x

x z r z

z y r y

I



x3 d d  3 d d  3 d d

其中 , rx2y2z2 ,  : x2y2z2R2 取外侧. 解 : x y z y z x z x y

I R1 d d d d d d

3  



z y

R1 3d xd d

3



  4

Figure

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