排列與組合

第五章排列與組合 P55~P57 第一單元 1/2 1. Ans:110 ( )4 3 (4 3 2 5) 5 110 ( )2 5         襯衫 裙子 長褲 2. Ans:10 種 2 勝 1 負 勝 勝 勝 負 勝 負 負 負 依左完成樹狀圖，可知共有 10 種 3. Ans:(1)32 (2)16 (1) 3 1 1 1 120 2 3 5 =120 (1 ) (1 ) (1 ) 32 2 3 5             所求 找不是 2,3,5 的倍數 (2) 120 120 17 1 16 7 7 11            _      4. Ans:(1)48 (2)4 (3)9 (4)39 (1) A B C  A B  C  AB  AC  BC  A B C 48 (2)52-48=4 (3)恰 A 對= A  AB  AC  A B C =6，同理恰 B 對=2，恰 C 對=1，所求=9 (4)52-全錯-恰 1 人對=52-4-9=39 5. Ans:435 30 2 435 C  6. Ans:19 7個(1,1,13) ~ (1, 7, 7) 5+ 個(2, 2,11) ~ (2, 6, 7)3個(3,3,9)~(3,6,6)+ 個(4,4,7)~(4,5,6)2 1個(5, 5,5)19 7. Ans:19 令邊長為 , ,a b c 其中abc，10a15，依( , , )a b c 列表1 個 (10,10,10) +2 個 (11,11,8) ~ (11,10,9) +4 個 (12,12,6) ~ (12,9,9) +5 個 (13,13, 4) ~ (13,9,8) +7 個 (14,14, 2) ~ (14,8,8) =19 8. Ans:(1)6 (2)36 (3)216 (1)3!6 (2)3! 3! 36 (3)3! 3! 3!  216 9. Ans:35 5 個 10 個 5 個 5 個 10 個 10.Ans:106 種 10元 個， 元 個，50元 個x 20 y z 10x20y50z500x2y5z50, , ,x y z  依z 1 ~ 9討論 (例如:z1,y1 ~ 22,x有 個對應解1 有 22 組，z2,y1 ~ 19,x有 個對應解1 有 19 組 共 106組 11.Ans:80 個 依序為

○

34 

○

56 

○

12 OR

○

56 

○

12 

○

34 2! 2! 2! 2   16

第五章排列與組合 P55~P57 第一單元 2/2 依序為

○

35 

○

6? 

○

4? OR

○

36 

○

5? 

○

4? OR

○

45 

○

6? 

○

4? OR

○

46 

○

5? 

○

3? 其中?為 1,2 2! 2! 2! 2! 4    64  共 64+16=80 12.Ans:(1)7 (2)15 (1)每次淘汰 1 隊共淘汰 7 隊(次)產生冠軍 (2)每隊可輸 2 場，冠軍可輸 1 場，所以最多7 2 1 15   13.Ans:13230 如右圖 A,B 相鄰不同色有6 5 30，C,D 併入 A,B 相鄰不同色 有6 5( , C D異色) 1 5(A=C) 1 5(B=D) 1 1(A=C      且B=D)=21 所求=30 21 21 13230   14.Ans:42 帽子  制服  鞋子分類為 1(紅)3(非白) 2( 非灰)+1(藍) 3( 非藍) 3( 任意)+3(其他) 3( 非白) 3( 任意)=42 15.Ans:(1)84 (2)9 (1)題意即為 A,B,C,D 相鄰不同色，仿習題 13  4 3 (4 3 1 3 1 3 1 1)       84 (2)即a11,a2 2,a3 3,a4 4由錯排 4 4 4 4 1 2 3 4 4! C 3! C 2! C 1! C 0! 9       16.Ans:36 討論 (11,11,1 ~ 11) (11,10, 2 ~ 10) (11,9,3 ~ 9) (11,8,4 ~ 8) (11,7,5 ~ 7) (11, 6,6)     36

第五章排列與組合 P61~P64 第二單元 1/4 1. Ans:(1)7! (2)576 (3)1440 (4)144 (5)840 (6)720 (2) 1,3,5,7 +2,4,6 視為 4 個數4! 4! 576 (3) 1,3,5,7 排一列，2,4,6 插空格4! 5 4 3   1440 (4)奇偶奇偶奇偶奇3! 4! 144  (5)O,O,O,1,3,5,7 排一列7!/ 3!840 (6) 3 2 2! 5! 720 C    2. Ans:(1)如下 (2)408 (1)全部0 為首=10! (3! 4!) 9! (3! 4!)     22680 (2)0, 1,1,1, 2,2,2, 3, 4 排一列，2 插入非 2,2,2 旁的空格5! 4 又 0 為首有4! 3 所求=408 3. Ans:(1)648 (2)328 (3)160 (4)15 (5)379 (1)9(百位) 9( 十位) 8( 個位)648 (2)5(個) 9( 十) 8( 百)4(個) 8( 十) 1( 百=0)=328 (3)末兩位為 4 的倍數 0 6 ( ? 04,? 08, ? 20, .,?80) 8 6 160 0 16 ( ?12,?16,? 24, ., ? 96) 7 16       含有 有 組 如 共 不含有 有 組 如 (4)找 5 且 9 的倍數 0 9 (1,8) ~ (8,1) 8 5 4 (( ) 13((5,8) ) xy x y xy x y x y       ，其中 有 組 ，其中 有2組 2,2)不合 ， 不合 有5組，共 組15 (5)1□□用了9 8 72個數字，1□□~2□□用了 144 個數字，即第 200 個數為 3□□ 又 31□~37□各有 8 個共 56 個第 200 個數為 379 4. Ans:(1)792 (2)771 (3)15840 (4)2100 (1) 12 5 792 C  (2) 12 7 5 5 771 C C  (3) 12 5 4 5 1 1 15840 C C C  (4) 7 3 5 2 3 1 2 1 2100 C C C C  5. Ans:(1) 90 (2) 52 (3) 56 (4)46620 (1) 6 5 1 1 3! 2! 90 C C    (2)分(4□5,6),(5□4,6),(1,2,3□4,5,6)三類1 2 4  +1 2 4  +3 3 4  =52 (3) 6 8 3 3 56 H C  (4) (100 200 600) 20 (10 20   60) 20 (1 2   6) 20 46620 6. Ans:(1) 540 (2)192 (3)360 (4)28 (5)10 (1) 全部



甲沒有 乙沒有 丙沒有



= 6 3 6 3 6 1 2 3 C 2 C 1 540 (2) 6 5 1 2 192 C   (3) 6 4 2 4 6 3 2 3 6 2 2 2 2 1 3 1 4 1 =2 :C (2 C 1 ) =3 :C (2 C 1 ) =4 :C (2 C 1 )360 甲 甲 甲 (4) 3 8 6 6 28 H C  (5)甲、乙、丙先取一件 3 5 3 3 10 H C    7. Ans:233 令 1 個x次， 個 次2 y x2y12, ,x y  

 

0 ， ( , )x y 有 (12,0),(10,1), (8, 2),(6,3), (4,4),(2,5),(0,6) 6 組解 12 11 10 9 8 7 6 0 1 2 3 4 5 6 =C C C C C C C 233 所求        8. Ans:81

第五章排列與組合 P61~P64 第二單元 2/4 4 5 3 4 4 5 2 2 : 1 1 1 : 20 81 : 60 B P A B Q A C C B R A C C                   共 9. Ans:(1)243 (2)21 (3)5 (4) 41 (1) 5 3 243 (2)即 3 5 5 , , 21 x y z ，x y z為非負整數H  (3) 5 分成 3 堆(5,0,0),(4,1,0),(3,2,0),(3,1,1),(2,2,1) (4) 同(3)分堆 5 5 1 5 2 5 2 1 5 3 1 5 4 1 3 2 3 1 1 2! 2 2 1 2! 41 C C C C C C C C  C C C   10.Ans:(1)2142 (2)1890 (3)1806 (4)630 (5)150 (1)





7 7 7 7 1 (7, 0, 0) (6,1, 0) 3 C 3! 2! C 3! 2142          全 (2)分成(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2) 7 3 7 3 1 7 4 1 7 4 2 4 3 4 2 1 3 3 1 3 2 2 (C C C C C C C C 2! C C C 2!) 3! 1890         (3)分成(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3) 7 6 7 6 4 7 6 3 7 5 3 1 1 1 2 4 1 3 3 2 2 3 (C C 2! C C C C C C 2! C C C 2!) 3! 1806          (4) 7 5 3 2 2 3 2! 3! 630 C C C    (5) 分成(1,2,2),(3,0,2)，甲乙再坐車 5 4 2 5 2 1 2 2 3 2 (C C C 2! C C ) 3! 1 150       11.Ans:(1) 432 (2)5 (1) 3 2 1 2 2 3 1 2 1.2 2! 4! 432 1.2 2! 4! C C C C        在同行 共 在同列 (2) 1.2 1 3 4 1 3 5 2 5 6 2 4 6 在同行 或 1.2 1 3 4 1 2 5 1 2 4 2 5 6 3 4 6 3 5 6 在同列 或 或 共 5 種 12.Ans:如下 30 9 30 1 1 a b a b C C C  C 13.Ans:15 題意為電梯在 2F、3F、4F、5F 均考慮是否要停 4 2 1( ) 15   全不停  14.Ans:144 分段用乘法原理 ( ) 2 2!( ) 2!( )    甲乙在中排 左或右 互換 甲乙在後排 互換 決定司機剩4個位子，兩人任意入座 4 2 (2 2! 2!) 2 P 144       15.Ans:4060 30 人選 3 人離開 30 3 C 4060 16.Ans:90 從右圖中選 2 個模型合併後再 4 行排列即成題目所求

第五章排列與組合 P61~P64 第二單元 3/4 3 2 3 1 C 4! 90 4! (2! 2!)        所選兩個皆不同 共 個 所選兩個皆同 C 17.Ans:2520 A, , , , , , D,a B b C c d代表 組螺絲與其對應的輪胎 ，依題意為大寫字母要在對應的小寫字母之前 4  8! (2! 2! 2! 2!)    2520 18.Ans:48 如右圖可分成兩情況，每種情況都為 1 2 2 2 1 2 1 2 5 3 1 2 7 , , , , H 2 48 5 x x x x y y H y y              其中 19.Ans:(1)231 (2)10 (1) 8! (5! 3!) 56 ! (4! 2!) 105 ! (2! 3!) 60 ! (4! 2!) 10                  _{   }     有 有7 有6 有7 共 231 個 (2) 有7! (4! 2!)  10 20.Ans:138 體育課可能在 13 14 15 24 25 35 共 6 種情形，每種情況下音樂與生科課都有 2 5 (任意排)2(都與體育同一天) 2 =6 (5 2) 138 所求    21.Ans:(C)(D) 0. 100 10 999 a b c abc   ，固定a1 ~ 9某一數時，0.abc有8 7=56種 ，固定 b c 或 時亦同 999S(100 200 900) 56 (10 20   90) 56 (1 2   9) 56 S 280 22.Ans:(1) 15 (2)1050 (1)4 同 1 1 1 C  、3 同 1 異 2 3 1 1 6 C C  、2 同 2 同 2 2 1 C  、2 同 2 異 2 3 1 2 6 C C  、4 異 4 4 1 C  共 15 種 (2) , , , , ,a a a a c d排一列b b b, , 插空格 7 3 6! 4! C 1050     23.Ans:72 Aa,Bb,Cc,Dd 平分成 2 堆，大小寫不在同一堆有 3 2  每堆再平分成 (2, 2) 兩堆 8 4 2 4 2 2 2 2 2 8 (C C 2!) (C C 2!) 72         24.Ans:(1) 2 (2)160 (1) 令 3 點共線有a條, 4 點共線有b條, 5 點共線有c條,6 點共線有d條……… 11 3 4 5 2 2 2 2 48 C C   a a C   b b C   c c  2a5b(C₂51)c(C₂61)d 7 a b c d, , , ,為非負整數 除 a b, 外都為0a 1,b1 (2) 11 3 4 3 3 1 3 160 C C  C  25.Ans:(1)264 (2)265

第五章排列與組合 P61~P64 第二單元 4/4 (1) 6 5 5 5 5 5 1 (5! 1 4! 2 3! 3 2! 4 1! 5 0!) 264 C  C  C  C  C  C   (2) 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 6!C  5! C 4!C  3! C 2!C  1! C 0!265 26.Ans: (1)924 (2)350 (3)462 (4)164 (1) 12 6 6 6 C 924  次 次  (2) 4 3 2 3 7 5 3 2 ( 4, 3) (0, 0) (2, 3) 350 A O B C C       經 到    (3) 7 5 3 2 7 5 2 1 7 5 1 0 ( 1,1) (2, 3) 350 ( 4, 3) ( 2, 2) B(2, 3) 105 ( 3, 3) B(2,3) 7 B C C A C C C C        _         經 到 有 經 到 有 經 到 有 共 462 (4)如圖，用累加法 27.Ans:(1)66 (2)15 (3)51 (4)39 令蘋果x、梨子 y 、芒果 z (1) 3 10 10, , , H 66 xy z x y z非負整數  (2) 3 4 10, , , H 15 xy z x y z整數且 2   (3) 3 3 10 4 10, , , H ( ) ( 6) 51 xy z x y z非負整數且y 5 全部 H y  (4) 3 3 8 2 39 H H  28.Ans:(1)3186 (2)1854 (3)924 (4)1331 (2)7 個用錯排 (1)全部(2) (3) 7 2 5 =924 C  個錯排 (4) 全部(2) 7 1 6 C   個錯排=1331 29.Ans:180 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 5 360 2 3 5 2 3 5 2 3 5 x z                  _          y ，其中 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1                    _{  }  3 3 3 3 2 1 180 H H H     30.Ans: (1)960 (2)768 (1) 5 5 5 4 4 {(5,0,0, 0)或(4,1, 0,0)}4  4 C 4! 2! 960 (2) 5 4  甲乙+3 人(視為 4 人任意排)= 5 4 4 4 768 31.Ans:(1)402 (2)76 (1) 3 18 3 15 3 10 3 3 1 21 2 18 3 13 4 6 t x y z H t x y z H t x y z H t x y z H                                有 有 有 有 共 402 (2) 3 3 9 5 76 H H  如下 1 21 ( 1) ( 1) ( 1) 9 2 ( 1) ( 1) ( 1)3 9 3 13 ( 1) ( 1) ( 1) 5 2 ( 1) ( 1) ( 1)3 5 t x y z x y z x y z t x y z x y z x y z                                    想成 、 、 人分 組相同物 想成 、 、 人分 組相同物 32.Ans:(1)1001 (2)210 (1) 5 10 10 10 H 1001 xy z u x y  z u w 非負整數解  (2) xy  z u w10(x1)(y1)(z1)(u1)w10非負整數解 5 6 210 H  

第五章排列與組合 P66 第三單元 1/2 1. Ans:(1)20412 (2)984 (3)9 (1) 7 5 2 5 2 2 (3 ) ( ) 20412 C x x x   (3) 6 4 2 2 2 4 1 ( ) ( ) 15 1215 9 C ax a a x      (2) 4 3 4 4 5 3 2 7 4 3 7 3 4 4 3 1 5 4 1 7 3 4 2 5 4 2 2 5 5 7 2 5 (2 ) 3 1440 (2 ) ( 1) 3 480 (2 ) ( 1) 24 x x C x C x x x x x C x C x x x x C x C x x                  共 7 984x 2. Ans:14 _{1 1} 1 1 : =1:2 : ( 1) 1: 2 1 2 14 : : 1 : 2 : 3 ( 1) : ( ) 2 : 3 2 2 3 3 5 : 2 : 3 n n k k n n n k k k _{n n} k k C C k n k n k k n C C C k n k n k k k C C                  _ _ _ _              3. Ans:1330 求式= 2 2 20 2 21 2 4 21 3 2 2 (1 )[(1 ) 1] (1 ) (1 ) C 1330 (1 ) 1 x x x x x x x            係數為 (找分子 6 x 的係數 4. Ans:14 or 23 C C C 成等差₈n, ₉n, ₁₀n 2C₉n C₈n C₁₀n  2 10(n8)10 9 (  n8)(n9)n14or23 5. Ans:11 C₁nC₂nC_nn (1 1) n C₀n 2n120002n 1 30002001 2 n 3001，取 n=11 6. Ans:(1) 2 28x 48x21 (2)3,9,3 (1) 8 8 [( 1) 1] x  x    所求餘式 8 8 8 2 2 0 1( 1) 2( 1) 28 48 21 C C x C x x x         (2) 13 13 13 13 13 2 13 3 4 0 1 2 3 11 (1 10) C C 10C 10 C 10 10 t，其中 10 10 10 6 4 5 10 1010 tC C  C  4 4 293931 10 t 3931 10 (29 t)      1113 1 3930 10 (29 4 t)，所求 3,9,3 7. Ans:(1)20825 (2)1330 (3)8 (1) 2 2 C C₂3C₂4 C₂50  C₃3 C₂3C₂4 C₂50 C₃51=20825 (利用 1 1 1 n n n k k k C C _ C _ ) (2)原式= 2 0 C C₁3C₂4C₁₈20= 3 0 C C₁3C₂4C₁₈20= 21 18 1330 C  (3) 左式 2 1 (1 2)    n 3n 3280 2 1   n 8 8. Ans: 9 由題意 2 C₄n  3 C_nn_6  3 C₆n n9 9. Ans:3003 2 7 (x 2x1) 令 展開式中每一項由 7 個 2 (x 2x1)乘積中 2 ( x 取p個，-2x)取q個，1取r個 組成 7 , , (p,q,r)=(1,6,0)or(2,4,1)or(3,2,2)or(4,0,3) 2 8 p q r p q r p q     _     ， 非負整數 係數為 7 6 6 7 5 4 7 4 2 7 1 6( 2) 2 4( 2) 3 2( 2) 4 3003 C C  C C  C C  C  10.Ans:如下

第五章排列與組合 P66 第三單元 2/2 (1)左式= 1 1 n n C _ + n 1 n 2 n m n n n C  C  C  = 1 1 n m n C _  =右式(利用 1 1 1 n n n k k k C C _ C _ ) (2)C_kn (1x)n中 的係數，xk C_kn=C_{n k}n_ (1x)n中xn k的係數 2 2 0 ( ) (1 ) (1 ) ( ) =C n n n n n k n k n k n k C x x x x x   

_

   中  的係數 11.Ans:917 求式 7 5 12 7 (1 ) [(1 ) 1] (1 ) (1 ) (1 ) 1 x x x x x x           12 7 6 6 =C C 917 所求   (找分子為 6 x 的係數)

第五章排列與組合 p67~p69 試題觀摩 1/3 1. Ans:(C) ~ (5 ) (1 ) ~ (5 ) (4 ) (4 ) a b f a a b f a a a      種 種 種 非 種 非 種  5 (1 5 4 4) 105    2. Ans:(D) 4 3 1 4 3 1 5 520 111 5 C C      共 3. Ans:(A)(B)(C)(E)

(A)二項式定理 (B)由(A)x 1代入 2m C_nm(m 項和 第 項) (C)(D)(E)由圖可知 1 > m

4. Ans:(A)(B)(C)(D) (A) 51 51 C 1 a   (B) 51 1 50 1 51 bxC C x x (C) 2 51 1 2 2 50 1( ) 51 cx C C x   x (D) 102 51 2 51 102 51( ) dx C x  x 5. Ans:(A)(C)(D) 10 10 10 10 2 10 3 10 10 1 2 3 10 0.98 (1 0.02)  1 C 0.02C (0.02) C (0.02) C (0.02) 1 0.2 0.0180.000960.81704  6. Ans:(1) 8610 (2)8193 (1) 3 3 3 2 2 2 4 5 6( ) 4 5 6( )=8610 H H H 全部 H H H 甲沒有 (2) 用排容 3 3 3 3 2 2 2 3 1 1 1 4 5 6( ) 1 4 5 6+C2 4 5 6=8193 H H H 全部 C H H H H H H 7. Ans:(1) 100 (2) 40 (1) 6 5 3( ) 2(0 ) 100 P 全部 P 為首  (2) 0,3 1,4 2,5 每組各選一個 2 2 2 2 2 1 1 1 3! 1 1 2!(0 )=40 C C C  C C  為首 8. Ans:672 10 8 3 3!( ) 1 3!( )=672 C  全部 C  甲乙同時選上 9. Ans:4 如右圖 ₃ 2 :1 1 1 4 : 1 1 A P Q B A R S B C           共 種 10.Ans:252 7 3 2 3 C 2!C 3!252 11.Ans:(1) 120 (2)56 (1) 10 3 120 C  (2) 8 3 56 C  (7 節不吸菸車廂有 8 個空格，取 3 個) 12.Ans:48

第五章排列與組合 p67~p69 試題觀摩 2/3 17 2 2 2 2 2 2 1,16,0 , , ( ) 3! 2! 2! 1 4,4,9 , , ( ) (3! 2!) 2! 2! 2! x y z x y z          分給 取正負 分給 取正負 共 48 13.Ans:9 1 1 2 2 (2 1 2 2) 6 9                               紅 綠 紅 綠 紅 紅 紅 有 種 ， 有 種 ， 有 種 共 種 紅 紅 紅 紅 紅 紅 紅 綠 14.Ans:2520 8 6 4 2 2 2 2 2 4! 4! 2520 C C C C    15.Ans:141 令最少x票，則x985 6 ( x 全部前 6 名和)x140，取x141 16.Ans: 1 2n n 11 ! ( 1)! ! ( )! ( 1)![( 1) ( 1)]! n n k k n n k C k n C k n k k n k                1 1 1 1 1 0 1 1 = (n Cn Cn C_nn_) n (1 1)n 2n n 求式        17.Ans:(1)98 (2)450 (1) 15 3 4 2 2(3 )+1 2(4 )+1=98 C C 點共線 C 點共線 (2) 15 3 4 3 3(3 ) 3(4 )=450 C C 點共線 C 點共線 18.(1) BC (2)E (3)AB (4)D (1)(2) 6! 60 6, 0 (3! 2! 1!)   a b (3)(4)分類討論 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 :C 4! 3! 8 2 2 :C 4! (2! 2!) 6 2 2 :C 4! 2! 24 C C             同一異 同 同 同 異 共 38 3 8 c d       19.Ans:(1)ABE (2)CD (1)分 6 類討論個數如圖上數字  a 6，N 44 (2) 分 7 類討論，每類都是 6 個  c 7，M42 20.Ans:(A)(B) (A)每邊兩種選擇，共 8 個 (B)此 8 個有 2 個正三角形，6 個直角三角形 21.Ans:(1) E (2)C (3)BC (4)E

第五章排列與組合 p67~p69 試題觀摩 3/3 (1)N 13 6 N  有S C 種 (2)(3)(4) 13 5 8 9 4 10 6 2 4 4 2 6 C (全部)C C (過A)C C (過B) C 1(過C)+ 5 4 4 2 2 2 C C C (過 與A B) 5 5 2 4 +C C  過 與1( A C)+0(過 與B C)  過A與 與 )0( B C =460 22.Ans:BCE N 3! 5! 720