高中職及五專免試入學採計國中在校學科分數加權機制之研究 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士學位論文. ‧ 國. 學. 政治大立高中職及五專免試入學採計國中在校學科分數加權機制之研究 ‧. A study of adopting weighting schemes on academic performance in school as an access for senior high schools and junior colleges without entrance examinations. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 碩專班學生：戴岑熹. 撰. 指導教授：宋傳欽博士指導教授：譚克平博士中華民國一百年一月二十三日.

(2) 謝辭. 這份論文是我研究生涯的起點，一路心血投入與智慧累積之初作。其中仍有不盡善完美之處,還望各路先進指教。我由衷的感謝一路啟發教導我的恩師宋傳欽教授與引導指導我的譚克平教授，老師們循循善誘與嚴謹鍥而不捨的治學精神，對我的影響與成長頗巨，是我日後學習的最佳典範。再者，謝謝熱心指導協助我的劉明郎教授、一路鼎力相助並給予寶貴意見的天財學長、我的好友易佑，以及所有給我鼓勵與協助我幫助我的朋友。另外，我很幸運的擁有全力支持與包容我的太太與家人，使我在篳路藍縷一路走來倍感溫暖與力量,並祈願以此份論文為始，在未來能繼續為學術與實際教育現場奉獻心力。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 國立政治大學應用數學系數學教學碩士專班戴岑熹中華民國一百年一月二十三日. i.

(3) 中文摘要國中基測實施迄今已十年，但是各種多元管道仍以國中基測量尺分數作為分發篩選之重要參據，多元能力評量參採比重偏低，國中學生升學競爭壓力未得緩解。本研究透過數學與統計分析的工具，尋找採用學生在校成績的方法，希望能找出更好的方式來代表學生在校三年的學習現況與學習成果，以做為免試升學採計在校成績的參考與依據。本研究主要目的是要探討如何取決各科在校成績的權重(也就是在每個科目的分數之前乘上一個加權比重係數)，以求得一個新的合成變量(由數個科目分數組成的線性組合)，並用這個新合成變量做為學生在校的“綜合學科能力表現分數”，代表學生在校三年的基本學習能力及程度。研究方法運用主成份分析與典型相關分析的觀念，但因限制條件設定的範圍與傳統主成分分析及典型相關分析的要求不一致，因此，我們便將所用的研究方法命名為「類主成分分析」與「類典型相關分析」。. 政治大. 研究中，方法主要在比較「類主成分分析」、「主成分分析」、「類典型相關分析」、以及「典型相關分析」四種方法與一般學校常用的「等加權比重」算平均成績的方法之分別；了解這些不同加權機制對同一所學校內學生的學科加權平均分數之成績排名百分比結果，以及與基測排名結果的差異。. 立. ‧ 國. 學. ‧. 「類主成份分析」研究結果發現，各科學科成績中變異數大的科目將獲得較大的權重比例，成為主導學生加權平均成績中舉足輕重的科目。另外；運用「類典型相關分析法」所求得的典型相關係數，其結果與傳統典型相關分析法以及使用最佳數值分析軟體(GAMS)所得的典型相關係數完全相同。. Nat. y. sit. n. al. er. io. 本研究最重要的貢獻之一，是我們在「類典型相關分析法」中證明並推導出一個求得各科權重的公式，只要使用此公式代入簡單的MATLAB程式，其所得的權重結果與最佳化數值分析軟體(GAMS)所得的結果完全相同，但花費的計算時間及成本卻遠少於GAMS所需，是一個求權重極便捷的方法，讀者可以在本論文附錄7.5.2或政大應數系網站上下載此程式。本研究最後結論也發現，類主成份分析的變異解釋率是所有方法中較高的；與基測總分結果較相近的則是類典型相關分析所得的權重機制；而等加權方法所得的排名結果則與基測排名結果差異最小。. Ch. engchi. i n U. v. 關鍵詞:學生綜合學科能力表現分數、在校成績、等加權重、類主成分分析、類典型相關分析。. ii.

(4) Abstract The BCTEST (Basic Competence Test) for junior high school students has been implemented for ten years, however, the screenings for a variety of entrance programs are still based on the scale scores of the BCTEST with a low proportion of multiintelligence. Hence, the competitive entrance pressure for junior high school students remains un-relieved. In view of this, via mathematics and statistics, this study is to explore an alternative approach which can not only reflect students’ in-school grade, their learning situations and achievements but also represent a reference for entering senior high schools and junior colleges without entrance examinations. The purpose of this study is to determine the different weightings of five learning subjects (that is, multiply the score of each subject by a weighted coefficient) and acquire a new composite variable from the linear combinations of five learning subjects. Then, use this new composite variable as the synthetic score of students’ in-school academic performance.. 政治大 Principal Component Analysis and Canonical Correlation Analysis are used in 立 restraints, the other two approaches we use are based this study. Due to inconsistent. ‧ 國. 學. on the concept of previously mentioned methodologies and denominated Principal Component Type of Analysis and Canonical Correlation Type of Analysis.. ‧. In the study, we compare with the different results of Principal Component Analysis, Principal Component Type of Analysis, Canonical Correlation Analysis, Canonical Correlation Type of Analysis and identical weighted method to realize how these different weighted schemes affect the rankings of students from the same school on both their weighted in-school grade and scores of the BCTEST (Basic Competence Test).. er. io. sit. y. Nat. al. v. n. The outcomes of Principal Component Type of Analysis show that subjects with greater variance acquire larger weightings and play a dominant role in weighted inschool grade. Moreover, the correlation coefficients of Canonical Correlation Type of Analysis are completely the same as the ones of Canonical Correlation Analysis and GAMS.. Ch. engchi. i n U. One of the most important contributions in this study is we have proven and derived a formula to acquire different weightings of five learning subjects by using Canonical Correlation Type of Analysis. The acquired weightings are completely the same as the ones of GAMS with less time consuming. Readers can download this program in appendix 7.5.2 or from the website of Department of Mathematical Sciences, National Chengchi University(NCCU). We have also found that, the explanation rate of variance obtained from Principal Component Type of Analysis is the highest; the weighted scheme of Canonical Correlation Type of Analysis is more similar to the scores of the BCTEST; the difference of the rankings between identical weighted method and the BCTEST is the smallest. KEY WORDS：the synthetic scores of students’ in-school academic performance, in-school grade, identical weighted method, Principal Component Type of Analysis, Canonical Correlation Type of Analysis.. iii.

(5) 目錄謝辭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i. 中文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii. 政治大 .......................................................... 立. Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii. 目錄. iv. ‧ 國. 學. 表目錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii 圖目錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1. 1.1 研究動機 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. ‧. 第一章緒論 ........................................................................................................... y. Nat. 1.1.2. 「擴大高中職及五專免試入學實施方案」政策形成分析 . . . . . . . . .. n. al. er. sit. 前言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. io. 1.1.1. Ch. i n U. v. 1 2. 1.2 研究目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. engchi. 1.2.1. 社會各界的需求與期待:如何確保採計在校學習表現之公平性 . . . . . 11. 1.2.2. 個人的理念與目標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 1.3 研究問題及研究方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1. 研究問題及條件分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 1.3.2. 研究方法步驟概述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 1.4 研究對象及研究限制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1. 研究對象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 1.4.2. 研究限制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 1.5 研究流程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. iv.

(6) 1.6 專有名詞解釋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.1. 加權機制( weighting scheme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 1.6.2. 加權比重(weighted) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 1.6.3. 加權平均數(weighted mean) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.6.4. 等加權比重(identical weighted) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.6.5. 類主成分分析(Principal Component Type of Analysis) . . . . . . . 20. 1.6.6. 類典型相關分析(Canonical Correlation Type of Analysis) . . . . . 21. 1.6.7. 十二年國民基本教育(Twelve-year Public Education) . . . . . . . . . 21. 1.6.8 高中及高職多元入學方案(multiple-phased entrance program of senior high school and senior vocational school) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 學習領域成績(average grade point) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 學. 1.6.10. ‧ 國. 1.6.9. 政治大基本學力測驗量尺分數總分(scaled scores) 立. 1.6.11 學生綜合學科能力表現分數(the synthetic scores of students’ in-school academic performance) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 在校學習表現(performance in school ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 在校成績(school grade) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 1.6.15. 申請入學(college admissions through application) . . . . . . . . . . 24. 1.6.16. . . . . 25. sit. y. 1.6.14. Nat. 1.6.13. ‧. 1.6.12. io. er. 形成性評量(formative evaluation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. al. n. v i n C hto school withoutUentrance examination) 免試入學(access engchi. 第二章文獻探討 ................................................................................................... 27 2.1 主成份分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1. 前言: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 2.1.2. 理論的基本假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 2.2 典型相關分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Lagrange Multiplier Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 第三章類主成分分析............................................................................................. 41 3.1 類主成分分析理論的基本假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1. 未標準化原始資料的理論假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. v.

(7) 3.1.2. 標準化資料的理論假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. 3.1.3. 共變異矩陣與相關係數矩陣之關係探討 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. 3.2 類主成分分析中各學科最佳權重的探討與推導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 實例的分析與結論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.1. 類主成份分析法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. 3.3.2. 等加權法對學生在校學科綜合能力表現的分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 3.3.3. 傳統主成分分析法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. 3.4 相關係數矩陣在類主成份分析的問題探討 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 類主成份分析之結果歸納 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. 政治大. 第四章類典型相關分析 ......................................................................................... 81. 立. 4.1 類典型相關分析理論的基本假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. ‧ 國. 學. 4.2 類典型相關分析各學科最佳權重的探討與推導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 類典型相關分析對於原始資料與標準化資料之影響探討 . . . . . . . . . . . . . . 90 原始資料與標準化資料對相關係數之影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 原始資料與標準化資料之權重間的關係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. sit. y. Nat. 4.3.2. ‧. 4.3.1. io. er. 4.4 實例的分析與結論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4.1. 類典型相關分析公式解之實例分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96. 4.4.2. GAMS程式求最佳解之實例分析. 4.4.3. 傳統典型相關分析之實例分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106. n. al. Ch. engchi. v i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 U. 第五章結果與討論 ................................................................................................ 110 5.1 學生綜合學科能力表現分數不同權重取決方法結果比較 . . . . . . . . . . . . . .110 5.1.1. 各種學生綜合學科能力表現分數之變異數與變異解釋率 . . . . . . . . .114. 5.1.2. 各種學生綜合學科能力表現分數與基測量尺總分之相關係數 . . . . . .118. 5.2 各種學生綜合學科能力表現分數排名的差異比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 5.2.1. 前50％的學生排名與基測總分排名的吻和度係數 . . . . . . . . . . . . . . .123. 5.2.2. 前50％的學生排名與基測總分排名差距的總和 . . . . . . . . . . . . . . . .127. vi.

(8) 第六章總結 .......................................................................................................... 132 參考文獻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vii. i n U. v.

(9) 表目錄. 3.1. 比較圖3.1與圖3.2之不同可行解區域最佳解、變異解釋率E . . . . . . . .. 55. 3.2. 學生綜合學科能力表現分數A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 3.3. 學生綜合學科能力表現分數A1 之結果整理表 . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 3.4. 學生綜合學科能力表現分數A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 3.5. 學生綜合學科能力表現分數A2 之結果整理表 . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 3.6. 學生綜合學科能力表現分數A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 3.7. 學生綜合學科能力表現分數A3 之結果整理表 . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 3.8. 學生綜合學科能力表現分數A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 3.9. 學生綜合學科能力表現分數A4 之結果整理表 . . . . . . . . . . . . . . . .. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. er. io. sit. y. Nat. 3.10 原始資料主成份分析之特徵值與特徵向量結果一覽表 . . . . . . . . . . .. n. al. i n U. v. 71 74. 3.11 學生綜合學科能力表現分數A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 3.12 學生綜合學科能力表現分數A5 之結果整理表 . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 3.13 標準化資料不同權重變異解釋率結果比較表 . . . . . . . . . . . . . . . .. 76. 3.14 學生綜合學科能力表現A1 、A2 、A3 、A4 、A5 、Z1 、Z2 之結果整理比較表. 80. Ch. engchi. 4.1. 國文、英文、數學、自然、社會五科在校成績標準化分數研究分析所需數據 97. 4.2. 學生綜合學科能力表現分數Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99. 4.3. 學生綜合學科能力表現分數Z3 之結果整理表 . . . . . . . . . . . . . . . .. 99. 4.4. 國文、英文、數學、社會、自然五科在校成績原始分數研究分析所需數據 . 101. 4.5. 學生綜合學科能力表現分數A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 4.6. 學生綜合學科能力表現分數A6 之結果整理表 . . . . . . . . . . . . . . . . 103. viii.

(10) 4.7. 相關係數ˆ ρ(A6 , y)與ˆ ρ(A7 , y)比較表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. 4.8. 標準化資料典型相關分析之特徵值與特徵向量結果一覽表 . . . . . . . . . 107. 5.1. 各種學生綜合學科能力表現分數之結果整理表一 . . . . . . . . . . . . . . 110. 5.2. 學生綜合學科能力表現分數之結果整理表二 . . . . . . . . . . . . . . . . 113. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ix. i n U. v.

(11) 圖目錄. 1.1. 擴大免試入學和多元入學管道關聯圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. 高中職及五專入學管道示意圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3. 政治大. 5. 研究流程圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.1. 主成分分析不同方位三樹觀察說明圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2.2. 主成分分析不同方位三樹變異關係說明圖 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2.3. 主成分理論說明圖一 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 2.4. 主成分理論說明圖二 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.1. 限制式1與限制式2所規劃出的可行區域 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 3.2. 限制式3與限制式4所規劃出的可行區域 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 5.1. 114. 5.2. v i n Ch 學生綜合學科能力表現分數的變異數比較圖表1 . . . . . . . . . . . . . . engchi U 學生綜合學科能力表現分數的變異數比較圖表2 . . . . . . . . . . . . . .. 5.3. 學生綜合學科能力表現分數變異解釋率趨勢圖 . . . . . . . . . . . . . . . 115. 5.4. 類主成份分析與主成份分析之學生綜合學科能力表現分數的加權和與基測量尺總分的相關係數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. 5.5. 類典型相關分析與典型相關分析之學生綜合學科能力表現分數的加權和與基測量尺總分的相關係數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119. 5.6. 各種學生綜合學科能力表現分數的加權和與基測量尺分數總分的相關係數比較圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119. 5.7. 各種學生綜合學科能力表現分數的加權和與基測量尺分數總分的相關係數及變異解釋率比較圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120. 5.8. 學生綜合學科能力表現分數加權和與各科目分數相關係數比較圖 . . . . . 122. 立. ‧. ‧ 國. 學. er. io. sit. y. Nat. n. al. x. 30. 115.

(12) 5.9. 基本學力測驗總分排名第1v10名學生與綜合分數A1、A5排名之名次吻合人數比較圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. 5.10 前50％的五個等第學生排名與基測總量尺分數排名吻合度係數比較表 . . . 125 5.11 前50％的五個等第學生排名與基測總量尺分數排名吻合度係數比較趨勢圖. 126. 5.12 前50％學生各種方式排名與基測總量尺總分排名的名次總差距平均值比較圖 128 5.13 所有學生各種方式排名與基測總量尺總分排名的名次總差距平均值比較圖 . 129 5.14 所有學生各種方式排名與基測總量尺總分排名的名次總差距平均值比較圖 . 130 5.15 所有學生各種方式排名與基測總量尺總分排名的名次總差距均值和變異解釋率比較圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. xi. i n U. v.

(13) 第一章. 緒論. 本章共分為六節，第一節為研究動機;第二節為與研究目的；第三節為研究問題及研究方法；第四節為研究對象與研究限制；第五節為研究流程;第六節為專有名詞解釋。. 立. 研究動機前言. 學. 1.1.1. ‧. ‧ 國. 1.1. 政治大. 近年來，全球化及資訊化蔚為風潮，知識經濟的聲浪高聳入雲，各國因而面臨人力素. y. Nat. sit. 質提升之迫切性需求，各國無不加強教育投資，以迎接日益競爭的國際社會，台灣亦然。. n. al. er. io. 隨著國家經濟發展的進度，國民接受基本教育的年限逐漸延長，這是世界先進國家普遍. i n U. v. 的教育政策。在教育發展的軌跡中，平等的全民教育觀逐漸取代了卓越的精英教育觀，. Ch. engchi. 從「基礎教育全民化」(basic education for all)演變到「中等教育全民化」(secondary education for all)，進而轉換到「高等教育全民化」(higher education for all)，目前再發展到「終身教育全民化」(lifelong education for all)，這是教育制度之發展趨勢(張鈿富，1998)。從先進國家的經驗了解，延長國教已是時勢所趨，而在知識經濟的時代，國民教育程度越高，國家社會將越發展，國中畢業的知識程度已不太符合未來不斷高科技化的就業市場需求。以客觀條件而言，我國後期中等教育的機構已經具備足夠的容量以延長國民教育年限。根據98學年度教育部統計資料，我國後期中等學校，包括普通高中、高職、綜合高. 1.

(14) 中職、完全中學及五專等學校類型，總校數已達公私立共486所，於93學年進入後期中等學校粗在學率已達同年齡層的96.5％，已達「普及化」的程度(教育部，2005)，預估未來就學率仍會繼續提升，這表示絕大部分國中畢業生均能繼續接受後期中等教育。(楊思偉，2006) 然而，長年來因為聯考制度的實行，造成台灣中學教育的問題，考試領導教學，莘莘學子背負沈重的升學壓力，故教育部在1995年中華民國教育報告書中揭示:「改進高中入學制度，建立多元入學管道」，並於1998年7月發布<高級中學多元入學方案>，同. 政治大職與五專三管道成為「高中職及五專多元入學方案」，並透過「國民中學基本學力測驗」立. 年9月發布<高級職業學校多元入學方案>。自90學年度起廢除了聯考制度，合併高中高. ‧ 國. 學. 作為入學門檻，以期解決沉痾許久之教育問題，引導國民中學教育轉向注重學生學習潛能之啟發與多元適性之發展。(教育部，2009). ‧. 而多元入學實施至今近十年，各項實證研究均顯示，各種多元入學管道仍以國中基測. y. Nat. sit. 量尺分數做為分發篩選之重要參據，多元能力評量參採比重偏低(周愚文，2010)。中等教. n. al. er. io. 育機會不均等的問題更形嚴重，補習班數量倍增且形式更多元，學生的升學壓力不但未減. Ch. i n U. v. 輕反而更加沈重。教育部基於提升國民素質及國家競爭力、舒緩升學壓力並導引國中正常. engchi. 教學、照顧弱勢學生以促進教育機會均等目標，乃自民國九十二年起積極規劃十二年國民基本教育。然而此一政策的規劃與執行，是學制上的一大突破，必須相當謹慎，故教育部擬採階段性漸進步驟推動，「十二年國民基本教育先導計畫」共包括13項子計畫與23項方案(請參考附錄7.1.1，取自:教育部網站)。並先以「擴大高中職及五專免試入學實施方案」來銜接十二年國民基本教育。 (郭添財;周憲章,臺灣教育661期(2010/02)). 1.1.2. 「擴大高中職及五專免試入學實施方案」政策形成分析. 基於實現教育機會均等與追求教學卓越之理念，給予每位學生同等的關懷與尊重，以. 2.

(15) 實現有教無類與因材施教的教育理想，教育部積極規劃「十二年國民基本教育」，提出子計畫4「調整高中職入學方式」(請參考附錄7.1.2)，在即有多元入學方案基礎下，「擴大高中職及五專免試入學實施方案」，其以逐步擴大推動免試入學比率，調整高中職及五專入學方式，以奠定未來實施十二年國民基本教育之重要核心基礎，其中擴大免試入學和多元入學管道關聯圖如下圖1.1。(教育部，2010) 圖 1.1: 擴大免試入學和多元入學管道關聯圖. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. (摘自教育部:十二年國民基本教育網站，2010). i n U. v. 接下來我們針對擴大免試升學的想法，做一些歸納整理如下: 1. 對升學制度改革基本思路. 目前國中學生壓力來源之一，是由於第一次基測考完之後，至多只有40％的學生能透過申請入學的管道入學，其餘60％的學生勢必要參加第二次基測，但此種結構上的問題，與原本設計第二次國中基測的原意有違。如果能提高第一次考試後申請入學的比率，則可釜底抽薪有效降低二次應考人數。因此改革思路如下:. 3.

(16) (一) 在多元入學架構下，第一年前半期建議修改高中及高職多元入學方案，擴大第一次考試後申請入學比率，由原本高中招生名額的40％上限，改為下限，以減少第二次基測人數。 (二) 在前述基礎下，第一年後半期，則進一步擴大免試入學比率，再減低參加第一次與第二次基測人數，實質紓緩升學競爭，再逐步以免試取代基測考試。(周愚文，2010) 2. 申請入學與免試升學比例逐年提升. 政治大於99學年的免試入學方案中，國中學生以社區高中職為主要入學學校，不用參加國中立. ‧ 國. 學. 基本學力測驗，只憑國中三學年前五學期學業成績百分比的評比或在校他項表現(如：日常生活表現、服務學習，以及藝術與人文、健康與體育、綜合活動等三大領域成績，另如. ‧. 體適能檢測、各級各類比賽等校內外特殊表現)，即可入學高中職學校。(99學年度高中高. er. io. sit. y. Nat. 職聯合免試入學招生說明). 101學年度起，公私立高中職及五專升學管道主要分為免試入學及考試入學兩種，其. al. n. 比率如下：. Ch. engchi. i n U. v. (1) 公立高中：免試入學名額占核定招生名額的40％以上為原則，餘為考試入學。 (2) 公立高職：免試入學名額占核定招生名額的60％以上為原則，餘為考試入學。 (3) 各公私立五專及私立高中職：免試入學名額以核定招生名額的70％以上為原則，餘為考試入學名額。(中等教育司【新聞發布】，2010/02/23). 4.

(17) 3. 國中畢業生升學管道的總圖像. 99學年度至100學年度為免試入學第一期程「宣導推動期」，各招生區先辦理免試入學，其次辦理申請入學及甄選入學，最後辦理登記分發入學。在「宣導推動期」各高中職及五專提供免試入學的招生比率將逐年提升，申請入學、甄選入學及登記分發入學的招生比率將逐年降低。101學年度起為第二期程「擴大辦理期」，國中畢業生以免試入學及考試入學兩階段方式進入高中職及五專就學。後續配合十二年國民基本教育之實施，進入第三期程之「全面實施期」，大多數學生皆免試入學。各期程所推動之高中職及五專入學管道示意圖如下圖1.2所示。. 立. 政治大. 圖 1.2: 高中職及五專入學管道示意圖. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. (摘自中等教育司:修正擴大高中職及專免試入學實施方案各界關心議題問與答) 4. 免試入學的目的. (一) 就近入學，降低社會成本。讓學生就讀自己居住地點附近的高中職，可免浪費體力及教育成本，一方面節省社會成本，另一方面也可促進地區均衡發展。(楊思. 5.

(18) 偉，2006) (二) 發展學校辦學特色，提供學生適性學習機會。降低明星學校效應，回復升學正確價值觀，培養在地所需人才。(賴幸妮，2010) (三) 減輕升學壓力，展現各項能力。免試升學方案中「國中薦送模式」主要將以社區關聯、性向探索、學生志願次序或在學各項學習表現等若干項目，薦送學生至高中職或五專；「學生申請模式」也有提供特殊才能或競賽成績優異之學生免試入學的辦法。(教育部，2009). 政治大. (四) 發揮教師教學專業能力，提高教育品質。. 立. ‧ 國. 學. (五) 全面關照不同地區學生，體現教育機會均等的社會正義。 5. 第99學學年度免試入學在校成績採計方式概述. ‧ sit. y. Nat. 教育部表示，採計在校學習表現僅是擴大高中職及五專免試入學實施方案的一項配套. n. al. er. io. 措施，並非是必然要採行的方式，在國中薦送及學生申請模式，當申請人數超過招生名額. i n U. v. 時，才需採計在校表現。採計在校成績的方式可參考「99學年度採計在校學習表現辦理原. Ch. engchi. 則」與「臺北縣新北星99學年度辦理學生免試升學在校表現採計規準」(參考附錄7.2)。那麼，每位國中學生都可以報名招生區中任何一所高中職學校的免試入學嗎？以台北縣的學生為例，台北縣新北星〈99學年度〉推動高中職免試入學方案釋疑如下:. (一) 「國中薦送」模式: (1) 報名「公立高中」學校：須三學年前五學期學業成績總平均達全校前20％者。 (2) 報名「公立高職」學校：須三學年前五學期學業成績總平均達全校前35％者。 (3) 報名「私立高中職」學校：須三學年前五學期學業成績總平均達全校前50％者或皆可報名(由高中職學校決定)。. 6.

(19) (二) 「學生申請」模式：各高中職學校得參採國中學生在校表現，決定報名的條件。 (臺北縣新北星99學年度推動高中職免試入學方案〈Q and A〉) 6. 在校成績採計的潛在問題. 在校成績採計的潛在問題，發生在報名人數超過入取人數時，須進行超額處理。在不考慮進行抽籤的情況下，幾乎所有學校都採用「將所有報名學生依其前五學期(或國二整學年與國三上學期，共三學期)學業成績之校內百分等級進行排序，入取百分等級較高者」之排名制。如此採計的方法，將可能有幾項問題，根據過去專家與學者對於. 治政在校成績採計的觀點，可能造成的問題歸納如下:(丁亞雯、何耀彰、賈紅鶯、楊世瑞、大立張佩玉，1995；林昭賢，1995；郭生玉，1995；許志銘，1989；曾憲政，1995；楊百 ‧ 國. 學. 世，1996；楊朝祥，2002；鄭丁旺，1997). ‧. (一) 教師評分公平性的問題:授課教師進行成績評量是否能設計出公正客觀的評量工具 ?. y. Nat. er. io. sit. 再者，每位教師關心重點不同，評分嚴苛程度亦不同，很難互相比較或等化。且教師可能受到家長或學校壓力而影響其評分的公正性。(丁亞雯、何耀彰、賈紅鶯、楊. n. al. 世瑞、張佩玉，1995). Ch. engchi. i n U. v. (二) 各校學生能力水準不一致的問題:採計在校成績時通常需要計算學生在校內的成績排名，是屬於常模參照(normreference)的評量方式。當各校在校成績具有相同評量標準時，可推論甲校百分等級較高的學生，會比乙校百分等級較低的學生來得好。然而現實中各校評量標準不一，在沒有其他成績調整機制介入的情況之下，各校的成績不宜貿然進行比較。(宋耀廷、周業太、吳佩嶼、林秀珊、曾芬蘭，2010) (三) 在校成績採計比重的問題:採計成績的比重包含幾個層面的問題；例如:在校成績列入升學採計時所佔的比重有多高、在校成績中各個學科或學習領域所佔的比重或採. 7.

(20) 計條件等等。目前這方面問題，多是以各縣市或各學校在入學管道中，經各方溝通或達到共識自行決定，目前也沒有任何學理上的依據。(郭生玉，1995) (四) 採計在校成績對學生學習的影響:升學中一旦採計在校成績，學生就需要在每個學習階段都認真學習以獲得好成績，否則就無法進入理想學校就讀，易使學生在學校的學習階段產生壓力。 7. 北縣新北星 99學學年度辦理學生免試升學國中薦送模式評選方式. 政治大式，以臺北縣新北星99學年度辦理學生免試升學的成績採計規準：各國中得採計學生在校立. 以本研究資料來源之台北縣某國中為例，其校內所規定採用之國中薦送模式的評選方. 如下。. ‧. ‧ 國. 學. 定期評量成績作為國中薦送模式之評選方式，其採計學習領域別、成績別及成績計算方式. sit. y. Nat. (一) 採計學習領域別. n. al. er. io. (1) 語文領域(含國文及英語)、數學領域、社會領域、自然領域。. Ch. i n U. v. (2) 社會領域及自然領域如採分科教學，計算方式如下：. engchi. 各學期各科定期評量成績加總÷科目數＝各學期該領域定期評量成績 (二) 採計成績別：定期評量 (1) 依學生個人「各學期各次定期評量總平均」，採計各學期最高二次定期評量成績。 (2) 採計前五學期，共計十次定期評量成績。 (三) 台北縣「校務行政系統－免試入學作業模組」由各國中使用本縣「校務行政系統－免試入學作業模組」，依前二款規定計算學生個人成績資料:. 8.

(21) (1) 各領域學業成績總平均暨全校百分比 (a) 各學期各次定期評量總平均＝各次定期評量總分÷5 (b) 各學期各領域定期評量學期成績＝二次定期評量總分÷2 (c) 各領域學業成績總平均＝前五學期各領域定期評量學期成績總分÷5 (d) 各領域學業成績總平均全校百分比：依「各領域學業成績總平均」由高至低排列之；成績高者百分比越低，成績低者百分比越高。 (e) 成績計算以四捨五入方式算至小數點第二位。. 政治大. (2) 國中三學年前五學期學業成績總平均暨全校百分比。. 立. (a) 學業成績總平均＝前五學期各領域學業成績總平均總分÷5. ‧ 國. 學. (b) 學業成績總平均全校排名：依「學業成績總平均」由高至低排列之。. ‧. (c) 學業成績總平均全校百分比：依「學業成績總平均」由高至低排列之；成. sit. y. Nat. 績高者百分比越低，成績低者百分比越高。. io. al. er. (d) 成績計算以四捨五入方式算至小數點第二位。. v. n. (e) 學業成績總平均出現同分時，以「各領域學業成績總平均」順位排序之；. Ch. engchi. i n U. 各領域順位如下：國文、數學、英語、社會、自然。. 因此，「因地制宜」推動擴大免試入學，考量各地區教育生態不同，如果免試入學只以一種模式全國統一辦理，將無法符合各招生區的需求，因此賦予各區「因地制宜」及多元選擇的彈性。各招生區陸續於98年9月起啟動協調機制，經區內高中、高職校長、國中校長代表、家長代表及教師代表等就擴大免試入學辦理期程、模式及擴大免試入學名額比率進行充分溝通，選擇適宜的辦理模式。( 中等教育司【新聞發布】，2010/01/21 ) 針對99年第一年辦理的擴大免試入學，外界及許多家長關心如何採計在校學習表現的疑慮；以及無論是申請入學或免試升學，參採學生在校表現仍扮演某一比例的比重；所. 9.

(22) 以，要如何確保採計在校學習表現之公平性，是當務之課題。因此，想藉由本研究了解在校分數採計時，各領域學科權重取決可能的方式探討，使其更能符合且代表每位學生的在校學業學習結果，也能使採計分數的方式達到更客觀公平的目的。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 10. i n U. v.

(23) 研究目的. 1.2 1.2.1. 社會各界的需求與期待 :如如何確保採計在校學習表現之公平性. 網羅以上我國未來重要教育政策及十二年國教的走向，朝著擴大免試升學，並鼓勵優秀國中生就近升學的趨勢。我們了解到未來如何公平公正的採計學生在校的表現將是一個重要的研究課題。教育部從99年推行「擴大國中生免試申請入學方案」，並逐步提高「免試」及「基測申請」比率，預計到民國101年時，現行兩次基測可縮減為一次，8成學生都可以在校成績免試入學。(中等教育司【新聞發布】，2010/02/23). 政治大但推行免試入學最大爭議，在於必須採計國中生在校成績。所以要如何採計？採計哪立. ‧ 國. 學. 些科目及領域？都將是討論重點。. 免試升學採計在校成績時，學生在校內的成績排名百分比例，將影響其未來是否符合. ‧. 可以被薦送或申請的學校成績門檻。吾人希望藉由本研究，探討99學年國中畢業生參加擴. y. Nat. io. sit. 大免試升學中，一般學校皆採用的「等加權平均」的方式，來計算學生在校三學年前五學. n. al. er. 期學業成績總平均的採計方式，是否真能客觀呈現學生在校三年的學習表現，並透過其他. Ch. i n U. v. 方式，以數學理論配合統計分析的研究方法，研究採計各學科成績時，其各科權重比例取決之其他相關可能方法之比較。 1.2.2. engchi. 個人的理念與目標. 本人任教於國民中學，多年來教學的心得，也希望能教導學生學習獲得基本能力，培養啟迪其真正潛能，而非以準備三年後的升學測驗為其重心與最後目的，實現樂在教學與樂在學習的理想目標。定期評量分數雖不一定能完全代表學生基本能力學習成果，但它相對上仍不失為一個較公正公平的評量，而定期評量在教學評量中屬於形成性的評量，教師通常可藉由學生定期評量成績獲得教學歷程中連續性的回饋，隨時知道學生們學習情形，. 11.

(24) 並隨時檢視修正自己的教學策略(張春興,1996)。而且，從測量的觀點來看，多次測量對學生能力估計的精確度應該會比單次的測量效果好。在入學制度中不使用在校成績，對整個教育體系來說是相當大的浪費，而學校平時的評量就失去意義了(陳柏熹、邱佳民、曾芬蘭，2010)。吾人認為學生在校三年的日常學習表現，才是最能最真實呈現其各階段學習的狀態、努力過程與性向潛能等等，這些在學的平常表現可以呈現的訊息，其特性迥異於國中基本能力測驗，似乎學生三年來的在校平常表現可以透露並展現出更多的特質是更值得我們去研究與探討。. 政治大建議；因此，如果能找到一個不同於等加權平均方式的更好的方法運用在採用定期評量來立 99學年免試入學，為第一次舉辦的國中多元入學方式之一，各方面都尚需各界努力與. ‧ 國. 學. 代表學生學科能力表現，若方法得宜，不但能觀察到學生一個長期學科學習表現成果，客觀呈現出學生在這一階段中的學習能力程度，也能展現學校平時評量的作用，朝著落實國. Nat. n. al. er. io. sit. y. ‧. 中教學正常化，使每位學生能朝多元適性發展的理想目標邁進。. Ch. engchi. 12. i n U. v.

(25) 研究問題及研究方法. 1.3 1.3.1. 研究問題及條件分析. 研究條件分析. (一) 我們了解到台北縣國中學生免試升學計算在校成績的方式後，本研究先不考慮免試升學時，劃分學區中各校的評分標準與評量方式不一的問題；研究將只立足在探討比較同一所學校中的所有學生採計在校學業成績時，各領域學科的採計權重取決方. 政治大. 式，並嘗試尋找可能更佳的權重取決方式，藉以更能代表一個學生的在校成績。. 立. ‧ 國. 學. (二) 為避免教師評分很難互相比較或等化的問題，所以本研究所運用的資料來源，即為台北縣某國中，採用臺北縣新北星99學年度辦理學生免試升學國中薦送模式之評選. ‧. 方式，由國中端使用台北縣「校務行政系統－免試入學作業模組」所計算之學生個. sit. y. Nat. 人成績資料為學生在校成績之參考，採用每位學生三學年五學期15次定期評量，共. io. al. n. 成績，代表學生的在校學科成績做採計權重之研究。. Ch. engchi. er. 計國文、英文、數學、自然、社會五科成績，擇個人表現較優之10次定期評量平均. i n U. v. (三) 本研究主要以國文、英文、數學、自然、社會五個學科為研究根據，暫時未將藝術與人文、健康與體育、綜合活動三大學習領域考慮進來，主因是此三個領域科目，目前尚無法排除教師評分標準的問題。. 研究問題: 立足於上面研究問題的條件下，本研究之目標如下:. (一) 研究採計同一所學校學生的在校成績時，藉由成績資料的分數本身所透露的訊息，使用多變量分析的研究方法，探討五個學科分數可能獲得的權重大小；也就是研究. 13.

(26) “國中在校學科成績加權比重採計方法之機制與策略”，找出學理上的依據，建立五個科目的最佳的權重取決模式。 (二) 以台北縣某國中應屆畢業生為研究的對象，並以這些學生在99學年度免試入學時所採計的在校成績，做為研究資料，探討除新北星所使用的等加權採計方式以外，可能的其他各科權重採計方法，並做比較。 (三) 了解不同加權機制所求得之學生在校綜合能力分數(即各科學業分數之加權和)排名次序，並比較其與基本學力測驗總分結果的排名次序之差異大小。. 1.3.2. 研究方法步驟概述. 立. 政治大. ‧ 國. 學. (一一)經經由學科分數的線性組合建立新變數 :. ‧. 希望能透過研究，分析可能有更佳的成績計算權重取決的方式；使用不同的研究方法找出各科權重，將這五科乘上權重後的加權和所形成的五個學科的線性組合，代表一個. y. Nat. er. io. sit. 學生的“綜合學科學習能力表現”。譬如像是A=0.2國語+0.25數學+0.15英文+0.23自然+0.17社會的式子，則新變數A便可代表一個學生的“綜合學科能力表現分數”。. n. al. Ch. engchi. (二二)權權重求得方式的理論與學理探討 :. i n U. v. 本研究運用主成份分析與典型相關分析的方法，希望使用加權比重的概念(也就是加權總和為1，每科的權數不必完全相同，不可為負，也不能全部為零)，去探求或建立一個求得最佳權重係數的方式。因為所用的方法類似主成分分析與典型相關分析，但條件設定的範圍與限制卻與傳統主成分分析與典型相關分析的要求不一致，所以我們的研究中，便將所用的研究方法命名為「類主成分分析」與「類典型相關分析」。. 14.

(27) (三三)研研究結果歸納與分析方式 :. 將各種不同的權重所得的結果，與傳統等加權的成績計算法做比較，並經由“綜合學科能力學習表現分數”了解每個學生的學習表現程度，並透過不同研究方法的權重呈現結果，比較同一所學校內的排名百分比差異。最後再了解乘上權重之後所得到的學生綜合學科能力表現分數，研究其中與每位學生基測的結果之間的關聯度。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 15. i n U. v.

(28) 研究對象及研究限制. 1.4 1.4.1. 研究對象. 本研究的對象是台北縣某國中學生，一般應屆國中畢業學生，並擁有三個學年五個學期，各學期至少五個學科二次定期評量成績。採用參加臺北縣新北星99學年度辦理學生免試升學國中薦送模式評選方式，由國中端使用台北縣「校務行政系統－免試入學作業模組」所計算之學生個人成績資料為學生在校成績之參考。. 1.4.2. 研究限制. 立. 政治大. (一) 多元入學的精神是希望可以多元適性發展的方向去培養學生學習的能力，所以本研. ‧ 國. 學. 究的重點，主要仍放在國文、英文、數學、自然、社會等學科上面，資料的來源亦. ‧. 為學生在校學科的定期評量成績，對於學科以外的領域科目，尚未能取得客觀公平. sit. y. Nat. 的成績，為求更多元的評估學生真正全方位的基本能力，對於在校學生成績資料的. io. n. al. er. 取得，可視研究的需求去補足或改進。. i n U. v. (二) 本研究的資料來源，是學生在校五學期15次定期評量成績中，取各學期較好. Ch. engchi. 的2次，五學期共較優10次定期評量成績的平均；但是，為了避免學生因任何不定因素表現失常，或是可能因為出題老師出題過簡單或困難的非系統誤差的干擾，因此，在做統計分析上，我認為較佳的資料來源，若能去掉頭尾表現較極端的幾次成績，來取代用較優的十次成績做分析，吾人認為將可提高資料分析結果的代表性。 (三) 第四章的典型相關分析，是假設“國中基本學力測驗分數”足以代表一位學生在國中三年的學習完成後，每個人所具有的基本程度與能力；然後再分析國中三年的在校成績與基本學力測驗分數的最大相關。所以如果學生並未努力認真面對基測考試，或是非常努力準備基測考試後得到一個滿意分數，都可能影響相關性質的意. 16.

(29) 義，使基本學力測驗最後得到的分數與三年學習成果產生脫鉤的疑慮。 (四) 本研究的資料取得，是台北縣某國民中學的學生成績資料，因應教育部十二年國民基本教育「調整高中職入學方式」辦理原則的走向:「就近入學:高中職和五專考量學校地理環境等因素，優先提供鄰近國中免試入學的名額」(推動高中職免試入學手冊)。所以本研究的資料，是為了要分析與分辨同一所學校學生程度之差異，以利免試入學就近入學政策參採學校在校成績之用，故而不同地區的學校與學生資料，其採用的權數將因應學生資料之特色而有所差異，不可同一權數在不同母體群中使用。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 17. i n U. v.

(30) 研究流程. 立. 政治大. 學 ‧. ‧ 國 io. sit. y. Nat. n. al. er. 1.5. Ch. engchi. i n U. 圖 1.3: 研究流程圖. 18. v.

(31) 專有名詞解釋. 1.6 1.6.1. 加權機制 ( weighting scheme). 藉由國中學生在校五個學科成績，經由資料本身所透露的訊息，使用統計科學的研究方法，探討採計五個學科分數前面所需乘上的加權比重之策略與方法，以客觀代表學生的 “在校綜合學科能力成就表現分數”。 1.6.2. 加權比重 (weighted). 治政大加權比重(簡稱:權重)是一個相對的概念，是針對某一指標(樣本點)而言。某一指立. 標(樣本點)的權重是指該指標(樣本點)在整體評價中的相對重要程度。權重表示在評價過. ‧ 國. 學. 程中，是被評價對象的不同側面的重要程度的定量分配，對各評價因數在總體評價中的作. sit. y. Nat. 例如:. ‧. 用進行區別對待。(黃學亮，1995). n. al. er. io. 一件事情, 你給它打100分, 你的老闆給它打60分, 如果平均, 則是(100+60)/2=80分。. i n U. v. 但因為老闆說的話分量比你重, 假如老闆的權重是2, 你是1, 這時求平均值就是. Ch. engchi. 加權平均了, 結果是(100*1 + 60*2)/(1+2)=73.3分, 顯然向你的老闆那裡傾斜了。假如老闆權重是3，你的權重是1，結果是（100*1+60*3）/（1+3）=70。這就是根據權重的不同進行的平均數的計算，所以又叫加權平均數。(例子取自:智庫百科http : //wiki.mbalib.com/zh − tw/). 19.

(32) 1.6.3. 加權平均數 (weighted mean). 若k個數值x1 , x2 , · · · · · · , xk ，其權重分別為ω1 , ω2 , · · · · · · , ωk ,則定義: k X ωi x i k X ωi i=1 。對加權平均數X ω = k ai xi ；其中ai = k ，在數學上又可表示為:X a = X X i=1 ωi ωi i=1. i=1. 於較重要的指標(樣本點)我們給予較大的權重，以凸顯其重要性。接下來以符號ωi 表示權重，為了方便，以符號ai 表示權重比例，本研究接下來的權重，指的都是ai (權重比例)。而且，權重不能是負數，有些可能是零，但並非所有的權重皆為零（因為除以零是不允許的），所以我們給予下面的限制:. ai = 1. i=1. 其中 0 6 ai 6 1; ∀i = 1 · · · k. ‧ sit. y. Nat. 等加權比重 (identical weighted). io. n. al. er. 1.6.4. k X. 學. (黃學亮，1995). ‧ 國. 立. 政治大. Ch. i n U. v. 當權重(weighted)皆相等時,稱為等加權比重(又簡稱為等加權)，等加權比重所求出的. engchi. 加權平均數稱為等加權平均。在數學上表示為: n X 1 X=n xi ,以X表之，一般又稱為算術平均(arithmetic mean)。(黃學亮，1995) i=1. 1.6.5. 類主成分分析 (Principal Component Type of Analysis). 有別於一般的主成份分析，假設現在有k個變量，x1 , x2 , · · · , xk ，以a1 , a2 , · · · , ak 當 k X 權重，在 ai = 1，0 6 ai 6 1 ; ∀i = 1 · · · k的條件下，使合成變量A產生最大變異數的 i=1. 分析法。其中A是x1 , x2 , · · · , xk 的線性組合表示如下: 令. 新合成變量A = a1 x1 + a2 x2 + · · · + ak xk. 20.

(33) 類典型相關分析 (Canonical Correlation Type of Analysis). 1.6.6. 在. k X. ai = 1，0 6 ai 6 1 ; ∀i = 1 · · · k的條件下，討論兩組變數之間的相關，其. i=1. 中，這兩組變數的個數可以1個到多個以上。    令兩組變數分別為X組有p個變數x =   找x組變數的線性組合x∗i. . .     和Y 組有q個變數y =   . y1 y2 .. ..    ， . xp yq ∗ ∗ ∗ = ai x，與y組變數的線性組合yi = bi y，使xi 與yi 的兩組變數之. bi1 bi2 .. .. ‧ 國. 立. 政治大. .   ，i代表X與Y 組變數中，第i種可能的典型相關組合。 . biq. 學. 間的相關係數最大，其中    ai1  ai2      ai =  .. ，bi =   .   aip. 1.6.7. x1 x2 .. .. 十二年國民基本教育 (Twelve-year Public Education). ‧ sit. y. Nat. 我國一向重視教育，國民基本教育之發展，亦與前述的發展軌跡一致。實施十二年. n. al. er. io. 國民基本教育是20餘年來社會各界的共識與期待，也是教育部長期以來研議、規劃及試辦. i n U. v. 的重要教育政策。行政院與教育部啟動十二年國民基本教育，實為將政策研議轉為實際行. Ch. 動的重要一步，主要預期效益如下：. engchi. (1) 透過補助經濟弱勢學生學費，縮短就學負擔差距，讓每個孩子享有公平、均等的教育機會。 (2) 讓每個孩子就近就能找到優質化的高中職，適性就讀，紓緩升學壓力；用好學校辦好教育，用好教育來培育好人才。 (3) 透過鼓勵家長參與教育，結合家長、教師、學校共同心力，落實孩子生涯輔導及學習扶助，把每個孩子帶上來。. 21.

(34) (4) 用好老師實踐好課程、用好課程實施好教育，提升國家競爭力。然而十二年國民基本教育是一項複雜的工程,教育部擬採階段性漸進步驟推動。 (請參考附錄7.1.1:十二年國民基本教育前置作業與先導計畫) (摘自:教育部十二年國民基本教育資訊網). 1.6.8. 高中及高職多元入學方案 (multiple-phased entrance program of senior high school and senior vocational school). (一一)依依據. 政治大. 教育基本法第九條、高級中學法第三條及職業學校法第四條。. ‧ 國. 學. (二二)目目標. 立. ‧. (1) 多元評量學生學習成就，使學生適性發展，以培養五育並重之國民。. sit. y. Nat. (2) 重視學生之學習歷程，尊重學生之性向及興趣，以激勵學生之向學動機。. n. al. er. io. (3) 輔導高中及高職(以下簡稱高中職)辦理招生，提供學生多元入學途徑，以建立符合學校及學生需要之入學制度。. Ch. engchi. i n U. v. (4) 結合社區資源發展學校特色，引導國中畢業生就近升學。 (三三)招招生方式. (1) 甄選入學：提供具有音樂、美術、舞蹈、戲劇、體育、科學之特殊性向或才能之各類學生入學。 (2) 申請入學：提供對有特色之學校或科別具有興趣之學生直升入學或於鄰近之高級中等學校入學，以落實高中職社區化。. 22.

(35) (3) 登記分發入學：提供非經由前二款方式或其他經主管教育行政機關核准之方式入學者，依其志願分發入學。 (4) 各校除辦理登記分發入學外，應依學校特色辦理甄選入學及申請入學或擇一辦理，五專辦理登記分發入學應與高中職聯合辦理。 (摘自:教育部十二年國民基本教育資訊網). 1.6.9. 基本學力測驗量尺分數總分 (scaled scores). 政治大的比較。國中基測採用量尺分數的理由，在於使兩次測驗分數可以直接和公平的比較，立所謂量尺分數:透過測驗等化的程序，使考不同測驗版本之考生分數可以直接和公平. ‧ 國. 學. 傳統聯考的計分方式，無法達到這個目的。目前每科的量尺分數滿分是80分，共有五科是400分，加上作文12分(六等級)。將五科科目的量尺分數與作文加總，即為量尺總分，. ‧. 滿分共412分。(國民中學學生基本學力測驗推動工作委員會). y. Nat. io. n. al. sit. 學習領域成績 (average grade point). er. 1.6.10. i n U. v. 係指學生在學校中，在語文（國文、英文）、數學、社會、自然與生活科技、藝術. Ch. engchi. 與人文、健康與體育、綜合活動七大學習領域8大學科，平時學習的各領域學業表現成績。在本研究中採用的學業成績，是國文、英文、數學、社會、自然共五科，其分數來源的計算方式是根據「臺北縣新北星99學年度辦理學生免試升學在校表現採計規準」計算而得。(請參考附錄7.2.1). 1.6.11. 學生綜合學科能力表現分數 (the synthetic scores of students’ in-school academic performance). 指的是在本研究中，使用各種不同的理論與研究分析方法所得出的各科權重，將其乘上各科在校分數所形成的線性組合之加權和結果，其目的是用來代表不同研究分析方法所. 23.

(36) 得的學生在校成績，在本研究中以代號Ai (原始資料所得)與Zi (標準化資料所得)代表之。 1.6.12. 在校學習表現 (performance in school ). 除學習領域表現外、亦包含學生出缺席情形、獎懲、日常行為表現、團體活動表現、公共服務及校內外特殊表現。 1.6.13. 在校成績 (school grade). 政治大. 在本研究中指的是學生在校五學期中，國文、英文、數學、社會、自然四大領域中五個主要學科的定期評量成績。. 立. 形成性評量 (formative evaluation). ‧ 國. 學. 1.6.14. ‧. 形成性評量(formative evaluation)是用於教學歷程中途所實施的，在性質上相當於. sit. y. Nat. 現在中小學的定期評量。其目的對教師而言，是藉此獲的教學歷程中連續性的回饋，隨時. io. al. er. 知道學生們學習的成敗情形。據以做為隨時修正自己教學策略的參考。同理對學生的學習. v. n. 也形成回饋作用，由評量結果獲知自己學習後的表現是否完滿或欠缺，從而肯定或修正自. Ch. 己以後的學習方式。(張春興，2007). 1.6.15. engchi. i n U. 申請入學 (college admissions through application). 想要就讀高中高職的同學，申請入學是不錯的就近入學管道。其實施的方式如下:. (1) 國民中學學生依各校所訂條件，自行向欲就讀之學校或聯合申請入學委員會提出申請。 (2) 各校以99年國中基測之國文、數學、英語、社會及自然5測驗學科分數作為報名資格條件，另得選擇一科或二科加權計分。. 24.

(37) (3) 校應採計99年國中基測之寫作測驗分數，作為報名資格條件或加分條件。 (4) 各校應參採學生在校成績（限直升入學）、日常生活表現或特殊事蹟等。 (5) 各校採書面審查方式辦理，不得再辦理任何形式之測驗。 (摘自:教育部十二年國民基本教育資訊網). 1.6.16. 免試入學 (access to school without entrance examination). 免試入學模式有學區登記模式、國中薦送模式及學生申請模式三種，由各招生區選擇. 政治大. 合適之免試入學模式辦理。其實施的方式如下:. 立. ‧ 國. 學. (一) 學區登記模式. (1) 各高中高職依核定班級數先行公布招生名額。. ‧. (2) 國民中學學生依原就讀國中所在的學區，向原就讀國中或聯合免試入. sit. y. Nat. 學委員會辦理登記。. n. al. er. io. (3) 當登記人數超過招生名額時，招生學校會以抽籤或設籍時間等方式來決定分發名單。. Ch. engchi. i n U. v. (二) 國中薦送模式 (1) 高中高職依各區內各國中畢業班數或人數按比率提供給各國民中學免試入學名額。並依歷年就讓該校人數調整免試入學名額。 (2) 國民申學學生依性向、志願向原就讀國中提出申請。 (3) 當申請人數超過提供名額時，各國民中學得參採學生在校表現或以抽籤方式來決定薦送名單。 (三) 學生申請模式 (1) 國民中學學生依各校所訂條件，向原就讀團中或聯合免試入學委員會. 25.

(38) 提出申請。 (2) 各校得訂定0-3項申請條件，得參採學生之在校成績、日常生活表現或特殊事蹟等。 (3) 當申請名額多於提供名額，且學生申請條件相同時，得辦理面談或以抽籤方式，決定錄取學生名額。 (4) 各校採書面審查方式辦理，不得再辦理任何形式之測驗或評量。 (摘自:99學年度高中高職聯合免試入學招生說明 ). 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 26. i n U. v.

(39) 第二章. 文獻探討. 主成份分析. 2.1 2.1.1. 前言:. 立. 政治大. 主成分分析(Principal component analysis)是從變數相互間的關係推導出新概念的. ‧ 國. 學. 因子，以此因子為指標，即可查明變數或樣本的類似性或地位。亦即，把幾個變數設為x1 , x2 , ..., xk 時(例如在本研究中指的是學生的五個學科成績)，新的因子A即可以下列的. ‧. 一次式來表示:. sit. y. Nat. n. al. er. io. A = a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + ak x k. i n U. 其中，a1 , a2 , · · · , ak 代表個變數x1 , x2 , ..., xk 的權數。. Ch. engchi. v. 譬如像是A=1.3國語+1.2數學+1.0英文+0.8自然+1.1社會之類的式子，如果A在此處表示學生的學科綜合表現能力，則觀察此式的係數時，可以看出決定綜合能力愈是重要的科目，其權數比重就愈高，這比單純合計加總的式子還要高明，而此A變數就稱為主成分。像這樣所求出的主成分可能有很多種組合，因此不同的主成分變數可以如下表示:         . A(1) = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1k xk A(2) = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2k xk .. . A(m) = am1 x1 + am2 x2 + · · · + amk xk. 在此式中，A(1) 稱為第一主成分，A(2) 稱為第二主成分· · · 。換句話說，主成分. 27.

(40) 分析是將k個變數x1 , x2 , ..., xk 集中成m個新的因子,亦即主成分A(1) ,A(2) ,· · · ,A(m) 。因此,k與m有k ≥ m的關係。(陳耀茂,1999) 我們再從另一觀點來看，從多變量所構成的資料，合成出少數有特徵的新變量(新的主成分變量)，再依據它來分析資料，就是主成分分析。那麼要以何種想法合成出有特徵的變量呢?以容易理解的比喻來說明:觀察下頁圖中所種植的三棵樹。試從南方、西方以及東北方觀察這些樹看看。. • 所樹立的三棵樹: 圖. 政治大 2.1: 主成分分析不同方位三樹觀察說明圖立 ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. • 依看的角度不同,看法也會不同:. engchi. i n U. v. 圖 2.2: 主成分分析不同方位三樹變異關係說明圖. (a)從南方向所看的圖. (b)從東北方向所看的圖. 28.

(41) 從南或從西方看的圖，樹木重疊，不能清楚看出整體。可是，從東北方向來看時，即可清楚看出3棵樹的全體(參考圖2.2 )。像這樣改變觀看的立場，原來看不清的東西也可以看見，這也是主成份分析所秉持的理論精神。(涌井良幸.涌井貞美,2009) 由上面所陳述，假設我們獲得一組來自同一母群體的多變量資料X，由於資料當中各個變數之間存在著錯綜複雜的關係結構，所以無法就表象確切掌握與解釋該出象的真實意義。但是我們可以約略的知道，在許多不同的多變量出象當中，有些變量的份量對於整體變量出象結構的影響力，在相對上確實遠高於其他變量的現象。於是我們思考:是否可以. 政治大主要的代表，便足以分析、並解釋整個多變量出象的意義。或者進一步說，是否可以找到立. 找到或證實存在有局部的相對重要的變量，透過這些少數變量的性質與其自身的變化做為. ‧ 國. 學. 某些重要關鍵變量的線性組合，可以代表整體多變量所包含的資訊。(鄧家駒，2004) 在統計上常遇到變量“加權”問題，例如國文、英文、數學、歷史、地理、物理、. ‧. 化學七科成績如何做“加權”平均來代表一個學生的總成績?一般的做法，是以上課鐘點. y. Nat. io. sit. 數(或學分數)做權重。但是如果遇到的問題找不到適當的權重時，我們又該怎麼辦呢?也. n. al. er. 許有人會建議就以“等加權”做平均，但這種做法可能抹殺了資料所提供資訊，無法將各. Ch. i n U. v. 變數的重要性給予適當的發揮。主成份分析就是要將重要變數適當的給予較大的權重，不. engchi. 重要的變數給予較小的權重的一種統計方法。. 例如，要表達一個國家或地區的物價指數、環境污染指數、國家競爭力等指標，研究者常會找到很多項目(指示變數)，然後做加權平均。但問題就在於，到底對於不同的指示變數，我們要如何給定權重，常用的一種解決方式是，使用主觀的人為訂定(它是在資料收集前訂定)。雖然人為訂定的方式可以暫時解決問題，但如果能透過資料本身所傳達的訊息而訂定權重(它是資料收集後再訂定)，將會更客觀，更有說服力。例如，如果要了解一個人的體型，其可能測量的項目有身高、體重、腰園、胸園、腳長...等等項目，如何將這麼多個互相間有相關的項目(或稱變數)，以一個指標來表示,以達簡化工作,這就是主成. 29.

(42) 份分析的目的。 (陳順宇,1998) 以下我們以簡單的方式闡述主成份分析的理論原理: 所謂p主成份y可看成是一條直線A(如下圖2.3所示)，是指從代表測定值(樣本資料)的各點位置向直線A畫垂直線並取其長度的平方和為最小的直線。實際上不妨想想，p主成份y也可以看成下圖2.3中的QO長度(主成份得分)的平方和成為最大的直線。圖中求P Q的平方和的最小值，與求QO的平方和的最大值是相同的問題。套入直線時(請參考下圖2.4)，左圖是好的，右圖是不好的;以下分別求P Q與QO的平方和看看。. 政治大. 圖 2.3: 主成分理論說明圖一. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. 圖 2.4: 主成分理論說明圖二. Ch. engchi. 30. v.

(43) (1)左圖: 2 2 2 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 P Q的平方和=P1 Q1 +P2 Q2 +P3 Q3 +P4 Q4 = 2 + 2 + 2 + 2 =8. √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 2 2 2 2 QO的平方和=Q1 O +Q2 O +Q3 O +Q4 O =2 2 +2 2 +2 2 +2 2 =20 (2)右圖: P Q的平方和=32 +02 +22 +12 =14 QO的平方和=12 +22 +02 +32 =14. 治政大試比較兩圖的QO的平方和時，左圖的值較小；另外一方面，比較QO的平方和時，立. 左圖的值較大。由此例可以理解，求主成份變成只要發現使QO的平方和成為最大的直. ‧ 國. 學. 線即可。O點是直線上的平均，樣本數如設為n時，QO的平方和除以(n-1)所得的值即. sit. y. Nat. 茂,1999). ‧. 為主成份的變異數；因此，「主成份」即為主成份得分的變異數為最大之直線。(陳耀. n. al. er. io. 所以由以上解釋可知，主成份分析是尋找幾個解釋變數xi 的最佳線性組合，它們一方. i n U. v. 面要能保有原來變量所提供的訊息(即有代表性)，也就是要能區別出主要的影響變量是哪. Ch. engchi. 些；而且，不同主成份之間也不能重疊(獨立性)，更重要的是能以“少數”幾個主成份，代替原來“多個”解釋變量(即有精簡性)，主成份分析就是要達成此三個重要目標。. 31.

(44) 理論的基本假設. 2.1.2. 假設自一個母體我們取出數個變量x1 , x2 , ..., xk ，我們分別以a1 , a2 , · · · , ak 代這些變數的權重，使得. A = a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + ak x k 令. a = (a1 , a2 , · · · , ak )代表一個權重為分量所組成的向量。. 主成份分析的理論原理，希望在權重條件| a |= a21 + a22 + · · · + a2k = 1之下，求出變. 治政數A的最佳權重解a向量。為了達到這個目標，主成份分析的理論精神，是利用共變異矩大立陣S求出矩陣的最大特徵值，並計算這組特徵值所對應的特徵向量a = (a , a , · · · , a )， 1. ‧ 國. 學. 綜合上面各家說法，我們將其重點整理如下:. ‧. A = a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + ak x k. y. Nat. a2i = 1下，找出a = (a1 , a2 , · · · , ak )使得V ar(A)最大. sit. 在. k X. n. al. 令. . Ch.   x= . x1 x2 .. .. . er. io. i=1.   a= . , .    , . engchi xk. i n U. . v . a1 a2 .. .. ak. 則 V ar(A) = V ar(a1 x1 + a2 x2 + · · · + ak xk ) = V ar(a0 x) = Cov(a0 x, a0 x) = a0 Cov(x, x)a = a0 Σa = a0 Sa. 32. 2. k.

(45) 則Σ代表母體共變異矩陣，S代表取自此母體之樣本的共變異矩陣。我們以樣本變量(x1 , x2 , · · · , xk )的共變異矩陣S取代母體共變異矩陣Σ。如前所述，為了解決以上的問題，求出最佳解，數學上變成找向量a的問題；而求a0 Sa的最大值，則是我們的目標函數；使得在a0 a = 1條件下，要求a0 Sa的最大。在傳統主成份分析方法中，我們運用微積分中Lagrange Multiplier Method求極值的方法(陳耀茂，1999)，去求得我們所要的答案。我們將求解過程整理如下:. 政治大限制式 1 Φ − 1 = 0 立    . 目標函數 max V ar(A) = a0 Sa.   , . .   Φ= . er. io. al. = a0 Sa − λ(10 Φ − 1). n   我們將對所有的a =  . a1 a2 .. ..    . sit. F (a1 , a2 , · · · , ak , λ) = V ar(A) − λ(10 Φ − 1). . a2k. . ‧. ak. 1. a21 a22 .. .. y.   a= .   , . a1 a2 .. .. Nat. 令.   1= . 1 1 .. .. 學. 其中. ‧ 國. 0. Ch. engchi. i n U. v.    向量中每一個分量a1 , a2 , · · · , ak 以及常數λ個別微分,則我們 . ak 可以獲得以下結果:.  . ∂F ∂a. = 2Sa − 2λa = 0. . ∂F ∂λ. = 10 Φ − 1 = 0. 由上(1)我們得到如下式子:. ∴ Sa = λa (Kolman B.,1993). 33. · · · (2.1) · · · · · · (2.2).

(46) 由上面結論中可知，只要求出共變異矩陣S的特徵值λ，我們便能求出代表權重向量的特徵向量a。由上觀察也可得知，因為共變異矩陣的特徵值有很多個，所以我們可將特徵值由大到小排列出其所對應的特徵向量a，並將排列出的不同特徵向量a之各分量a1 , a2 , · · · , ak 分別代入所對應的每個變量x1 , x2 , · · · , xk 做為權數，如此我們分別得到的第一主成分A(1) 與第二主成分A(2) · · · 等等，接著我們便可探討各個主成分所解釋的意義與之間對研究問題的影響與幫助。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 34. i n U. v.

(47) 2.2. 典型相關分析. 典型相關分析是由Hotelling(1935,1936)所提出(張建邦，1997)，主要是在研究討論兩組變數的相關性，一組稱為X組，另一組稱為Y 組，若X組與Y 組各有一個變數時，則其相關稱為簡單相關(Pearson相關)，當X組有很多變數，但Y 組只有一個變數時，此兩組之間的相關稱為複相關(Multiple Correlation )，以上兩種相關分析，都是典型相關分析的特例，如果兩組變數都不只一個變數，有多個變數時，測量這兩組變數之間的相關就稱為典型相關(Canonical Correlation)。(陳順宇，1998). 治政若兩組變數，第一組(X組)有p個變數，第二組(Y 大組)有q個變數，分別對這兩組變數立. 賦予適當權重並做線性組合後，再算此兩個“加權和”的相關係數；也就是對兩組變數分. ‧ 國. 學. 別給定權重後，即可計算此兩個加權和的相關係數，權重不同，相關係數也不同，這兩組. ‧. 變數所形成的兩個加權和就稱為p典型變量(Canonical Variables)y。典型相關的目標就是. sit. y. Nat. 要使這兩組加權和所形成的典型變量達到相關係數最大，此時這個相關係數就稱為典型相. io. al. n. 數學方法陳述如下:. er. 關係數(Canonical Correlations)。我們將探討的典型相關分析求最佳權重係數所運用的. Ch. engchi. i n U. v. 我們將分成的兩群資料，一組稱為說明變量X組(預測變數)，另一組稱為目的變量Y 組(準則變數)，其“加權和”就是合成變量，我們以符號x∗ 和y ∗ 表示為: x ∗ = a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + ap x p y ∗ = b1 y 1 + b2 y 2 + · · · + bq y q 典型分析是使二個合成變量的相關係數最大，以即使x∗ 和y ∗ 的相關係數為最大下決定係數a1 , a2 , · · · , ap 與b1 , b2 , · · · , bq 等，如此一來就可調查兩群資料間的關係。 rx∗ y∗ =. sx∗ y∗ · · · · · · (2.3) s x∗ · s y ∗. 35.

(48) 其中sx∗ y∗ 是x∗ 和y ∗ 的共變異數，sx∗ 和sy∗ 是x∗ 和y ∗ 的標準差。(涌井良幸，涌井貞美，2009) 為了說明簡單起見，以下我們舉例，並以矩陣的方式表示其求解過程: 假定2個群:X和Y 分別有兩個變量k,w及u,v。亦即，以合成變量來說，考慮如下的兩個新變量x∗ 和y ∗ : x∗ = ak + bw ， y ∗ = pu + qv. · · · · · · (2.4). 其中，a,b及p,q為此後想決定的各變量權重係數。. 政治大進行典型相關分析的前提是，考量變量假定已標準化(standardized)，並且所決定的立. ‧ 國. 學. 係數a,b及p,q須使新合成的變量x∗ 和y ∗ 的變異數皆為1。理論建立的條件如下:. ‧. (1) k = 0, w = 0, u = 0, v = 0 · · · · · · (2.5). io. al. er. (3) s2x∗ = 1, s2y∗ = 1 · · · · · · · · · · · · (2.7). sit. y. Nat. (2) s2k = 1, s2w = 1, s2u = 1, s2v = 1 · · · · · · (2.6). n. v i n 在這些條件下所求出的新變量x C h 和y 稱為典型變量，它們的相關係數r engchi U ∗. ∗. x∗ y ∗ 稱為典型. 相關係數(canonical correlation)。以上三個條件是典型相關分析推論的基礎條件，變數k,w及u,v都已經被標準化之下，則x∗ = 0且y ∗ = 0。. 36.