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數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案

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Academic year: 2021

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(1)23. 國立政治大學「教育與心理研究」 2008 年 12 月,31 卷 4 期,頁 23-52. 數學教室內之班級互動類型研究: 一個國小四年級的班級個案 張淑怡*. 摘. 要. 本研究針對一個國小四年級的數學教室個案進行班級互動類型探究。由於將 社會互動類型視為社群內之個體一再輪番地在彼此之間實踐的「暗示⎯選擇」行為 序列類型,且考慮到同一信號可能基於不同理念而產生相似的選擇行為,故以「教 室錄影」及「課後晤談錄影」方式進行資料蒐集;資料分析來源則是32卷錄影帶轉 譯和編輯而成的16份原案。研究結果發現:此數學教室個案的班級互動類型主要有 兩大類:(一)「猜謎遊戲」⎯教師為「出題者」,學生為「猜謎者」;由於逼近謎底 的過程不同,可區分出三子類。(二)「學生寫,老師說」⎯學生為「解題者」及 「記錄者」,教師為「代為發表者」;由於學生的寫與老師的說有不同的連接方式, 亦可進一步區分出三子類。. 關鍵詞:數學教室、數學教學、師生互動、班級互動類型. *. 張淑怡:國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系副教授 誌謝: 本文部分內容於發展時,曾獲甯自強教授一些啟發,特此誌謝。也感謝兩名匿名審 查委員的寶貴建議。 電子郵件:sic@tea.ntue.edu.tw. 收件日期:2007.09.19;修改日期:2007.12.21;接受日期:2008.06.12.

(2) 24. Journal of Education & Psychology December, 2008, Vol. 31 No. 4, pp. 23-52. A Study of Class Interactive Patterns at A Mathematics Classroom: A Case Study of A Primary Four Class Shu-I Chang*. Abstract. This study explores the class interactive patterns at a primary four mathematics class. This research uses “Video recording at classroom” and “Video interview after class” methods to collect data. The methods are chosen because of the “hint-choice” pattern, which is required for the integrated operation of community by individuals, is repeatedly practiced among people and the choice behavior from individuals, which is triggered by a signal, is similar though may be generated by different ideas. The source of research analysis is based on the sixteen working transcripts, which were transcribed and edited from thirty-two videotapes. This research analysis concludes two types of class interactive pattern at the mathematics classroom: (1)“Guessing game”. The teacher plays as “question giver”, and students play as “shooters”, who continue guessing the right answer. It can be classified into three sub types based on the process how students get the correct answer. (2)“Problem solving by pupils and elaboration by teacher”. Students. play. as. “problem solver”. and. “recorder”,. and. the. teacher. plays. as ”representative”. It can also be categorized into 3 sub types based on the process how *. Shu-I Chang: Associate Professor, Department of Mathematics and Information Education, National Taipei University of Education E-mail: sic@tea.ntue.edu.tw. Manuscript recieved: 2007.09.19; Revised: 2007.12.21; Accepted: 2008.06.12.

(3) 25. teacher elaborates after pupils solve problems.. Keywords: mathematics classroom, mathematics teaching, teacher-student interaction, class interactive pattern.

(4) 26 教育與心理研究 31 卷 4 期. 壹、緒論 一、研究背景. 學溝通這件事未必會發生,甚至經常沒 發生,常被冠上「學校數學」(school math)的稱呼以與強調數學溝通的「探. 國內外數學教育工作者對於學生. 索 數 學」(inquiry math) 相 對比 。 究. 應該在一強調數學溝通的環境下進行數. 竟,「種種『應然』指示在個別教室落. 學學習多有共識。例如:美國教師協會. 實的面貌為何?」即為本研究的待解問. 學 校 數 學 的 原 則 和 標 準 ( NCTM,. 題。由於不論教室內數學溝通有無發. 2000)中指出,學生學習的五大目標之. 生,每一教室經彼此長期互動後皆會有. 一是「學習數學地溝通」,而達到此目. 一再重演的互動類型出現(Bauersfeld,. 標的最好方式是「(教師所布置的)問. 1988; Richards, 1991),故本研究將師. 題情境能使學生有機會去讀、寫並討論. 生互動所產生的班級互動類型視為探究. 想法,進而使數學語言之使用變得自. 個案教室數學學習環境品質「實然」之. 然」;國內的數學教學亦強調群體解題. 重要指標。. 文化的培養,即教學內容必須包含溝通. 對學生而言,互動類型之重要性. 或是形成共識的問題,以及教學活動方. 一方面在於課堂上之指引功能. 式需包含群體的討論活動﹙甯自強,. (Bauersfeld, 1988);另一方面由於課. 1993a ﹚。 甚 至 , Sfard 、 Nesher 、. 堂上的彼此影響不限於數學學科知識,. Streefland、Cobb與Mason(1998)等多. 且經常以耳濡目染的方式進行,因此,. 位研究者在〈透過對話學習數學:它如. 互動的時間愈久,學生所受到之潛移默. 同他們所言般的好嗎?〉一文中皆同. 化愈可能根深蒂固而成為習慣,進而對. 意:數學對話有很大的潛力成為學習的. 學生的課外行為及數學觀等作出深刻影. 模式,然而,只有特定的對話類型可能. 響 ( Bauersfeld, 1995, 1998; Bateson,. 實現此一潛能。換言之,問題不在於是. 1991)。例如:若學生長期處於一強調. 否要透過對話進行教學,而在於如何. 數學討論的教室內,反思較有可能成為. 做。. 學生之習慣,即使教師不在身邊,問題 由上可知,數學教育研究者多瞭. 解 決 亦 較 能 成 為 與 自 我 之 對 話 ( von. 解並非所有對話類型皆能促進學生的數. Glasersfeld, 1995),且較可能將數學知. 學學習,且多主張教室內「應該」呈現. 識視為人類創造性活動的產物;相對. 的是支持數學溝通的環境。然而,相關. 地,若學生所處教室的常見口語結構是. 研究(Cobb & Yackel, 1998; Richards,. 「引發⎯回應⎯評量」序列,學生較可. 1991)指出,學校的數學課對話中,數. 能只關心答案的正確與否,且較可能將.

(5) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 27. 數學知識視為獨立於人而存在的。另. (二)社會現象是指同種族的自生系. 外,對教師而言,瞭解個案教室目前的. 統單位彼此間自發性結構耦合所構成的. 互動類型則是往「應然」方向逐步改進. 現象﹔而共識(consensual domain)是指. 之重要基礎,故班級互動類型是一重要. 耦合所產生的相互鍵結(interlocked). 的研究課題。. 之行為。. 二、研究目的. Maturana理論的第一項原則探究的 是人與環境之互動關係,所謂「耦合關. 本研究的主要目的是針對一個數. 係」強調的是環境與人此一自生系統互. 學教室個案進行班級互動類型探究。藉. 為彼此干擾之來源,僅能觸發. 由「教師」及「全班學生」在數學教室. (trigger),而非決定(determine)彼. 內彼此實際展現的互動行為及所做詮. 此狀態之改變。由是,對學生的數學學. 釋,描繪出個案教室班級互動的整體圖. 習而言,耦合關係強調真正決定學生發. 像。. 生何種改變的是學生本身的結構,環境. 貳、文獻探討 一、互動之本質. 至多僅能視為觸發學生結構改變之干擾 來源。換言之,此處將數學學習環境品 質之重要性從「觸發」而非「決定」的. 由於班級互動類型是教室內師生. 角度予以明顯化。此外,Maturana將人. 互動產生的社會現象,人是有機體,故. 與環境互動時,兩者互為彼此之干擾來. 在探究師生互動的本質之前,應對有機. 源,觸發彼此狀態改變的持續過程謂之. 體與環境,以及有機體彼此間之互動關. 「結構耦合」(structural coupling);至. 係等生態學問題有所主張。本研究採取. 於結構耦合過程中,人的動態系統維持. Maturana(1978, 1987)的耦合(cou-. 即謂之「適應」(adaptation)。由是,. pling)理論作為生態學的基本立場,. 學生的數學學習可詮釋為:學生為使與. 此理論與人類的數學學習及教學相關的. 環境耦合不崩潰,一再重複的基模適應. 部分可寫成下列兩項原則(張淑怡,. 過程,包括自覺有效活動之產生與維. 2004):. 持。特別地,此處的環境可以是數學教. ( 一 ) 人 是 連 續 自 造 ( self-produc-. 科書、學具等非人的物品。. ing)、運作封閉,且結構決定(struc-. Maturana理論的第二項原則將互動. ture determined)的自生(autopoietic). 他人從環境中明顯地區分出來,而以. 系統﹔自生系統能與環境整合的狀態僅. 「社會耦合」(social coupling)來詮釋. 是耦合(coupling)關係。. 人與人之間的互動。所謂社會耦合是指.

(6) 28 教育與心理研究 31 卷 4 期. 兩個相同種族的自生單位間,彼此結構. 語行為等信號對個體之意義皆是由個體. 耦合的過程。由於此一理論將互動參與. 自行賦予的,即使他人發動的是所謂明. 者視為運作封閉之系統,「溝通如何可. 顯的建議,其亦須個體加以詮釋,所得. 能?」即為一重要的議題。Maturana理. 如同他人對個體之暗示(hint)。綜上. 論的貢獻在於將「語言行為」(linguis-. 所述,本研究進一步將「暗示⎯選擇」. tic behavior ) 界 定 為 「 連 續 定 向. (hint-choice)視為彼此行為鍵結之方. (orientation)的歷史過程」,強調基於. 式,強調個體對他人信號詮釋所得之暗. 系統運作封閉之本質,系統間藉由語言. 示,以及個體自行選擇的回應行為。由. 方法沒有資料之運輸,只有意義之主動. 是,師生互動可詮釋為:師生為使彼此. 建構(Maturana & Varela, 1980);且指. 耦合不崩潰,一再重複的「暗示⎯選. 出共識是指耦合所產生的「相互鍵結」. 擇」行為序列,包括共識域元素之產生. 之 行 為 。 雖 然 如 此 , Maturana 對 何 謂. 與維持。. 「鍵結」卻未明顯說明。 Cooley(1902)有關「建議」(sug-. 二、班級互動之實徵研究. gestion)和「選擇」(choice)之想法. 由於個案教室此一生態系統中的. 對此一問題之解決是有所啟發的。對. 每一部分會彼此影響,且具多層面的、. Cooley而言,建議所彰顯的是一種較為. 同時性、密接性、不可預測性、公開. 機械的(mechanical)或本能(reflex). 的 , 以 及 有 歷 史 的 等 特 性 ( Doyle,. 的影響方式,亦即個體按照他人的建議. 1986),當以教室過程為主要的分析單. 實施行為;其甚至較模仿(imitation). 位,如何描述才得以捕捉該過程之複雜. 更為低階,因模仿的行為大部分是理性. 性及整體特徵,則是此類研究之首要考. 的與自願的,而非機械的。至於選擇則. 量(Seeger, Voigt, & Waschescio, 1998;. 是一種較為細緻的心理組織過程,即個. Cobb, Yackel, & McClain, 2000)。以下. 體依自由意志實施行為;由於其本質是. 依相關研究與本文對互動所下的操作型. 選擇的與組織的媒介,故其乃以相對簡. 定義「『暗示⎯選擇』的行為序列」間. 單或建議的想法作為素材。. 之關係,而將目前有關班級互動的實徵. 對研究者而言,不論個體的回應. 研究區分為下述三類。. 行為是屬於Cooley所謂低階的建議或高. 第一類研究是就師生在班級互動. 階的選擇,其皆為個體自身的選擇,即. 序列中所彰顯的行為特色來區分不同的. 使選項是單一的、自動化的。此外,就. 班級互動類型。例如:意義浮現取向. Maturana理論而言,他人之口語與非口. (emergent perspective)學者曾區分出.

(7) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 29. 所謂的「漏斗類型」(funnel pattern). (2003)利用Yackel與Cobb(1996)所. 與 「 聚 焦 類 型 」( focusing pattern ). 發展的教室互動分析架構,即社會規約. (Bauersfeld, 1988; Voigt, 1985; Wood,. 和數學社會規約,來界定教室內的互動. 1994),以及「引出類型」(elicitation. 論說類型;而將一個實施論證教學的國. pattern ) 與 「 討 論 類 型 」( discussion. 一教室內的互動論說類型描述為:(1). pattern)(Bauersfeld, 1988; Voigt, 1985,. 學生回答或解釋答案;(2)學生回應他. 1994, 1995)。其中,所謂漏斗類型的. 人的答案或解釋;(3)教師歸納或整合. 特色是「教師創造一系列連續窄化學生. 關鍵點,提出挑戰;(4)教師要求學生. 可能性之問題,直到學生產生教師預定. 表明立場,對別人的說法是否贊同;. 的解法程序為止」﹔而聚焦類型的特色. (5)解釋者證實自己的說法是對的;(6). 則是「教師的問話向兒童指出問題的關. 挑戰者接受或繼續挑戰其他解釋或理. 鍵處,之後教師將問題解決的責任留給. 論;(7)解釋者繼續證實自己的說法是. 兒童」(Wood, 1994)。. 對的;(8)教師確認學生是否聽得懂別. 第二類研究是以不帶情境意義的 行為序列來描述班級內的話語類型。一. 人在說什麼。 綜上所述,第一類研究雖能粗略. 般而言,「引發⎯回應⎯評量」(IRE). 看出班級內的師生互動方式,但卻不夠. (Mehan & Wood, 1975; Mehan, 1979). 具體。事實上,班級互動類型是教室內. 是最常見的教室話語類型。另外,蓋允. 師生的共同產物,即使同樣歸為上述所. 萍(2003)利用四種話語編碼,引發對. 謂「討論類型」之兩班級,由於參與者. 方回應的編為I,回應編為R,評論則為. 的不同,問題解決的互動序列亦未必相. E,宣稱訊息為A,而將個案班級的話. 同,故有針對個別班級具體描述之必. 語類型進一步區分為兩大類:一是由教. 要。第二類研究雖有針對班級內的話語. 師引發的話語類型,包括IRE、IRE、. 具體分析,但所得結果完全去情境化,. IRIE、IREA、IRsRtEs、AIRE、ARnE,. 無法看出該教室內的師生於問題解決情. n. 以及IR IRE等八種;另一是由學生所引. 境下的整體互動輪廓。另外,第三類研. 發的話語類型,依照學生的意向可再分. 究雖有針對個案教室內,師生於問題解. 為主動引發的模式,以及在無意間引發. 決過程中的行為序列具體描述,改善了. 的偶發事件等兩種。. 前兩類研究之不足處,但仍有下述缺. 第三類研究則是針對一個問題的. 失:(1)師生互動過程中,不僅教師對. 解決過程中,師生互動的行為序列來描. 學生有影響,學生的回應行為亦會回過. 述班級內的互動類型。例如:陳英娥. 頭來對教師造成影響,故班級互動模型.

(8) 30 教育與心理研究 31 卷 4 期. 應對後者有所強調,亦即應對學生的數. 吳老師是師院數理教育系數學組. 學學習其實會自食好果或惡果此一現象. 的畢業生,約有八年的教學經驗,其. 作出詮釋;(2)當慮及同一信號可能基. 中,前兩年教一年級,之後的四年教高. 於不同理念而產生相似的選擇行為時,. 年級,接著兩年教中年級;本研究所觀. 應讓參與師生有發聲之機會,而非皆由. 察的四年級個案正是吳老師首屆的中年. 研究者直接針對師生的現場行為進行詮. 級導生,且彼此已有將近兩年的互動經. 釋與分類,如此,所得之互動模型將更. 驗。根據吳老師之描述,與之前所帶的. 能作為教師教學改變的重要參考。. 高年級班級相較之下,本班級整體而言. 參、研究方法 一、個案教室相關背景. 「數學的專注力很差、求知慾低、比較 不積極」;至於班上35位學生的上課表 現分布為:「成績好的學生上課比較有. 本研究以吳老師的四年級班級為. 興趣聽,中間程度的學生上課靜靜的,. 個案描述對象,主要理由有二:(1)本. 後面五分之一放棄的學生常發呆,連上. 研究須在教室內架設多臺攝影機,且教. 到哪邊都不知道」。此外,教室內的位. 學當日課後必須進行約一小時之教師晤. 置安排是前面三組,後面三組,一組約. 談,歷時長達兩週,故教師意願是一重. 五~六人。. 要考量。由於吳老師長期感受到班上上. 本研究主要資料蒐集期間歷時兩. 課狀況不佳,故當研究者邀請他及他的. 週,課堂上的教學內容包括四節課的. 班級作為研究對象時,吳老師隨即表示. 「角」單元,以及四節課的「小數的加. 希望趁此研究之便協助其觀察班上學生. 減」單元。由於本研究主要在探究個案. 的問題何在,因此,本研究是在吳老師. 教室內師生長期互動下的班級互動類. 的允許及期許下進入現場。(2)本研究. 型,故吳老師的布題內容及布題後要求. 主要乃針對數學教室內之班級互動進行. 學生回答等相關步驟皆是教師的自發行. 探究,由於低、中、高年級數學教室對. 為,並非研究者所建議的。. 討論的強調面向不同,例如:低年級著 重心理層面的經營,中年級強調社會層. 二、蒐集資料之範圍及方法. 面的運作,高年級則以科學性的探討為. 本研究問題在於探索個案教室內. 主(鍾靜,2005),故本研究一開始在. 的班級互動類型。由於研究者以. 個案教室的選擇上即鎖定中、高年級為. Maturana的耦合理論為基礎,而將社會. 主要對象,而吳老師的四年級班級正好. 互動類型視為一社群內之個體,爲了維. 亦在此範圍內。. 持社群得以發揮整體功能,一再輪番地.

(9) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 31. 在彼此之間實踐的「暗示⎯選擇」行為. 帶中的教師行為與學生行為詢問相關問. 序列類型,故蒐集「全班社會互動情. 題,企圖藉由教師詮釋以理解教師行. 節」之資料;另外,為避免先前研究由. 為,及可能影響教師行為之相關因素。. 研究者直接針對師生的現場行為進行詮. 此外,晤談的全部過程均予以錄影,作. 釋之缺失,即考慮到同一信號可能基於. 為資料的分析來源,共架設攝影機兩. 不同理念而產生相似的選擇行為,故. 臺,其中,丙攝影機架設在後方,擇一. 「情節背後之意義」為本研究所蒐集之. 記錄現場影帶停格討論之時刻,謂之. 另一類資料。. 「晤談定點影帶」;丁攝影機架設在左. (一)社會互動情節之資料蒐集. 前方或右前方,記錄教師晤談時的外顯. 本研究以「教室錄影」方式蒐集. 行為,謂之「晤談特寫影帶」。. 全班社會互動情節資料。由於本部分主. 整體而言,本研究在資料蒐集的. 要探究「教師」及「全班學生」此二單. 所謂「信效度」問題的考量如下:(1). 位彼此互動所成就的班級互動類型,故. 基於研究者個人的偏見影響,錄影所得. 主要藉由教室內所架設的甲乙兩臺攝影. 的互動過程與晤談過程是無法標準化. 機,進行「教師特寫」及「教師視角」. 的。例如:教室錄影資料會因研究者當. 等相關資料之蒐集。其中,甲攝影機架. 下的注意面向與攝影角度之不同而有所. 設在教室正後方,希望教師大部分細微. 不同;課後晤談內容亦會因研究者有興. 的表情、動作、黑板上的書寫皆能入. 趣的停格點及晤談問題之不同而有所不. 鏡;乙攝影機架設在教室左前方或右前. 同。(2)本研究的目的在於建構個案教. 方,希望班上大部分學生皆能入鏡。此. 室的班級互動類型,由於研究者永遠無. 外,研究者亦儘可能地在不干擾師生的. 法知道教師等教室內參與者之真正企. 狀態下進行現場觀察,記錄對日後解讀. 圖,只能藉由詮釋來猜測,為了儘量避. 錄影資料之協助性札記。. 免過與不及此一互動困難點,研究者將. (二)情節背後意義之資料蒐集. 參與師生在教室內的互動行為,以及晤. 本研究以「課後晤談錄影」方式. 談時對行為之闡釋均加以錄影,錄影所. 蒐集情節背後意義之資料。限於時間及. 得結果即形成Ricoeur(1971)所謂的. 人力,此部分多針對教師進行課後晤. 「文本」(text),以供研究者進一步分. 談,晤談模式如下:研究者與教師共同. 析。(3)由於假設行為者本身亦無法充. 觀賞當天的現場上課影帶,即,在螢幕. 分瞭解自己的企圖,只能藉由觀察現象. 上同時同步播放「教師視角」與「教師. 做最佳解釋,故於課後晤談中播放當天. 特寫」兩種畫面﹔研究者主要針對錄影. 上課影帶,協助教師回憶現場行動當時.

(10) 32 教育與心理研究 31 卷 4 期. 注意到哪些信號、如何解釋這些信號,. (二)原案的分割與歸類. 以 及 如 何 選 擇 合 適 之 活 動 。 (4) 基 於. 由於上課原案是建立班級互動形. 「知識的演化性」及「行動者與觀察者. 式的主要來源,而教師晤談原案是作為. 效應」(AOE)的可能影響,本研究瞭. 行為詮釋之用,故分析的第二階段主要. 解課後晤談所蒐集到的僅是相對於教師. 是針對上課原案進行分割與歸類,至於. 晤談當時之想法,未必是教師本身於現. 教師晤談原案的分割與歸類則配合上課. 場情境中所認為的真正企圖,雖然如. 原案的分析結果而置於相應的位置。上. 此,其亦提供了一種可能性。(5)為了. 課原案的分析過程如下:. 減低所謂的「研究效應」,研究者在資. (1)將所有原案中的對話依互動順. 料蒐集過程中會進行相應的處理。例. 序先後一一編碼。例如:上課原案的第. 如:提早一週在教室內架設攝影機以使. 一碼為1,第二碼代表正式錄影的第幾. 師生習慣;當發現課堂上的師生互動方. 堂課,後三碼則為該堂課的對話序號;. 式較為不同時,會在課後晤談中進行相. 教師晤談原案的第一碼為2,第二碼代. 關提問等。. 表第幾次晤談,後三碼則為該次晤談的. 三、資料的整理與分析. 對話序號。 (2) 將 原 案 分 割 成 資 料 分 析 的 單. (一)錄影資料轉登錄成原案. 位。由於本研究問題在於探索數學教室. 整理分析的第一階段是將所有的. 內的班級互動模型,而課堂上的師生互. 錄 影 資 料 轉 譯 和 編 輯 成 原 案 ( proto-. 動主要是爲了數學相關問題的解決而進. cols)。根據蒐集之資料,本研究共可. 行的,故以「一個問題的互動過程」為. 獲得「上課情節」及「教師晤談」兩類. 段落進行切割,例如:後文中的原案. 原案各八份。其中,「上課情節」原案. 1、原案2、原案3皆為一個個的資料分. 的錄影資料來源包括「教師視角」及. 析單位。. 「教師特寫」兩種影帶各八份,不僅轉. (3)將單位進行分類,接著再操作. 錄班級內主要事件之對話,亦儘可能補. 單位以歸納方式進行意義的歸組。例. 上教師等臺上者的動作、表情、黑板上. 如:研究者針對不同原案加以比較後,. 的書寫,以及工具操作;「教師晤談」. 可能認為後文中的原案1、原案3、原案. 原案的錄影資料來源包括「晤談特寫」. 5的互動類型應歸屬不同的類別,原案2. 與「晤談定點」兩種影帶各八份,轉錄. 的互動類型則可與原案1歸為同一組。. 教師與研究者間的對話,以及教師之非 口語信號。. (4)當分類活動告一段落後,不斷 確認每一類的可能屬性,並敘述能掌握.

(11) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 33. 該類別特性的暫時性名稱。例如:研究. 究者所做闡釋之依據。特別地,為了彰. 者檢視原案3所在類別中的相關原案. 顯研究者的詮釋是合適的,本文在報告. 後,可能將該類別的屬性描述為「當教. 的原案引用上儘可能同時以描述同一互. 師認為學生所給的答案並非心中的正確. 動過程的教學原案及晤談原案作為例. 謎底時,多會繼續指定他生發表,一直. 證;此外,為了提高可讀性,報告的原. 到心中的正確謎底被說出為止」,且給. 案不以原始編碼的形式呈現,而改以序. 出暫時性名稱;最後所訂的類別名稱則. 號1作為每個原案的起始碼。. 為「『再靠近一點可以看得更清楚』的 猜謎遊戲」。. 整體而言,本研究在資料分析所 謂「信效度」問題的考量如下:(1)由. (5)最後抽象出類別之間的關係。. 於研究者僅能根據在時空限制下所蒐集. 例如:研究者針對不同類別確認屬性. 之有限資料,對資料內的班級互動方式. 後,可能發現原案1、原案3、原案5所. 進行詮釋,故本研究所得「班級互動類. 在類別的共通特性,而將此三類整合於. 型」模型之真實性(authenticity),僅. 「猜謎遊戲」此一大類下,之後亦須將. 是針對所蒐集的資料,而非原本數學教. 其下的三子類及其之間的關係做更細緻. 室內飛舞的全部信號。(2)從事互動類. 的區分。. 型分析時,除了所形成的假設必須和錄. 必須強調的是,資料分析過程. 影紀錄加以辯證外,亦需利用重複的情. 中,一些新的類別可能出現,而某些舊. 節 ( episodes ) 及 交 錯 的 ( triangu-. 的類別可能需要修改或拋棄,故上述過. lated)證據來去除研究者的成見,以及. 程並非線性的,而是一循環往返、不斷. 對偶發事件的過度闡釋。(3)本研究所. 演化的過程。. 得「班級互動類型」模型是研究者一再. (三)模型的建立. 檢視資料後所得的最佳闡釋,由於模型. 這裡所謂模型的建立是指將第二. 是研究者經驗的抽象,故具備功能的、. 階段資料分析的結果寫成報告。為避免. 演化的,以及相對的性質(甯自強,. 先前研究去情境化之缺失,且強調教師. 1993b)。. 與學生互動時之彼此影響,本研究的報 告呈現方式乃將上述分析過程所得班級. 肆、研究結果. 互動類型以特定情境下的師生間之「暗. 在此四年級數學教室個案中,「吳. 示⎯選擇」行為序列具體列出;再挑選. 老師」與「全班學生」互動所產生的班. 出類別中較有特色的原案作為例證,對. 級互動類型主要有「猜謎遊戲」及「學. 原案進行完整的分析,以使讀者瞭解研. 生寫,老師說」的遊戲等兩大類。必須.

(12) 34 教育與心理研究 31 卷 4 期. 說明的是,「遊戲」在此乃作為「互動. 「形式」上不同於教師一人唱獨角戲,. 類型」的隱喻(metaphor),因教室內. 即教師直接告知全班達到正確謎底的訣. 的師生如同處於同一遊戲場景中的遊戲. 竅,但由於「教師期望」仍在師生間的. 參與者,扮演不同角色,且行動受到遊. 簡短問答扮演重要角色,故兩者在「內. 戲規則的指引。. 涵」上是頗為一致的。此外,當吳老師. 一、 互動類型之一:「猜謎 遊戲」. 企圖從「知道謎底的舉手者」中選定個 別猜謎對象,但卻只有少數學生舉手回 應時,「一再邀請知道謎底者舉手」是. 「猜謎遊戲」是吳老師與全班學. 教師可能選擇的行為方式。其中,問話. 生間最主要的互動類型,其中,吳老師. 更明顯、語氣愈顯生氣,以及將比較單. 扮演心中有正確謎底的「出題者」角. 位由個人改為小組以激勵學生舉手是此. 色,而學生則扮演不斷猜測正確謎底的. 一過程中可能的改變。以下分別以原案. 「猜謎者」角色。由於逼近謎底的過程. 1及原案2作為例證。. 不同,猜謎遊戲又可進一步區分為下述. 教學原案1. 三類:. 1.師: ……好,現在83頁一起念,小. (一)「逐步拆解」的猜謎遊戲 教師進行數學相關布題且將原問 題拆成幾個子題後,針對子題邀請學生 知道答案的舉手或直接邀請全班回答→ 若前者,學生各自選擇是否舉手回應→ 若前者,當全班沒人舉手時教師繼續邀 請學生舉手,直到愈來愈多學生舉手→ 若前者,教師從舉手者中指定個別學生 回答→被指定的個別學生回答或班上學 生回答→教師繼續提問下一子題→學生 回答,直到解決原問題。. 梅開始 2.眾生:小梅有2.7張百格板,分給弟 弟1.62張,小梅還有多少張百格板? 3.師:好,一開始他有2.7張百格紙, 好,2.7張的百格板,所以呢, 你要先拿出你的百格板,要怎 麼拿?2.7要怎麼拿,知道的舉 手。來,你有帶的把它拿在桌 上 , 2.7 張 百 格 板 要 怎 麼 拿 ? 來,知道的舉手 4.(安、邦舉手) 5.師:小君. 吳老師經常將自身意圖讓學生達. 6.君:2張百格板7條. 到正確謎底的路徑以「逐步拆解」的方. 7.師:2張什麼的百格板?. 式,指定全班或個別學生為猜謎對象,. 8.(君拿出2張百格纸). 逐步完成猜謎工作。此一遊戲方式僅在. 9.師:這種的,然後呢?.

(13) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 10. 君 ( 邊 拿 出 10 格 1 條 的 纸 卡 ) 邊. 35. 師的問話例如:「小寶是不是拿1張下. 說:然後7條橘色的. 來?」、「但是還有1個0.02是什麼?是2. 11.師:7條10格的是不是?. 張、2條還是2格?」、「所以把它1條拿. 12.(君坐下點數7條纸卡). 下來要補回去幾格?」;最後,教師在. 13.師: 好,拿出2張百格板(教師將2. 行50~118透過小言的上臺解題,以及. 張大張的百格板貼在黑板. 對全班、小培、小邦、小逸、小豪的簡. 上 ), 然 後 再 拿 出 7 條 橘 色 的. 短問答強調「『2.7-1.62』的直式算則. (教師將7條橘色纸卡貼在大. 必須將位值對齊」,其中教師的問話例. 百格板旁邊). 如:「他把7看做什麼?」、「2為什麼要. 14.(眾生看教師張貼中). 對齊1?」、「7為什麼要對齊6?」、「那7. 15.師:來,這是誰的?這是誰的?. 代表什麼?是7嗎?還是多少?」。. 16.眾生:小梅的 17.師: 小梅的。然後呢,她要做什麼 事情?. 由上述分析可知,針對此一布 題,教師意圖讓學生瞭解的內容包括三 段 落 : 其 一 是 「 如 何 拿 出 2.7 張 百 格. 18.有些學生:分給弟弟1.62張. 板」,其二是「如何從2.7張百格板中拿. 19.師: 分 給 弟 弟 1.62 張 喔 。 來 , 小. 出 1.62 張 百 格 板 」, 最 後 是 「『 2.7 -. 寶 ! 分 給 弟 弟 1.62 張 要 怎 麼. 1.62』的直式算則必須將位值對齊」。. 拿?來,出來,從上面拿1.62. 至於教師選用的教學方式雖非一人唱獨. 張下來. 角戲,但指定全班或個別學生為猜謎對. 20.……(限於篇幅後半段省略). 教師在行2以課本上的問題「小梅. 象的模式仍是教師導向的,即在教師意 圖讓學生瞭解的解法框架下進行問答。. 有2.7張百格板,分給弟弟1.62張,小. 教學原案2. 梅還有多少張百格板?」作為對全班的. 1.師: 好,看53頁第二題。好,題目. 數學布題。布題後,教師首先在行3~. 唸一次,吸管. 16透過與小君的簡短問答對全班說明. 2.眾生: 吸管第一次由黑線轉到紅線. 「如何拿出2.7張百格板」,其中教師的. 的位置,第二次由黑線轉到. 問話例如:「2張什麼的百格板?」、「7. 藍線的位置. 條10格的是不是?」;之後,教師在行 17~49透過小寶的操作及對小言、小儀. 3.師: 比比看哪一次轉動的角度比較 大?. 與全班的簡短問答說明「如何從2.7張. 4.少數學生:第二次. 百格板中拿出1.62張百格板」,其中教. 5.師: 來 有 理 由 。 第 一 次 是 走 到 紅.

(14) 36 教育與心理研究 31 卷 4 期. 線,然後第二次是從黑線走到. 小邦等人, 此時亦有學 生竊竊私. 藍線。請問你哪一次比較大?. 語:老師生氣了!你知道嗎?你知. 6.少數學生:第二次. 道嗎?). 7.師: 第二次比較大,那第二次跟第. 21.師: (教師給第五組打圈圈)第一. 一次的差別是在什麼地方?. 組、第二組都沒有人知道喔,. (停頓一下)來,知道的舉. 第一組都沒有人知道。好,手. 手!第二次轉的角度跟第一次. 放下!小逸站起來,你覺得第. 轉的角度它的差別,好,在什. 二次比第一次多的部分是從哪. 麼地方?知道的舉手!它比它. 邊到哪邊?. 多多少角度,那個多出來的部 分在哪裡?來,誰知道?. 行1~6的師生互動是針對教師第 一個數學布題「兩次轉動角度的直接比. 8.(學生沒有人舉手). 較」,之後教師在行7做出第二個數學布. 9.師: 從什麼線到什麼線的位置是它. 題「第二次比第一次多出來的部分在哪. 多出來的角度?來,知道答案. 裡」,並三度邀請學生「知道的舉手」。. 的舉手!. 由於全班學生一直無人舉手,故教師之. 10.(學生沒有人舉手). 後分別在行9、11、13、15、17多次邀. 11.師: 沒有人知道喔,來,知道的舉. 請學生舉手,且語氣愈顯生氣。當學生. 手!. 注意到教師生氣而有少數人開始舉手. 12.(學生沒有人舉手). 時,教師繼續以小組為單位鼓勵學生舉. 13.師:知道的請你舉手!. 手,直到最後有愈來愈多學生舉手時,. 14.(學生沒有人舉手). 教師才從眾多舉手者中指定小逸發言。. 15.師: 第二次比第一次多的部分,是. 特別地,在此一過程中,教師的口語及. 從什麼線到什麼線?. 非口語行為有下列改變:(1)問話更明. 16.(臺下開始有聲音出現). 顯,例如由「多出來的部分在哪裡」改. 17.師: 來 , 知 道 的 舉 手 ! 知 道 的 舉. 為「多的部分是從什麼線到什麼線」;. 手!(老師口氣稍微慍怒) 18.(只有少數學生舉手) 19.師: 好,現在看看哪些人知道,看 哪一組最多人知道! 20. (愈來愈多學生舉手,包括小佳、 小智、小淇、小逸、小育、小琦、. (2)語氣愈顯生氣;(3)將比較單位 由個人改為小組以激勵學生舉手。. (二) 「再靠近一點可以看得更清 楚」的猜謎遊戲 教師進行數學相關布題→學生解.

(15) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 題→教師邀請學生在不同答案項下舉手. 9.育:……(不可辨). →學生各自舉手表達自己的答案選項→. 10.師: 那為什麼會改,都是60度,是. 當大部分學生的選項是錯誤的時候,教. 不是,小育妳說都是60度對不. 師邀請錯誤選項舉手者再次解題→學生. 對,你用量角器是不是,有沒. 解題後有些說出正確答案→教師邀請改. 有誰剛剛覺得ㄆ比較大現在已. 變答案者舉手→學生各自選擇是否舉手. 經改掉,但是你是用尺去量. 回應→當大部分學生舉手,教師從中指. 的?. 定某生說明改變答案的原因→個別學生. 11.(小智、小龍舉手). 發言→當學生未講出教師心中的答案. 12.師:小智,你為什麼會改變答案. 時,繼續指定他生發言,直到教師心中. 13.智:因為……. 的答案被說出才停止。. 14.師:你用筆的寬度來比對不對 15.(智點頭). 猜謎遊戲進行過程中,當吳老師. 16.師:好,小龍. 此一出題者認為個別猜謎者所給的答案. 17.龍:就這樣轉過來. 並非心中的正確謎底時,多會「繼續指. 18.師: 你是說轉你的筆是不是,轉過. 定他生發表,一直到心中的正確謎底被. 來然後再去對照它是不是,那. 說出為止」。因此,教師邀請學生發表. 剛剛為什麼認為ㄆ比較大. 僅是形式罷了,因教師並非真正想要瞭. 19.龍:……(不可辨). 解學生的想法,而是想要學生「猜測教. 20.師: 好,來,看這邊,想想看為什. 師心中的正確謎底」。以下以原案3及其. 麼剛剛有些人會覺得ㄆ比較. 課後晤談原案4作為例證。. 大,但是他再量一次以後發現. 教學原案3. 卻是一樣大,他是用兩枝筆來. 1.師: 有人說一樣大,好剛剛覺得ㄆ. 做的,為什麼?來知道原因的. 比較大現在改成一樣大的舉手 2.(眾生舉手,小育亦舉手) 3.師:好,放下,小育為什麼? 4.育:因為…(不可辨). 舉手 21. (眾生低頭 動作中,沒 有學生舉 手) 22.師: 為什麼剛開始覺得ㄆ比較大後. 5.師:3個. 來改變答案,為什麼?有沒有. 6.智:……(不可辨). 人知道. 7.育:……(不可辨). 23.(眾生低頭動作中). 8.師:2個怎樣. 24.師:小穎,妳知道為什麼?. 37.

(16) 38 教育與心理研究 31 卷 4 期. 25.(穎抬頭微笑並搖頭). 1.研:現在講話的是誰?. 26.師: 他用筆來做為什麼他會改變答. 2.師:小智。. 案(示意小霖回答) 27.霖:因為有時候……. 3.研: 剛剛你問說有沒有用筆量,為 什麼問這個問題?. 28.師: 筆拿歪了,有時候筆沒有拿好. 4.師: 用筆啊!我知道他的意思,小. 就歪掉,所以你下次假如沒有. 智他可能用筆,我不知道他怎. 吸管也沒有兩枝筆的話,你可. 麼弄,他可能測這個寬度,他. 以拿你的什麼東西來做測量,. 可能量的方式是蠻特別的,他. 拿什麼來做測量. 這樣量寬度,其實這個方法是. 29.某生:量角器. 在行1之前,教師對全班的數學布. 不對的,不是很準確的,我看 到他量寬度這樣量。. 題是「用兩枝吸管或兩枝筆比較ㄅㄆ兩. 5.研:是用垂直的,垂直一邊嗎?. 角的大小」,學生解題後,大部分都認. 6.師: 聽他這樣說好像是寬度,我不. 為「ㄆ比較大」,當教師要求認為「ㄆ. 知道他怎麼量,應該叫他上來. 比較大」的學生再次比對後,有人出現. 寫,小龍也是講錯了。. 「一樣」的答案。之後,教師期望學生. 7.研:小龍他講什麼?. 能發現以「兩枝筆」為角度比較的工具. 8.師: 他反而是說……,然後換邊的. 時的可能限制,於是由行1開始尋找可. 時候他可能會把它分開來,然. 能的發言對象,即答案由「ㄆ比較大」. 後再改成另外一邊,所以這樣. 改為「一樣大」的學生。首先,教師連. 其實也是錯的。. 續指定舉手的小育、小智、小龍說明改. 9.研:我聽不懂。. 變答案的原因;其次,由於三人的回答. 10.師: 其實用筆有個缺點,我那時候. 皆未達教師期望,故教師在行20及22再. 沒有再跟他們講,那時候一開. 度對全班二次提問;之後,因全班皆沒. 始叫他們量對不對?. 有學生舉手回應,於是教師在行24直接. 11.研:對。. 指定小穎作答;最後,此一「連續指定. 12.師: 它兩個角度相反嘛!他一開始. 學生發表」的過程於小霖說出教師期望. 這樣量,他說:「我把筆反過. 中的答案「有時候筆沒有拿好就歪掉」. 來再量另外一邊。」這個反過. 後結束。至於教師對此段互動的解讀可. 來的過程也許它會分開,這樣. 由下述課後晤談原案得知。. 就不對啊!. 晤談原案4. 13.研: 所以他是先用筆布置一個角,.

(17) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 然後再過去跟它量這樣子。 14.師: 對對對,所以今天他們兩個都 出錯,那這個例子就應該把他 們叫上來。 15.研: 可是你那時候上課的時候,你 知道他們在講什麼嗎? 16.師: 我知道,但是可能小智的我不 太知道,我想趕快找一個答 案,其實我要找的答案就是等 一下小霖講的,在換的時候他 有碰到,有稍微碰到。 17.研: 所以你的意思是說,譬如你點 人上來講,然後如果他們的答. 39. 不確定學生詳細的作法為何,亦會繼續 指定其他學生作答以找出心中期望的答 案。. (三) 「不懂,再聽一次」的猜謎 遊戲 教師進行數學相關布題後隨即要 求學生回答→學生給出幾種不同的答案 →教師邀請學生在不同答案選項下舉手 →學生各自舉手表達自己的答案選項→ 當大部分學生的選項是錯誤的時候,教 師一而再,再而三地重複類似布題;並 針對錯誤答案選項邀請學生舉手,直到 錯誤選項的舉手人數極少才停止。. 案不是你要的答案的時候,你 就會繼續找下一個? 18.師:對對對對。. 當吳老師在猜謎遊戲進行過程中 發現大部分學生所給的謎底是錯誤的時. 行4與8是教師對小智與小龍課堂. 候,「一再重複謎題」及「針對錯誤謎. 上作法的詮釋。由於教師指出兩人的作. 底選項邀請學生舉手」是其可能選擇的. 法都是錯誤的,又提及不確定小智的作. 行為方式。特別地,當教師發現學生不. 法,於是我在行15進一步向教師確認上. 懂而要求學生再聽一次時,教師並非. 課當時是否瞭解學生作法。教師在行16. 「換句話說」,而是相同問話的再次實. 不僅表示上課當時不太知道小智的做. 施,只不過使用不同教具操作。此外,. 法,甚至主動指出當時他「想趕快找一. 當教師希望能有更多學生答對時,有時. 個答案」,且「他要找的答案」就是小. 甚 至 是 以 「 會 猜 測 教 師 心 理 」, 而 非. 霖的作法。此外,教師對於我在行17對. 「真正的理解」為目標。以下以原案5. 其行為之詮釋「如果他們的答案並非你. 及其課後晤談原案6作為例證。. 要的答案時,你就會繼續找下一個」連. 教學原案5. 聲表示贊同。由此可知,教師提問時,. 1.師: 最後成幾度(老師將秒針由數. 心中會有期望的答案。當學生發表時,. 字1轉到數字4)?你們覺得它. 教師會拿期望的答案與學生做法相比. 是幾度?. 較,當發現學生作法不符期望時,即使. 2.(有些學生說90,有些學生說哪有.

(18) 40 教育與心理研究 31 卷 4 期. 90) 3.師:幾度?你覺得是90度的舉手. 根磁鐵棒置於數字4的位置), 這樣幾度?. 4.(霖舉手). 18.眾生:90. 5.師: 好,放下,覺得不是90度的舉. 19.師: 那兩條線怎樣(教師在兩根磁. 手 6.(全班大部分學生都舉手) 7.師: 好 , 放 下 , 小 熠 你 覺 得 是 幾 度?. 鐵棒所夾角上比出垂直的記 號)? 20.有些學生:垂直 21.師: 那兩條線有垂直,所以發現它. 8.熠:90. 這樣張開的時候(教師用兩手. 9.師: 好,再看一次,從1開始轉到4. 比出同時向外張開的動作),. 喔(老師將秒針由數字1轉到數. 我們很清楚的看到裡面的角變. 字4),用你的手試試看,從1開. 大了對不對(教師固定一手另. 始轉到4,你覺得大概幾度(老. 一手畫弧)?. 師將扇子的一端固定在數字12 和1之間,慢慢張開扇子使另一. 22.眾生:對. 在行1,教師對全班的數學布題是. 端停在數字4和5之間)?. 「秒針由數字1轉到數字4的角度為. 10. (有些學生說90度,有些說不是,. 何」。由於臺下學生出現的答案有「90. 有些搖頭). 度」及「不是90度」兩大類,故教師邀. 11.師:好,覺得不是90度的舉手. 請學生在這兩種答案下舉手,結果班上. 12.(大約一半的學生舉手). 大部分學生的答案都是「不是90度」,. 13.師: 好 , 放 下 。 把 你 的 手 比 出 來. 之後,教師即一再以「重複類似的布. (教師用兩手比出同時向外張. 題」作為回應。除了相同的口語「從1. 開的動作),從1到4,用你的. 轉到4這樣幾度?」外,尚包括不同教. 手張開來(教師用兩手比出同. 具的操作提示,例如行9「將秒針由數. 時向外張開的動作)。. 字1轉到數字4」及「將扇子的一端固定. 14.(有的學生有比,有的學生沒比). 在數字12和1之間,做張開的動作使另. 15.師:來,還覺得不是90度的舉手。. 一端在數字4和5之間」;行13「用兩手. 16.(只剩小勳舉手). 比出同時向外張開的動作」;行17「將. 17.師: 好,我拿磁鐵棒來看喔!看這. 兩根磁鐵棒分別置於數字1和數字4的位. 邊,從1(將一根磁鐵棒置於. 置」。特別地,教師每重覆一次布題,. 數字1的位置)轉到4(將另一. 必以問句「覺得不是90度的舉手」調查.

(19) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 41. 學生的答案分布有無改變,而學生的舉. 好像都是你一直問說它是幾. 手人數亦逐次減少,甚至到最後大家都. 度,小朋友一開始很多人不是. 說是90度。以下將進一步以課後晤談原. 90度,然後慢慢的不是90度的. 案呈現教師對此段互動中的自身行為與. 人愈來愈少。會不會是因為你. 學生行為的解讀。. 這樣問,他們就覺得說可能這. 晤談原案6. 個答案是錯的,下一次就越來. 1.研: 一開始好像全班很多人都不知. 越少人舉手了,然後就都不舉. 道它這樣是90度,你的處理方 式是什麼?你就覺得很訝異。 2.師: 對對對,就再給他們提示一下 看能不能有比較多人知道。 3.研: 你用什麼樣的提示方式?你接 著做了什麼事?. 手了? 8.師: 所以在教法上應該請幾個同學 來說明 9.研:你覺得呢? 10.師:那時候有點緊張。 11.研:沒關係,其實你不用緊張。. 4.師: 我在做,然後甚至到最後是用. 12.師: 可能那時候可以找幾個上來,. 那個磁鐵,就是用兩條線出來. 問他做了什麼現在改變答案,. 的時候,他們看得很清楚,所. 為什麼他知道。其實這個是概. 以我大概做了三次到四次啦,. 念問題啦,因為有的人看到,. 後來就用扇子啦,可是扇子在. 有的人就看不到。. 張開,我覺得他們還是看不清. 13.研: 你覺得一開始知道它是90度的. 楚,到最後我就用這個東西,. 人,為什麼他會知道是90度,. 用磁鐵條來做,他們就可以分. 為什麼他不會覺得那是85度?. 辨出來。 5.研: 你覺得他們真的瞭解說這樣是 90度了嗎?. 14.師: 他的連結,像小熠他很早就知 道了,第六組的。 15.研:小熠,班長啊?. 6.師: 到最後用兩條磁鐵條的時候他. 16.師: 對對對,他很早就知道了,因. 應該知道,因為可能用扇子是. 為有的人看到那個東西張開. 整個面,整個面它無法連結到. 來,他就大概知道,因為他知. 這個線,下次有機會再跟他們. 道老師要給他的答案就是標準. 講一下。. 的,會給他們一個他們以前學. 7.研: 你會不會想到說應該要怎樣讓. 過的,他們應該知道的答案,. 小朋友講,因為我剛剛看起來. 所以他可能一開始就知道那個.

(20) 42 教育與心理研究 31 卷 4 期. 是90度,所以有幾個那時候有. 學過的內容『幾點的時候是90度』並猜. 講,有幾個有講,但是我可能. 測其與本題答案間的關係」,而非「真. 希望說大多數的人知道,所以. 正期望學生理解的『換句話說』」。. 才一直往下延伸。. 在行1之前,教師曾表示自己對於 為什麼這麼多學生不知道這題的答案是 90度感到很奇怪,所以在課堂上一直重. 二、 班級互動類型之二: 「學生寫,老師說」的 遊戲. 複這個地方。在行1,我問教師當時的. 「學生寫,老師說」是個案教室. 處理方式是什麼,教師表示自己進行的. 內另一主要的班級互動類型,其中,學. 是「提示」行為,目標是「希望能有比. 生扮演「解題者」及「記錄者」角色,. 較多人知道」。另外,教師在行4及6指. 吳老師則扮演「代為發表者」角色。由. 出在這三到四次提示當中,扇子對於學. 於吳老師的說與學生的寫有不同的連接. 生的瞭解較沒有幫助因「整個面它無法. 方式,故此一遊戲又可進一步區分為下. 連結到這個線」,但「兩條磁鐵棒出現. 述三類:. 時,學生就看的很清楚」。換言之,教. (一) 「學生寫,老師挑著說」的 遊戲. 師將錯誤選項舉手人數的減少視為是最 後操作之教具⎯⎯兩條磁鐵棒的功勞, 而不將教師問話的強烈暗示考慮在內。 甚至,當我在行13問教師為什麼 學生能「看出」答案是90度而非85度, 教師以班長小熠為例,指出原因在於 「因為他知道老師要給他的答案就是標. 教師進行數學相關布題並指定各 組代表上臺解題→各組代表在臺上解 題,其他學生在臺下解題→教師選擇自 己意圖講解的紀錄對全班以簡短問答形 式講解。. 準的,會給他們一個他們以前學過的,. 此一遊戲中,學生所提供的解題. 他們應該知道的答案」。由教師此一回. 紀錄僅作為教師後續選擇意圖講解內容. 答可推知,課堂上教師一開始的錯愕應. 之素材。此時,「學生解題紀錄」的意. 在於「為何學生無法『看出』數字1到4. 義僅在於其出自學生之手,但他人卻無. 所成角度與之前學過的『幾點的時候是. 法聽到學生自己對該紀錄的詮釋,僅能. 90度(行32)』兩者圖形的相似性」,而. 聽到教師對該紀錄的另有詮釋。此外,. 非「為何學生無法『理解』數字1到4所. 吳老師的講解經常僅以少數不會解題的. 成角度是多少」;而後續一再重複布題. 學生為對象;有些學生亦注意到教師此. 的提示功能應在於「喚起學生想起之前. 一傾向,不僅對此感到厭煩,甚至將該.

(21) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 行為解讀為「教師為了要讓班上極少數. 會減的時候,你可以把它補一. 低智商學生聽懂所做的努力」。以下以. 個什麼?. 原案7及其課後晤談原案8作為例證。 教學原案7. 43. 8.少數學生:零 9.師:好,後面補零. 1.師: 好,我們看一下第一題(教師. 在行1之前,教師對全班的數學布. 指 第 一 組 的 直 式 「 2 - 0.63 =. 題是「2-0.63」,並限制用直式解題。. 1.37」)。這題2減掉0.63,我剛. 當各組代表上臺解題後,教師並未邀請. 剛發現大概兩三個人,他不會. 這些上臺解題的學生自行完整的說明自. 減。小邦收起來,收起來。減. 身的解題紀錄,取而代之的,教師以對. 法的時候,發現上面沒有東. 全班分段簡短問答的方式來說明學生提. 西,結果他就不知道怎麼減。. 供的解題紀錄。首先,由於教師希望提. 請問你上面有沒有東西?. 供「後面補零」的策略協助學生解題,. 2.有些學生:有啊. 故其一開始在行1雖手指第一組的直式. 3.師: 沒有的話代表是零。那這個2,. 紀錄,但在行5隨即改以第三組的直式. 你假如說2不能減63,63很大,. 「 2.00 - 0.63 = 1.37 」 作 為 講 解 的 素. 但是這個2是不是代表2?. 材。其次,由行5及7可知,教師對第三. 4.有些學生:不是. 組直式紀錄的解讀是「將原題改為整數. 5.師: 這一題啊,第三個(教師指第. 減法『200-63』後再補小數點」,至於. 三 組 的 直 式 「 2.00 - 0.63 =. 教師的此一解讀是否與原作者的想法相. 1.37」),他把後面補零對不對?. 容就不得而知了。. 假如說你不看它的話(教師用. 晤談原案8. 手遮住2.00的小數點),它是200. 1.研: 這 個 問 題 是 什 麼 ? 你 還 記 得. 減63,對不對?那200減63你會 不會減了?. 嗎? 2.師: 減法,然後用負向的數學操作. 6.君:會. 來讓學生熟悉減法的過程。像2. 7.師: 小智,第五組,看這邊。它這. -0.63,小寶就寫2.63,寫成加. 個200減63你就可以把它當整數. 法。. 相 減 等 於 137 , 對 不 對 ? 相 減. 3.研:真的嗎?. 137,那補個小數點就是1.37,. 4.師: 對對對,她到現在還不會寫,. 對不對?所以你看到整數後面. 所以後來就是給他們解釋成2就. 沒有東西的時候,你害怕你不. 是200的觀念,他們才會算,他.

(22) 44 教育與心理研究 31 卷 4 期. 們會有這種問題,所以空的話 就要補零上去。. 作,叫他們找出問題。. 課後晤談時,教師在行2及4主動. 5.研: 所以你覺得說,你用這個方法. 指 出 小 寶 尚 不 會 解 「 2 - 0.63 」 的 問. 把它換成整數之後,小寶跟小. 題,故課堂上針對「後面補零」的策略. 培他們就會了嗎?. 進行教學以協助學生解決此類問題。之. 6.師:對對對對。. 後,我在行19向教師確認「後面補零」. 7.研:喔。. 此一策略的主要教學對象是否為小寶與. 8.師:就比較簡單。. 小培,由行20可知,教師認為班上其他. 9.研: 那你覺得他們的問題到底在哪. 學生應多會解此一問題。換言之,當教. 裡呢?2-0.63 10.師: 就是2後面沒有東西他們就不 會減。 11.研:後面沒有東西他們就不會減。 12.師:對對對。 13.研:他到底知道2代表什麼嗎? 14.師: 小培可能不太清楚,小寶還可 以,這樣還可以啦,因為靠他 們那一組 15.研: 你覺得他們會操作嗎?操作這 個東西? 16.師: 操作會,畫也會,但是減法的 時候那個靠邊的不太會,畫的 那個操作他們不太會,覺得他 們的概念比較差。 17.研:那你覺得全班呢?. 師認為班上絕大多數的學生都能有效解 題時,仍會考慮少數不會解題的學生, 即使只是少數兩、三位,而進行解題策 略的講解。. (二) 「學生寫,老師補充說」的 遊戲 教師進行數學相關布題→小組解 題→教師邀請各組代表提供解題紀錄→ 各組代表陸續將紀錄置於臺前→教師針 對各組紀錄作相同相異點比較→當發現 課本內兒童的可能解法未完全出現在學 生所提供的紀錄時,教師會一再以暗示 方式進行提問,企圖補齊課本做法→學 生一再回答→當發現學生始終無法說出 教師期望中的答案時,教師會停止暗示 而直接告知,並要求學生作出該紀錄。. 18.師:應該都 19.研: 都會了,所以你把它化成整數. 由於吳老師希望學生知道所有課. 的部分,把它化成200-163主. 本內的兒童作法,故此一遊戲中學生所. 要是為了他們兩個?. 提供的解題紀錄僅作為教師判斷是否進. 20.師: 對對對,其他人應該是沒有問. 一步補齊課本作法之素材。特別地,即. 題,到時候我會讓他們寫習. 使教師清楚知道課本內特定的兒童作法.

(23) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 在數學上是不合適的,仍會補充該作法. 半圈,我們把他們跑的路線連. 並告知全班學生其為一可行的紀錄方. 成一條線,誰比較長?. 45. 式。以下以原案9及其課後晤談原案10. 7.有些學生:一圈的. 作為例證。. 8.師: 一圈的比較長對不對。這個也. 教學原案9. 一 樣 ( 指 扇 子 ), 有 人 在 上 面. 1.師: ……好,最後一個,它把這個. 跑,一個跑這麼大(教師將扇. 寫出來(教師指黑板上的時鐘. 子張開),一個跑這麼長(教師. 海報,其中一長條纸在數字12. 將扇子張得更開),這兩個弧線. 和1之間,另一長條纸在數字2. 不一樣長對不對?所以我們在. 和3之間)。. 表示角度的時候,可以不要畫. 2.師: 來,再看這邊一次,老師將扇. 裡面的東西(教師指角內畫有. 子的角慢慢張開(教師將扇子. 箭頭的白板),可以畫外面的弧. 張開後又合起來),它什麼東西. 線 ( 教 師 在 空 中 畫 弧 ), 畫 看. 在改變(教師沿著合起來的扇. 看。看這邊(教師拿出扇子),. 緣比劃弧線)?上面(教師指. 你現在有白板的把它畫上去,. 合起來的扇緣弧線),它上面這. 看這邊,第三組,第三組。. 個弧線愈來愈怎樣(教師將扇. 9.穎大聲說:老師那你還我. 子張開)?. 10.師: 不用。看這邊,來。(教師將. 3.眾生:愈來愈大. 扇子張開)畫上面這條線(教. 4.師: 愈來愈長,再看看,有沒有誰. 師沿著張開的扇緣比劃弧. 可以把這個畫出來(教師將扇. 線),來,畫畫看. 子張開)?你覺得可以表現它. 11.(學生行動中且出現喧嘩聲). 的邊,它的頂點,它裡面的那. 12.師: 來,看這邊,只要畫這個地方. 個角度,我們可以把什麼東西. 就好了(教師沿著張開的扇緣. 畫出來(教師沿著合起來的扇. 比 劃 弧 線 )。 來 , 小 育 站 起. 緣比劃弧線)?我們可以把什. 來,你把白板拿起來,你給大. 麼東西畫出來(教師將扇子張. 家看一下. 開後又合起來,接著沿著合起 來的扇緣比劃弧線)? 5.某生:角度 6.師: 像跑操場,有人跑一圈有人跑. 13. (小育拿起白板面向教師,接著稍 微將白板向右轉動給同組學生看) 14.師: 好,只要畫一條(教師在空中 畫弧),這也是角的大小,坐.

(24) 46 教育與心理研究 31 卷 4 期. 下。來,把黑板上的白板拿回. 3.研:課本上有寫是不是?. 去。. 4.師:有,對。. 在行1之前,教師對全班的數學布 題是「作出角的變化的紀錄」,並邀請 各組代表提供解題紀錄。當各組代表陸. 5.研:它是寫在…… 6.師: 它是算例子,小朋友提出來的 例子。. 續將紀錄置於臺前,且教師對學生所提. 7.研:小朋友提出來的例子。. 供的三種解題紀錄予以說明後,教師在. 8.師: 對對對,範例有四種,然後我. 行2、4、6開始一連串暗示信號,希望. 覺得這個提出來對他們來說也. 學生說出角的第四種紀錄方式⎯⎯弧. 不錯,所以就提出來。. 線,包括「老師將扇子的角慢慢張開,. 9.研: 那你覺得一般在數學上我們畫. 它什麼東西在改變」等口語,以及「不. 角,我們會畫一個弧嗎?. 斷沿著扇緣比劃弧線」的動作;在此過. 10.師:不會不會。. 程中,學生亦不斷在行3、5、7給出答. 11.研:不會。. 案。由於學生始終無法說出教師期望的. 12.師: 但是這個弧度我覺得它……,. 答案,教師最後在行8以口語「所以我. 因為他們以後就會學到面積,. 們在表示角度的時候,可以不要畫裡面. 就會說到那個弧長,我覺得也. 的東西,可以畫外面的弧線」直接告知. 有關聯,那我就是把它講出. 全班,並要求全班作出「弧線」的紀. 來。. 錄,甚至在行12邀請小育展示其紀錄。. 13.研: 如果說課本裡面有四種兒童作. 至於教師為何補充弧線作為角的變化的. 法,小朋友只寫出兩種作法,. 紀錄,可由下述課後晤談原案看出。. 你會把另外兩種也補充上去給. 晤談原案10. 小朋友知道是不是?. 1.研:你這邊是要做什麼?. 14.師:對對對。. 2.師: 因為表現方法有很多種,其實. 15.研: 所 以 對 你 而 言 , 教 這 個 弧 也. 他們已經把標準的寫出來了,. 是,就是說課本有四種方法,. 但是還有一種弧線的,因為以. 你就希望小朋友也都知道這樣. 前沒有講過這個東西,那其實. 子。. 課本有講到這個,那我覺得弧. 16.師:對對對。. 線這個其實他們可以想出來也. 在行1,我問教師為何要在班上補. 不錯,他們沒有想出來所以我. 充弧線作為角的記號,由行2可知,由. 就補充這個弧線長度。. 於課本上有四種兒童作法,上臺學生只.

(25) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 47. 做出其中三種,尚未有人以弧線作為角. 條的話,是不是只有五種對不. 的記號,故教師進一步補齊弧線此一課. 對?(教師拿起百格紙卡展. 本作法。特別地,由行10可知,教師在. 示)它一共有十條,一條是0.1. 對全班補充以弧線作為角的記號的同. 的話,所以這樣配起來是不是. 時,教師清楚知道數學上不會以弧線作. 只有五種。那剩下來的是不是. 為角的記號,但因教師希望學生知道所. 都是兩位和兩位?. 有課本上的兒童作法,以及認為弧線與. 2.某生:對。. 以後將學到的面積有某種關聯,故教師. 3.師:有沒有一位跟兩位的?. 選擇對全班補充弧線作為角的記號。. 4.少數學生:沒有. (三) 「學生寫,老師綜合說」的 遊戲 教師進行數學相關布題→小組解 題→教師邀請各組代表提供解題紀錄→ 各組代表陸續上臺抄寫小組紀錄→教師 以黑板上的小組紀錄為基礎向全班進行 歸納整理式的講解。. 5.師: 剩 下 的 都 是 兩 位 和 兩 位 的 。 好,看一下這個,這是什麼 (教師將第六組答案中的 0.99+0.01圈起來)? 6.君:0.99加0.01。 7.師: 0.99加0.01對不對?看黑板,它 是不是只有1個(指著0.01),另 外 一 個 有 99 個 對 不 對 ( 指 著. 由於吳老師強調「歸納整理」,故. 0.99),這也是兩個小數位在一. 此一遊戲中學生所提供的解題紀錄僅作. 起,99和1個小數和在一起。第. 爲教師歸納整理的素材。特別地,由於. 二個小數(指著0.01)它的十分. 吳老師亦有「深化編輯意圖」的傾向,. 位的地方還是沒有。. 故當其詮釋課本編輯的意圖是讓學生瞭. 8.師: (教師將第五組的部分答案擦. 解特定分類的結果時,其可能會修正課. 掉)好,看這邊(教師將第四. 本問題的進行方式,例如:改以小組討. 組答案中的0.39+0.61圈起來),. 論與競賽的方式以求得較多答案,作為. 0.39和0.61,一個是39個,一個. 進一步歸納整理的素材。以下以原案11. 是61個對不對,這兩個什麼地. 及其課後晤談原案12作為例證。. 方有差別(教師將第四組的. 教學原案11. 0.39+0.61 , 以 及 第 六 組 的. 1.師: … … 0.1+0.9 、 0.2+0.8 、. 0.99+0.01用線連接起來)?. 0.3+0.7、4和6,5和5對不對,. 9.(學生沒人回答). 就這五組對不對,所以一條一. 10.師: 它一個小數怎樣(指著0.01十.

(26) 48 教育與心理研究 31 卷 4 期. 分位上的0)?. 布題僅為「拿一張百格紙塗塗看,可以. 11.(少數學生:0). 把它分成多少張和多少張?說說看,你. 12.師: 它一個小數是0(指著0.01),. 是怎麼分的?還有沒有其他分法?」,. 這兩個十分位和百分位都有數. 教師修改課本布題而對「1的分解方. 字(指著0.39+0.61). 式」進行歸納整理的背後因素可由下述. 13.師: 大概有這幾種,一種是一位小. 課後晤談原案看出。. 數和一位小數相加的(指. 晤談原案12. 0.1+0.9),另外一種是兩位和. 1.研: 你這個問題是要做什麼?它的. 兩位。但兩位和兩位有兩種,. 教學目標是什麼?. 一種是它的十分位是0對不對. 2.師: 是 讓 他 們 去 分 類 , 就 是 1 的 分. (指0.99+0.01)?一種是兩個. 解,然後再去認識裡面分解的. 都 是 有 數 字 的 ( 指. 一些情形。. 0.39+0.61 )。 這 樣 有 沒 有 問. 3.研: 你剛剛是說要他們怎樣,用比. 題?所以你寫出來的大部分都. 賽,兩分鐘以內,然後怎麼. 在裡面。那你回去可以試看. 樣?. 看,能不能把所有的數找出. 4.師:算哪一組最……. 來,找出來的自己下課來跟我. 5.研:最快?算出最多?. 講,看兩位小數相加一共有幾. 6.師:算出最多組。. 個?這蠻多的喔你可以試看. 7.研:為什麼用這種方式?. 看。. 8.師: 就比較激勵他們去找答案這樣. 在行1之前,教師邀請各組代表上. 子。課本是用例題,只有例題. 臺將「1的分解結果」寫在黑板上。當. 三個而已,那我用這種方式,. 各組代表陸續上臺抄寫小組紀錄後,教. 讓他們……. 師自行1開始以學生紀錄為基礎,針對. 9.研:所以這裡跟課本是不一樣的?. 「1的分解方式」進行歸納整理,結果. 10.師:不一樣。. 如行13所示:1的分解方式有「兩個一. 11.研:你說課本是怎麼樣?. 位小數相加」、「兩個二位小數相加,其. 12.師: 它就直接寫三種,它本身用討. 中一個的十分位是0」,以及「兩個二位. 論的方式,可能小朋友比較好. 小數相加,兩個的十分位皆非0」等三. 還是什麼,然後課本上是挑三. 類,例子分別為0.1+0.9、0.99+0.01、. 個例題,就是它從形的上面,. 0.39+0.61。特別地,由於此處的課本. 然後去比較出來這個跟百,跟.

(27) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 分數的轉換,然後我是用那種 找更多情形,…… 13.研:你為什麼做這個修正?. 49. (一) 「猜謎遊戲」與「學生寫, 老師說」是個案教室主要的 班級互動類型. 14.師: 因為我覺得課本上那三種情形. 本研究的最大收穫是在信號飛舞. 它講好就比較沒辦法用討論的. 的四年級數學教室個案內,針對一個問. 方式,只是用舉手,那我用這. 題 的 師 生 互 動 過 程 , 以 「『 暗 示 ⎯ 選. 種方式,它可以找出更多答. 擇』的行為序列」此一操作型定義,以. 案。. 及序列中彰顯的「角色關係」兩向度,. 15.研: 所以你覺得這裡找出更多答案 是很重要的? 16.師:對對對。. 釐清「吳老師」以及「全班學生」兩單 位互動所產生的班級互動類型主要有 「猜謎遊戲」以及「學生寫,老師說」. 在行1,我問教師「兩分鐘之內看. 的遊戲等兩大類。其中,「遊戲」乃為. 哪一組討論出來的1的分解會最多組」. 「互動類型」的隱喻(metaphor)。由. 此一布題的教學目標為何?教師在行2. 於研究規劃與報告敘寫皆考慮到「學生. 指出該目標為「1的分解方式」的分. 對教師之回應」及「教師對學生之回. 類。之後,教師進一步指出小組競賽是. 應」,且讓參與之教師有發聲之機會,. 為了激勵學生找答案;且此處用學生答. 故本研究所建構之班級互動模型有效解. 案進一步分類,與課本直接告知分類結. 決先前其他班級互動研究(陳英娥,. 果是不同的。換言之,教師不僅注意到. 2003 ; 蓋 允 萍 , 2003 ; Bauersfeld,. 課本上三種不同形式的兒童可能做法. 1988; Mehan & Wood, 1975; Mehan,. 「0.1張和0.9張」、「0.25張和0.75張」、. 1979; Voigt, 1985, 1994, 1995; Wood,. 「14/100張和86/100張」;且認為課本. 1994)尚存之缺失。. 建議的教學方式是邀請學生舉手表達自. (二) 「猜謎遊戲」的師生互動重. 己解法所隸屬的選項,但因教師認為找. 點是猜測教師心中的正確答. 出更多答案以進一步分類是重要的,故. 案. 教師修正課本問題的進行方式,改以小. 「猜謎遊戲」是吳老師與全班學. 組討論與競賽的方式求得較多答案,作. 生間最主要的互動類型,由於逼近謎底. 為進一步分類的素材。. 的過程不同,猜謎遊戲又可進一步區分. 伍、結論與建議 一、結論. 為:(1)「逐步拆解」的猜謎遊戲;(2) 「再靠近一點可以看得更清楚」的猜謎 遊戲;(3)「不懂,再聽一次」的猜謎.

(28) 50 教育與心理研究 31 卷 4 期. 遊戲。不論上述哪一種,吳老師始終扮. 的互動類型」、「小組內的兩兩互動類. 演心中有正確謎底的「出題者」角色,. 型」、「小組內的多人互動類型」等皆是. 而學生則扮演不斷猜測正確謎底的「猜. 未來可進一步研究的方向。. 謎者」角色。. (二)教學方面. (三) 「學生寫,老師說」的特色. 一般而言,教師未必對任教班級. 是學生提供的解題紀錄僅作. 內的互動「會成型」以及「型為何?」. 為教師後續講解之素材. 有所察覺,當教師不滿意教室社會運作. 「學生寫,老師說」是個案教室. 現況而企圖改變時,本研究建議可透過. 內另一主要的班級互動類型,由於吳老. 班級互動模型之提供,促使教師瞭解研. 師的說與學生的寫有不同的連接方式,. 究者對該教室互動現況之解讀,以及該. 此一遊戲又可進一步區分為:(1)「學. 互動類型對學生可能產生的影響。例. 生寫,老師挑著說」的遊戲;(2)「學. 如:研究者在向吳老師描述所觀察到的. 生寫,老師補充說」的遊戲;(3)「學. 班級互動類型為「猜謎遊戲」、「學生. 生寫,老師綜合說」的遊戲。不論上述. 寫,老師說」等之後,可進一步說明該. 哪一種,教師邀請學生提供解題紀錄皆. 互動類型的可能弊端在於學生可能將數. 僅作為教師後續講解之素材,學生未有. 學學習視為不斷找尋正確答案,而非建. 向全班詮釋紀錄之機會。換言之,學生. 構解題活動類型的過程;學生可能認為. 扮演「解題者」及「紀錄者」角色,吳. 發表及講理是教師的事,不是自己的. 老師則扮演「代為發表者」角色。. 事;學生亦可能只在教師講解時才聽,. 二、建議 (一)研究問題方面. 但卻不注意聆聽同學說的話等。. (三)課程編制及師資培育方面 本研究建議課程編制單位內部應. 本研究將互動視為「暗示⎯選. 對「何謂理想的教學模式」建立共識,. 擇」的行為序列,並據以有效建構出四. 例如:何謂一個問題的「解題過程溝通. 年級數學教室個案的班級互動類型,建. 模式」,以及「解題過程合理性的討論. 議後續可以此一互動觀點為基礎,針對. 模式」,且必須將這些模式共識融合在. 四年級不同教室文化,以及不同年級的. 每次的教案敘寫上,以使使用該教材的. 班級個案,進行班級互動類型探究;此. 教師在課程實踐前有更多揣摩此一教學. 外,亦可針對數學教室內不同單位間的. 模式的機會。同樣地,師資培育者亦應. 互動類型進行探究,例如:「教師與小. 在相關課程中針對「一個問題的教學模. 組單位的互動類型」、「教師與個別學生. 式」開放參與者進行辯證,並提供可行.

(29) 數學教室內之班級互動類型研究:一個國小四年級的班級個案. 的模式及實際的教學案例供參與者瞭解 及模仿。. 參考文獻 張淑怡(2004)。從Maturana的認知生物學 看數學學習與數學教學之本質。朝陽 人 文 社 會 科 學 學 刊 , 2 ( 1 ), 109148。 陳英娥(2003)。開發數學教室的論證情境 之研究。載於國科會舉辦之「九十一 年度數學教育專題研究計畫成果討論 會」精簡論文集(頁134-145),臺北 市。 甯自強(1993a)。國小數學科新課程的精 神及改革動向⎯⎯由建構主義的觀點 來看。科學教育學刊,1(1),101108。 甯自強(1993b)。國小低年級兒童數概念 發展研究(I)⎯⎯「數概念」類型研 究(I)。行政院國家科學委員會專題 研 究 計 畫 成 果 報 告 ( NSC82-0111-S023-001)。 蓋允萍(2003)。跨領域個案班級中師生互 動的話語類型與過程技能教學的分析 研究。國立臺灣師範大學科學教育研 究所碩士論文,未出版,臺北市。 鍾靜(2005,12月)。討論式數學教學的理 論與實務。論文發表於國家教育研究 院籌備處舉辦之「運用科技增進數學 教師專業發展」學術研討會,臺北 縣。 Bateson, G. (1991). Sacred unity: Further steps to an ecology of mind. NY: Harper Collins. Bauersfeld, H. (1988). Interaction, construction, and knowledge: Alternative perspectives for mathematics education. In T. Cooney & D. Grouws (Eds.), Effective. 51. mathematics teaching (pp. 27-46). Reston, VA: NCTM and LEA. Bauersfeld, H. (1995). “Language games” in the mathematics classroom: Their function and their effects. In P. Cobb & H. Bauersfeld (Eds.), The emergence of mathematical meaning: Interaction in classroom cultures (pp. 271-289). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Bauersfeld, H. (1998). About the notion of culture in mathematics education. In F. Seeger, J. Voigt, & U. Waschescio (Eds.), The culture of the mathematics classroom (pp. 375-389). New York: Cambridge University Press. Cobb, P., & Yackel, E. (1998). A constructivist perspective on the culture of the mathematics classroom. In F. Seeger, J. Voigt, & U. Waschescio (Eds.), The culture of the mathematics classroom (pp. 158-190). New York: Cambridge University Press. Cobb, P., Yackel, E., & McClain, K. (2000). Symbolizing and communicating in mathematics classrooms: Perspectives on discourse, tools, and instructional design. Mahwah, NJ: LEA. Cooley, C. H. (1902). Human nature and the social order. New York: Scribner’s. Doyle, W. (1986). Classroom organization and management. In M. C. Wittrock (Ed.), Handbook of research on teaching (pp. 392-431). New York: Macmillan. Maturana, H. R. (1978). Biology of language: The epistemology of reality. In G. Miller & E. Lenneberg (Eds.), Psychology and Biology of Language and Thought (pp. 27-63). New York: Academic Press..

參考文獻

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