2 線規0 線 98
92 學年學科能力測驗數學考科試題
第 一 部 分 ： 選 擇 題 壹 、 單 一 選 擇 題 說明：第1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。 1.( )試問有多少個正整數 n 使得 1 2 10 n n n 為整數？(1) 1 個(2) 2 個(3) 3 個(4) 4 個(5) 5 個 2.( )若f x( )x32x2 x 5，則多項式 g x( ) f f x( ( )) 除以(x2)所得的餘式為(1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11 3.( )若(4 3 )(cos i isin ) 為小於0 的實數，則 是第幾象限角？(1) 第一象限角(2) 第二象限角(3)第三象限角(4)第四象 限角(5)條件不足，無法判斷 4.( )設 ABC 為坐標平面上一三角形，P 為平面上一點且AP AB AC 5 2 5 1 ，則 ± ± ABP ABC 積 積 等於(1) 1 5(2) 1 4(3) 2 5(4) 1 2 (5)2 3 5.( )根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的100(1 2 )% kt ，其中k 是某 個大於0 的常數。今有某訊息，假設在發布後 3 小時之內已經有 70%的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後，有 99%的人口已聽到該訊息，則 T 最接近下列哪一個選項？(1)5 小時(2) 2 1 7 小時(3) 9 小時(4) 2 1 11 小時(5) 13 小時 貳 、 多 重 選 擇 題 說明：第6 至 11 題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得 5 分，答錯不 倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲2.5 分，錯兩個或兩個以上不給分。 6.( )如右圖，兩直線L1、L2之方程式分別為L1：x＋ay＋b＝0，L2：x＋cy＋d＝0；試問下列哪些選項是正確的? (1) 0 a (2)b0(3)c0(4)d0(5)a c 7.( )如右圖，ABCD-EFGH 為一平行六面體，J 為四邊形 BCGF 的中心，如果AJ aABbADcAE，試問下列哪些選項 是正確的? (1)1 2 3 (2)b 3 a b c 2(3)a1(4)a2c(5)a b 8.( )以下各數何者為正？(1) 23 2(2) 2 log 3－1 (3) log 23 －1(4) 1 2 log 3 (5) 1 3 1 log 29.( )下列哪些函數的最小正週期為 ？(1)sinxcosx(2)sinxcosx(3)sinxcosx (4) sinxcosx (5)sinx cosx
10.( )假設坐標平面上一非空集合 S 內的點 ( , )x y 具有以下性質：「若x0，則y0」。試問下列哪些敘述對S 內 的點( , )x y 必定成立？(1)若
x
0
，則y
0
(2)若y
0
，則x
0
(3)若y
0
，則x
0
(4)若x
1
，則y
0
(5)若0
y
，則x
0
。 11.( )設 a:x4y az 10 (a 為常數)、E x1: 2y z 5 及E2: 2x5y4z 3為坐標空間中的三個平面。 試問下列哪 些敘述是正確的?(1)存在實數 a 使得 與a E1平行(2)存在實數 a 使得 與a E1垂直(3)存在實數 a 使得 , a E1, E2A
J H G F E D C B A O2 交於一點(4)存在實數 a 使得 , a E1, E2交於一直線(5)存在實數 a 使得 , a E1, E2沒有共同交點。 第 二 部 分 ： 填 充 題 說明：1.第 A 至 I 題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–34)。 2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 A. 設a a1, , ,2 a50是從1,0,1這三個整數中取值的數列。若a1a2 a50 9且(a11)2(a21)2 (a501)2 107, 則 1, , ,2 50 a a a 當中有幾項是0？答： 項。 B. 金先生在提款時忘了帳號密碼，但他還記得密碼的四位數字中，有兩個3, 一個 8, 一個 9，於是他就用這四個數字隨意排 成一個四位數輸入提款機嘗試。請問他只試一次就成功的機率有多少？ 答： 。(化成最簡分數) C. 設A(1,0) 與 B b( ,0)為坐標平面上的兩點，其中b1。若拋物線 :y2 4x上有一點P 使得ABP為一正三角形，則b = 。 D. 設P 為雙曲線 2 2 1 9 16 x y 上的一點且位在第一象限。若 1 F 、F2為此雙曲線的兩個焦點，且PF PF1: 2 1: 3，則F PF1 2的周 長等於 。 E. 在坐標空間中，通過O(0,0,0), N(0,0,1), ( ,1 11, 1) 4 4 2 P 三點的平面與球面S x: 2y2z2 1相交於一個圓C，則圓C的劣 弧NP的弧長等於 。(化成最簡分數)(所謂劣弧NP是指圓C上由N, P 兩點所連接的兩弧中較短的那一段弧。) F. 設k為一整數。若方程式kx27x 1 0有兩個相異實根，且兩根的乘積介於 5 71與 6 71之間，則k 。 G. 在只有皮尺沒有梯子的情形下，想要測出一拋物線形拱門的高度。已知此拋物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸。現甲、乙 兩人以皮尺測得拱門底部寬為6 公尺，且距底部3 2公尺高處其寬為5 公尺。利用這些數據可推算出拱門的高度為 公尺。(化成最簡分數) H. 某次數學測驗共有25 題單一選擇題，每題都有五個選項，每答對一題可得 4 分，答錯倒扣 1 分。某生確定其中 16 題可 答對；有6 題他確定五個選項中有兩個選項不正確，因此這 6 題他就從剩下的選項中分別猜選一個；另外 3 題只好亂猜， 則他這次測驗得分之期望值為 分。(計算到整數為止，小數點以後四捨五入。) I. 根據統計資料，1 月份台北地區的平均氣溫是攝氏 16 度，標準差是攝氏 3.5 度。一般外國朋友比較習慣用華氏溫度來表 示冷熱，已知當攝氏溫度為x 時，華氏溫度為 9 32 5 y x ；若用華氏溫度表示，則1 月份台北地區的平均氣溫是華氏 . 度，標準差是華氏 . 度。(計算到小數點後第一位，以下四捨五入。) 12 13 15 16 14 17 18 19 22 23 28 29 26 27 24 25 30 31 32 33 34 21 20
2 參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值 1. 一元二次方程式 ax2+bx+c=0 的公式解： a ac b b x 2 4 2 2. 1 2 1 2 2 2 1 1, ) ( , ) ( x x y y m y x y x 的直線斜率 與 通過 , x2 x1. 3. 1 (1 ) , 1 1 . n n n a r ar n S r r 等比數列 的前 項之和 4. ABC 的正弦及餘弦定理 2 2 2 (1) 2 , ( )
sin sin sin
(2) 2 cos ( ) a b c R R A B C c a b ab C 為外接圓的半徑 正弦定理 餘弦定理 5. 統計公式： 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 n n i i n i i M X x x x x n n S x X n 積 積 積 積 積 積 積 積 6. 參考數值： 2 1.414; 31.732; 5 2.236; 6 2.449; 3.142
