示例二︰質數與合成數的概念
一、課題基本資料 學習範疇： 數與代數
學習重點： 1. 認識質數與合成數的概念。
2. 學生須判別一個 100 以內的正整數是否質數和運用愛氏篩找出 100 以內 的所有質數。
已有知識： 1. 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N2「除法（二）」中認識整 除性，除數為2、5 和 10。
2. 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N4「倍數和因數」中認識因 數及找出一個數的所有因數。
［備註：部分學生可能在小學階段經已學習有關課題：4N-E2「質數及合成 數」（增潤項目）。］
規劃建議： 教師可在教授初中數學科修訂課程學習單位 1「基礎計算」學習重點 1.3
「進行正整數的質因數分解」或其他合適課題前，加入本課題的教學。
二、建議教學內容
1. 教師與學生重溫因數的概念及求一個正整數的所有因數的方法，並且透過探究活動一
（見後頁），介紹質數與合成數的概念。學生透過觀察正整數的因數數量，按因數的數 量把正整數進行分類：
(1) 質數只有 2 個因數。
(2) 合成數有 3 個或以上的因數。
(3) 整數 1 只有 1 個因數，既不是質數，也不是合成數。
2. 教師讓學生進行探究活動二（見後頁），嘗試運用愛氏篩求 100 以內的所有質數。
公元前 250 年，古希臘數學家愛拉托散尼（Eratosthenes）提出尋找 2 至 n 之間的質數 的步驟：
列出整數 2 至 n （例如 100）。
步驟 (1)：從最小的整數開始。
步驟 (2)：圈起最小的整數，然後刪去該數的其他倍數。
步驟 (3)：對剩下未加任何標記的數重覆步驟 (2)，直至所有數均有標記。
步驟 (4)：所有圈起的數就是質數。
3. 教 師 可 參 考 ETV 節 目 ： 齊 來 找 質 數
（https://www.hkedcity.net/etv/resource/441554750）。
探究活動一
1. 列出整數 1 – 20 的所有因數，觀察整數的因數數目，完成下表，並按因數的數量將整數 進行分類：
整數 因數 因數數量 整數 因數 因數數量
1 1 1 11
2 1, 2 2 12
3 13
4 1, 2, 4 3 14
5 15
6 16 1, 2, 4, 8, 16 5
7 17
8 18
9 19
10 20
2. 試依各整數的因數數量分成三類：
(1) 第一類：只有 2 個因數：2, 。 (2) 第二類：有 3 個或以上的因數：4, 。 (3) 第三類：只有 1 個因數：__________。
1. 我們稱只有 2 個因數的正整數為質數。質數的因數為 1 及該數本身。
2. 我們稱有 3 個或以上因數的正整數為合成數。
3. 整數 1 只有 1 個因數，既不是質數，也不是合成數。
3. 練習：
(a) 把右方的數中的質數圈出來： 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的數中的合成數圈出來： 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考慮所有偶數，當中有多少個質數？試列出及解釋。
參考答案
1. 列出整數 1 – 20 的所有因數，觀察整數的因數數目，完成下表，並按因數的數量將整數 進行分類：
整數 整數的因數 因數數量 整數 整數的因數 因數數量
1 1 1 11 1, 11 2
2 1, 2 2 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 6
3 1, 3 2 13 1, 13 2
4 1, 2, 4 3 14 1, 2, 7, 14 4
5 1, 5 2 15 1, 3, 5, 15 4
6 1, 2, 3, 6 4 16 1, 2, 4, 8, 16 5
7 1, 7 2 17 1, 17 2
8 1, 2, 4, 8 4 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 6
9 1, 3, 9 3 19 1, 19 2
10 1, 2, 5, 10 4 20 1, 2, 4, 5, 10, 20 6 2. 試依各整數的因數數量分成三類：
(1) 第一類：只有 2 個因數：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 。
(2) 第二類：有 3 個或以上的因數：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 。 (3) 第三類：只有 1 個因數：1。
3. 練習：
(a) 把右方的數中的質數圈出來： 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的數中的合成數圈出來： 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考慮所有偶數，當中有多少個質數？試列出及解釋。
答：所有偶數中只有 2 是質數，因為其他所有偶數的因數都最少包括 1、2 和該數，
即有 3 個或以上的因數，因此是合成數。
教師注意事項：
1. 質數和合成數的討論只限於正整數。
2. 作為教學的延續和正整數質因數分解概念的引入，教師可因應學生能力向學生說明所有 合成數，不論因數數量，由於包含 1 和自身以外的因數，必能寫成兩個非 1 及自身的數 的積，例如 4 = 2 × 2，12 = 3 × 4。教師可進一步說明若寫成該乘式中的數包含合成數，
該數可再分拆，例如 12 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2，直至數式中再沒有合成數。
探究活動二
愛氏篩 (Sieve of Eratosthenes)
1. 運用愛氏篩找出 100 以內的所有質數。
尋找 2 至 100 之間的質數的步驟：
(1) 從最小的整數開始。
(2) 圈起最小的整數，然後刪去該數的其他倍數。
(3) 對剩下未加任何標記的數重覆步驟 (2)，直至所有數均有標記。
(4) 所有圈起的數就是質數。
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2. 練習：
(a) 在 100 以內有多少個質數？在 100 以內最大的質數是甚麼？
參考答案
1. 運用愛氏篩找出 100 以內的所有質數。把質數圈出來。
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2. 練習：
(a) 在 100 以內有多少個質數？在 100 以內最大的質數是甚麼？
答：25 個。最大 97。
(b) 判定以下是否正確。
(i) 質數 × 質數 = 質數
答：不正確（因為質數只有兩個因數，而兩個質數相乘所得的積必定有多於兩 個因數。）
(ii) 質數 × 合成數 = 合成數
答：正確（因為左手邊的合成數本身已有 3 個或以上因數，所以其與質數之積 也是有 3 個或以上因數。）
三、練習
1. 寫出 100 – 130 以內的所有質數。
2. 在 150 以內最大的質數是甚麼？
3. 判定以下是否正確。
(i) 質數 × 1 = 合成數
(ii) 合成數 × 合成數 = 合成數 參考答案
1. 寫出 100 – 130 以內的所有質數。 答： 101, 103, 107, 109, 113, 127 2. 在 150 以內最大的質數是甚麼？ 答： 149
3. 判定以下是否正確。
(i) 質數 × 1 = 合成數
答：不正確（因為任何數乘以 1 不影響其因數的數目，所以質數 × 1 後仍只有兩個 因數。）
(ii) 合成數 × 合成數 = 合成數
答：正確（因為左手邊的合成數本身已有 3 個或以上因數，所以其積也是有 3 個 或以上因數。）
