示例二︰質數與合成數的概念

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示例二︰質數與合成數的概念

一、課題基本資料 學習範疇: 數與代數

學習重點: 1. 認識質數與合成數的概念。

2. 學生須判別一個 100 以內的正整數是否質數和運用愛氏篩找出 100 以內 的所有質數。

已有知識: 1. 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N2「除法(二)」中認識整 除性,除數為2、5 和 10。

2. 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N4「倍數和因數」中認識因 數及找出一個數的所有因數。

[備註:部分學生可能在小學階段經已學習有關課題:4N-E2「質數及合成 數」(增潤項目)。]

規劃建議: 教師可在教授初中數學科修訂課程學習單位 1「基礎計算」學習重點 1.3

「進行正整數的質因數分解」或其他合適課題前,加入本課題的教學。

二、建議教學內容

1. 教師與學生重溫因數的概念及求一個正整數的所有因數的方法,並且透過探究活動一

(見後頁),介紹質數與合成數的概念。學生透過觀察正整數的因數數量,按因數的數 量把正整數進行分類:

(1) 質數只有 2 個因數。

(2) 合成數有 3 個或以上的因數。

(3) 整數 1 只有 1 個因數,既不是質數,也不是合成數。

2. 教師讓學生進行探究活動二(見後頁),嘗試運用愛氏篩求 100 以內的所有質數。

公元前 250 年,古希臘數學家愛拉托散尼(Eratosthenes)提出尋找 2 至 n 之間的質數 的步驟:

列出整數 2 至 n (例如 100)。

步驟 (1):從最小的整數開始。

步驟 (2):圈起最小的整數,然後刪去該數的其他倍數。

步驟 (3):對剩下未加任何標記的數重覆步驟 (2),直至所有數均有標記。

步驟 (4):所有圈起的數就是質數。

3. 教 師 可 參 考 ETV 節 目 : 齊 來 找 質 數

(https://www.hkedcity.net/etv/resource/441554750)。

(2)

探究活動一

1. 列出整數 1 – 20 的所有因數,觀察整數的因數數目,完成下表,並按因數的數量將整數 進行分類:

整數 因數 因數數量 整數 因數 因數數量

1 1 1 11

2 1, 2 2 12

3 13

4 1, 2, 4 3 14

5 15

6 16 1, 2, 4, 8, 16 5

7 17

8 18

9 19

10 20

2. 試依各整數的因數數量分成三類:

(1) 第一類:只有 2 個因數:2, 。 (2) 第二類:有 3 個或以上的因數:4, 。 (3) 第三類:只有 1 個因數:__________。

1. 我們稱只有 2 個因數的正整數為質數。質數的因數為 1 及該數本身。

2. 我們稱有 3 個或以上因數的正整數為合成數。

3. 整數 1 只有 1 個因數,既不是質數,也不是合成數。

3. 練習:

(a) 把右方的數中的質數圈出來: 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的數中的合成數圈出來: 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考慮所有偶數,當中有多少個質數?試列出及解釋。

(3)

參考答案

1. 列出整數 1 – 20 的所有因數,觀察整數的因數數目,完成下表,並按因數的數量將整數 進行分類:

整數 整數的因數 因數數量 整數 整數的因數 因數數量

1 1 1 11 1, 11 2

2 1, 2 2 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 6

3 1, 3 2 13 1, 13 2

4 1, 2, 4 3 14 1, 2, 7, 14 4

5 1, 5 2 15 1, 3, 5, 15 4

6 1, 2, 3, 6 4 16 1, 2, 4, 8, 16 5

7 1, 7 2 17 1, 17 2

8 1, 2, 4, 8 4 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 6

9 1, 3, 9 3 19 1, 19 2

10 1, 2, 5, 10 4 20 1, 2, 4, 5, 10, 20 6 2. 試依各整數的因數數量分成三類:

(1) 第一類:只有 2 個因數:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 。

(2) 第二類:有 3 個或以上的因數:4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 。 (3) 第三類:只有 1 個因數:1。

3. 練習:

(a) 把右方的數中的質數圈出來: 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的數中的合成數圈出來: 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考慮所有偶數,當中有多少個質數?試列出及解釋。

答:所有偶數中只有 2 是質數,因為其他所有偶數的因數都最少包括 1、2 和該數,

即有 3 個或以上的因數,因此是合成數。

教師注意事項:

1. 質數和合成數的討論只限於正整數。

2. 作為教學的延續和正整數質因數分解概念的引入,教師可因應學生能力向學生說明所有 合成數,不論因數數量,由於包含 1 和自身以外的因數,必能寫成兩個非 1 及自身的數 的積,例如 4 = 2 × 2,12 = 3 × 4。教師可進一步說明若寫成該乘式中的數包含合成數,

該數可再分拆,例如 12 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2,直至數式中再沒有合成數。

(4)

探究活動二

愛氏篩 (Sieve of Eratosthenes)

1. 運用愛氏篩找出 100 以內的所有質數。

尋找 2 至 100 之間的質數的步驟:

(1) 從最小的整數開始。

(2) 圈起最小的整數,然後刪去該數的其他倍數。

(3) 對剩下未加任何標記的數重覆步驟 (2),直至所有數均有標記。

(4) 所有圈起的數就是質數。

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2. 練習:

(a) 在 100 以內有多少個質數?在 100 以內最大的質數是甚麼?

(5)

參考答案

1. 運用愛氏篩找出 100 以內的所有質數。把質數圈出來。

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2. 練習:

(a) 在 100 以內有多少個質數?在 100 以內最大的質數是甚麼?

答:25 個。最大 97。

(b) 判定以下是否正確。

(i) 質數 × 質數 = 質數

答:不正確(因為質數只有兩個因數,而兩個質數相乘所得的積必定有多於兩 個因數。)

(ii) 質數 × 合成數 = 合成數

答:正確(因為左手邊的合成數本身已有 3 個或以上因數,所以其與質數之積 也是有 3 個或以上因數。)

三、練習

1. 寫出 100 – 130 以內的所有質數。

2. 在 150 以內最大的質數是甚麼?

3. 判定以下是否正確。

(i) 質數 × 1 = 合成數

(ii) 合成數 × 合成數 = 合成數 參考答案

1. 寫出 100 – 130 以內的所有質數。 答: 101, 103, 107, 109, 113, 127 2. 在 150 以內最大的質數是甚麼? 答: 149

3. 判定以下是否正確。

(i) 質數 × 1 = 合成數

答:不正確(因為任何數乘以 1 不影響其因數的數目,所以質數 × 1 後仍只有兩個 因數。)

(ii) 合成數 × 合成數 = 合成數

答:正確(因為左手邊的合成數本身已有 3 個或以上因數,所以其積也是有 3 個 或以上因數。)

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