3 線性逼近

3 ^線性逼近

3.9 ^線性逼近

線性逼近

我們已知在函數可微分時，可以在代表函數圖形的曲線上選 擇任一點做切線。這個切線某種程度上，是在切點附近找最

「貼近」這個曲線的直線。

一個觀察是，當我們放大切點附近的圖形，可以看出切線與 函數圖形越見貼近。

於是我們若想要在已知函數值的某一點，了解附近大概的函 數值，這個觀察提供了一個辦法：以比較容易計算斜率的切 線值，逼近原本不易計算的函數值。

線性逼近

如下圖，原先函數圖形 f(x) 可能不易計算，取而代之的，若 我們已知 f(a) 跟過 a 點的切線斜率，便可以用切線函數 L(x) 逼近 f(x) 。

圗一

線性逼近

我們可以寫下切線函數的表示式：

L(x) = y = f(a) + f(a)(x – a)

於是有這樣的逼近

f(x)  f(a) + f(a)(x – a)

這個以切線逼近函數圖形的逼近法，我們稱為線性逼近

(linear approximation) ，上述的切線函數我們則稱為 f(x) 在 x= a 附近的線性部分/線性化 (linearization) 。

範例一

在 a = 1 附近線性化此函數 f(x) = ，並估計

與 的逼近值。

解:

求 f(x) = (x + 3)^1/2 的導數

f(x) = (x + 3)^–1/2

範例一 / 解

代入切線函數式

L(x) = f(1) + f(1)(x – 1)

= 2 + (x – 1)

於是我們有這樣的線性逼近：在 x 靠近 1 時有

cont’d

範例一 / 解

特別的，我們有

以及

cont’d

範例一 / 解

這個線性逼近我們以下圖呈現：

我們可以看到這個逼近的貼近程度，另一方面可以觀察到切 線圖形都在原本曲線的上方，因此這個線性逼近得到的估計 值略大於函數值。

cont’d

圗二

線性逼近

下表為 x = 1 附近函數值與線性逼近值的比較：

離 x = 1 越遠，就沒有辦法保證估計值很靠近時計值了。

L(x) 實際函數值

範例二

在什麼範圍內可以保證此線性逼近

的精確度能在 0.5 以內? 若是希望在 0.1以內?

解:

精確度在 0.5 以內，表示希望誤差

範例二 / 解

也就是

我們先從圖形來觀察：

cont’d

範例二 / 解

從圖形上觀察，發現剛好碰到圖形上下誤差 0.5 範圍界限的 兩個點大約是 P = -2.66 , Q=8.66 。

於是我們可以下結論：這個線性逼近

在 –2.6 < x < 8.6 的範圍內，估計值的精確度在 0.5 以內。

範例二 / 解

同樣，對於上下誤差 0.1 我們也可以找到剛好碰到界限的兩 個點，如下圖

圗四

在物理上的應用

線性逼近在物理上的應用

在應用問題上很常使用到線性逼近，常常我們在分析方程式 或者構造模型時，會需要用線性逼近來簡化複雜的函數。

例如在推導單擺運動的方程式時，單擺受到重力向下分量的 影響可以得到方程式

a_T = –g sin 

然而在角度  很小時，sin  與角度  的値很靠近，多半可 以用

a_T = –g 

線性逼近在物理上的應用

其實這個逼近就是線性逼近，我們在 0 的附近求 sin(x) 的導 數，

sin’(x) = cos(x) cos(0) = 1

於是有這個線性逼近

sin x  0 + 1*(x – 0) = x

微分

微分

微分 (differential) 的原意是極小量的差距，我們這裡介紹微 分的符號。

若 y = f(x)，其中 f 是可微函數。我們定義變量 dx ，意義上 表示 x 變動的量，其量很小。

而微分 dy 則是應變量 y 的線性部分的變化，我們寫成 dx 跟 x 的函數：

dy = f(x) dx

微分

這些微分量的幾何圖形意義如下圖所示：

圗五

微分

取兩個 f 函數圖形上的點 P(x, f(x)) ， Q(x + x, f(x + x)) ， 並令 dx = x 為 x 變化的增量，相應的應變量變化則為

y = f(x + x) – f(x)

切線 PR 的斜率為導數 f(x) ，因此 S 到 R 的距離便是 f(x) dx = dy

因此 dy 表示切線在變量 x 增加 x 後的變化，而 y 代表函 數在 x 增加 x 後的變化。

範例三

比較差分 y 與微分 dy 的値，其中 y = f(x) = x³ + x² – 2x + 1 ，考慮 x (a) 從 2 變化至 2.05; (b) 從 2 變化至 2.01 。

解:

(a) 計算

f(2) = 2³ + 2² – 2(2) + 1

= 9

f(2.05) = (2.05)³ + (2.05)² – 2(2.05) + 1

= 9.717625

範例三 / 解

y = f(2.05) – f(2)

= 0.717625

微分直接代入線性逼近式：

dy = f(x) dx

= (3x² + 2x – 2) dx 當 x = 2, dx = x = 0.05 ，有

dy = [3(2)² + 2(2) – 2]0.05

cont’d

範例三 / 解

(b) f(2.01) = (2.01)³ + (2.01)² – 2(2.01) + 1

= 9.140701

y = f(2.01) – f(2)

= 0.140701 當 dx = x = 0.01,

dy = [3(2)² + 2(2) – 2]0.01

= 0.14

cont’d

範例四

給定一個球面，其半徑經過測量為 21 公分，其中測量可能 有最多 0.05 公分的誤差。在考慮誤差的情況下，試問以此 測量值計算此球的體積時，產生可能的最大誤差為何？

解:

假設半徑為 r ，則體積可以寫成 r 的函數 V = r³ 。假設 r 測量時的誤差為 dr = r ，此時相應的體積誤差則為 V ，但 我們可以用微分做線性逼近：

dV = 4r² dr

範例四 / 解

於是當 r = 21, dr = 0.05 之時，有 dV = 4(21)²0.05

 277

因此計算體積時可能產生的最大誤差之估計值為 227 立方公 分。

cont’d

微分

註記:

前述範例中的誤差實際值可能太大，不好了解這個誤差的實 際影響，一個可能的估算誤差的方式是使用相對誤差

(relative error) ，也就是誤差除以整體體積的比例：

微分

此時，體積的相對誤差 dV/V ，就大約是半徑長的相對誤差 dr/r 的三倍。

在前述範例中，半徑長的相對誤差為

dr/r = 0.05/21  0.0024

而造成體積的相對誤差，大約是 0.007 。

用百分比表示，半徑長的誤差就是 0.24% ，而體積的估計值 誤差就是0.7% 。