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單元一：平方根與近似值...1

課文A：根號的意義...1

課文 B：根號的值...11

課文C：平方根的意義...28

單元一：平方根與近似值

（一）課文 A：根號的意義

這個全新的單元我們要學根號還有畢氏定理！

什麼是

根號

^呢？

我們現在用一個例子來討論一下。

如果有人問你：有一個正方形，它的面積是 ¹ ，請問他的邊長是 多少？

我們會馬上知道它的邊長是 ¹ ，因為 ^{1× 1=1} 。

又有另一個人問你：有一個大一點的正方形，它的面積是 ⁴ ，請 問他的邊長是多少？

我們也可以算出它的邊長是 ² ，因為 ^{2× 2=4} 。

那你心裡會不會想：在正方形面積從 ¹ 到 ⁴ 中間，有沒有一種 正方形它的面積是 ² ？或是有沒有一種正方形它的面積是 ³ ？ 當然有！我們先把它畫出來。

那你會不會好奇，它們的邊長分別會是多少呢？

我們來做一點簡單的觀察，你會發現當正方形面積為 ¹ 時邊長為

1 ，當正方形面積為 ⁴ 時邊長為 ² ，面積 ² 和面積 ³ 的正 方形夾在面積 ¹ 和面積 ⁴ 中間。

所以面積為 ² 和 ^{3的正方形} ，邊長應該夾在 ¹ 和 ² 中間。

我們可以大膽的猜測，邊長是 ¹ 和 ² 中間的一半，也就 ^1.5。 而當邊長為 ^1.5 時，正方形面積為 1.5 ×1.5=2.25 。

這代表在面積為 ² 和面積為 ³ 的正方形間，還夾有一個正方形，

1

它的邊長是 ^1.5 ，面積是 ^2.25 。

由於面積 ^2.25 的正方形比我們要求的面積 ² 的正方形還要大。

所以我們要試試比 ^1.5 小一點的邊長。

我們來試試邊長 ^1.4 的正方形吧!

邊長 ^1.4 的正方形面積，等於 1.4 ×1.4=1.96 。

所以我們可以發現邊長 ^1.4 的正方形面積 ^1.96 比 ² 來得小！

這代表在面積 ² 的正方形前面有一個正方形的面積是 ^1.96 。如 下圖，

因此，我們又可以知道面積 ² 的正方形，邊長應該夾在 ^1.4 到

1.5 中間。

我們繼續來試一下邊長 ^1.45 。算一下 1.45× 1.45=2.1025 ，又比面 積是 ² 的正方形大一點點。

接著再試邊長 ^1.41 ，算一下 1.41× 1.41=1.9881 ，那我就知道面積 為 ² 的正方形夾在邊長為 ^1.41 和 ^1.45 的中間。

1.41 和 ^1.45 的中間是什麼數字？

我們猜一下數字 ^1.413 ，面積等於 1.413× 1.413=1.9965 69 ，越來 越接近 ² 了！

雖然我們可以這樣一直做下去，讓面積越來越接近2。

但事實上，不管怎麼找，我們其實找不到一個曾經學過的數，它所

2

圍成的正方形面積會剛好等於 ² ！

那麼，面積為 ² 的正方形邊長究竟是什麼呢？

於是數學家們利用 〝

√

〞 (唸作根號)這個符號，創造出一種新的 數來解決這個問題。

例如，正方形面積為 ² ，我們就將邊長直接表示為〝

√

² 〞，唸 作「根號 ² 」；

同樣的，正方形面積是 ³ ，那我們就將邊長直接表示為 〝

√

3〞 ， 唸做「根號 ³ 」。

我們將

√

² 和

√

³ 這樣的數，稱做「根號數」。

有了這個符號〝

√

〞，表示一個正方形的邊長就輕鬆多了。我們 連算都不用算！只要在前面掛一個

√

就好。

正方形面積為 ² 的邊長是

√

² ，正方形面積為 ³ 的邊長是

√

³ 。 所以，我們可以將正方形面積和邊長的關係寫出下面的等式：

√

正方形面積=邊長 。

我們都知道正方形面積算法是 「邊長²=邊長 × 邊長=面積」 。 因此，如果

√

^{2 代表正方形面積為 2 的邊長，那麼 (}

√

^{2)2 就會是} 在算這個正方形面積，也就是

2

，我們就可以寫出下面的等式

(

√

²⁾²⁼

√

^{2 ×}

√

²⁼² _。

從這個等式，我們可以觀察到兩件事，第一、

√

² 的平方會等於 2，也就是 ₍

√

^{2)2=2 ，第二、}

√

^2×

√

^{2=2 。}

所以，當我們看到某一個根號數的平方時，就可以直接求出答案，

如 (

√

^{7)2 就可以馬上知道 (}

√

^{7)2=7 ，同樣的道理 (}

√

^{11)2=11 。} 而當兩個相同的根號數相乘時，我們同樣也可以直接求出答案，如

√

^7×

√

⁷⁼⁷ ，

√

^11×

√

¹¹⁼¹¹ 。

接著，我們就來做一些題目，練習上面這些觀念。

Ex1.正方形面積為 ⁵ ，則邊長為 ； 正方形邊長為

√

⁷ ，則面積為

3

2

解：我們利用 〝

√

〞 這個符號，來表示一個正方形的邊長。所以 正方形面積為 ⁵ ，則邊長就會是

√

⁵ ；

那麼正方形邊長為

√

⁷ ，則面積就會是 ⁷ 。 Ex2.計算下列各式.

(1) ₍

√

^11)2=¿

(2)

(

√

^4.9)2=¿

(3)

(

√

^23)2=¿

解：

(1)

₍ √

¹¹

⁾

²⁼

√

^11×

√

^{11=11 ，} (2)

(

√

^4.9)2=

√

^{4.9 ×}

√

^4.9=4.9 ， (3)

(

√

²³⁾²⁼

√

^23×

√

²³⁼²³

既然我們利用

√

(根號)來表示一個正方形面積的邊長的話，它就 會有一些限制！

想一下，前面說的〝

√

正方形面積=邊長 〞。

我們知道正方形面積與邊長不會有負值，所以根號內的數和根號本 身的值也不可以為負。

例如，因為不會有正方形的面積是 ⁻³ ，所以在國中階段不會有

√

⁻³ 這種數。

而因為也沒有正方形的邊長會是 ⁻³ ，所以也不會有一個數a 的 根號值是 ⁻³ ，也就是不會有

√

^a=−3 。

接下來我們要來談一談，如何比較兩個根號數的大小。如

√

² 和

√

^{53 。}

當我們要比較

√

² _和

√

⁵³ 的大小時，我們可以利用根號的定義來 想一下。

√

² _{表示正方形面積為} ² _的邊長，

√

^{53 表示正方形面積為 53 的}

邊長。如下圖，

4

5

√

² 3

√

⁵³

很明顯的知道面積為 ² 的正方形比面積為 ⁵₃ 的正方形還要大，

所以正方形面積為 ² 的邊長

√

² _{當然比正方形面積為} ⁵_{3 的邊長}

√

^{53 還要大。}

Ex3.試比較

√

⁹⁹ 和 ¹⁰ 的大小。

解：

我們想比較這兩個數值時，直接比較是很困難的，所以我們就 借用以這兩個數為邊長所圍成的面積來比較，也就是將這兩個 數分別平方：

√

⁹⁹

¿¿

¿

、

10

¿

¿¿

。

平方後的值就是以其邊長所圍成的正方形面積，當正方形面積 越大，其邊長自然越大。我們很明顯可以知道 ^100>99 ，因此

10>

√

⁹⁹ 。

重點提問

1. 請問在上面的課文中，「

√

」唸成什麼？請你用自己的話解 釋什麼是「

√

」？

2. 從上面的課文中，我們利用到根號來表示正方形邊長的大小，

也就是

√

正方形面積=邊長 ，請問這會產生什麼限制？

5

3. 要如何比較

√

⁷ 和

√

⁸ 的大小？為什麼可以這樣比較？

A.隨堂練習：

1. 以下都是正方形，請填寫它的邊長。

2. 以下都是正方形，請填寫它的面積。

3. 請算出以下的值。

(1)

√

^{6 ×}

√

^6=¿ (2)

√

^11×

√

^11=¿

6

？ 面積 ¿ 12

面積 ¿ 6

面積 ¿ 8

？

？

？ 面積 ¿ 15

面積

√

⁵ ¿

√

^{11 面積}_¿

(3) ₍

√

^15)2=¿

(4)

(

√

^23)2=¿

4. 比較下列各小題中，兩數的大小關係：(在空格中填入 ^¿ 、

¿ 、 ^¿ )

(1)

√

⁸

√

¹¹

(2)

√

^{25 5}

(3)

√

^{17 4}

(4)

√

¹¹⁴

^√

³

(5)

√

^{0.1 0.1}

7

還是不太懂，請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/watch?

v=VVDCF--actE

還是不太懂，請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/watch?

v=egPP9W_Hk7w

單元一：平方根與近似值

（一）課文 B：根號的值

從課文 ^A 我們知道根號(

√

)可以用來表示正方形的邊長。

所以我們知道正方形面積為 ² 的邊長是

√

² ；正方形面積為 ³ 的邊長是

√

³ ；正方形面積為 ⁴ 的邊長是

√

⁴ 。

而這個 ⁴ 剛好是 ² 的平方 ⁽²²⁾ ，甚至知道面積為 ⁴ 的正方形 邊長其實就是 ² ，所以我們就知道

√

⁴ _、

√

²² 、 ² 這三個是相

等的，也就是：

√

⁴⁼

√

²²⁼²

就可以將

√

⁴ 的值算出來。那麼，除了

√

⁴ 以外，還有沒有其他 數的根號數可以算出一個準確的值？

當然有！

例如：

√

9=

√

^{32=3 、}

√

16=

√

^{42=4 、}

√

25=

√

^{52=5 ...}

你有沒有發現這些可以直接算出根號值的數，剛好都是某一個數的 平方，如 9=3² 、16 ^¿42 、25 ^¿52 ，像這樣恰好是另一個數的 平方的數，我們稱作「完全平方數」。

只要根號內的數是「完全平方數」，就可以直接算出根號數的值，

如

√

⁹⁼

√

³²⁼³ 、

√

¹⁶⁼

√

⁴²⁼⁴ 、

√

²⁵⁼

√

⁵²⁼⁵ 。 接著，我們利用以下例題來練習上面的觀念。

Ex1.計算下列各數

(1)

√

⁸¹ (2)

√

⁴⁴¹ (3)

√

⁷⁸⁴ 解題思維：

我們要算出一個根號的值，要試著去看看根號內的數是否為

「完全平方數」。例如 ⁸¹ 我們一下就知道是 ⁹ 的平方了。

但是如果那個數比較大，沒辦法直接看出來，那就要先將那個 數做因數分解，再將結果兩兩配對成某個數的平方，例如

441 這個數字就稍微大了一些，所以我們利用短除法做因數 分解，

會發現 ^{441=32× 72} ，有 ² 個 ³ 、 ² 個

7 ，

所以 ^{441=(3 ×7)2} 。接下來 就可以直接算出根號

8

的值了！

解：

(1) ₈₁₌₉² ，所以

√

⁸¹⁼

√

^{92=9 。}

(2)

√

⁴⁴¹⁼

√

^32×72

¿

√

^{(3× 7)2}

¿3 ×7=21

441=3²× 7²

(3)

√

⁷⁸⁴⁼

√

^42×72

¿

√

^{(4 × 7)2}

¿4 × 7=28

784=4²× 7²

除了正整數以外，有些分數也可以利用同樣的想法去計算！

Ex2.計算下列各數

(1)

√

^{12181 (2)}

√

¹⁰⁰⁴⁴¹

解題思維：

在計算分數根號的值時，其實是跟整數的道理是一樣的，我們 也是試著將分數處理成某個分數的平方，例如 ₁₂₁⁸¹ ，分子分

9

母分別利用短除法來因式分解，像是 ⁸¹⁼⁹² 、 ^121=112 ， 因此 ₁₂₁^{81 = 9}

2

11²=( 9 11)

2

。接下來就可以直接算出根號的值了！

解：

(1)

81 121= 9²

11²=( 9 11)

2

√

^{12181 =119}

(2)

100

441= 10²

3²×7²= 10²

(3 ×7 )²=(10 21)

2

√

^100441=1021

441=3²× 7²

當遇到帶分數時，要怎麼處理呢？

Ex3.計算

√

^{1169 =¿}

解題思維：

我們在計算帶分數的根號時，我們必須要先化成假分數，

1 9 16=25

16 ，然後再處理成某個分數的平方， ²⁵₁₆⁼⁽⁵₄⁾

2

。接下 來就可以直接算出根號的值了！

解：

1 9 16=25

16=5² 4²=(5

4)

2

√

^{1169 =}

√

²⁵¹⁶⁼

√

^(54)2=54

10

有些同學會以為，在計算

√

^{1169 時，認為根號內的1 是 12 、}

9 是 ³² ，而16 是 ⁴² 。所以就將

√

^{1169 誤認為會等於 134 。}

如果，

√

^{1169 真的等於 134 ，那代表 134 平方後會等於}

1 9 16 。

我們試著來做一下 ¹³₄ 的平方，看看它會不會真的等於 ¹₁₆⁹ 。

(13 4)

2

=(7 4)

2

=49 16=217

16

你有沒有發現 ¹³₄ 平方後，並不會等於 ¹₁₆⁹ 。 換句話說，

√

^{1169 並不等於 134 。}

所以千萬記得，在計算帶分數的根號值時，必須要先化成假分 數才可以喔！

如果是要算小數的根號時，要怎麼做呢？

Ex4.計算下列各數

(1)

√

^0.04 (2)

√

^20.25 解題思維：

在計算小數的根號時，如果這個小數一眼就可以看出是什麼數 的平方的話，就可以直接算出來，例如 ^0.04=(0.2)2 。但是有 一些稍微複雜點，就要先化為分數，例如 ^20.25=2025₁₀₀ 。 在小數化成分數當中有一個小秘訣，就是看這個小數的最小位

11

常見的錯誤...

數，像 ^20.25 的最小位數是 ⁵ ，它在百分位，所以分母就是

100 ，而分子就是 ²⁰²⁵ 。化為分數後，就可以繼續算下去 了！

解：

(1) ^0.04=(0.2)2

√

^0.04=0.2 (2) ^20.25=2025₁₀₀ ⁼⁵

2× 9²

10² =(5 ×9 10 )

2

√

20.25=5× 9 10 =45

10=4.5

當根號內的數值是某個整數或是分數的平方時，我們可以輕易的把 結果算出來，例如

√

⁴ _、

√

⁶⁴ _、

√

^{49 、}

^√

^{0.25 等…。}

但是像是

√

² 、

√

³ 這類不是某個整數或是分數的平方的，我們 就沒辦法準確得算出大小，所以我們必須透過一些方法估算出

√

² _或

√

^{¿¿3 3} 的近似值，那這些方法包括哪一些呢？

包括十分逼近法、查表法及使用計算機。

方法一：十分逼近法

我們用一個例子來說明十分逼近法是什麼：

EX5.請以十分逼近法計算出

√

^{¿¿2 2} 的近似值到小數點後第 2位。

解題思維：

要算到小數點第二位，我們就要算小數點第三位，然後針對小 數點第三位四捨五入才有辦法算出來。

我們要找出

√

^{¿¿2 2 的近似值，什麼叫作}

¿

√

^{¿2 2 的近似值，就} 是我要去找到一個 ^a ，它平方會等於2。

什麼數平方以後會是2呢？讓我們大膽的猜一下。

1²=1 、 ²²⁼⁴ ，仔細觀察剛剛這裡的數，這個數的平方是夾 在 ^{1 4} 之間，所以這個數可推測是夾在 ^{1 2} 之間。

12

2

那 ^{1 2} 之間我們把它 ¹⁰ 等分，得到

1.1、 1.2、 1.3、1.4 、 1.5… 一直到 ^1.9 。 我要的是哪一點呢？

假設用 ^1.3 ， ^1.32=1.69 還不到 ² ，所以繼續下去；

1.4²=1.96 ，很接近 ² 了，再繼續下去 ^1.52=2.25 ，超過 ² 了。而因為我們知道 ² 在 ^{1.96 2.25} 之間，所以平方等於 ² 的這個數也會在 ^{1.4 1.5} 之間。

那我再繼續把它 ¹⁰ 等分分成 ^1.41、1.42、 1.42、…、 1.49 。 那我們猜 ^1.41 好了， ^1.412=1.9881 、 ^1.422=2.0164 ，發現

2 在這兩數之間，因此平方等於 ² 的這個數會在 ^{1.41 1.42} 之間。

我們可以繼續分成 ^1.411 、 ^1.412 、 ^… 、 ^1.419 。

那要猜哪一個？比方說猜 ^{1.4112≒1.9 90921} 還不到 ² ，所以繼 續 ^1.4122≒1.9937 也還不到 ² ， ^1.4132≒1.9965 也不到 ² ，

1.414²≒1.9993 很接近了， ^1.4152≒2.0022 超過 ² 了，所以知 道此數在 ^1.414 和 ^1.415 中間。

而這兩數中間有 ^1.4141、 1.4142、 1.4143、 …、1.4149 ，所以又 可以 ¹⁰ 等分繼續算下去。

像這樣子每個段落都給它 ¹⁰ 等分，慢慢地逼近

√

² 的值，這 種方法就稱為十分逼近法。

算到最後，我們可以得到

√

^{2=1.41 4 …} 一直下去，不過這題目 沒有到這麼多位，只要求到小數第二位，所以算到 ^{1.41 4} 再對 第三位四捨五入就可以了。

解：

第一步：

1²=1 2²=4

√

^{2 介於 1 和 2 之間，}

√

^{2=1. …}

第二步：

(1.1)²=1.21 (1. 2)²=1.44 (1.3)²=1.69 (1.4)²=1.96 (1.5)²=2.25

13

2

2 1

1

√

² 4

2

√

^{2 介於 1.4 和 1.5 之間，}

√

^2=1.4 … 第三步：

1.41²=1.9881 1.42²=2.0164

√

^{2 介於 1.41 和 1.42 之} 間，

√

^2=1.41 …

第四步：

1.411²≒1.9 90921 1.412²≒1.9937 1.413²≒1.9965 1.414²≒1.9993 1.415²≒2.0022

√

^{2 介於 1.414 和 1.415 之} 間，

√

^2=1.414 … 經過小數點第三位四捨五入後，

√

^2≒1.41 方法二：查表法

接下來要介紹求根號數的近似值第二種方法：查表法。

既然叫「查表法」，那麼就會有一張表，這張表叫「乘方開方表」。

N _N²

√

N

√

10 N

14 196 3.7416 11.8321

15 225 3.8729 12.2744

16 256 4.0000 12.6491

17 289 4.1231 13.0384

既然叫做「乘方開方表」，表上當然可以看到有乘方也有開方。

例如當 ^N=14 時， ^N2 也就是 ¹⁴² 會等於 ¹⁹⁶ ；

√

^N 也就是

√

¹⁴ ，

√

¹⁴ 會接近 ^3.7416 (這個是近似值，

3.7416² 不會剛剛好等於 ¹⁴ )；

√

^{10 N} 也就是

√

¹⁴⁰ 會接近

11.8321 。

利用這張表，就可以計算相關數字的根號了！

那我們利用例題來看一下應該要怎麼使用。

EX6.利用乘方開方表，查出下列近似值。

14

2

2

(1) ¹⁷² (2)

√

¹⁵ (3)

√

¹⁶⁰ (4)

√

³²⁴

N N²

√

^N

√

^{10 N}

14 196 3.7416 11.8321

15 225 3.8729 12.2744

16 256 4.0000 12.6491

17 289 4.1231 13.0384

1 8 324 4.2426 13.4164

(1) ¹⁷² ：查 ^N=17 ，對到 N² ，得到 17²=289 。 (2)

√

¹⁵ ：查 ^N=15 ，對到

√

^N ，得到

√

^15≒3.8729 。

(3)

√

¹⁶⁰ ：查 ^N=160 ，對到

√

^{10 N} ，得到

√

160≒12.6491 。 (4)

√

³²⁴ ：在 ^N 這欄當中，發現沒有 ³²⁴ ，但是整張表可

以看到 ^N=18 ，對 ^N2 ，得到 ^182=324 ，所以可 以知道

√

³²⁴⁼

√

¹⁸²⁼¹⁸ 。

方法三：使用計算機

除了十分逼近法和查表法之外，我們還可以使用計算機，雖然通常 考試中不能使用，但是在生活中就是一個很好的幫手喔！

我們在計算機上大部分都可以找到

√

鍵，我們就是利用這個鍵 來計算根號的近似值。

例如計算

√

³

第一步：輸入數字 ³ 第二步：按下 ^√❑ 鍵

15

第三步：就可以得到答案了

√

³≒1.7320508075

可以驗證一下，用計算機計算

1.7320508075× 1.7320508075

發現非常接近 ³ ！

重點提問

1. 請舉出一個可以準確計算出根號值的數字。這類數字有什麼樣 的特性？

16

B.隨堂練習：

1. 計算下列各數 (1)

√

^100=¿

(2)

√

^324=¿ (3)

√

^576=¿

2. 計算下列各數 (1)

√

^1625=¿

(2)

√

^225784=¿

(3)

√

^121441=¿

3. 計算下列各數 (1)

√

^11125=¿

(2)

√

^31381=¿

(3)

√

^{114425 =¿}

4. 計算下列各數 (1)

√

^0.25=¿

(2)

√

^1.96=¿

(3)

√

^6.76=¿

5. (1)

√

⁵ 會介於哪兩個正整數之間？

(2)

√

⁸ 會介於哪兩個正整數之間？

(3)

√

²⁰ 會介於哪兩個正整數之間？

6. 請利用十分逼近法計算出

√

¹⁴ 的近似值到小數點底下第 2位。

17

7. 利用乘方開方表，查出下列近似值。

N N²

√

^N

√

^{10 N}

17 289 4.123 13.038

18 324 4.242 13.416

19 361 4.358 13.784

20 400 4.472 14.142

40 1600 6.324 20.000

(1) ¹⁸² (2)

√

^19=¿ (3)

√

^170=¿ (4)

√

^361=¿ (5)

√

^400=¿

還是不太懂，請看下面 影片

(十分逼近法)

https://

www.youtube.com/watch

?v=g7nrMiqiC3U

還是不太懂，請看下面 影片

(查表法)

https://www.youtube.co m/watch?

v=PUsmj3pG_cg

還是不太懂，請看下面 影片

(計算機)

https://www.youtube.com /watch?v=1wkpVssJH0E

還是不太懂，請看下面 還是不太懂，請看下面 還是不太懂，請看下面

18

影片

https://www.youtube.com/

watch?v=MAnymh61HQc

影片

https://www.youtube.com /watch?v=gcYNaIoJ5l8

影片

https://www.youtube.com /watch?v=lr9GJ5U7RFk

19

單元：平方根與近似值

（一）課文 C：平方根的意義

接下來我們來看一下「平方根」的意義。

我們以前學過平方的概念，當 ^b2=a 時，我們會說 ^a 是 ^b 的平 方，例如 ³²⁼⁹ ，我們會說 ⁹ 是 ³ 的平方。

現在我們也可以相反地過來說。也就是，當 ^b2=a 時，我們除了 可以 ^a 是 ^b 的平方外，也可以相反地說 ^b 是 ^a 的「平方根」。

比方說，

3²=9 ，我們可以說 ⁹ 是 ³ 的平方，也可以相反地說 ³ 是 ⁹ 的「平方根」。

所以我們可以這樣來解釋什麼是平方根？某個正數a 的平方根 m，就是指 m 平方後會等於 a，也就是 ^m2=a 。

因此，我們在判斷一數是否為另一數的平方根時，只要將它平方後 確認是否相等，如果真的相等，它就是另一數的平方根。

例如判斷 ¹⁵ 是否為 ²²⁵ 的平方根，只要算出 ¹⁵ 的平方(即

15² )，確認是 ²²⁵ 後，就可以確定 ¹⁵ 是 ²²⁵ 的平方根。

那麼一個正數的平方根只有一個嗎？

我們知道3 是 9 的平方根，因為 ^32=9。 而 ⁽⁻³⁾ 的平方也會等 於 ⁹ ，即

3

−¿

¿¿

，所以 ⁽⁻³⁾ 也會是 ⁹ 的平方根。

因此，我們知道一個正數的平方根會有兩個，一個是正數、另一個 是負數。

以7 的平方根來說，我們要去找到 7 的平方根，就是要找到某一 個數平方後會等於7。

我們知道 (

√

^{7)2=7 ，所以}

√

^{7 是 7 的一個平方根。}

那麼7 的另一個平方根是多少？

因為一個正數的的平方根會有兩個，一個是正數、另一個是負數。

所以7 的另外一個平方根會是負數，也就是 ⁻

√

⁷ ，因為

(−

√

⁷⁾²⁼

⁽

⁻

√

⁷

⁾

^×

⁽

⁻

√

⁷

⁾

⁼⁷

從上面的討論中，我們可以知道一個正數的平方根都會有兩個，一 正一負，正的就稱為正平方根、負的就稱為負平方根，兩個互為相 反數！

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接下來我們來做一些例題來練習。

Ex1.求下列各數的平方根

(1) ¹⁷ (2) ⁶⁴ (3) ²⁵₈₁ (4) ¹₁₆⁹ (5) ⁻¹⁶⁹

解：

(1) ¹⁷ 不是完全平方數，所以直接就知道正平方根

√

¹⁷ ， 但是平方根有兩個且互為相反數，所以負平方根就是

−

√

¹⁷ 。

(2) ⁶⁴ 是 ⁸ 的平方，所以就知道 ⁶⁴ 的平方根是 ⁸ 和

−8 。

(3) ²⁵₈₁ 的正平方根是

√

²⁵⁸¹⁼

√

^5922=59 ，但是平方根有兩個且互 為相反數，所以負平方根就是 ⁻⁵₉ 。

(4)要求 ¹₁₆⁹ 的正平方根

√

^{1169 =}

√

²⁵¹⁶⁼

√

^{5422=54 ，但是平方根}

有兩個且互為相反數，所以負平方根就是 ⁻⁵₄ 。 (5)不會有一個數的平方會是負的，所以不存在。

Ex2.回答下列問題

(1)若 ^a 的正平方根為

√

³¹ ，則 ^a=¿ ，又 ^a 的負平 方根為何？

(2)若 ^b 的負平方根為 ⁻³ ，則 ^b=¿ ，又 ^b 的正平 方根為何？

解：

(1) ^a 的正平方根為

√

³¹ ，代表

√

³¹ 的平方為 ^a ，所以

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a=(

√

^31)2=31 _，而 ^a _{的負平方根為} ⁻³¹ _。

(2) ^b 的負平方根為 ⁻³ ，代表 ⁻³ 的平方為 ^b ，所以

b=(−3)²=9 ，而 ^b 的正平方根為 ³ 。 Ex3.已知 ⁻⁷ 是 ^{2 k +3} 的負平方根，則 ^{k =¿}

解題思維：

−7 是 ^{2 k +3} 的負平方根，所代表的意思是 ^{2 k +3} 是 ⁻⁷ 的

平方， 2 k +3=(−7)² ，所以 ^{2 k +3=49} ，就可以解出 ^k 了。

解：

2 k +3=(−7)²

❑⇒2 k +3=49

❑⇒2 k =46

❑⇒k =23

Ex4.回答下列問題

(1)若 ^m2=225 ，則 ^m=¿ 。

(2)若 ⁿ²⁼⁵¹ ，且 ^n<0 ，則 ^n=¿ 。 解：

(1) ^m2=225 ，指的意思是 ^m 是 ²²⁵ 的平方根。 ²²⁵ 是

15 的平方，所以 ^m 為 ¹⁵ 或 ⁻¹⁵ 。

(2) ⁿ²⁼⁵¹ ，且 ^n<0 ，指的意思是 ⁿ 是 ⁵¹ 的負平方根，

所以 ⁿ 為 ⁻

√

⁵¹ 。

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重點提問

1. 依據課文的解釋，請你說明一下什麼是「平方根」？

並舉一個例子來解釋。

C.隨堂練習：

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1. 求下列各數的平方根 (1) ¹⁰⁰

(2) ³²⁴

(3) ₁₄₄²⁵

(4) ¹₁₀₀²¹

(5) ^1.96

2. 回答下列問題

(1)若 ^a 的正平方根為 ⁸ ，則 ^a=¿ ，又 ^a 的負平方 根為何？

(2)若 ^b 的負平方根為 ⁻

√

²⁴ ，則 ^b=¿ ，又 ^b 的正 平方根為何？

3. 已知 ⁶ 是 ^{3 m+3} 的正平方根，則 ^m=¿

4. 已知 ⁻⁹ 是 ^{2 n−1} 的負平方根，則 ^n=¿

5. 回答下列問題

(1)若 ^x2=576 ，則 ^x=¿ 。

(2)若 ^y2=68 ，且 ^{y >0} ，則 ^y=¿ 。

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還是不太懂，請看下面影片 (1)

https://www.youtube.com/watc

還是不太懂，請看下面影片 (2)

https://www.youtube.com/watch

?v=10dh6PpomdA