地電阻影像探測在地工調查之應用與問題探討

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國

立

交

通

大

學

土木工程學系

博士論文

地電阻影像探測

在地工調查之應用與問題探討

Application and Problems Analysis of ERT

for Geotechnical Investigation

研

究

生

生：

：

洪瑛鈞

指導教授

指導教授：

：

林志平

博士

中

華

民

國

１０２

１０２ 年

年

年 8

8

8 8 月

月

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地電阻影像探測在地工調查之應用與問題探討

Application and Problems Analysis of ERT for

Geotechnical Investigation

學學學

學生生生生：：洪瑛鈞：：洪瑛鈞洪瑛鈞洪瑛鈞 Student：：：：Yin-Chun Hung 指導教授

指導教授指導教授

指導教授：：：：林志平林志平林志平林志平博士博士博士博士 Advisor：：：Dr.Chih-Ping Lin ：國立交通大學國立交通大學國立交通大學國立交通大學土木工程學系土木工程學系土木工程學系土木工程學系博士論文博士論文博士論文博士論文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

In Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Doctor of Philosophy

in

Civil Engineering

August 2013

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

中華民國

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i

地電阻影像探測在地工調查之應用與問題探討

學生：洪瑛鈞指導教授：林志平博士國立交通大學土木工程學系(研究所)博士班

摘要

直流電阻法發展已將近一個世紀，近年來，技術已由一維、二維，延伸至真三維直流電阻法，但因施測難度受現場空間的限制，目前工程的應用主要仍以二維地電阻剖面影像法 (2D Electrical Resistivity Tomography, 2D ERT)為主；2D ERT 雖已廣泛應用於大地工程調查上，但生動的彩色地電阻率剖面背後隱藏了許多不確定性，若要將地電阻率剖面有效的應用在大地工程的尺度，必須提高施測的準確度及空間解析能力，或至少掌握這些不確定性，避免過份解讀施測結果。本研究主要探討二維地電阻剖面的空間解析能力及潛在的施測問題，透過新竹斷層調查及新山水庫滲漏調查二案例，發現二維地電阻剖面影像法施測成果資料解讀確實對工程師而言常是一項很大的挑戰。本研究認為電阻率剖面圖判釋過程中常遭遇的問題，包含電阻率剖面空間解析能力的問題、電阻率剖面的可信度、邊界效應之影響、三維效應之影響等問題，致影響成果判釋之合理性。因此，本研究透過數值模擬方法，建立數種不同地質模型，包括：單一水平層面

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ii 地層、水平夾層地層、單一垂直層面地層、垂直夾層層面、複合地層、傾斜層面地層及土石夾雜地層等簡化模型，定性探討不同地質狀況二維地電阻剖面空間解析能力的特性。另由於二維地電阻施測時常受到三維效應及邊界效應的影響，致二維地電阻剖面可能造成失真的現象，此效應目前尚未有詳細的評估，本研究亦透過數值模擬探討不同情境的可能 3D 效應、邊界效應，並建立新竹斷層、新山水庫案例的三維模型，探討此二效應造成的影響。經由本研究的案例分析及數值模擬評估發現，三維及邊界效應確實會影響施測結果，造成判釋誤差；透過數種不同地質模型的模擬結果，發現地層變化對二維地電阻剖面影響的變化規則，本研究亦提出判讀上的建議，以提升未來在成果資料判釋的準確性，避免誤判及過度判讀。

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iii

Application and Problems Analysis of ERT for

Geotechnical Investigation

Student：：：：Yin-Chun Hung Advisor：：：Dr.Chih-Ping Lin ：

Department of Civil Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

Direct current (DC) electrical resistivity method has been developed for almost a century. It has evolved from the 1D, 2D, to more recently the true 3D method. However, field conditions often obstruct 3D surveys and 2D electrical resistivity tomography (ERT) remains to be the state of the practice in geotechnical investigation due to its simplicity in field works and less space requirement. The 2D ERT has been widely applied, but the uncertainty behind the obtained vivid resistivity image is not clear. Its accuracy, spatial resolution, and possible pitfalls should be understood to avoid misinterpretation.

The objectives of this study are to investigate the spatial resolution of 2D ERT measurements and its potential limitations. The challenges for engineers to interpret the 2D ERT results are manifested via two case studies including the Hsinchu fault and Hsinsan reservoir leakage investigations. The spatial resolution, reliability of inverted resistivity section, boundary effect, and 3D effect are identified as unclear problems which may significantly affect the interpretation of 2D ERT results. The

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iv

resolving ability of 2D ERT were qualitatively studied by numerical simulations of 2D ERT surveys in various geological conditions including single horizontal layer, horizontal sandwiched layer, single vertical layer, vertical sandwiched layer, inclined layer, and block-in-matrix structure. The results of 2D survey may be distorted in conditions which violate the assumption of 2D structure and infinitive boundary. This study further used 3D numerical modeling to assess how 3D effects might distort the 2D inversion in some typical scenarios. The Hsinchu fault and Hsinsan reservoir field cases were re-visited by 3D modeling to verify the results of 2D ERT under 3D conditions.

From the case studies and numerical simulations, it was shown that 3D and boundary effects may significantly influence the results of 2D ERT resulting in false interpretations. The behavior and pattern of 3D and boundary effects are revealed by the 3D modeling. Suggestions are made accordingly to facilitate reasonable interpretations of 2D ERT and avoid false or over interpretations.

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v

誌

謝

本論文承蒙指導教授林志平博士於求學期間悉心指導，給予學生在論文研究、撰寫及專業知識上的教導，在學生遭遇研究瓶頸、心情沮喪時不斷鼓勵，始能完成本論文，在此致上萬分感謝。求學期間，承蒙廖志中教授、潘以文教授、黃安斌教授、方永壽教授與單信瑜教授給予課程上的指導，在此向各位老師致上謝意。口試期間，承蒙交大土木系廖志中教授、潘以文教授、林志平教授與中央大學土木系田永銘教授、台大土木系葛宇甯副教授、中興大學水保系馮正一教授及劉興昌博士給予本論文指正與建議，使得本文更加完善，由衷感謝各位口試委員。於博士學位求學期間，承蒙林門博士班學長學弟們湯士弘博士、張宗盛博士、鍾志忠博士、林俊宏博士、吳柏林博士(博士後) 及吳德棋(博士班)等人，還有碩士班學弟政傑、和翰、仁弘、奕全、偉晉、光程人等給予諸多協助，並給予研究上的經驗分享，在此亦獻上謝意。求學期間，感謝金門大學現任校長李金振博士鼓勵我進修博士班，在我因工作、家庭及求學等多重負擔下，尤其心情低落時不斷鼓勵，我才有機會完成最後成果。最後，最要感謝的是我家人，爸媽的支持、包容與協助照顧我的一對兒女，更讓我無後顧之憂。尤其內人碧瑤，在求學期間的鼓勵與支持，雖然你已不幸離開我當天使去了，我仍然感謝妳，將今日得來不易之成就獻給你。

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vi

中文摘要...i 英文摘要... iii 誌謝...v 目錄...vi 表目錄... viii 圖目錄...ix 一、緒論...1 1.1 研究動機 ... 1 1.2 研究目的 ... 3 1.3 研究方法與流程概述 ... 4 二、文獻回顧與研究方法...5 2.1 地層的導電性質 ... 5 2.2 ERT 施測原理 ... 13 2.2.1 電探技術的發展...13 2.2.2 地層電位場分佈情形...17 2.2.3 地電阻率量測施測方法...24 2.2.4 正算與反算模式...32 2.2.5 現地施測方法選擇...42 2.2.6 解析能力相關探討...53 2.3 ERT 於地工調查之應用 ... 64 三、案例探討與評析...72 3.1 新竹斷層調查 ... 72 3.1.1 新竹斷層背景...74 3.1.2 現地施測說明...81 3.1.3 施測成果...86 3.2 新山水庫滲漏調查 ... 93 3.2.1 新山水庫背景...93 3.2.2 現地施測說明...99

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vii 3.2.3 施測成果...104 3.3 地電阻影像探測問題評析 ... 109 四、地電阻影像解析能力探討與評析... 114 4.1 地質模型 ... 114 4.1.1 單一水平層面地層... 115 4.1.2 水平夾層地層...123 4.1.3 單一垂直層面地層...133 4.1.4 垂直夾層地層...137 4.1.5 複合地層...145 4.1.6 傾斜層面地層...153 4.1.7 土石夾雜地層...161 4.2 地電阻影像評價分析 ... 172 4.2.1 靈敏度方程式之應用...172 4.2.2 建立正算模型...181 五、二維電探的三維與邊界效應...184 5.1 三維效應 ... 184 5.1.1 新竹斷層三維效應分析...186 5.1.2 新山水庫三維效應分析...203 5.1.3 具管線地層三維效應分析...209 5.2 邊界效應 ... 217 5.3 時間序列反算方法應用(Time-lapse) ... 227 六、結論與建議...230 6.1 結論 ... 230 6.2 建議 ... 233 參考文獻...235

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viii

表目錄

表 2-1 不同電極排列的擬似深度參數 ...48 表 2-2 電極排列幾何參數 ...52 表 3-1 三姓公溪周邊鑽探位置 ...78 表 3-2 竹北六家高鐵車站鑽探資料整理 ...80 表 3-3 經國橋測線鑽探資料 ...81 表 3-4 三姓公溪測線參數 ...82 表 3-5 竹北測線參數 ...84 表 3-6 經國橋測線之參數 ...85 表 3-7 新山水庫測線施測參數 ...104 表 4-1 單一水平層面地層模型參數說明表 ...116 表 4-2 水平夾層地層模型參數說明表 ...124 表 4-3 單一垂直層面地層模型參數說明表 ...134 表 4-4 垂直夾層地層模型參數說明表 ...139 表 4-5 複合地層模型參數說明表 ...147 表 4-6 傾斜層面地層模型參數說明表 ...157 表 4-7 土石夾雜地層模型參數說明表 ...163 表 5-1 斷層模型參數說明表 ...188 表 5-2 管線 3D 效應模型參數說明表 ...211 表 5-3 邊界效應地層模型參數說明表 ...219

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ix

圖目錄

圖 2-1 多孔隙介質電流傳遞路徑示意圖 ...7 圖 2-2 飛白石中黃鐵礦含量對電阻率的關係 ...8 圖 2-3 地質材料電阻率值範圍 ...8 圖 2-4 溫度對電阻率變化影響圖 ...12 圖 2-5 直流電阻法施測原理 ...15 圖 2-6 二維施測示意圖 ...16 圖 2-7 點電流源於地表產生的電位分布與電流方向 ...19 圖 2-8 地表佈設雙電流極與雙電位極示意圖 ...21 圖 2-9 雙電流極產生的電位變化 ...21 圖 2-10 介質ρ1 大於ρ2，電流在邊界上的方向改變...23 圖 2-11 （左）在不同電阻率介質下，電流線折射情形，(a)公式 2-28 狀況，(b) ρ1＜ρ2 折射情形偏向法線，(c) ρ1>ρ2 折射情形偏離法線 ....24 圖 2-12 (右)在不同電阻率介質下，電流線定量分佈情形，(a) ρ1＝ρ2 狀況， (b) ρ1＜ρ2 電流分佈較(a)緊密，(c) ρ1>ρ2 電流分佈較(a)疏鬆 ...24 圖 2-13 常見地表施測電極排列法 ...29 圖 2-14 典型 1-D 施測成果圖 ...30 圖 2-15 2-D 施測成果圖...30 圖 2-16 Wenner Array 施測流程圖...31 圖 2-17 靈敏度方程式推導的參數 ...44 圖 2-18 一維靈敏度曲線，(a)Pole-Pole 電極排列 (b)Wenner 電極排列 ....45 圖 2-19 Wenner 2D-靈敏度剖面 ...49 圖 2-20 Pole-Pole 2D-靈敏度剖面 ...49 圖 2-21 Wenner-Schlumberger 2D-靈敏度剖面 ...49 圖 2-22 Pole-Dipole 2D-靈敏度剖面 ...50 圖 2-23 Dipole-Dipole 2D-靈敏度剖面 ...50 圖 2-24 （a）探測地層中洞穴之視電阻率圖（b）反算模式（c）反算靈敏度值 ...57

圖 2-25 Wenner 於假設模型之(a)視電阻率圖(b)L2 norm 反算與(c) L1 norm 反算結果圖 ...58

圖 2-26 Wenner 於假設模型加入雜訊 3％之(a)視電阻率圖(b)L2 norm 反算與(c) L1 norm 反算結果圖 ...58

圖 2-27 Wenner 於假設模型加入雜訊 10％之(a)視電阻率圖(b)L2 norm 反算與(c) L1 norm 反算結果圖 ...59

圖 2-28 Wenner 於假設第二種模型之(a)視電阻率圖(b)L2 norm 反算與(c) L1 norm 反算結果圖 ...59

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x 圖 2-29 探討三維效應數值模型 ...61 圖 2-30 (a)砂箱不留邊界視電阻率分佈圖 ...63 圖 2-30 (b)邊界為一倍展距視電阻率分佈圖 ...63 圖 2-30 (c)邊界為一倍展距視電阻率分佈圖 ...63 圖 3-1 地電阻測線分佈位置 ...75 圖 3-2 新竹市香山區區域地質圖 ...77 圖 3-3 新竹地質剖面圖 ...77 圖 3-4 三姓橋 1～5 號鑽井位置圖 ...78 圖 3-5 新竹縣竹北市六家區域地質圖 ...80 圖 3-6 (a)新竹斷層之斷層崖特徵 ...82 圖 3-6 (b)測線與斷層線推估位置關係圖 ...83 圖 3-7 竹北六家電探施測情形 ...84 圖 3-8 新竹經國橋下河灘地現場環境 ...85 圖 3-9 (a)三姓公溪 Wenner 地電阻剖面圖 ...87 圖 3-9 (b)三姓公溪 pole-Dipole 地電阻剖面圖 ...88 圖 3-10 三姓公溪 pole-pole 地電阻剖面圖 ...88 圖 3-11 竹北六家 Wenner 地電阻剖面圖 ...90 圖 3-12 竹北六家 Pole-Dipole 施測結果 ...90 圖 3-13 竹北六家測線 Pole-Pole 施測結果 ...90 圖 3-14 經國橋測線 Wenner 施測結果 ...91 圖 3-15 經國橋測線 Pole-Dipole 施測結果 ...91 圖 3-16 經國橋測線 Pole-Pole 施測結果 ...92 圖 3-17 新山水庫位置圖(a)地形及平面圖(b)AA 剖面圖...96 圖 3-18 新山水庫大壩剖面圖 ...97 圖 3-19 同位素採樣位置分佈圖 ...97 圖 3-20 新山水庫滲漏位置圖...99 圖 3-21 Dipole-Dipole 重複性施測結果...101 圖 3-22 Wenner 重複性施測結果...102 圖 3-23 Pole-Dipole 重複性施測結果...102 圖 3-24 Pole-Pole 重複性施測結果...103 圖 3-25 新山水庫測線 C（左山脊通達道路）施測情形...105 圖 3-26 新山水庫左山脊測線 E 施測結果 ...105 圖 3-27 新山水庫測線 A（壩頂）施測情形...106 圖 3-28 新山水庫壩頂測線 A 施測結果 ...107 圖 3-29 新山水庫測線 B（殼層）施測情形...107 圖 3-30 新山水庫殼層測線 B 施測結果 ...108 圖 4-1 單一水平層面地層模型示意圖 ...116 圖 4-2 單一水平層面地層不同電阻率比結果(n＜1) ...119

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xi 圖 4-3 單一水平層面地層不同電阻率比結果(n＞1) ...119 圖 4-4 單一水平層面地層層面位於不同高程比結果(n=0.25) ...120 圖 4-5 單一水平層面地層層面位於不同高程比結果(n=4) ...120 圖 4-6 單一水平層面地層層面不同雜訊比結果(n=0.25) ...122 圖 4-7 單一水平層面地層層面不同雜訊比結果(n=4) ...122 圖 4-8 水平夾層地層模型示意圖 ...123 圖 4-9 水平夾層地層不同電阻率比結果(n＜1) ...128 圖 4-10 水平夾層地層不同電阻率比結果(n＞1) ...128 圖 4-11 水平夾層地層夾層位於不同高程結果(n=0.25) ...129 圖 4-12 水平夾層地層夾層位於不同高程結果(n=4) ...129 圖 4-13 水平夾層地層不同夾層厚度比較結果(n=0.25) ...130 圖 4-14 水平夾層地層不同夾層厚度比較結果(n=4) ...130 圖 4-15 水平夾層地層不同雜訊比結果(n=0.25) ...132 圖 4-16 水平夾層地層不同雜訊比結果(n=4) ...132 圖 4-17 單一垂直層面地層模型示意圖 ...134 圖 4-18 單一垂直層面地層不同電阻率比結果 ...136 圖 4-19 單一垂直層面地層不同雜訊比結果 ...136 圖 4-20 垂直夾層地層模型示意圖 ...139 圖 4-21 垂直夾層地層不同電阻率比結果(n＜1) ...140 圖 4-22 垂直夾層地層不同電阻率比結果(n＞1) ...140 圖 4-23 垂直夾層地層不同夾層厚度比結果(n=0.25) ...143 圖 4-24 垂直夾層地層不同夾層厚度比結果(n=0.4) ...143 圖 4-25 垂直夾層地層不同雜訊強度比結果(n=0.25) ...144 圖 4-26 垂直夾層地層不同雜訊強度比結果(n=4) ...144 圖 4-27 複合地層模型示意圖 ...147 圖 4-28 複合地層不同電阻率比結果(n＜1) ...148 圖 4-29 複合地層不同電阻率比結果(n＞1) ...148 圖 4-30 複合地層物質中心位於不同深度比結果(n＜1) ...151 圖 4-31 複合地層物質中心位於不同深度比結果(n＞1) ...151 圖 4-32 複合地層不同雜訊強度比結果(n＜1) ...152 圖 4-33 複合地層不同雜訊強度比結果(n＞1) ...152 圖 4-34 傾斜層面地層模型示意圖 ...157 圖 4-35 傾斜層面地層不同電阻率比結果(n＜1) ...158 圖 4-36 傾斜層面地層不同電阻率比結果(n＞1) ...158 圖 4-37 傾斜層面地層層面不同傾斜角度比結果(n＜1) ...159 圖 4-38 傾斜層面地層層面不同傾斜角度比結果(n＞1) ...159 圖 4-39 傾斜層面地層不同雜訊強度比結果(n＜1) ...160 圖 4-40 傾斜層面地層不同雜訊強度比結果(n＞1) ...160

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xii 圖 4-41 土石夾雜地層模型示意圖 ...162 圖 4-42 土石夾雜地層不同電阻率比結果(n＜1) ...164 圖 4-43 土石夾雜地層不同電阻率比結果(n＜1) ...164 圖 4-44 土石夾雜地層不同覆土深度比結果(n＜1) ...168 圖 4-45 土石夾雜地層不同覆土深度比結果(n＞1) ...168 圖 4-46 土石夾雜地層不同網格面積比結果(n＜1) ...169 圖 4-47 土石夾雜地層不同網格面積比結果(n＞1) ...169 圖 4-48 土石夾雜地層不同網格間距比結果(n＜1) ...170 圖 4-49 土石夾雜地層不同網格間距比結果(n＞1) ...170 圖 4-50 土石夾雜地層不同雜訊強度比結果(n＜1) ...171 圖 4-51 土石夾雜地層不同雜訊強度比結果(n＞1) ...171 圖 4-52 模型靈敏度剖面示意圖 ...173 圖 4-53 靈敏度方程式推導假設地層 ...174 圖 4-54 三姓公溪地電阻剖面圖及靈敏度剖面圖 ...177 圖 4-55 竹北六家地電阻剖面圖及靈敏度剖面圖 ...177 圖 4-56 經國橋下地電阻剖面圖及靈敏度剖面圖 ...178 圖 4-57 壩頂測線 A 地電阻剖面圖及靈敏度剖面圖 ...178 圖 4-58 殼層測線 B 地電阻剖面圖及靈敏度剖面圖 ...178 圖 4-59 左山脊測線 C 地電阻剖面圖及靈敏度剖面圖 ...179 圖 4-60 新竹斷層調查測線中心靈敏度值與深度變化之ㄧ維剖面圖 ...180 圖 4-61 新山水庫殼層測線 B 正算模擬剖面 ...183 圖 4-62 （a）正算模擬結果（b）現地量測結果 ...183 圖 5-1 斷層 COMSOL 模型 ...187 圖 5-2 斷層模型案例示意圖 ...187 圖 5-3 斷層走向與測線夾角對三維效應之影響 ...190 圖 5-4 斷層地層模型電阻率比對三維效應之影響 ...192 圖 5-5 斷層地層模型 3D 效應之影響距離（電極間距=2M） ...194 圖 5-6 斷層地層模型 3D 效應之影響距離（電極間距=1M） ...195 圖 5-7 斷層地層模型 3D 效應之影響距離（Wenner Array） ...198 圖 5-8 斷層走向與測線夾角對 3D 效應之影響（Wenner Array） ...199 圖 5-9 新竹斷層三信公溪段 ERT 數值模型 ...202 圖 5-10 新竹斷層現地調查反算結果 ...202 圖 5-11 新竹斷層三信公溪段 ERT 數值模型反算結果 ...202 圖 5-12 新山水庫測線 A 數值模型 ...205 圖 5-13 新山水庫測線 A 數值模型反算結果 ...206 圖 5-14 新山水庫測線 C 數值模型 ...206 圖 5-15 新山水庫測線 C 數值模型反算結果 ...207 圖 5-16 新山水庫大壩斷面圖與潛在滲漏區域 ...208

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xiii 圖 5-17 新山水庫壩頂測線與殼層測線合成 3D 綜合討論 ...209 圖 5-18 管線地層三維效應模型 ...210 圖 5-19 管線地層模型電阻率比三維效應之影響 ...212 圖 5-20 管線地層模型管線尺寸對三維效應之影響 ...213 圖 5-21 管線地層模型管線埋入深度對三維效應之影響 ...214 圖 5-22 管線地層模型不同電極間距三維效應影響距離 ...216 圖 5-23 邊界效應模型 ...219 圖 5-24 不同電阻率比邊界效應影響情形 ...221 圖 5-25 不同介質尺寸邊界效應影響情形 ...222 圖 5-26 介質不同深度邊界效應影響情形 ...223 圖 5-27 不同電極間距邊界效應影響情形 ...225 圖 5-28 新山水庫監測 2005 年 7 月-2006 年 8 月地電阻率剖面圖...228 圖 5-29 監測期間電阻率、庫水位及平均降雨量之變化關 ...229

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1

一

一、

、

、緒論

、

緒論

1.1 研究動機

研究動機

大地工程調查係針對工址的地質條件做調查，針對地層分佈及材料參數儘可能提供正確而詳細的資料，以供規劃分析、設計及施工之參考。地工調查愈詳細確實，可供規劃設計階段提出因應的對策及工法，施工階段時更能縮短工期、節省經費支出。傳統的地工調查最主要的方法即為鑽探作業，但鑽探因價格昂貴且僅能獲取點的資訊，若工址較大，往往無法滿足規劃者需求，而採用地球物理探測法予以輔助。地球物理探測係利用儀器探測地層的物理特性，包括波傳速度、電學性質、磁性、重力等，探測地層線或面的物理性質分佈，目前常見的工程地球物理探測方法包含折射震測、反射震測、表面波震測、透地雷達及電探等。其中，二維及三維電探技術在近幾年快速發展，本研究將探討二維直流電阻法（地電阻剖面影像法,ERT）在地工調查之應用與問題探討。過去地工調查應用最多的是震測（折射、反射、表面波等技術），地層的彈性波速與材料工程特性息息相關，但震測容易受環境震動噪音影響，此外，折射震測無法確實探測高速層下之低速層，而淺層（小於 50 m）反射震測施作相當困難，表面波震測主要是一維的探測技術，二維或三維的探測方法仍處於初步研究階段。電學方法包括透地

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2 雷達及地電阻探測，其中透地雷達與反射震測雷同，主要在探測地層界面的分佈，且其深度的定位及探測深度有限，目前地電阻探測技術已具備探測二維甚至三維地電阻率分佈的能力，且其探測深度可由測線長度彈性調整，而地電阻率與地質材料及地下水特性具有高度相關性，因此已漸漸成為地工調查主要的地球物理方法之一。直流電阻法發展已將近一個世紀，技術已由一維、二維，延伸至真三維直流電阻法；近十年來，二維探測已廣泛應用於大地工程及環境工程調查與監測，如地質調查、斷層調查、滑動層調查與監測、地下水調查與污染監測、水庫壩滲漏調查與監測及垃圾掩埋場滲漏調查與監測等。近年來，三維直流電阻法已有學者開始著手應用，但因施測難度較高，且現地常有施測空間的限制，因此目前工程的應用主要仍以二維直流電阻法為主，二維直流電阻法的應用有根本二維條件的假設，其應用常忽略邊界效應及三維效應，對於這些效應可能產生的誤差，值得進一步探討。

(18)

3

1.2 研究目的

研究目的

二維地電阻剖面影像法目前雖已廣泛應用於大地工程調查上，但生動的彩色地電阻率剖面背後隱藏了許多不確定性，若要將二維地電阻剖面影像法有效的應用在大地工程的尺度上，必須提高施測的準確度及空間解析能力，或至少掌握這些不確定性，避免過份解讀施測結果。本研究主要探討二維地電阻剖面的變化及潛在的施測問題，透過新竹斷層調查及新山水庫滲漏調查及監測二案例，探討二維地電阻剖面的問題；再透過數值模擬方法，建立數種不同地質模型，包括：單一水平層面地層、水平夾層地層、單一垂直層面地層、垂直夾層地層、土石夾雜地層、傾斜層面及土石夾雜地層等模型，探討不同地質狀況二維地電阻剖面空間解析能力的變化。另由於二維地電阻施測時常受到邊界效應及三維效應的影響，致二維地電阻剖面可能造成失真的現象，此效應目前尚未有詳細的評估，本研究亦將建立數值模型，探討此二效應造成的影響。因此，本研究的目的期望透過案例分析及數值模擬，探討地層變化對二維地電阻剖面可能的影響，並提出判讀的建 議，以提升成果資料判釋的準確性，避免誤判及過度判讀。

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4

1.3 研究方法與流程

研究方法與流程概述

研究方法與流程

概述

由上述可知本研究的動機及目的，因此本研究將於第 2 章整理出地電阻影像探測法的相關文獻，包含地層的導電性質、電探技術的發展、地層電位場分佈情形、地電阻率量測施測方法、正算與反算模式、現地施測方法選擇、時間序列反算方法原理、解析能力相關探討及地電阻影像探測法於地工調查之應用。第 3 章將以實際案例探討二維地電阻影像探測法於地工調查之應用，透過現地試驗包含新竹斷層調查及新山水庫滲漏調查二案例說明施測成效，及影像判釋遭遇之問題。第 4 章將探討地電阻影像解析能力，本研究以正算模擬方法建立各種地質模型，透過反算成果探討各種層面解析能力；為了解地電阻影像在判釋時在的可信度，本研究將比較靈敏度方程式及建立正算模擬二種方法，探討二種方法對判讀之幫助。第 5 章將探討二維地電阻剖面之三維效應與邊界效應，透過正算模型的建立及二現地試驗案例的分析，探討該效應對二維地電阻剖面的影響；另透過新山水庫滲漏長期調查，本研究利用時間序列反算方法，探討二維地電阻在滲漏監測的應用。最後，本研究將提出二維地電阻影像判釋的結論及相關建議。

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二

二、

、

、文獻回顧

文獻回顧

文獻回顧與研究方法

與研究方法

2.1 地層的導電性質

地層的導電性質

物質的電學性質主要包含下列三項，分別為導電度(electric conductivity)或電阻率（resistivity）、導磁係數(magnetic permeability)及介電常數或電容率(dielectric constant)。以下就直流電阻法電學性質之導電度說明如下: 傳遞電流的能力以導電度σ定義之，單位為 S/m；電阻率ρ為導電度的倒數，單位為 ohm-m；物質能夠具有導電特性是由於自由電荷的移動，產生電流，電阻率代表物質導電性的良劣。依歐姆定律公式（2.1）電阻 R 為導線兩端電位差 V 與其上電流 I 成線性關係時的比例常數，導線上電阻 R 單位為歐姆(ohm)，與材料特性關係如公式（2.2）表示。 I V R= / _(2.1) A l R= ρ (2.2) 其中電阻率ρ(resistivity)不隨著物質的幾何形狀而變異，電阻 R(resistance)則隨物質幾何形狀改變；假設一長度為 l，與電流方向垂直之表面積 A，電阻率為ρ的物質，則其電阻率與電阻的關係

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6 式如(2.2)式。由上式可知電阻 R 之值與面積成反比，而與電流路徑成正比。因此在取材上盡量使用高導電率，即低電阻率，則其電阻就越小。而地層之電阻率大多在 104 ohm-m(甚乾的地層)至 1 ohm-m(含海水的地層)之間。由於分佈範圍很大，不同的地層及不同含水狀態常表現明顯的電阻率差異，是電探方法判釋地層的依據。地質材料構成的主要元素為由矽氧四面體為基本單位所構成的矽酸鹽類造岩礦物，不到百分之十的非矽酸鹽類造岩礦物包含碳酸類礦物、氧化物、硫化物等，非矽酸鹽類又可分為金屬礦物與非金屬兩大類。地層的電阻率與地層材料組成、含水量、鹽度及溫度等等因素有關。常見地質材料電阻率值如圖 2-3，可知相同地質材料在不同的區域及不同之影響因素下，所顯現的地電阻率值差異非常大。 Sauer(1955)提出電流在非均質之多孔隙介質傳導，包含三種電流路徑導電模式； 1.土壤顆粒與孔隙水串聯而成的路徑、2.土壤顆粒相互接觸構成的路徑、3.孔隙溶液所構成之路徑，如圖 2-1 電流於多孔介質傳遞示意圖。Arulanandan 與 Smith（1973）提出路徑 2 之導電路徑對於整體導電度之影響不大；因土壤顆粒相互接觸的面積極小，電流主要是依連接孔隙溶液路徑傳導。無細粒料砂土與礫石導電路徑是以孔隙水傳導(Jackson 1975)，黏土土壤與含細粒料砂土、岩

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7 石的導電路徑以孔隙水與粘土礦物表面電荷傳導(Rhodes et al.1976; Urish 1981)。由圖 2-1 可知，地質材料的導電性主要是透過孔隙水的傳遞，岩石中若含有金屬礦物，除非金屬礦物含量高，才使得地質材料具備有高導電能力；圖 2-2 以飛白石中含有的黃鐵礦含量為例，當黃銅礦含量大於百分之五以上，其電阻率大幅降低（Keller,1966）。圖 2-1 多孔隙介質電流傳遞路徑示意圖（Sauer,1955）路徑 3 路徑 2 路徑 1

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8

圖 2-2 飛白石中黃鐵礦含量對電阻率的關係(Keller,1966 )

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9 Archie(1942)提出飽和狀態下，岩石電阻率與孔隙率、孔隙水電阻率的關係，公式（2.3）中ρw 為孔隙水的電阻率，n 為孔隙率；a、 m 為待定係數，取決於岩石孔隙種類與含細料成分(Parkhomenko, 1967)。間粒狀孔隙的岩石，其 a 小於 1；節理狀孔隙岩石，其 a 值大於 1。孔隙間細粒料含量多的岩石，m 大於 2；細粒料含量少者，m 小於 2。通常孔隙率在 10%~30%之間岩石 a 等於 1，m 等於 2。 m wn a − = ρ ρ _(2.3)

Keller and Frischknecht（1966）提出非飽和狀態下的電阻率

ρ與飽和狀態下電阻率ρsat的關係式，公式（2.4）其中為 S 飽和度， Scr 為臨界飽和度，n1、n2 為經驗係數；飽和度 S 大於臨界飽和度， n1 值接近 2；小於臨界飽和度，n2 值 4~5。砂岩到火成岩，

а

s 值從 0.05 增加到 0.5。(2.4)式顯示飽和度一但低於臨界飽和度，孔隙水通路減少，電阻率值迅速增大(McNeill, 1990)。 cr n s sat cr n sat S S S a S S S < = > = − − ；； 2 1 ρρ ρρ (2.4) McCarter(1984)以赤郡黏土(Cheshire)和倫敦黏土(London Clay)為試驗土樣，並就土樣飽和度、孔隙比與含水量為實驗之控制

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10

變數，進行電阻率之量測。實驗顯示當含水體積值在 30%(飽和度約為 70%)時，電阻率值趨於穩定，變化不大。

Gil and Jun（2001）以小規模室內試驗利用三種砂土和掩埋場廢液模擬受污染土樣，探討電阻率和含水量、單位重、飽和度及廢液濃度的關係；結果顯示粗糙砂土隨著含水量增加而降低電阻率，含細粒料砂土則靈敏度較低，隨著含水量增加電阻率變化不大。當砂土中含有污染液體，受離子移動影響，當加入 5％濃度污染液體時，電阻率急速下降，但當濃度達 10％以後，則電阻率趨於穩定；且砂土電阻率隨著飽和度增加而降低，但較不受砂土單位重影響。

Screedeep, Reshma and Singh(2004)利用 ERB(Electrical Resistivity Box)和 ERP(Electrical Resistivity Probe)兩種方式量測土壤電阻率；試驗以粉土(Silty Soil)和白黏土(White clay) 為試體。實驗顯示電阻率與飽和度為對數反比關係，當飽和度漸增至 40%時，電阻率急速下降，主要原因為孔隙中空氣突然被水充填；當飽和度 40-60%時，電阻率下降減緩，當飽和度大於 60%時電阻率則趨於穩定，然而飽和度小於 15%時電阻率無法量取。

Keller and Frischknecht (1966)提出孔隙水會因溫度改變而影響電阻率，由於溫度的變化會影響離子的移動速度與液體黏滯係數，

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11 而改變電阻率。公式（2.5）其中ρ18°是 18℃之下的電阻率做為參考值，T 為溫度，αt 為水黏滯係數等於 0.025，但此式不適用於岩石產生熱熔狀態和孔隙水結冰之情形。孔隙水冰凍狀態下，電阻率因無孔隙水離子的傳導，電阻率上升為ρ18°的 10~100 倍，如圖 2-4，分別表示粗顆粒與細顆粒岩石受到溫度的影響，電阻率變化現象。 ) 18 -( 1 18 t _o o T t α ρ ρ + = (2.5) 由 2.1.1 節所述，電阻率與導電度成反比關係。近年來導電度與土壤參數關係的研究及導電度的量測技術已漸成熟，以供協助了解電阻率與土壤參數的關係及影響因素。其中導電度量測的技術及理論 Hendrickx et al.(2002a)有詳細說明及介紹。而土壤的導電度因受含水量、孔隙水種類、黏土及礦物含量、有機物質含量及溫度等因素影響，所以藉由土壤中導電度的量測，除可間接推測土壤參數，目前已廣泛應用環境地工及農業上之污染調查與監測上。

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圖 2-4 溫度對電阻率變化影響圖(Keller, 1966)

導電度的量測首先由 Archie（1942）提出經驗公式，並說明在飽和狀態下，岩石跟砂土的導電度與孔隙水及孔隙率呈正比關係，之間存在之待定係數，由孔隙種類及砂土含量決定。

Waxman and Smits（1968）認為導電度與含水量、孔隙率、土壤構造及黏土含量有關，其中導電度與介質中含水量及黏土含量成正比關係；在飽含沈積層土壤中導電度與孔隙率成正比關係。近年來已有多為學者針對導電度與上述影響因素再提出經驗公式，並驗證此些經驗公式之可信度（Rhoades et al.,1989 ；Corwin and Lesch ,2003 ； Lesch and Corwin ,2005）。另溫度會影響孔隙水內離子移動速度， U.S. Salinity Laboratory Staff（1954）提出溫度每升高一度，導

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電率以 1.9％之比率隨著溫度升高，並以 250C 為參考溫度，提出（2.6）

式之經驗公式。其中 EC25 為 250C 時之導電率，ECt 為待定溫度之導電率，ft 為溫度轉換係數，由（2.7）式可求得（Stogryn ,1971; Rhoades et al.,1999b; Wraith and Or,1999；Sheets and Hendrickx ,1995）。

t tEC f EC25 = （2.6） 815 . 26 4034 . 1 4470 . 0 t t e f − + = _（2.7）綜上所述，電阻率與孔隙率成反比關係；當含水量增加時，電阻率下降，在未達飽和度時，電阻率下降速度快速，但當飽和度達到某一程度時，電阻率下降緩慢，並漸呈現一穩定現象；當溫度愈高，則電阻率下降。所以地質層面導電度因受孔隙率、飽和度、地下水位、溫度、物質種類等種種因素影響，致電阻率剖面不具唯一性，無法以定量及定性化描述施測成果。

2.2 ERT

施測原理

2.2.1 電探技術的發展電探技術的發展電探技術的發展 電探技術的發展

地電阻影像剖面法（Electrical Resistivity Tomography）簡稱為 ERT，直流電地電阻法的施測方法是將電極插入地表，傳導直流電或非常低頻交流電進入地底產生人為電場，經由一對電位極量測電位

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14 差，依據電極排列方式不同及電極的移動，對應到不同的空間幾何因子，得到的電阻率稱為視電阻率(apparent resistivity)，經由反算分析獲得接近實際的電阻率值。圖 2-5 為直流電阻法施測原理圖。直流電地電阻法依探測方式有一維、二維、三維形式，一維探測可分為垂直探測(vertical sounding)與橫向探測(profiling)；二維探測或稱為地電阻影像剖面法(electrical resistivity tomography, ERT)是綜合一維探測的垂直與橫向探測結果組成擬似剖面(pseudo-depth)；三維探測是佈設一矩型陣列的電極，得到 3D 似電阻剖面。電探技術的發展早在 1906 年在瑞典開始進行施測（Petersson 1907），1912 年 Schlumberger 開始研究電探方法，而提出

Schlumberger 電極排列方式（Schlumberger,1920），同時期 Wenner 在美國發展出 Wenner 電極排列方式（Kunetz, 1966）。一維VES 探測理論在 1920 年代開始發展( Gish and Rooney, 1925)，施測時利用移動 2-4 根電極棒獲取地電阻率，較耗費時間。為解決施測時耗費人力及時間，多段連續式施測系統（multi-electrode systems）開始發展，Barker（1981）起初利用人為控制取得資料，Dahlin（1989）完成自動量測電腦控制系統獲取資料，並且可以控制資料之品質，大

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15

大縮短施測之時間及人力。由於自動量測系統及反算之技術日亦增進，也促使二維 ERT 開始廣泛應用於大地工程及環境工程之調查及監測上（e.g. Griffiths and Barker, 1993; Dahlin and Loke,

1998),），如圖 2-6。為了獲取測線週邊更詳細電阻率資料，目前三

維電探技術正逐漸發展中(e.g. Li, 1992; Oldenburg and Li, 1994; Zhanget al., 1995; Loke and Barker, 1996b)，未來將可更提升施測成果之解析能力。

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16

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17 2.2.2 地層電位場分佈情形地層電位場分佈情形地層電位場分佈情形地層電位場分佈情形 (1)單電流極於均質均向地層電位場在均質均向物質中於電流極輸入直流電(視為點電源)傳導，其中輸出電流極在無窮遠處，依歐姆定律結果(Ohm’s Law)(2.8)式，電流密度與電場強度比值為導電度值。 E J =σ _(2.8) 在穩態電流(steady current)狀態，電流密度不隨時間改變，所以電流連續方程式(equation of continuity) (2.9)式可改寫成 (2.10)式 t q J ∂ ∂ = • ∇ (2.9) 0 = • ∇ J _(2.10) 其中 J 為電流密度、σ為導電率、E 為電場強度。電位與電場的關係如(2.11)式。電位的 Laplace 控制方程式如(2.12)式，其中 V 為電場。 V E=−∇ _(2.11)

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18 0 2 = ∇V _(2.12) 在球座標系統之下，不考慮θ、ψ方向，(2.13)式可以寫成(2.14) 式，求解得到(2.15)式，假設在無窮遠處電位為零，則常數 B=0。 0 2 2 ∂ = ∂ + ∂ ∂ R V R R V (2.13) B R A V = − + (2.14) R A V = − (2.15) 其中 R 等於球半徑，A、B 為常數項。若電流極注入外加電流強度為 I，I 等於垂直電流方向之表面積與電流密度的乘積。入電流極位於地表處，視為點電流源，以該點為球體中心，假設空氣的電阻率無限大，則電流以徑射方向所通過的半球體面積為 2πR2；電流強度與電流密度的關係式如(2.16)式。(2.8) 式帶入(2.11)式得到(2.17)式，從(2.17)和(2.16)式，得到(2.18) 式 J R I =2π 2 _(2.16) V J =−σ∇ _(2.17)

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19 R V R I ∂ ∂ − = π 2σ 2 (2.18) 將(2.17)式乘上 R2 之後對 R 積分一次得到(2.19)式，帶入(2.18) 式，求解得到 A 值(2.20)式。由(2.15)式和(2.20)式得到單一電極位於地表之電位分佈如(2.21)式所示 2 R A R V ₌ ∂ ∂ (2.19) π ρ 2 I A=− (2.20) R I V π ρ 2 = (2.21) 圖 2-7 表示(2.21)式的電位分布，C1 為入電流極，C2 在無窮遠處為出電流極，電位大小與距離 R 為反比關係。圖 2-7 點電流源於地表產生的電位分布與電流方向(Telford, 1990) (2) 雙電流於均質均向地層極電位場圖 2-8 中電位極(P1、P2)位於電流極之間，P1 電位極位置上由

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20 C1 電流極產生的電位為 VC1，由 C2 電流極產生的電位為 VC2，假設輸入電流極之電流為正，輸出電流極之電流為負。(2.22)式表示 VC1 、VC2 與距離成反比關係， 2 2 1 1 2 2 R I V R I V C C πρ π ρ − = = (2.22) 將 VC1 與 VC2 電位相加得到 P1 的電位 VP1，P2 的電位 VP2 受到 C1、C2，算法與 VP1 相同。(2.23)式表示 VP1 與 VP2 大小；VP1 與 VP2 相減成為電位極(P1、P2)量測到的電位差值ΔV，如(2.24)式       − =       − = 4 3 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 R R I V R R I V P P π ρ π ρ (2.23)       + − − = ∆ 4 3 2 1 1 1 1 1 2 R R R R I V π ρ (2.24) 其中 R1 等於 C1 與 P1 距離、R2 等於 C2 與 P1 距離、R3 等於 C1 與 P2 距離、R4 等於 C2 與 P2 距離。此雙電流極所產生的等電位線如圖 2-9 所示，實線為等電位線，虛線為電流線，r 與 L 之關係式為式(2.25)

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21 2 2 1 2 2 2 1 2 1 4 cos 2 tan 1 1 L r r r r t Cons r r = − + = − θ _(2.25) 圖 2-8 地表佈設雙電流極與雙電位極示意圖(Telford, 1990) 圖 2-9 雙電流極產生的電位變化(Telford, 1990) (3) 非均質地層電流分佈界面上電流與電位變化需符合兩邊界條件，一是與界面平行方向的電場需要相同，符合電場 curl-free 定理，如(2.26)式所示；另一

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22 是與界面垂直方向上的電流密度需要相同，符合電流連續定理 (divergence-less)，如(2.27)式所示。 0 E or 0 ∇× = =       × ∇ σ J (2.26) 0 = • ∇ J _(2.27) 假設二均勻介質，其電阻率分別為ρ1 與 ρ2，電流從 ρ1 流進 ρ2 介質，從介質ρ1 電流流近界面方向與界面法線夾角為θ1，電流流出界面方向與界面法線夾角為θ2，則(2.26)式由邊界上下所圍成的封閉路徑，經積分得到與界面水平方向電場大小相同，如(2.28) 式；由(2.27)式從邊界的封閉區面積分得到與界面法線方向平行的電流密度相同，如(2.29)式，或以(2.30)式表示邊界條件，如圖 2-10 所示，表示在ρ1>ρ2 條件下，邊界上 Jn1 等於 Jn2，Jt2 大於 Jt1。 1 2 2 1 2 1 2 1 or ρ ρ σσ = = = t t t t J J E E (2.28) 2 1 n n J J = _(2.29) 1 2 2 1 2 1 tan tan ρ ρ σσ θθ = = _(2.30)

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23 圖 2-10 介質ρ1 大於ρ2，電流在邊界上的方向改變 Hubbert（1940）提出（2.29）式，並進一步指出當ρ1>ρ2 時，電流流線偏離法線；當ρ1<ρ2 時，電流流線偏向法線。如圖 2-11、圖 2-12 所示。

J

n1

J

2

θ

₂

θ

₁

ρ

1

ρ

2

J

n2

J

t1

J

t2

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24 圖 2-11 （左）在不同電阻率介質下，電流線折射情形，(a)公式 2-28 狀況，(b) ρ1＜ρ2 折射情形偏向法線，(c) ρ1>ρ2 折射情形偏離法線圖 2-12 (右)在不同電阻率介質下，電流線定量分佈情形，(a) ρ1＝ ρ2 狀況，(b) ρ1＜ρ2 電流分佈較(a)緊密，(c) ρ1>ρ2 電流分佈較 (a)疏鬆 2.2.3 地電阻率量測施測方法地電阻率量測施測方法地電阻率量測施測方法 地電阻率量測施測方法地電阻剖面法之施測原理，為利用直流電或低頻交替直流電經由一對電流極 C1、C2 將電通入地下，建立人為電場。藉由地層間介質

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25 不同，而具有導電性之差異，故可利用另一對電位極 P1、P2 測量電場在P1、P2 之間的電位差，由此求出地層視電阻率（Apparent Resistivity），進而估算地下地層的導電性分佈。在一電性均質均向半空間地層中，一般施測採用四極法進行探測，由 2.2.2 節中之(2.24)式或由(2.31)式求得地層之電阻率。(2.31) 式其中 K 電極排列的幾何參數，ΔV 等於電位極量測的電位差，I 等於輸入電流強度，電阻率與材料的幾何形狀無關。由於地層實際上並非均質等向半空間介質，真實的地層可能由多層組成，因此根據式 (2.31)算得的電阻率稱為「視電阻率」(Apparent Resistivity)。通常視電阻率並不一定是地下各電性地層的真實電阻率，而是表示在設定之電極排列下，所有小於與電極排列有關之某深度範圍內之地層的綜合效應。視電阻率需再透過適當的反算法，以計算出地下地層真實的電阻率分佈(Koefoed, 1979)。 1 1 1 1 2 ; 4 3 2 1 2 1       + − − = − = ∆ ∆ = R R R R K V V V I V K P P π ρ (2.31) 施測電極棒有多種排列方式，常用的有 Wenner Array、

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26 Pole-Dipole Array 等，這些方法各有其施測環境及解析能力的使用限制，以下針對上述排列方式說明如下。 (1) Wenner Array： Wenner Array 是以一對電流極及另一對電位極 P1、P2 以測線中心為中心點成對稱狀，C1C2 的距離為 P1P2 距離的三倍，且 C1P1=P1P2=P2C2=a，測線展距為 3a，可探測的深度約為 P1P2 的間距，當加大 C1C2 及 P1P2 間距 n 倍時，測線展距變成 3na ，可逐次得到由淺至深的地層資料，如圖 2-13a。 (2) Schlumberger Array： Schlumberger Array 是以一對電流極 C1、C2，及另一對電位極 P1、P2 以測線為中心點成對稱狀向外展開。其中固定，但 C1P1 與 P2C2=na，當測深參數 n 逐漸加大時，便可以得到地層由淺至深的電阻率變化。若 n 等於 1 時，Wenner 可視為 Schlumberger 的特例，因此稱為 Wenner-Schlumberger，如圖 2-13b。 (3)Dipole-Dipole Array：雙偶極排列法(Dipole-Dipole Array) 電極排列方式的電極順

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27 序分別為 C2、C1、P1、P2，二支電流極形成一個偶極，二支電位極形成另一偶極，其中固定 C1C2=P1P2=a，但 C1P1=na，當測深參數 n 逐漸加大時，便可以得到地層由淺至深的電阻率變化，如圖 2-13c。 (4) Pole-Pole Array：雙極排列法（Pole-Pole Array）類似於傳統的四極排列法，但電流極 C2 和電位極 P2 位於無窮遠，電極間距增加 n 倍，展距變為 na。於野外施測時，C2、P2 分別和 C1、P1 間距大於 10 倍(理想為 20 倍)的 C1P1 間距(na)之外，C2 與 P2 距離最少為 2.5 倍(理想為 3 倍) 的C1、P1 間距。避免有負值或零值錯誤出現(Loke ,2003；Robian et al. 1997) ，如圖 2-13。

(5) Pole- Dipole Array：

三極排列法（Pole- Dipole Array）極排列是將電流極 C2 位於無窮遠處；其中固定 P1P2=a，但 C1P1=na，當測深參數 n 逐漸加大時，便可以得到地層由淺至深的電阻率變化。一般在現地施測不可能達到 C2 於無窮遠之理想狀況，Loke(2003)與 Takahashi(2004)認為只能盡量使 C2 與 C1 間距以及 C2 與 P1 間距，大於 10 倍(理想為 20 倍)的測深展距(C1 與 P1 間距,na) ，如圖 2-13e。

(43)

28 傳統一維探測施測後，將視電阻率與探測深度及電及間距以雙對數軸（log-log）圖呈現出，如圖 2-14，以判釋施測成果。其中一維探測施測最大缺點為無法考慮到橫向電阻率變化，致影響施測成果及判釋之可靠度。直到近幾十年來，為讓電探法在成果判釋上更準確，研究人員將一維探測的垂直與橫向探測結果所組成的擬似剖面形成二維探測，如圖 2-15，目前並已廣泛使用於大地工程及環境工程調查上。

圖 2-16 以Wenner 排列法(Wenner Array)說明 ERT 施測流程及資料收集步驟，透過測深參數 n 值的設定，電極間距的展距由小至大可得地表下由淺至深的二維地層電阻率剖面變化資料。近年來，三維施測已有越來越多位研究人員開始投入研究。由於三維施測電極棒需在一矩形面積下以網格狀佈設，所需要之電極棒數量相當多，所以擬 3D 施測法(pseudo 3D)因應而生；所謂擬 3D 施測法係指在一矩形面積內收集等間距之剖面資料，利用三維反算法將各剖面資料組成 3D 電阻率分佈圖，其佈線方式係將原 2D 直線配置改為矩形內多條平行線，各平行線連結在同一條線上，不同於真 3D 施測法電極配置需呈網格交錯狀。擬 3D 施測法施測成果之解析能力目前尚不明確，經模型模擬研究，擬 3D 施測法因缺少橫向之佈線，其解

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29

析能力當然比真 3D 施測法低，但若將平行線之間距設定等於電極間距，或控制在二倍電極間距內，其反算後之解析能力與真 3D 比較，尚在可接受之範圍內(Yang , 2006)。雖然三維探測準確度會更高，但三維探測目前尚處研究中，二維探測仍是最經濟、最佳選擇之方法。

(a) Wenner Array

(b) Schlumberger Array

(c) Dipole-Dipole Array

(d) Pole-Dipole Array

(e) Pole-Pole Array

圖 2-13 常見地表施測電極排列法 C2(∞∞∞∞) C1 P1 P2(∞∞∞∞) a C2(∞∞∞∞) C1 P1 P2 na a C2 C1 P1 P2 a na a C1 P1 P2 C2 na a na C1 P1 P2 C2 a a a

(45)

30

圖 2-14 典型 1-D 施測成果圖（Wenner array）

(46)

31 圖 2-16 Wenner Array 施測流程圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 m-1m C1 P1 P2 C2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 m -1 m C 1 n a P 1 n a P 2 n a C 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 m -1m 電極向右平移電極間距增加 C 1 P1 P2 C 2

(47)

32 2.2.4 正算與反算模式正算與反算模式正算與反算模式 正算與反算模式 (1) 正算模式由 2.2.3 節所述 ERT 施測方法係由一對電流極將電通入地下，建立人為電場，透過另一對電位極量測電位差，因地層間介質不同，而具有導電性之差異，且電極排列方式不同，因此藉由公式(2.31)所直接計算出之電阻率稱為視電阻率，由於視電阻率的計算涉及地層導電介質分佈不一、電位差求解數量龐大及邊界條件等因素，因此必須透過數值方法求解，此數值方法稱為正算模式。 I z V z y V y x V x  =−    ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ +     ∂ ∂ ∂ ∂ _σ _σ _σ （2.32）邊界條件 0 = ∂ ∂ n V 在地表面 0 cos = + ∂ ∂ r n V θ 在其他處公式(2.32)為正算模式之控制方程式，其中 V 為待求解之電位差、I 為送電流、σ為地下導電率分佈。在固定的電場強度下，由於邊界條件改變，形成一邊界值問題。目前 ERT 正算模式計算方法主要使用為有限差分法（finite difference method）及有限元素法

(48)

33 且數量龐大，所以處理方式係將值域內(domain)資料離散化，將一連串的邊界值問題以一線性方程式矩陣方式求其近似解。如公式 (2-33)。其中G 為勁度矩陣、V 為所有量測點的電位差向量、S 為電流源位置及強度向量。 1 1 × × ×n× n = n n V S G _（2-33）最早的視電阻率係將解析解以圖表方式呈現如標準曲線，可計算量較少。Mooney et al.(1966)提出 Mooney 計算法則，該法已可以得到不錯的結果，但計算時間較長，且僅針對特定的電極排列方式。 Ghosh（1971）首先將濾波理論（the linear filter theory）與電腦之數值方法應用於的正算問題(Forward Problem)上，嘗試利用試誤法（trial and error method）將所計算之視電阻率與量測到之電阻率誤差達到最小，大大縮短了計算時間，且達到相當高的精確度；然而濾波理論並無法適用於任何電極排列方式下所量測到的資料。 Dey and Morrison (1979)將數值電阻模型切成有限的網格，首先利用有限差分法應用於正算問題，並適用於任何排列方式作分析。而 O’ nell and Merrick (1984)提出一般電極排列的觀念，將濾波理論應用於一般的四極排列(Four Electrodes Configuration)，用同一組濾波加權係數(Filter Weighting Coefficient)可以計算任何一種四

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34

極排列時的理論視電阻係數(Apparent Resistivity)。有限元素法首先使用於 Silvester and Ferrari（1990），直到近年來隨著計算機功能的進步，Loke（1994）修正 Dey and Morrison (1979)之有限差分法及有限元素法之缺陷，提升正算計算效率及準確性，並沿用至今。 (2) 反算模式由於地層實際上並非均質等向介質，真實的地層可能由多層組成，因此透過正算計算所得的電阻率稱為「視電阻率」(Apparent Resistivity)。通常視電阻率並不一定是地下各電性地層的真實電阻率，而是表示在設定之電極排列下，所推求出來的電阻率僅為代表地層綜合效應。視電阻率需再透過適當的反算計算，以計算出地下地層真實的電阻率分佈(Koefoed, 1979；Loke,1996)。然而以觀測資料推求地層參數首先要知道電位函數，在地層構造未知狀態下，需進一步依設定的地層模型求出電位函數，並計算對應於觀測值的模型值；再計算觀測值與模型值的差異，經過多次的疊代，將差異調整直到誤差小到可接受範圍內，此計算方法稱為反算法。目前地球物理探測反算方法多種(Loke,2003)，較常使用於二維、三維地電阻率反算方法為正規最佳化最小平方法(regularized least-squares optimization)（Sasaki, 1989; deGroot-Hedlin and

(50)

35

Constable,1990; Oldenburg and Li, 1994; Loke and Barker, 1996; Li and Oldenburg, 2000），主要原因為此方法所反算出之電阻率值與真實地層電阻率值較接近(Ellis and Oldenburg, 1994)。

Hallof（1957）最早利用施測排列變化和等高線的安排將其電阻資料擬投影剖面(pseudosection)呈現，但只用少數近似電阻率的圖去估計，數量不多且可信度也不高；Smith and Vozoff (1984)、Tripp et al. (1984)利用非線性最佳技巧(nonlinear optimization

method)，可反算出較簡單的模型；deGroot-Hedlin and Constable (1990)，Sasaki(1992)利用高斯-牛頓最小平方最佳化方式

(Gauss-Newton lease-square ptimization，可快速收斂資料。但由於在最佳化的過程中，計算偏導函數資料龐大需要消耗時間；直到 Loke (2001)集大成，將正算與反算以平滑束制最小平方法

(smoothness- constrainedleast-square method ,L1norm)及重複再加權最小平方法（blocky inversion,L2norm）為基礎，並在反算的過程中利用擬牛頓法(quasi-Newtonmethod,Loke and Barker 1996a) 等方法做為運算過程中的偏導函數，增加計算速度，並寫成套裝軟體後，更大幅提升其使用效率及可讀性。

(51)

36

Marquardt Method , Jupp and Vozoff ,1975)，此法經過多方面理論與實際資料的分析結果，顯示此種反算法在電探資料的反算處理上具有穩定且收斂快速的優點。以下針對反算方法說明如下：一、最佳化最小平方法(least-squares optimization) 假設現地量測的視電阻率資料等於行向量 y，模型參數行向量等於q，反應函數行向量等於 f，如(2.34)式所表示 ) ,... , ( ) . ,... , ( ) ,... , ( 2 1 2 1 2 1 m n m f f f col f q q q col q y y y col y = = = (2.34) 其中 m 為資料數目，n 為模型參數數量。反應函數為一非線性函數，為使問題間單化，經泰勒展開捨棄高次項後，使問題線性化。若反應函數是線性系統，初始模型參數行向量 q0 帶入反應函數，將會得到 f 0 與一階泰勒級數的擾動反應值。f0 等於 q0 帶入反應函數得到之初始模型反應值(initial model response)，如(2.35)式，其中J 等於 Jacobian 矩陣，Δq 等於參數改進向量(parameter change vector)。

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37 (2.35) (2.36)式定義反應函數 f`與量測值 y 之差值 e，量測值與初始模型反應之差值稱為差異向量(discrepancy)g。以高斯牛頓法求解當 e 平方為最小時的 Δ q 值，其過程中得到正規方程式 (normal equation)，如(2.37)式，解出Δq 值。而第 i+1 次的初始模型參數 qi+1 等於 qi+Δqi，進行疊代計算。 q J g e g f y e f y ∆ ; 0 = = = (2.36) g J q J JT ∆ = T _(2.37) 由於(a)地電探測的觀測值及模型參數其數值變化範圍非常大， (b)正算理論是在對數領域內討論，(c)模型參數限制為正值。故將相關參數轉換至對數領域，令 i i i i i x Xi h H y Y ln ln ln = = = 並考慮觀測誤差及模型參數在反算過程中的可變動範圍時，在對 j i ij n j j j q q j q f J q J f f or q q q f f f ∂ ∂ ; ∆ ) -( ∂ ∂ 0 0 0

∑

0 = + = + = =

(53)

38 數領域內，Jacobian 矩陣、參數改進量及公式(2.36)可重新定義如下： Q p Q Q J G F Y W E P Q F W Jij ij j j ∆ ∆ ∆ ) ( ) ∂ / ∂ ( 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 = = = = (2.38) 其中 E 為誤差矩陣(Error Matrix)、ΔQ 為參數改進矩陣、W 為一 M*M 的資料加權矩陣(Data Weighting Matrix)、P 為一 N*N 參數加權矩陣(Parameter Weighting Matrix)。

t

V S U

A= _(2.39)

其中 U 為 M*N 的資料特徵向量矩陣(Data Eigenvector Matrix)、 V 為 M*N 的解特徵向量矩陣(Solution Eigenvector Matrix)、S 為 N*N 對角特徵值矩陣(Eigenvalue Matrix)。將公式(2.39)帶入公式(2.38)可解出ΔQ 如下： E U S V Q t ∆ = 1 N N N v s E u v s E u v s E u Q ... ∆ 2 2 2 1 1 1 ₊ ₊ ₊ = (2.40) 由公式(2.40)顯示，當差異向量值不是很小而特徵值非常小時，

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39

將會導致過大的ΔQ，而造成發散、不穩定。或若初始資料不佳常造成公式(2.37)JTTTT

J 成為接近奇異矩陣，造成Δq 變異量太大不符合實際。Inman(1975)以馬奎特-李文柏格(Marquardt-Levenberg)方法，加入一阻尼係數λ(damping factor)或稱 Lagrange 乘數(Lagrange multiplier)，其功用在對於比較重要的解特徵向量給予較大的加權，而對比較不重要或由雜訊所對應的解特徵向量給予較小的加權，避免小的特徵值所對應的特徵向量在反算過程中造成過大的參數改進量，也就是將參數改進向量限制在Δq0 2 之內，此方法也稱為脊回歸法(ridge regression)。則公式(2.40)可改寫成 E U S V Q λ t ∆ 1 = N N N N _v s E u v s E u v s E u Q λ λ _..._.. λ ∆ 2 2 2 2 1 1 1 1 ₊ ₊ ₊ = (2.41) 其中阻尼矩陣λ為一對角矩陣，定義如下： ) θ /( λ 4 ₌ 4₊ 4 j j j k k (2.42)

其中θ為相對特徵值底限(Relative Eigenvalue Threshold), 其所能允許的最小值與觀測資料所含的雜訊比例有關；kj=sj/s1，s1 為特徵值最大值，其中四次方為 Jupp and Vozoff (1975)所建議。

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40 公式(8)求出模型參數改進量ΔQ，則新的模型參數定義如下： Q(新)=Q(舊)+ ΔQ (2.43) 此新的模型參數再代回公式(2.36)，計算新的參數改進量，如次不斷疊代至下列三條件： (1)達到所設定的最大疊代次數。 (2)觀測值與理論值間的誤差達到所設定的底限。 (3)觀測值與理論值的誤差達到收斂，反算結果不再改進。當達收斂時，可由觀測值與理論值間的均方根相對誤差(Root Mean Square Relative Error)最為判斷的依據，定義如下：

(

)

1/2 1 2

∑

-1       × = = M i i i i i D D F Y M RMS （2.44）二、平滑束制最小平方法 Constable et al. (1987)認為以脊回歸法反算二維或三維的問題，當模型參數很多時，會造成某些位置會出現太高或太低的錯誤值。

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41 Oldenburg(1994)加入粗糙係數(roughness filter)降低模型參數變異的平方和，如(2.45)式，此方法稱為 smoothness-constrained least-squares，或 L2 norm。                           − − − = − = ∆ + ₋ 0 .. .. .. .. 0 .. .. 0 1 1 0 0 0 .. .. .. 0 1 1 0 0 .. .. .. 0 0 1 1 W ) (J_iTJ_i λ_iWTW q_i J_iTg_i λ_iWTWq_i ₁ (2.45) 其中 i 為第 i 次疊代，W 為一階有限差分運算元，或稱粗糙係數、平滑係數。 Sasaki(1992)認為阻尼係數λ是影響 L2 方法反算效果主要參數；適當大小的阻尼係數值，會將高斯雜訊影響反算結果降到最低。三、重複再加權最小平方法 Clarebout 與 Muir(1973)認為遇到急遽改變之邊界，需求取最小絕對差異量較為適合。

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42

陣 Rd、Rm，達到資料差異量(g)與模型粗糙係數(W)在反算過程達到接近相同權重。此方法稱為 iteratively reweighted least-squares method inversion，或 blocky inversion、L1 norm，如(2.46)式

R R ) R R ( d + m ∆ = d − m i−1 T i i T i i T i i T i J W W q J g W Wq J λ λ _(2.46) L2 norm 適合用於地層的阻率性質是漸變模式 (Ellis 與 Oldenburg, 1994)，對於電阻率急遽改變的邊界，為了尋求最平滑化的模型，而造成出現過高及過低的電阻率；以 L1 norm 方法較為適合

於急遽變化之模式 (Loke, Acwroth and Dahlin, 2003; Olayinka and Yaramanic, 2000) 。

Zhou and Dahlin(2003)認為電位誤差大於 5%，以 L1 反算方法比 L2 反算方法可得到較佳影像；也就是受到背景雜訊大影響的資料，以L1 反算方法較不受雜訊影響。 2.2.5 現地施測方法選擇現地施測方法選擇現地施測方法選擇 現地施測方法選擇從 2.2.3 節介紹 ERT 的施測方法受到排列參數的影響，所以有多種施測方法，這些方法各有其施測環境及解析能力上的使用限制。在同一地層構造上，由於電極棒不同的排列情形，會得到不同的視電阻率值，所以產生不同的擬似剖面(pseudo-section)，且每一種排列方

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43 式對地下結構會有不同的反應，如週遭雜訊與自然電位影響程度不同、探測深度不同及垂直、橫向靈敏度不一等。因此，現地施測時，必須考量地質條件、深度需求、解析能力需求及訊號強度影響等因素，而採用不同施測排列方式，以下針對：探測深度、垂直與橫向靈敏度、訊號強度等方面，探討現地施測方法的選擇。 (1) 探測深度 ERT 之施測，透過電極之排列及側深參數 n 測線展距之設定，可得到不同深度之視電阻率，但如何決定探測深度，是以 Frechet derivative 靈敏度方程式決定。McGillivary and Oldenburg （1990）假設在均質均向介質的半無限域內，電流極 C1 位在(0,0,0)，電位極 P1(a,0,0)，電流極 C2 與電位極 P2 在無窮遠處，任意一個點(x,y,z)

上dτ小體積內的電阻率做微量的改變δρ，如圖 2-17。產生的電位

(59)

44 圖 2-17 靈敏度方程式推導的參數(Pole-Pole)

[

] [

]

dxdydz z y a x z y x z y a x x V

∫

+ + − + + + + − = ₁_.₅ 2 2 2 5 . 1 2 2 2 2 2 2 v ) ( ) ( 4 1 π δρ δ (2.47)

早在 1971 年時，Roy and Apparao 提出 1D Frechet derivative 靈敏度方程式的解析解，多數學者及開始著手研究探測深度與靈敏度方程式各種參數的關係(Edwards 1977, Barker 1991, Merrick 1997)。 Edward(1977)提出於特定深度之上，在一維的靈敏度曲線下所包含的面積佔整體的一半(如圖 2-18)，稱為有效深度或擬似深度 (pseudo-depth)；不同電極排列的擬似深度值如表 2-1，其中 a 為電極間距，L 為測線展距。在等長的測線展距之下，探測深度最深為 Pole-Pole，探測最深深度約為 0.867 倍的測線展距，資料層數(data level)的間格固定為 0.86 倍的電極間距；其次為 Pole-Dipole，Pole-Dipole 的 Ze/a 比

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45 值隨 n 值增加而增加，雖展距增加，但資料層愈深其厚度遞減，從 n 等於 8 與Ze/a 等於 3.247，推估測深約近似 0.36 倍的測線展距 (Ze/L=0.36)。接著為 Dipole-Dipole 的 0.224 倍測線展距;最後為 Wenner-Schlumberger 的 0.191 倍測線展距及 Wenner 的 0.17 倍測線展距。圖 2-18 一維靈敏度曲線，(a)Pole-Pole 電極排列 (b)Wenner 電極排列 (2) 垂直與側向靈敏度

Loke and Baker(1995)以(2-44)式求解二維靈敏度方程式 F(x,z) 解析解，討論各種電極排列的靈敏度，並得出各種電極排列的 2D 靈敏度剖面；其中設定測線展距正規化為 1 公尺，深度由 0.025 公尺到

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46 1 公尺。 (a) Wenner：Wenner 的 2D-靈敏度剖面如圖 2-19 所示，為一對稱剖面，在電極附近中心，在垂直方向電阻值變化較明顯(敏感值較高)，而相對地水平向很不明顯；方框內的黑點為擬似深度(0.179)，靈敏度值為 128%。負靈敏度值出現在 C1 與 P1 之間及 C2 與 P2 之間，其負靈敏度值表示電流對該區影響程度低，量測之視電阻率將會下降；因此 Wenner 適用於探測水平層狀構造，不適合用在狹長垂直的結構，垂直解析能力比測向解析能力佳。 (b) Pole-Pole：Pole-Pole 的 2D-靈敏度剖面如圖 2-20 所示，為一對稱剖面，此電極排列法雖有最深探測的優點，但擬似深度(0.89 公尺)靈敏度值只有 2%，垂直和測向解析能力皆是最差，由於計算視電阻率簡單且施測容易較不費人力，所以常用於較深地層的剖面影像探測之參考及比對。 (c) Wenner-Schlumberger：Wenner-Schlumberger 的 2D-靈敏度剖面如圖 2-21 所示，為一對稱剖面，當 n 等於 1 時和 Wenner 的靈敏度剖面相同，n 增加到 6 時，中心高靈敏度區域與 C1、C2 分離，集中在P1P2 以下，方框中的擬似深度位置在 0.19 公尺，零敏度值從 128%降到 32%。結果表示 n 值小時，對垂直方向變化感受大；n 值大