行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
提升債券組合凸性之研究：考慮時間經過效果與殖利率非平
行移動
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC92-2416-H-002-029- 執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣大學財務金融學系暨研究所 計畫主持人： 李賢源 計畫參與人員： 萬怡灼 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 93 年 12 月 6 日
提升債券組合凸性之研究：考慮時間經過效果與殖利率曲線非平行移動
On Improving Bond Portfolio’s Convexity: Consider Time Passage Effect
and Non-Parallel Shift of Yield Curve
計劃編號：NSC 92-2416-H-002-029 執行期間：92 年 8 月 1 日至 93 年 7 月 31 日 主持人：李賢源 國立台灣大學財務金融系(所) 一、 中英文摘要 存續期間與凸性是長久以來廣為應用 的衡量殖利率變動對於債券價格變動的 敏感度的指標。前者是一階線性的指標、 後者則是二階非線性的衡量。由於凸性乃 是二階的衡量指標，因此不論殖利率是升 或是降，凸性永遠是使債券價格升值；也 由於這個特性，顯示出債券的凸性是有價 值的，因此長久以來即有致力於提升債券 組合凸性的研究。 本研究首先在時間固定與殖利率係平 行移動的假設下，設法重組債券組合藉以 提高金額式凸性。由於 Christensen and Sorensen(1994)指出提升債券的凸性是要 犧牲債券的時間價值，故本研究考慮時間 經過的效果，亦即本研究接著在時間變動 與殖利率係平行移動的假設下，再探討如 何提高債券組合的金額式凸性，並且不損 失債券的時間價值。 本研究最後考慮殖利率非平行移動 的因素，探討在時間固定與時間經過狀況 下，如何建構提高債券組合金額式凸性的 『靜態模型』與『動態模型』。 Abstract：
Duration and Convexity have long been used as risk indices which measure the sensitivity of bond price change due to the change of bond’s yield to maturity. Duration represents the first order risk index
which is linear whereas convexity is the second order risk index which is non-linear. Since convexity is the second order risk index, the convexity has always the positive impact on bond price change in spite of the up or down change of bond’s yield to maturity. Due to this positive impact of convexity on bond’s price, convexity is worth picking up and there do exist a lot of researches doing how to pick up bond’s convexity.
This project is to try to pick up the bond portfolio’s convexity under the assumptions that time is fixed and yield curve is parallely shifted at the first stage. Due to the result done by Christensen and Sorensen(1994), however, picking up bond’s convexity is at the cost of losing time value because of the time passage effect of interest bearing bond. It implies that the time passage effect cannot be ignored when picking up bond’s convexity. In other words, this project has to study how to pick up bond portfolio’s convexity without losing time value and conduct this research under the environment that time is changing and yield curve is parallely shifted.
indices which means they must be measured under the assumption that yield curve is parallely shifted. Since yield curve is perhaps not parallely shifted, however, there is a need to explore how to picking up bond’s convexity with the assumption that yield curve is not parallely shifted. Therefore, this project lastly constructs both static model and dynamic model to pick up bond portfolio’s convexity by taking both time passage effect and non-parallel shift of yield curve into account.
Keywords：
Duration, Convexity, Yield to Maturity, Bond Portfolio, Time Passage Effect, Yield Curve Parallel Shift, Static Model, Dynamic Model 緣由與目的 從債券價值與殖利率的關係可知，金 額式凸性(Dollar Convexity)較高的債券組 合，當殖利率下降時，其價值上漲的幅度 較高；當殖利率上升時，其價值下跌的幅 度較低，所以在債券組合價值相等、一階 風險(Duration Risk)相等的條件下，投資人 應該慎選債券組合的內容，設法提高債券 組合的金額式凸性，使債券組合在殖利率 波動時會有較好的績效表現，此乃提升債 券組合凸性(pick up convexity)的意義。 傳統提升債券組合凸性的理論，都是 在時間固定與殖利率平行移動的設定下進 行，透過重組債券組合來提高金額式凸 性；但是，這種做法並非沒有缺點，顯而 易見的，時間變動與殖利率非平行移動都 應該會影響傳統提升債券組合凸性的結 果。本研究即是要改善傳統提升債券組合 凸性的理論，將其拓展至時間變動與殖利 率非平行移動的設定，並比較本研究的結 果與傳統提升債券組合凸性的結果。 影響債券組合價值之因素，除了殖利 率以外，尚有時間因素也會影響債券組合 的價值。如果只考慮殖利率因素、而忽略 時間因素，即是傳統提升債券組合凸性的 理 論 只 考 慮 存 續 期 間 (Duration) 與 凸 性 (Convexity)對債券組合價值的影響、而忽 略 時 間 因 素 。 但 是 ， Christensen and Sorensen (1994)指出，債券的金額式凸性與 時間價值為反向關係，亦即投資人若要提 升金額式凸性則必須犧牲利息的時間價 值，反之亦然。因此，傳統提升債券組合 凸性的理論因為沒有考慮時間因素，所以 可能犧牲的時間價值會高過於凸性提升所 得到的好處。為了避免上述「債券的金額 式凸性與時間價值不可兼得」的現象，本 研究拓展傳統提升債券組合凸性的理論， 考慮在時間經過下，以線性規劃模型建構 債券組合，使債券組合金額式凸性極大 化；亦即，藉由出售原本持有的債券組合， 以自我融資不再額外投入半毛錢的方式， 重新建構另一組與原債券組合價值相等、 一階風險相等、時間價值相等的債券組 合，且新建構之債券組合的金額式凸性比 原債券組合者大，並達到極大化。 上述建構債券組合的方式已經針對既 存文獻做了拓展與修正，但是上述的方法 仍是在殖利率曲線平行移動的前提下運 作。若要使上述建構債券組合的方式更符 合實務應用，有必要進一步修正殖利率曲 線平行移動的設定。由於殖利率曲線可能 做一般性的變動，包括平行移動以及斜率 改變移動，因此本研究對殖利率曲線做一 般化的描述並假設其形狀不變，將這種殖 利率曲線一般化的變動融入上述建構債券 組合的模型裏，使得債券組合無論是在時 間固定或是時間經過的狀況下，無論殖利
率曲線是平行移動或是斜率變動，只要殖 利率曲線的形狀維持不變，都能提升債券 組合的凸性。因此，本文的模型與做法可 說是提升債券組合凸性最一般性的模型。 二、 結果與討論 1、 靜態模型--傳統模型、時間固定不變、 殖利率曲線平行移動 假設目前持有 T 債券資產組合，T 組 合內的債券種類與張數為已知條件，現在 以自我融資的方式，出售 T 組合內的債 券，利用此資金重新在債券市場選取 S 債 券組合，而且不需額外的資金支出，使得： (1) S 組合的總價值等於 T 組合，即自我 融資； (2) S 組合的總金額式存續期間等於 T 組 合，即利率一階風險相等； (3) S 組合的總金額式凸性會大於 T 組 合； 目標式：極大化 S 組合的總金額式凸性 則 S 組合內所選取的各種債券張數必須符 合底下的模型一。(見方程式附錄) 2、 動態模型--時間變動、殖利率曲線平 行移動 假設目前持有 T 債券資產組合，T 組 合內的債券種類與張數為已知條件，現在 以自我融資的方式，出售 T 組合內的債 券，利用此資金重新在債券市場選取 S 債 券組合，而且不需額外的資金支出，使得： (1) S 組合的總價值等於 T 組合，即自我 融資； (2) S 組合的總金額式存續期間等於 T 組 合者，即利率一階風險相等； (3) S 組合的總一階金額式時間經過效果 等於 T 組合者，即時間價值相等； (4) S 組合的總金額式凸性會大於 T 組合； 目標式：極大化 S 組合的總金額式凸性； 則 S 組合內所選取的各種債券張數必須符 合下列的模型二。(見方程式附錄) 3、提升債券組合凸性的一般化模型 3.1 模型介紹 由於上述模型一與模型二建構債券組 合的方式要求「殖利率曲線必須為平行移 動」，這種假設太過強烈，也降低了上述 兩模型的實用性。本節針對殖利率曲線可 能做一般性的變動，包括平行移動以及斜 率改變的移動。因此，本節對殖利率曲線 做一般化的描述並假設其形狀不變，發展 出另一套提升債券組合凸性的理論模型。 由於殖利率曲線會受到兩項因素的影 響，一是時間點，另一是債券的到期期間 （Time to maturity）。因此，將殖利率曲線 定義為時間點（t）與到期期間（T）的函 數： 假設殖利率曲線可以用下面的數學式 來表示： 其中 a(t)與 b(t)是兩個與時間點 t 有關 的參數，F(T)是用來描述殖利率曲線的形 狀的任意函數。1 1由於 F(T)所定義的 T，是 Time to Maturity，因此 可將其設定為一般在做 Yield Curve Fitting 時所使 用的函數，如 Diament （1993）所建議的函數： 1 ) ( ) ( ) ( 2 4 3 2 1 + + = aa T a a T a T
F 及 Nelson and Siegel（1987） 所建議的函數： ) , ( Tt Y YieldCurve= F(T) * b(t) a(t) T) Y(t, = +
假設現在市場上有三種債券，將到期 期間最短的債券設為債券 A，其餘兩種分 別設為債券 B與債券 C，其到期日分別為 TA、TB 與 TC。現在假設隨著時間變動， 時間點從 t0變成了 t1，而殖利率曲線也產 生了變化。假設在殖利率曲線的變化過程 中，只有a(t)與b(t)改變，描述形狀的F(T) 不變2。其中，調整 a(t)如同是做殖利率曲 線的平行移動，調整b(t)則如同是做殖利率 曲線斜率改變的移動。換言之，提升債券 組合凸性的一般化模型，只能適用於殖利 率曲線做平行移動(Level Change)或斜率改 變的移動(Slope Change)，並不能涵蓋殖利 率 曲 線 做 形 狀 改 變 的 變 動(Curvature Change)。所幸，根據既存文獻的實證研 究，平行移動與斜率改變的移動，可以解 釋實務上 90％以上殖利率曲線的變動情 形，所以此處的一般化模型在實務應用上 應可發揮效果。各種債券的殖利率的標記 方式如下： λ λ θ λ θ θ θ T T e T e T F( ) 0 ( 1 2)1 + 2 * − + + = − 。因 此，Y(t，T)=a(t)+b(t)*F(T)可說是描述殖利率曲線 的一般化數學式。 2描述形狀的 F(T)不變亦表示如果殖利率曲線變 動，則所有債券的殖利率會一起變動，不會有單獨 三種債券的殖利率差距的變化可以用數學 式描述如下3： (見方程式附錄的註一) 由此可知，無論債券的到期期間為多少， 其與債券A的殖利率差距的變化比率固定 為1+ds，而其意義如同是斜率的變化比 率。利用上式，可以求出三種債券殖利率 的變化幅度的關係： (見方程式附錄的註二) 由此可知，無論債券的到期期間為多 少，殖利率的變化幅度都可以用債券A的 殖利率的變化幅度dY 及斜率變化率A dS兩 個因素來描述；即一般化的關係為： 由上式便能推導出提升債券組合金額 式凸性的一般化模型，其中又依是否考慮 時間因素而可分成「靜態模型」與「動態 模型」，分別在下面兩小節敘述。 3.2、靜態模型--時間固定不變、殖利率曲 線非平行移動 假設市場上有五種債券，分別是債券 A、債券B、債券C、債券D與債券E，其 中債券A為到期期間最短者。 假設目前持有 T 債券資產組合，其全 部由債券C所組成，張數為Nc，現在欲以 變動的情形。 3 假設時間經過的天數 t 1-t0，對債券的到期期間而 言來說很小，小到可以忽略，因此在 t1時間點債券 i 的殖利率原本應該為 )] ( * [ 1 0 ' ' t t T F b a + i − + ，而可以用 )] ( * [a'+b' F Ti 來代替。 ' 1 0 ' 1 0 ' 1 0 ' 1 0 ' 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( b t b b t b a t a a t a Y T t Y Y T t Y Y T t Y Y T t Y Y T t Y Y T t Y C C C C B B B B A A A A ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ) ( * i i i ' i Y dY dYA ds Y YA Y − ≡ = + −
自我融資的方式，出售 T 組合，並以此資 金重新在市場選購由債券 A、債券 B、債 券D與債券E所組成的S債券組合，如果 欲使S組合的價值變動優於T組合的價值 變動，並使變動差距最大，則可用下面的 數學式來表示： 其中dVi表示債券i的價值變化，Vi表示 債券i的價值。 假設時間固定不變，則債券價格變動 因殖利率改變的關係式如下4： 將Yi' −Yi ≡dYi =dYA +ds*(Yi −YA)代入上 式，則會變成： (見方程式附錄的註三) 將上式代入 C E D B A dV dV dV dV dV + + + − ，則會變成 (見方程式附錄的註四) 傳統模型由於只考慮殖利率曲線平行 移動，因此如同是將上式的 ds 設為 0， 此時上式變成 (見方程式附錄的註五) 4 此處所定義的金額式凸性 ) 1 ( ) 1 )( ( 2 1 2 1 1 2 2 2 $
∑
= + − + − − − = ∂ ∂ = n i t i i y CF t i t i y P C 。 根據上式，若將「dYA」項的係數調整 成0，而且將(dYA)2項的係數調整成大於 0，則無論平行移動的幅度為何（即無論 dYA為多少）， C E D B A dV dV dV dV dV + + + − 都能夠大於 0。這兩項限制式的含意等同：S組合的總 金額式存續期間等於T組合（利率一階風 險相等），且S組合的總金額式凸性會大 於T組合。如果再加上自我融資的概念， 即S組合的總價值等於T組合的限制式， 那麼結果便是傳統提升債券組合凸性的模 型。 很明顯的，本小節的一般化模型除了 考慮殖利率曲線平行移動的情況外，亦將 殖利率曲線斜率改變的情況納入考慮，因 此比傳統模型多了ds項，導致 C E D B A dV dV dV dV dV + + + − 的展開有五 項式子，比傳統模型多了三項。仿效傳統 模型提升債券組合凸性的做法，除了加入 『「dYA」項的係數等於0、「(dYA)2」項 的係數大於0』這兩項限制式外，多加入 『「ds」、「dYA*ds」兩項的係數等於0， 且「 2 ds 」項的係數大於0』這三項限制式， 則可以確定：無論殖利率曲線平行移動的 幅度為何、以及無論殖利率曲線斜率變動 的幅度為何，dVA +dVB +dVD +dVE −dVC 都能夠大於0；換言之，多加入這三項限制 式以後，便可將提升債券組合凸性的理 論，由原本只能涵蓋殖利率曲線平行移動 的情形，擴展到殖利率曲線斜率亦能改變 的情形，因此可以將傳統模型納為本小節 一般化模型的一個特例。 推論至此，已知 0 > − + + + B D E C A dV dV dV dV dV 的 條件，即是 2 ) (dYA 與 2 ds 項的係數大於0、 而且dYA、ds、dYA*ds這三項的係數為0。 接著是找尋 的張數 為債券 其中N i ) ( * * * * i 2 $ $ i i i i i i i N D dY N C dY dV =− + 0 . . Max C > + + + = + + + − + + + C E D B A E D B A C E D B A dV dV dV dV dV V V V V V T S dV dV dV dV dVC E D B A dV dV dV dV dV + + + − Max 的 條件？比較「 2 ) (dYA 」、「 2 ds 」兩項，可 以發現由於「 2 ds 」項的係數，其中每個細 項都比「 2 ) (dYA 」項多乘了（Yi-YA） 2， 故在一般情況下，「 2 ds 」項的係數會遠小 於「 2 ) (dYA 」項的係數，亦即「 2 ds 」項的 係數是較不敏感的；換言之，使「 2 ) (dYA 」 項 的 係 數 最 大 即 可 使 C E D B A dV dV dV dV dV + + + − 最大，即達到 C E D B A dV dV dV dV dV + + + − Max 的 目 的。5 綜合以上的推論，可得一般化模型提 升債券組合金額式凸性的靜態模型(模型 三)。(見方程式附錄) 3.3、動態模型--時間變動、殖利率曲線非 平行移動 拓展 3.2 小節的靜態模型至動態模 型，即同時考慮時間經過與殖利率變動的 情況，則債券組合價值的變化如下： 將 i i *( i ) ' i Y dY dYA ds Y YA Y − ≡ = + − 代 入上式，並仿照3.2小節的靜態模型的推導 過程，則可得一般化提升債券組合金額式 凸性的動態模型(模型四)。(見方程式附錄) 5透過實證，可以證明此處推論成立。因為最大化 「(dYA)2」項係數所選取的債券組合，與最大化 「(dYA)2」項的係數加上「 2 ds 」項的係數所選 取的債券組合，兩者完全相同。這表示「ds2」項 的係數是不敏感的。 三、 計劃成果自評 1、數值例子 本小節以我國公債市場上的資料，實 際操作一般化模型與傳統模型，並模擬殖 利率曲線的平行移動與斜率改變的移動， 進行「出售原本持有的債券組合（假設為T 債券組合），以自我融資不再額外投入半 毛錢的方式，重新建構另一個債券組合（假 設為 S 債券組合）」的操作策略的損益測 試。6 假設持有的T債券資產組合如下： 債券組合T 90央債甲三 91央債甲四 張數 815.0916 124.5215 2、靜態模型實證結果--一般化模型 vs 傳 統模型 根據持有的T債券組合、以及2002年 4月8日仍然流通的央債86期以後的各年 期央債，代入一般化模型與傳統模型中以 線性規劃模型計算，選取的S債券組合分 別為： 6 下面模型選取的 S 債券組合，無論是靜態模型或 動態模型，皆在債券張數不能為負值的限制下。 一般化模型的結果 債券組合S 86央債甲二 88央債甲一 89央債甲二 90央債甲二 張數 75.7001 175.6041 50.3395 576.1860 “I’£É i ˆ×ÂŒ” N * * ) ( * * * * i $ 2 $ $ dt N dY C N dY D N dVi=− i i i+ i i i + i Θi
傳統模型的結果 債券組合S 87央債甲二 90央債甲五 張數 382.0907 688.6983 本小節模擬的殖利率曲線變動，可分 為「平行移動」、「斜率變動」、「同時 有平行移動幅度與斜率變動」三種情況， 用一般化模型中的數學式來表示，即為「ds ＝0，各種的 dYA」、「dYA＝0，各種的 ds」及「各種的dYA，各種的ds」。 經過損益測試，發現無論殖利率曲線 的平行移動與斜率變動幅度為何，一般化 模型所選取的結果一定可以產生利潤；但 是，傳統模型所選取的結果，在斜率增加 時會有損失、但斜率減少時會有收益。傳 統模型所選取的組合之所以在斜率增加與 減少時會有損失與收益，其理由是：傳統 模型的S 債券組合是以蝶型策略組成，集 中在極長券與極短券，而 T 債券組合是以 彈型策略組成，集中在中期券。當斜率變 動時，長天期殖利率變動值會較中期券與 短期券來得大，也就是說長天期債券的價 值損益會超過中、短期債券，因此進行「出 售 T 債券組合，以自我融資不再額外投入 資金的方式，建構 S 債券組合」的策略， 便會產生損益。如下圖所示： (見數值例子圖形一) 3、動態模型實證結果--一般化模型 vs 傳統模型 根據持有的T債券組合、以及2002年 4月8日仍然流通的央債86期以後的各年 期央債，代入一般化模型與傳統模型中以 線性規劃模型計算，選取的 S 債券組合分 別為7： 一般化模型的結果 債 券 組合S 86央債 甲二 88央債 甲一 89 央 債 甲二 90 央 債 甲二 張數 75.7001 175.6041 50.3395 576.1860 傳統模型的結果 債券組合 87央債甲二 89央債甲五 90央債甲五 張數 309.3301 105.2138 642.4798 經過損益測試，發現無論殖利率曲線 平行移動與斜率變動幅度為何、無論時間 經過的天數為何，一般化模型選取的結果 一定可以產生利潤；但是傳統模型選取的 結果，在斜率增加時，會有損失、但在斜 率減少時，會有收益產生。傳統模型選取 的結果，在斜率增加或減少時，會有損失 或是收益的理由與靜態模型一樣，就不再 贅述。動態模型損益分析之實證結果如下 圖所示： (見數值例子圖形二) 4、成果與貢獻 (1)在時間固定與殖利率曲線是平行移動 的環境下，推導提升債券組合金額式凸性 的『靜態模型一、二、三』，並且分別應 用個別債券的殖利率、設定買入債券組合 7 其中一般化的動態模型在進行規劃求解以後，找 不到能完全符合限制條件的解。茲以一般化的靜態 模型的解來代替，因該解符合其他的限制條件，僅 一階之金額式時間經過效果為 3889，些微大於 T 組合的 3860。
的殖利率等於賣出債券組合的殖利率、讓 買入債券組合的殖利率內生產出，分別用 數值例子代入這三個靜態模型，並比較其 凸性的成效。 (2)在時間變動、但殖利率曲線是平行移動 的環境下，重組債券組合藉以提高金額式 凸性，並且重組債券組合提高金額式凸性 時，避免『債券組合的金額式凸性與時間 價值的相斥關係』。 (3)在 殖 利 率 曲 線 不 是 平 行 移 動 的 環 境 下，推導提升債券組合金額式凸性的一般 化模型之『靜態模型』與『動態模型』。 參考文獻
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Journal, Vol.44 1988.
4. Heiko Leschhorn，Managing
Yield-Curve Risk with
Combination Hedges，Financial Analysts Journal，2001
數值例子圖形一 dt=0，dS=0下，一般化模型與傳統模型的損益 -100 0 100 200 -50 -30 -10 10 30 50 dYa(bp) 元 一般化模型 傳統模型 dt=0，dS=0.2下，一般化模型與傳統模型的損益 -1400 -900 -400 100 -50 -30 -10 10 30 50 dYa(bp) 元 一般化模型 傳統模型 dt=0，dS= -0.2下，一般化模型與傳統模型的損益
0
500
1000
1500
2000
-50
0
50
dYa(bp)元
一般化模型 傳統模型數值例子圖形二 dt=90，dS=0下，一般化模型與傳統模型的損益 -50 0 50 100 150 -50 0 50 一般化模型 傳統模型 dt=90，dS=0.2下，一般化模型與傳統模型的損益 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 -50 -30 -10 10 30 50
一般化
模型
傳統模
型
dt=90，dS= -0.2下，一般化模型與傳統模型的損益 0 500 1000 1500 2000 -50 -30 -10 10 30 50一般化
模型
傳統模
型
模型一：傳統模型--時間固定不變、殖利率曲線平行移動 模型二：動態模型--時間變動、殖利率曲線平行移動
∑
∑
∑
Θ
∑
Θ
∑
∑
∑
∑
∑
= = = = = = = = = > = = = k i i T i k i i S i k i i T i k i i S i k i i T i k i i S i k i i T i k i i S i k i i S iC
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D
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N N N N N N N N T S N Max 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 1 1 $ . . 模型中的 S i N 、NiT、 $ i D 、Ci$所代表的意義如同模型一 模型中的 $ i Θ 表示第 i 種債券的一階金額式時間經過效果∑
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1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 1 1 $.
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模型中的 S i N ，表示 S 組合內各債券的張數 模型中的 T i N ，表示 T 組合內各債券的張數 模型中的 $ i D ，表示第 i 種債券的金額式存續期間 模型中的 $ i C ，表示第 i 種債券的金額式凸性註一： 註二： 註三： 註四： 註五： 2 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ) ( * ] * * * * * [ * ] * * * * * [ A C C E E D D B B A A A C C E E D D B B A A C E D B A dY C N C N C N C N C N dY D N D N D N D N D N dV dV dV dV dV − + + + + + − − − − = − + + + ds b b T F T F b T F T F b T F b a T F b a T F b a T F b a Y Y Y Y ds b b T F T F b T F T F b T F b a T F b a T F b a T F b a Y Y Y Y A C A C A C A C A C A C A B A B A B A B A B A B + ≡ = − − = + − + + − + = − − + ≡ = − − = + − + + − + = − − 1 )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ )] ( * [ )] ( * [ )] ( * [ )] ( * [ 1 )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ )] ( * [ )] ( * [ )] ( * [ )] ( * [ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ) ( * ) ( * ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) 1 ( C C C ' C ' ' ' ' ' A A A B A A B A A B B B A B A B A B A B A A A Y Y ds dY dY Y Y Y Y ds dY Y Y ds Y Y dY Y Y Y Y ds Y Y Y Y ds Y Y dY Y Y − + = ≡ − − + = − + − = ≡ − − + − = − + = − ≡ − ] ) ( * ) ( ) ( * * * 2 ) ( [ * * )] ( * [ * * )] ( * [ * * )] ( * [ * * 2 2 i i 2 $ i $ 2 i $ i $ ds Y Y Y Y ds dY dY C N Y Y ds dY D N Y Y ds dY C N Y Y ds dY D N dV A A A A i i A A i i A A i i A A i i i − + − + + − + − = − + + − + − = ) * ( * )] ( * * ) ( * * ) ( * * ) ( * * ) ( * * [ 2 ) ( * ] ) ( * * ) ( * * ) ( * * ) ( * * ) ( * * [ ) ( * ] * * * * * [ * )] ( * * ) ( * * ) ( * * ) ( * * ) ( * * [ * ] * * * * * [ $ $ $ $ $ 2 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ds dY Y Y C N Y Y C N Y Y C N Y Y C N Y Y C N ds Y Y C N Y Y C N Y Y C N Y Y C N Y Y C N dY C N C N C N C N C N ds Y Y D N Y Y D N Y Y D N Y Y D N Y Y D N dY D N D N D N D N D N dV dV dV dV dV A A C C C A E E E A D D D A B B B A A A A A C C C A E E E A D D D A B B B A A A A A C C E E D D B B A A A C C C A E E E A D D D A B B B A A A A A C C E E D D B B A A C E D B A − − − + − + − + − + − − − + − + − + − + − + + + + − + − − − − − − − − + + − − − − = − + + +
模型三：靜態模型--時間固定不變、殖利率曲線非平行移動 2 1 $ 2 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 1 1 $ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . .
Y
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A i k i i T i A i k i i S i A i k i i T i A i k i i S i A i k i i T i A i k i i S i k i i T i k i i S i k i i T i k i i S i k i i T i k i i S i k i i S i N N N N N N N N N N N N T S N Max − > − − = − − = − > = =∑
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= = = = = = = = = = = = = 模型中的 S i N 、NiT、Di$、Ci$所代表的意義如同模型一、模型二 模型中的 Yi代表債券 i 的殖利率，YA表示組合中，到期期間最短的債券的 YTM。模型四：動態模型--時間變動、殖利率曲線非平行移動 2 1 $ 2 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 1 1 $ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . .
