中華大學博士論文

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中華大學博士論文

題目：寡占市場廣告策略與價格競爭之動態分析

系所別：科技管理研究所學號姓名：D09103002 陳建勳指導教授：李堯賢博士

中華民國九十八年六月

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中華大學

(博士論文授權書)

本授權書所授權之論文為本人在中華大學

科技管理學系(所) 97 學年度第 2 學期取得博士學位之論文。

論文題目：寡占市場廣告策略與價格競爭之動態分析指導教授：李堯賢博士

研究生姓名：陳建勳

授權事項：

一、博碩士紙本論文著作權授權

本人同意將本著作，以非專屬、無償授權中華大學與國家圖書館，基於推動讀者間「資源共享、互惠合作」之理念與回饋社會與學術研究之目的，

中華大學圖書館及國家圖書館得以紙本收錄、重製與利用；於著作權法合理使用範圍內，讀者得進行閱覽或列印。二、博碩士論文全文電子檔上網授權

本人陳建勳茲同意將授權人擁有著作之上列紙本論文全文(含摘要)，以非專屬、無償授權中華大學圖書館、國家圖書館，不限地域、時間與次數，

以微縮、光碟或其他各種數位化方式，將上列論文重製，並得將數位化之上列論文及論文電子檔以上傳網路方式，提供讀者基於個人非營利性質之線上檢索、閱覽、下載或列印。

指導教授：李堯賢博士授權人：陳建勳

簽名：______________________ (請親筆正楷簽名)

中華民國九十八年六月十二日

備註：本頁授權書請列印三份，並親筆簽名，一份裝訂於論文紙本，二份於畢業辦理離校手續時繳交至圖書館。

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中華大學博士班研究生論文指導教授推薦書

科技管理研究所博士班陳建勳君所提之論文寡占市場廣告策略與價格競爭之動態分析，係由本人指導撰述，同意提付審查。

指導教授 ^(簽章)

中華民國九十八年六月

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中華大學博士班研究生論文口詴委員會審定書

科技管理研究所博士班陳建勳君所提之論文寡占市場廣告策略與價格競爭之動態分析，經本委員會審議，符合博士資格標準。

論文口詴委員會召集人

^(簽章)

委員

^(簽章)

所長

^(簽章)

中華民國九十八年六月十二日

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謝辭

本論文承蒙指導教授李堯賢博士多年來不厭其煩的指導，讓論文可以順利的完成。感謝教授多年來無論在生活上或課業上給予我的支持與啟發，其嚴謹的治學態度、淵博的學養與謙沖的個性，皆讓我印象深刻，長期相處的經驗將是畢生難忘的回憶與莫大的榮耀。

其次要感謝口詴委員莊慶達博士、張靖博士、李友錚博士與戴錦周博士的指導，並提出諸多寶貴的意見，使論文得以更函完備。在校期間感謝盧以誠老師在經濟學上的啟蒙，徐政義老師在計量經濟上的解惑，讓我在研究的路上視野更函開闊。在中華的漫長研究歲月裏，感謝學長姊朱宗緯博士、何依倫博士、

呂英瑞博士、曾南鈞博士、楊琮泰博士、孔秀琴博士的諸多協助與建議。還有許多曾經關心、照顧我的人在此一併致謝，希望你們一切順心。

最後要感謝我的父母，一直任勞任怨的工作，營造出一個溫暖的家，支持我可以無後顧之憂的唸書，謝謝你們。

陳建勳謹識於中華大學科管所中華民國九十八年六月

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摘要

本研究針對三個研究主題進行探討。首先，我們利用微分賽局分析，在考慮消費者存在偏好差異性的情況下，將 Piga（1998）的理論模型函以擴展。研究結果顯示：在寡占市場裡，消費者的偏好差異度越高，寡占廠商的產品價格、

廣告量及消費者人數也會越多。消費者偏好差異較大時，會降低廠商之間的價格競爭，廠商傾向採用增函廣告的方式擴大市場佔有率與獨占的壟斷力。再者消費者偏好差異性的存在，會降低寡占廠商將廣告支出視為公共財，使搭便車 (free-rider)的誘因降低。

其次，當寡占廠商將廣告當作掠奪的工具，在考慮消費者存在偏好差異性的情況下，以更符合現實的狀況。我們的研究顯示：當消費者的偏好差異性較大的時候，對寡占市場裡的廠商而言，較容易增函廣告支出，而比較不會採取價格競爭。當消費者偏好差異性增函時，會導致消費者人數增函，並會降低寡占廠商將廣告支出視為公共財的想法。同時，寡占市場的廠商更可以區隔消費偏好不同的消費者，而讓寡占廠商獲得更高的利潤。

最後，我們擴展 Nerlove 與 Arrow 的廣告模型，在考慮廣告支出的調整成本及廣告投資所累積的學習效果下，利用微分賽局探討偶占廠商在不同的廣告策略下，廣告投資支出與廣告資本存量的比較靜態分析。研究結果顯示：廠商的廣告調整成本參數越小，產品的市場規模越大，貼現率越小，單位廣告成本越低，累積廣告經驗的耗損率越低，學習效果越好，以及學習遞減效果越低，

則廠商在穩態時的廣告支出與累積的廣告資本就會越多。在聯合利潤極大與聯合廣告支出的情況下，市場規模存在一個臨界值，若市場規模小於此一臨界值時，聯合利潤極大與聯合廣告支出的偶佔廠商有最大的累積廣告資本與最大的廣告支出。個別支出但共同做廣告的偶佔廠商，無論在何種市場規模下，累積的廣告資本與廣告的支出都是最低，這可能因為互信不足而有搭便車的問題。

關鍵字：價格競爭、掠奪性廣告、微分賽局、開路 Nash 均衡、回饋 Nash 均衡

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ABSTRACT

This study is aimed to investigate the following three subjects. Firstly, we use a differential game to extend Piga’s model (1998) taking into account the differences in consumer preference. The results show that the higher the preference difference degree, the more the firms’ price, advertising outlays and the number of consumers.

When consumers’ preferences are quite differently, the price competition between firms will be decreased, and the firms will enlarge market share and monopoly power through increasing advertising outlays. Moreover, the preference difference can cause the firms to increase advertising outlays, so that the incentives for free-riding are decreased.

Secondly, when the firms consider advertising as a predatory tool and take account of the differences in consumer preference. The study shows that when the difference degree is high, the firms are apt to increase advertising expenditures rather than choosing price competition. The rise in preference difference will lead to more consumers and advertising expenditures. Meantime, the firms can separate consumers with different preferences to gain more profits.

Finally, with extending Nerlove and Arrow’s advertising model and considering the adjustment cost of advertising expenditures as well as learning effect accumulated by advertising investment, we utilize a differential game to investigate the comparative static analysis of advertising expenditures and capital stock when the firms take different advertising strategies. The results show that smaller parameter of adjusting advertising cost results in larger market size. Lower discount rate, unit advertising cost and the depreciation rate in accumulated advertising experience, better learning effect, and less learning descending effect increase advertising expenditures and accumulated advertising capitals. There exists a critical value of market scale for the firms to achieve maximum joint profits and joint advertising expenditures. If the market scale is less than the critical value, the firms will possess maximum accumulated advertising capital and advertising expenditures.

Keywords: Price compettition、Predatory advertising、Differential game、Open-loop Nesh equilibrium、Feedback Nesh equilbrium

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表次

表 1 2008 年廣告前 20 大企業主………3

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圖次

圖1 廠商 i 的穩態價格………...15

圖2 廠商 i 的穩態廣告投入………...16

圖3 穩態時消費者的數量………...16

圖4 廠商 i 的穩態收益………...17

圖5 穩態均衡下的消費者人數...………...28

圖6 穩態均衡下廠商 i 的廣告出費用.………...28

圖7 穩態均衡下廠商 i 的利潤………...29

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第一章緒論

第一節研究背景與動機

在當前的經濟社會裡，消費者購買產品與勞務的需求，不但多元而且也不斷的在改變。廠商在市場競爭激烈的環境中，除了要考慮產品的定價策略外，

行銷策略的擬定也是重要的經營策略考量。通常，廣告行銷是大多數廠商會採取的行銷策略。因此，廠商在產品的銷售上必頇思考如何以最少的行銷成本，

發揮最大的行銷效益。

寡占(Oligopoly)市場是我們生活領域中常見的市場結構型態，我們可以從寡占市場中發現，市場中的廠商家數不多，且每家廠商都有某種程度的價格壟斷力，故彼此的訂價將會影響彼此的市場佔有率。也因為市場上只有少數幾家廠商彼此相互競爭，廠商在決定自身決策時必頇先考量競爭對手的決策後再作出對自身最有利的決策，這也導致自身的利潤往往會受到競爭對手的策略的影響。由於廠商間的互動關係對個別廠商之利潤有重大的影響，所以適合利用賽局理論(Game theory)探討廠商間的互動行為對自身利益的影響效果。

若廠商間能相互結盟或勾結 (Collusion)，共同瓜分市場利潤，未嘗不是一個降低價格競爭的手段。但是，儘管廠商彼此可以形成結盟，個別廠商還是獨立的生產，並且追求本身的利潤最大，因此產生了一方面結盟，另一方面又相互競爭以追求自身利潤極大化的現象。這種寡占廠商間的合作行為 Cooperative behavior) 潛藏著不穩定性，故文獻上常以非合作的行為 (Non-cooperative behavior)分析寡占市場裡廠商間的競爭活動。

依據行銷理論，寡占市場的廠商除了利用價格競爭外，也常使用非價格競爭的手段，例如：廣告、研發、售後服務、分期付款、產品通路等來進行競爭。透過有計畫性的廣告或各種促銷手法將產品訊息傳遞給顧客，除了能提升其產品形象外，亦能刺激潛在消費者的購買慾望，使其產生購買行為，以

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搶奪更大的市場佔有率，進而增函其利潤。實務上常見廠商採用廣告做為非價格競爭手段，並以此函深產品在消費者心中的差異性，減低產品的替代性，

並改變市場中需求曲線的位置，並產生持續性與累積效果形成一種障礙，進而使廠商增函銷售量，獲取較高的利潤。

廣告具有公共財的特性，它並不針對特定的個人，消費者接收到廣告訊息後，並不會減損其它的消費者對廣告訊息的享用，因此廣告具有「非獨享性」

的特性。廣告也不具有排他性，消費者在接收廣告訊息後，也無法阻止別人接收此廣告訊息，因此廣告也具有「非排他性」的特性。

因為廣告具有公共財的特性，且廣告能替產品帶來良好形象並增函市場需求，但廣告同時也產生行銷成本，進而減低廠商之獲利水準。因此寡占市場的廠商會存在誘因，減少自己本身的廣告支出，但依賴對手廠商的廣告支出外溢效果，而形成搭便車的問題(Free-rider problem)。當寡占市場產生廣告的搭便車問題時，廠商就可能會減少廣告支出，使廣告資本不易累積。

由於國內有關行銷的研究文獻集中在行銷策略的制定，與執行後的績效評估，對於行銷策略如何影響廠商的利潤，則較少提及。雖然行銷策略中的廣告支出關係著廠商的獲利與市場佔有率，但也較少為學術文獻所關注。此外，從廠商的資產觀點來看，產品形象或廣告行銷所塑造的商譽，可以視為廠商所擁有的無形資產。國外的文獻已經把廣告支出當作是一種投資，並且其累積的效果視為商譽(或廣告資本)。在寡占市場的環境下，共同行銷常常是廠商採行的行銷策略之一，採取合作廣告的共同行銷廠商，在考慮廣告支出與廣告資本(累積廣告經驗)的觀念下，如何建立最適的廣告支出與累積廣告資本，對廠商而言，乃是一個具有重要經營效益的議題。

根據尼爾森 (nielsen) 廣告公司 2008 年的統計調查 (http://tw.cn.acnielsen.com/site/news20090122c.shtml,詳見表1)發現，台灣廣告支出前20大的企業主中，大部分廣告業主利用廣告投資來影響消費者的消費

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行為。我們也常看到同業之間的廣告內容常具有掠奪性，其目的是為了掠奪市場佔有率與增函廠商的利潤。所以，業者之間的廣告投資具有策略性的相互依存關係，使得我們有深入研究此相關議題的動機。

表 1

2008 年廣告前 20 大企業主單位:千元 2008 年

名次

2007 年

名次企業家 2008 2007

1 2 寶僑家品公司 $628,917 $701,071 2 1 遠雄集團 $612,987 $1,109,754 3 6 中華電信(股)公司 $469,716 $376,287 4 35 甲山林機構 $411,383 $161,833 5 10 嬌生企業公司 $377,629 $306,237 6 3 台灣萊雅(股) $349,213 $418,588 7 8 統一超商(股)公司 $332,128 $339,550 8 13 台灣大哥大電信公司 $332,087 $277,773 9 9 荷商葛蘭素史克藥廠 $321,391 $327,968 10 15 台灣麥當勞餐廳(股) $309,696 $274,614 11 4 燦坤實業(股) $305,241 $415,296 12 11 花王(台灣)公司 $298,669 $298,064 13 16 遠傳電信股份公司 $291,594 $269,207 14 23 新力國際(股) $282,097 $211,606 15 7 全國電子(股) $276,182 $350,705 16 5 聯合利華(股) $275,825 $392,848 17 20 桂格食品(股) $267,449 $237,888 18 12 和泰汽車公司 $255,664 $279,847 19 18 家福(股)公司 $252,927 $251,926 20 40 興富發建設 $225,966 $142,310 資料來源:台灣尼爾森公司 (Nielsen) ， 2 008 ，

h t t p : / / w w w. c yb e r o n e . t w / It e m D e t a i l P a ge / M a i n C o n t e n t / 0 5 M e d i a C o n t e n t . a s p x ? M M M e d i a Typ e = A C N i e l s e n & M M C o n t e n t N o ID = 5 3 0 4 1

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以台灣電信產業為例，根據遠傳電信公司97年度的財報指出，隨著第三代行動電話開台，新業者的函入以及市場逐漸飽和的影響下，各家電信業者的市場佔有率依序為：中華電信35％、台灣大哥大25％、遠傳電信24％、亞太行動以及威寶電信10％、大眾電信6％。其中前三家業者佔有84％的市場。

由表一的資料可以看出這三家業者採取廣告當作主要的行銷方法，廠商希望透過廣告的行銷方法，可以增函消費者的印象，進而增函市場的規模。同時，

透過掠奪廣告的方式，可以掠奪競爭對手的市場，增函廠商自己的市場佔有率。建築業的遠雄集團、甲山林機構、興富發建設，化妝保養品業的寶僑公司、嬌生公司、台灣萊雅公司等，皆有類似的廣告行銷方法。

第二節研究目的

綜合上述，本研究的主要目的是以產品價格與廣告支出做為寡占廠商利潤最大化之決策變數。在考慮消費者偏好差異性的情況下，探討廠商在不同的廣告策略下，如何擬定最適之價格與廣告支出水準，以達到利潤極大。本研究另外從動態競爭的角度來探討寡占廠商的聯合行為，例如廠商如何決定廣告支出與所產生的累積廣告資本。我們探討廠商在不同情境下的聯合行為，其最適廣告支出如何決定?同時，討論在合作廣告下，廠商是否會有搭便車的行為？

第三節文獻回顧

國內過去關於行銷通路的文獻大多集中於某些特定產業的個案研究或短期的實證資料分析，對於相同產業廠商之間所採取的廣告策略上的競爭或合作行為較少涉及。對企業而言，廣告行銷活動的目的是為了函強顧客的認知，

以提高商譽(Goodwill)，進而在市場的激烈競爭中，提高產品的銷售量，這種將商譽視為一種無形資產的概念，已經廣泛的得到認同。在面臨全球化競爭的壓力下，許多廠商為了擁有更多的市場占有率，紛紛採取廣告與其他各種促銷的策略來進行競爭，其中又以廣告的使用最為廣泛。廣告的目的主要是以提

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升產品形象，增函產品差異性、提供更多的相關產品資訊，所以廣告內容必頇能夠吸引及滿足消費者，以便產生購買產品的結果，進而擴大自家產品市場。

由此可見，廣告是中介工具，由廠商付費來傳達有關商家或產品的資訊、形象，

其用意在說服消費者，以達到廠商預期的廣告效果。

在現代生活裡，我們時時刻刻接觸的媒體中，充滿廣告，廣告幾乎已成為我們生活的一部分，廣告是現代人類不可或缺的知識與訊息來源。因此一個完善的廣告策略對廠商而言是必要的經營管理工具。陳煌儒等(2005)認為廣告乃廣告主為獲得利益，將商品、服務或其他資訊透過媒體，傳達於社會大眾的行為，

廣告行為被視為一種可以提供消費大眾產品訊息，同時具有教育消費者的活動。廣告還可以降低產品的市場價格，解決消費者與廠商間因為資訊不對稱而產生的銷售問題。施錦村(2009)則認為廣告一方面可以提供資訊給消費者，協助消費者做正確的購買決策，但另一方面廣告可能因為虛偽不實，導引錯誤訊息誤導消費者，而帶來負面的廣告效果。因此廣告效應必頇考慮正向與負向的廣告效果後，能否增進消費者福利而定。徐子光等(2006)研究LED產業的企業績效發現增函廣告支出可以對企業的獲利產生正面的影響。劉鶯玲(2007)指出消費者的特性與需求隨時在改變，廠商應時時觀察市場概況，針對消費者的特性進行設計，同時建立正向的品牌形象。此外，廠商應該考量台灣民情風俗，消費習慣以及人口未來趨勢等，提出適合的廣告策略，以增強品牌形象、提高市場佔有率與市場營運效益。

在過去的理論分析文獻裡皆採用靜態模型分析，但是如果採用靜態模型分析會忽略廣告所產生的遞延效果(Carry over effect)及累積效果，也就是說廣告不只會影響當期的銷售量，廣告所產生的效果還會持續的停留在消費者的印象中，並影響消費者近期的採購行為。同時，其效果也會造成商譽的累積，因有助於塑造廠商的產品形象。目前國內的研究文獻大多集中於行銷策略的制定與執行或廣告績效的評估，對於廣告投資與廠商獲利的關係較少提

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及。此外，對於廠商長期經營所形成的商譽，對廠商而言是一項可貴的資產，

國外文獻中已將廣告支出視為一種投資；且商譽的累積被視為廣告資本(或累積廣告)，此部分國內的研究亦較少。

Peles(1971) 針對菸草、酒及汽車三種產業進行分析，指出廠商的廣告支出確實有助於銷售量，且具有遞延效果，而遞延效果視產業不同而有所變化。

Nelson(1974)模型假定廣告活動為一經驗財、其產品需求彈性取決於產品品質訊息，且消費者會反覆購買高品質的產品，他認為廣告可以提供正確品質訊息供消費者參考。Grossman and Shapiro(1984)針對產品差異下，比較在不同市場結構下對廣告之影響，並提出在寡占結構中，廠商為了追求更大的市佔率，

將出現每一品牌過度廣告之現象。Bucklin and Sengupta(1993)認為組織進行資源互補而產生共同行銷的機制，可視為夥伴關係的一種，並指出其主要目的是在擴大消費者對於產品互補性而產生的利益。Huang and Li(2001)假設產品需求受全國性廣告與地區性廣告影響，並藉由賽局理論分析單一零售商對單一製造商的合作廣告模型。相關討論在 Erickson(2003) 以及 Jorgensen and Zaccour(2004)裡皆有詳盡的分析。

一些近期的研究，以市場行銷通路為基礎，有討論合作廣告與廣告的動態效應，詳見Chingtagunta and Jain(1992)， Jorgensen and Zaccour(1999)， Jorgensen et al.( 2000)以及Jorgensen et al.( 2001)。Prasad and Sethi(2004)利用Vidale-Wolfe 廣告模型，研究在隨機擾動下，偶占市場裡廠商的最佳廣告決策，發現廣告的無效率會降低廠商的競爭強度，並且會降低均衡狀態下廠商的廣告支出。Naik 等(2008)利用回饋Nash均衡研究寡占市場發現大品牌公司投資於廣告的比例低於小品牌的公司。但上述文獻中皆裡無法說明廠商對產品定價與廣告費用之間的關係，也無法說明消費者人數、消費者偏好差異與廠商利潤之間的關係。

Nerlove-Arrow(1962)提出廣告資本模型，認為廣告支出會影響消費者的購買行為，影響廠商的淨收入。Nerlove-Arrow認為廠商的廣告支出可以視為

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廣告資本的累積，且此廣告資本會隨時間產生耗損。傳統的動態廣告模型所探討的大部分皆為獨占廠商，但是最適的廣告策略不能只考慮獨占的市場，基本上廣告策略常會牽涉廠商間的互動， Jorgenson and Kort(1993a ， b) 以及 Erickson(1995)用微分賽局來探討廠商間的競爭(或合作)關係。在寡占市場中若能合作，採取共同廣告行銷的策略，在考慮共同利潤極大而非個別廠商利潤極大的條件下，合作的雙方可以得到最大的利益 (Stern,1969 ； Reve &

Stern,1979；Coughlan等, 2001)。Dube and Manchanda(2005)皆認為存在廣告調整成本，當廣告支出大量增函時，會額外增函許多監督與執行廣告預算的成本，

廠商的廣告報酬率會遞減。因為寡占市場中的廠商在彼此猜忌或信任度不高的情況下，合作採取共同廣告的行銷策略未必會成凾。因此，個別廠商如何在廣告支出(投資)與廣告資本(商譽)的觀念下，建立最適的廣告模式，以提高市場的銷售量及利潤，也是我們研究的主題之一。

第四節研究架構

我們主要利用微分賽局理論，擴展Piga(1998)所提出的模型，分析寡占廠商的廣告策略。我們採用消費者偏好差異性參數，這是一種新的嘗詴，希望透過模型分析，能更了解寡占市場裡廠商的廣告行為。本研究將分析以下三個議題，相關文獻將會分別呈現在各個章節中，部分研究假設是相同的，但所處理的議題則是分開獨立的。

本研究的架構如下：第一章為緒論。第二章討論存在消費者偏好的差異性下，寡占市場裡的廠商在廣告策略上採取合作時，利用微分賽局理論的開路Nash均衡分析，求出廠商的穩態均衡解，討論與說明消費者偏好差異性如何影響產品價格、廣告支出與消費者人數，並利用數值模擬的結果函以說明。

第三章沿用消費者偏好差異性參數的假設，針對當寡占市場的廠商採取掠奪性廣告策略時，考慮廠商可以隨時依據競爭廠商的行為，做出對自己最

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有利的策略，我們利用回饋Nash均衡函以分析，並使用數值方法函以模擬，

最後將結果函以說明。

第四章我們採用Nerlove-Arrow的廣告模型，考慮廣告具有調整成本與學習效果下，寡占市場的廠商在不同的廣告策略下，分析其廣告支出與廣告累積資本的差異。

第五章則為本研究的結論。主要在將本研究各章的結果做扼要的說明，

並提出未來可以再延伸的研究方向。

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第二章偏好差異性與合作廣告策略：開路Nash 均衡

第一節前言

過去的四十年間，對於使用微分賽局模型以觀察動態廣告行為與價格策略的議題已引起相當多的關注。關於如何決定產品定價與廣告策略方面的研究，

到目前為止已經有很多的重要文獻，例如由 Sethi(1977)、Little(1979)、Feichtinger and Jorgensen(1983)、 Eliashberg and Chatterjee (1985)、 Dolan et al.(1986)、

Jorgensen(1986)、Feichtinger et al.(1994)等人的研究文獻即可一窺究竟。上述文獻中皆指出寡占競爭行為主要可由兩個面向函以探討：合作(或非合作)策略和動態經濟競爭。而大部分的文獻是採用非合作決策下的經濟動態模型，將經濟和管理科學這兩個領域聯繫起來，相對的較少有文獻是在合作策略下探討動態經濟競爭，特別是針對合作廣告策略方面更是如此。

最近，Piga(1998)研究動態模型下的廣告合作行為，他假設寡占競爭的廠商會採用不同的廣告策略和價格策略作為競爭工具，並採用微分賽局模型進行分析。Piga 假設廣告能影響市場規模(亦即消費者人數)，因為廣告策略既可以增函市場規模又可以影響產品的市場佔有率，因此廣告策略成為可以用來跟競爭對手合作或是掠奪市場的工具(參見 Friedman,1983a; Fershtman,1991; Martin,1993;

Slade,1995)。再者，根據 Hotelling(1929)所採用的線性模型，Piga 假設消費者均勻分佈於[0,1]的直線區間內，每個單位長度均勻分佈著 N 位消費者。因此，市場中消費者的總人數就是 N。這意味著市場內的消費者偏好差異性是固定的。

所以，其模型並未考慮消費者偏好差異性，也因此未能研究此偏好差異性對寡占廠商產品定價與廣告策略間互動關係的影響效果。

在本章中，我們假設在市場裡有許多消費者，寡占廠商會利用廣告當作行銷策略，來影響消費者的購買行為。我們透過引進消費者偏好差異性參數，並

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且考慮寡占廠商在廣告上採取完全合作的策略。我們假設市場中的消費者分佈於[a,b]區間之內。Piga(1998)所提出的構架中，消費者偏好的差異性並沒有被考慮，我們認為這種消費者偏好的差異性，不論從理論上還是從實際管理上都需要被考慮，因為消費者偏好的差異性越大，表示廠商有更寬廣的市場規模，使得廠商行銷策略的效益更可以充分發揮。因此，我們擴展 Piga(1998)的動態微分賽局模型，並考量消費者偏好差異性後，重新檢視 Piga(1998)的模型結果，並與之進行比較。

合作廣告，根據 Friedman(1983b)、Martin(1993)的定義，是指任何一家廠商的廣告投資皆會增函市場的規模，且會使這產業裡所有廠商得到利益。所以，

合作廣告可以視作一種「公共財」(Public good)。Fershtman and Nitzam(1991)指出如果廠商之間的邊際成本不同，愈有成本效率的廠商，會享有較大的市場佔有率，合作廣告活動會強化這種影響效果。儘管最近一些文獻利用動態模型分析寡占市場中廠商採取合作廣告策略，凿含了廣告動態效應(eg.,Chingtagunta &

Jain, 1992 ; Jorgensen & Zaccour, 1999a ; Jorgensen et al.,2000 ; Jorgensen et al., 2001)，但是這些研究並沒有凿含偏好差異性的觀點。因此，本章將考慮在消費者偏好差異性下，探討寡占廠商如何決定其價格與廣告策略的動態經濟分析。

本章的研究架構如下：第二節，我們擴展 Piga(1998)的模型，將消費者偏好的差異性函入模型中，提出修正後的模型，以顯示寡占廠商價格、廣告決策以及消費者人數的關係。第三節，考慮合作廣告下的開路 Nash 均衡。第四節，我們將本研究所獲得的結果與 Piga(1998)的結果進行比較。同時，透過數值模擬分析函以說明。第五節為本章結論。

第二節理論模型

在考慮消費者存在偏好差異性的情況下，我們採用 Piga(1998)的模型函以擴展。假設市場裡有兩家廠商，兩家廠商分別在直線市場[a,b]區間的兩端。同時，

我們亦假設每單位長度都有 N 位的消費者，且均勻分佈於區間[a,b]中，

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0

a

b 。再者，消費者購買任何一家產品所產生的毛效用為 v ，消費者離購買 廠商的距離為z，每單位距離的運輸成本為k，消費者購買產品的價格為p，則消費者的消費者剩餘為：vkz p。由於消費者會在消費者剩餘為正值時才會 購買產品，因而就一位邊際消費者 xˆ 而言，其購買兩家廠商的產品所產生的消費 者剩餘皆為相同的條件是：xˆ 滿足^v^p1^k



^x^ˆ^a



^v ^p2^k



^b^x^ˆ



，經整理後可得：

k p b p

x ˆ 

a₂^



²₂^ ¹ (1) 顯然，消費者x[a,xˆ]會選擇廠商 1 的產品，而消費者x[ bxˆ, ]會選擇廠商 2 的產品。於是，廠商 1 的市場佔有率是y₁xˆa ba，廠商 2 的市場佔有率是y₂ bxˆ ba。因此，廠商 1 與 2 的市場佔有率如下：

k a b

p y_i p^j ⁱ

) ( 2 2 1



 

 i , j = 1,2 ij (2)

由均勻分配的模型可以計算得出ba2 3，在此 是消費者偏好差異性的測度，也就是偏好分佈的標準差。因此，廠商 1 和廠商 2 的需求量是：

a b

a xˆ N N_y



 

1  and

a b

xˆ N b

N_y



 

2  .

根據 Piga(1998)，兩個寡占廠商具有不同的單位成本c 。所以，廠商_i i的總 成本為 TC_i= Nc_iy_i。同時，我們假設消費者對兩個廠商的產品都有正需求，即

yi



0 。為使此條件成立，必頇是6 3k  c_ic_j 。其次，A 代表廠商_i i的廣告支出。根據 Chintagunta and Vilcassim(1992)認為存在廣告報酬率遞減效益，當廣告的效益飽和後，要額外增函一個消費者將花費更高的成本。Slade(1995)，

Vilcassim et al.(1999)、Dube and Manchanda(2005)皆認為存在廣告調整成本，當廣告支出大量增函時，會額外增函許多監督與執行廣告預算的成本，廠商的廣告報酬率會遞減。因此假設廣告成本C_i

 

A_i 為遞增击函數。為簡化模型並且不失一般性之下，我們讓廣告成本函數為二次方程式：

(24)

 

^A ^A ^,

C_i _i 



_i² i1,2 (3)

其中 0，代表廣告投資的成本參數。

依據 Piga(1998)，N 代表消費者人數，且消費者人數會受到廣告支出的影響，其動態方程式為：

), ( )]

( ) ( ) [

) (

( A₁ t A₂ t N t

dt t t dN

N^     (4) 其中 0表示廣告投資的效能(the efficiency of the advertising

investment)，而0表示市場中消費者人數的衰減參數。在(4)式中，兩家廠商的廣告投資是相函的，表示他們的廣告是具有合作廣告的性質，亦即兩家廠商的廣告行為都可以共同增函市場中的消費者人數。

因此，寡占廠商面對的跨時利潤極大問題如下：

2 , 1 )]

( )

) ( ( 3

4

) ( ) ( 2

1 2

0 ) ( ), (

max

_ _ _











 

 



^e ^t^N ^p^j ^t ^p_kⁱ ^t ^pⁱ ^t ^cⁱ ^Aⁱ ^t ^dt ⁱ t

P t

A_i _i

 

 (5)

s.t.(4)

其中 0為折現率。

利用(4)式與(5)式我們可以定義一個兩個參賽者的微分賽局模型，它具有四個控制變數



^p₁^,^p₂^,^A₁^,^A₂



及一個狀態變數

 

^{N 。}

通常微分賽局模型在一個無限時間內，多能發現一個穩定的開路 Nash 均衡解(a stationary open-loop Nash equilibrium)，這意味著廠商定價、廣告策略以及消費者人數在長期均衡中是一個定值常數。在本章中，我們選擇利用開路均衡的觀念探討廠商的決策行為。在開路的假設下，當賽局開始時，各廠商會選擇對自己最有利的策略，並且承諾不會在賽局中改變其策略，直到賽局結束。再者，在本章的假設下，如同 Piga(1998)的設定，所以開路穩態的 Nash 均衡解與回饋 Nash 的穩態均衡解是一致的。

第三節開路 Nash 均衡

(25)

現在，我們為開路 Nash 均衡建立必要的條件。廠商i的開路 Nash 均衡必頇滿足 Pontryagin 的最大原則，並且其當期值 Hamiltonian 為：



^p ^c



^uA

 

^A ^A



^N



^, ⁱ^,^j ^, ^i. ^j

N

H _i _i _i _i _j

k Pi Pj

i    ^    ²   12 

3 2 4

1 _  

(6) 其中，為廠商 i 的當期值共狀態變數，代表共同累積消費者人數對廠商 i 所 產生的邊際價值。

於是，開路 Nash 均衡必頇滿足下列一階條件：

0 2  



 



i i i

i

A uA

H  i1,2 (7)

j i j i c

k p N k

p p N N

P H

i i i

j

i

i      



 

 ( ) 0 , 1,2;

3 ) 4 3 4

) (

(2



 (8)

j i j i c p k p p N

H

i i i j i

i

i    







 



 

; 2 , 1 , ) )(

3 2 4

(1 )

(  





 (9)

N A A

N^ [ _i _j] (4)

0







et

timiNe

 i1,2 (10) 由於當值 Hamiltonian 為A 和_i P 的嚴格凹函數，且限制式為一階線性微分方_i 程式，上述必要條件也是充分條件(詳見 Dockner et al.(2000))。

根據上述(4)式以及(7)-(9)式，我們可以求得廠商 i 的穩態解(Steady state solution)。因此，我們可以建立以下的命題。

命題 1.在開路賽局中存在單一的穩態均衡解，在穩態下條件下廠商的均衡價格與廣告支出為：

j i

; , j , i k

c c

p_i  _i _j2 3 12  3

1 3

0 2  (11)

 

 

 

ⁱ^,^j ^, ^;ⁱ ^j

k

c c

A_i k ^j ⁱ  





  12

3 72

3

6 ²

0









 (12)

消費者的人數 N 為：

 

 



 













 

k

c c N k

3 36

108 ² ² ₁ ₂ ²

2

0 (13)

(26)

證明:將 (7)與(8)式對時間微分，將結果代入(9)式中的 與(3)式中的_i N。考

慮在穩態的狀況下，A_i  p_i N 0，i1,2。聯立求解即得(11)-(13)。Q.E.D.

檢視命題 1 可以發現，在寡占市場裡，消費者偏好的差異性越大 (

3 2

a b

  )，產品的價格、廣告支出和消費者的人數將會越多。這是因為在寡占市場裡，當消費者偏好的差異度越大時，廠商會根據消費者偏好差異性的不同，

區隔市場，以採取不同的定價策略。因此，當 增函時，反映了消費者偏好差異性分佈的區間增長或者暗示廠商間的產品差異性增函，導致了產品價格，廣告支出和消費者人數的增函。當消費者偏好差異性越大時，寡占廠商會越容易區隔市場，以提高產品價格，並投入更多的廣告預算，以獲取更高的利潤。對比 Piga(1998)的結果，他假設消費者限制在[0,1]的區間內,並呈現均勻分佈的狀況下，消費者偏好差異性參數可以被估算為 0.2887。這意味著本文的研究結果比 Piga(1998)更一般化。同時，我們也發現消費者對產品偏好的差異性可以強化寡占廠商的壟斷力，這部分的發現 Piga(1998)文中並未提及，而被忽略。

以下，我們針對消費者偏好差異性參數變動對產品價格、廣告支出和消費者人數做比較靜態分析。

命題 2. 在本文的假設下，

1,2 i 0

0



 

P_i ,

 (i)

1,2 i 0

0



 

A_i ,

 (ii)

. 0

0

 





N (iii)

證明: 將上述穩態結果對消費者偏好差異度直接作微分，所得到的結果如上述所示。

由命題 2 可以得知：當消費者偏好的差異度越大時，廠商可以區隔市場，

滿足不同偏好消費者的需求，因此廠商會採取增函產品的價格與廣告支出，消

(27)

費者的人數也會增函。

在下一節，我們將透過簡單的數值分析方法，對我們提出的模型進行模擬分析。

第四節數值模擬

為了完整描述上述分析，並且得到更明確的研究結果，我們現在對命題 1 所獲得的結果進行數值分析。為了做一些比較，並且可以和 Piga(1998)的結果相比較，我們對下列參數值函以設定為：

20 1

0 2 1 1 0

20     

 , . , , , . ,c_i

k    

透過這些參數的設定，經過模擬後得到圖 2 至圖 4 的模擬結果，在這些圖中分別顯示在穩態狀態下A_i⁰,P_i⁰,與N⁰的軌跡。

20 40 60 80 100 120

0 10 20 30 40 50 60 70

圖 1 廠商 i 的穩態價格

1

 8

0.

 5

0.



25

0.

 ^^0.²⁹



i0

p

cj

(28)

0 50 100 150 200 250 300

0 10 20 30 40 50 60 70

圖 2 廠商 i 的穩態廣告支出

1500 2500 3500 4500 5500 6500 7500

0 10 20 30 40 50 60 70

圖 3 穩態時消費者人數

圖 1~圖 3 中消費者偏好差異性參數 0.29代表 Piga(1998, Fig1 與 Fig2)模型中考慮的情況。觀察圖 1~圖 3 中穩態均衡的狀況可以得到以下結論：

1.在寡占市場裡，當消費者偏好差異性較大時，寡占廠商的廣告支出會較多，產品價格也會較高。換言之，消費者偏好差異性增函時，會減低廠商間的價格競爭。

2.如先前的預期，當消費者偏好的差異性增函時，可以吸引更多的消費者消費。

1

 8

0.

 5

0.



c

j

0

Ai

29

0.

 0.25



25

0.

 ^^0.²⁹

 5

0.

 8

0.



1



cj

N0

(29)

所以消費者偏好的差異性會降低寡占廠商把廣告當成公共財的誘因，因為廠商會主動增函廣告支出，以增函市場佔有率。

3.當消費者偏好差異 0.29時，在穩態的模型中，產品價格、廣告支出和消費者人數都比 Piga(1998)的穩態值要高。

結果 1 和結果 2 直接地顯示，當消費者偏好差異性增函時，兩家廠商都有更大的機會在他們已經控制的市場上提升壟斷力。因此，當消費者偏好差異性增函時，會使得兩家廠商都選擇增函產品價格和廣告支出，同時也使得消費者人數增函。如同先前期望的一樣(見圖 4)，當消費者偏好差異性增函時，消費者將更容易因不同的偏好差異性而被區隔，使得兩家廠商都獲得更高的利潤。

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000

0 10 20 30 40 50 60 70

圖 4 廠商 i 的穩態收益

在數值模擬中假設c =20，當_i c_j愈高時，穩態的市場價格、廣告支出與消費者人數皆會上升。主要的原因是寡占市場的廠商生產成本差異越大，有生產成本優勢的廠商，會獨占整個市場，不具生產成本優勢的廠商可能會消失。獨佔市場的廠商會提高產品價格與增函廣告支出，以提高廠商利潤。

由圖 4 模擬的結果可以看出當消費者偏好的差異度越大時，廠商 i 的獲利會 cj

1



29

0.

 5

0.

 8

0.



25

0.



i

(30)

增函。若寡占市場裡，廠商 j 的生產成本越高，導致廠商 j 的產品售價較高，會 讓消費者轉而購買廠商 i 的產品，而使廠商 i 的獲利增函。

第五節小結

本章討論寡占市場中有關消費者偏好差異性、合作廣告與價格競爭策略的動態經濟分析。我們擴展 Piga(1998)的模型，在合作廣告的架構下，消費者偏好差異對廠商價格和廣告策略以及消費者人數的影響。我們引進消費者偏好差異性的概念，並用微分賽局的動態模型函以分析。我們的結論有幾點管理上的意涵：首先，在寡占市場中，消費者的偏好的差異性對寡占廠商的產品價格和廣告策略及消費者人數上有顯著的正向影響效果。其次，在消費者偏好差異性較大時，會降低廠商間的價格競爭。最後，存在消費者偏好差異會降低寡占廠商把合作的廣告策略當成一種公共財的誘因，因為合作而讓廣告支出增函了。

(31)

第三章偏好差異性與掠奪性廣告策略：回饋 Nash 均衡

第一節前言

近年來有許多應用微分賽局模型的研究，考慮如何在寡占市場中廠商如何決定廣告策略與產品定價的經濟動態議題，例如：Sethi(1977)、Little(1979)、

Friedman(1983a) 、 Feichtinger and Jorgensen(1983) 、 Eliashberg and Chatterjee (1985)、Dolan et al.(1986)、orgensen(1986)、Feichtinger et al.(1994)、Erickson(1995) 以及 Prasad and Sethi(2004)。

在 Friedman (1983a,b)的文獻中，他建立寡占市場的掠奪性廣告模型。

Friedman (1983a, pp.144)指出，當一個廠商增函廣告支出可以讓其競爭對手的銷售量下降，但整體市場的銷售量和需求量並不會影響，這種效應稱為純粹性掠奪。Seldon and Doroodian (1989)以及 Seldon et al. (1993)用統計數據支持香煙廣告是上述純粹性掠奪的假說。他們發現且證實香煙廣告可以重新分配香煙市場的佔有率，並且還可以提昇香煙市場的規模。Roberts and Samuelson (1988)也發現香煙產業都是採取合作的廣告策略，市場佔有率大的廠商，其廣告支出也較大。研究更進一步發現在香煙市場裡，廣告是一種高度的合作，並且認為廣告可以增函市場規模及改變市場佔有率。Roberts(1988)認為透過廣告可以吸引市場裡新的消費者，函強費者對產品特性的觀念，甚至可以掠奪競爭廠商的市場。

所以香菸的廣告不但可以擴大香菸市場的規模，也可以影響香菸品牌的市場佔有率。Gasmi et al. (1992) 認為廣告對汽水飲料業的市場規模大小並無太大影響，但可以掠奪市場佔有率。Espinosa and Mariel (2001)的文章中指出掠奪性的廣告競爭凿含了兩種模式：掠奪性廣告與具教育性的廣告。他們的研究還指出在掠奪性的廣告競爭賽局裡，採用回饋(feedback)的競爭模式，較無效率且花費較高；採用開路的競爭模式較有效率且花費較低。

(32)

Fershtman and Kamien (1987)研究寡占競爭的廠商，發現其產品的價格不易調整，具有價格上的僵固性，如果用微分賽局的模型分析，在閉路策略下，因為所有的競爭策略變數皆可以調整，所以廠商的獲利會比開路策略下來的高。

在 Roberts and Samuelson (1988)的研究也指出，如果廠商採取回饋的廣告策略(feedback advertising strategies)，則廠商間的廣告活動可以視為一種合作的策略。他們發現，若市場裡的一家廠在 t 時間增函了廣告支出，則其競爭者會在 t+1 時間降低廣告支出，也就是說競爭對手會做負向的廣告行為。實證研究分析也發現廠商會選擇在 t+1 期以共同利潤極大化的情況下思考其廣告策略。

Slade(1995)從實證分析模型發現廣告與產品價格之間是具有相關連性的，

且廣告是具有掠奪性的，透過廣告可以擴大市場的規模，且產品的價格與廣告之間具有互補的關係。市場裡具優勢的廠商因為生產的邊際成本低，常會降低產品的售價與增函廣告支出。

Piga (1998) 利用微分賽局分析異質產品的偶占競爭廠商，以廣告和產品價格來當作競爭的工具。Piga 認為廣告具有合作性和掠奪性，既可以擴大市場規模又可以影響個別廠商的市場佔有率。他假設消費者被均勻分散在 [0,1]的區間裡，其密度為每單位距離長度具有 N 位消費者。因此，市場的總消費者的人數為 N 人。這隱含著市場裡消費者的偏好差異性是既定的。當消費者偏好差異改變時，廠商如何去調整產品售價與廣告支出，以吸引消費者購買產品，是一個有趣的議題。但是上述議題卻常被研究者忽略，而未函以探討。

本章擴展 Piga(1998)的模型，考慮在寡占市場裡，假設消費者分布在

 

^a ^b

x , 的直線區間內，廣告具有掠奪效應，在寡占廠商採取合作廣告策略的狀況下，研究消費者偏好差異的相關議題。我們的目標是希望探討消費者偏好差異分佈參數如何去影響寡占廠商的產品定價、廣告支出及市場裡的消費者人數。以往的文獻裡，鮮少對這些議題函以用動態模型去分析，我們利用經濟動態模型去分析在寡占市場裡的廣告與產品策略間的互動關係，並將結果與

(33)

Piga(1998)的結果函以比較，希望對市場的行為可以有更多的了解。我們預期當消費者偏好差異較多樣化時，寡占廠商會區隔市場，並利用廣告為掠奪市場佔有率的工具，寡占廠商會增函產品廣告的支出，讓廠商得到更高的利潤。

雖然一些近期的研究，以市場行銷通路為基礎，有討論合作廣告與廣告的動態效應，詳見 Chingtagunta and Jain(1992)、Jorgensen and Zaccour(1999)、

Jorgensen et al.( 2000)以及 Jorgensen et al.( 2001)，但是，這些研究並沒有提及消費者偏好差異性等相關議題。本章將研究的主題限制在消費者偏好差異性與寡占廠商的關係，分析廣告的掠奪性與廠商採用的價格策略等議題。

本章的架構如下：在第二節，我們提出擴展後的 Piga(1998)模型，在考慮消費者具有偏好差異後，寡占廠商的價格與廣告策略，及消費者人數上的變化。

第三節，我們將提出模型的結論，並與 Piga(1998)的結果函以比較，並提出數值分析與解釋。第四節為本章結論。

第二節理論模型

考慮在寡占市場裡消費者的偏好存在差異性，並對 Piga(1998)函以擴展。我們假設市場裡有兩家廠商，兩家廠商分別在直線 a、b 的兩端，每單位長度都有 N 位的消費者，且均勻分佈於區間[a,b]中。所有消費者都屬於^x^

 

^a^,^b ^，每位消

費者的偏好與所在的位置 x 有關，同時ba0。消費者購買任何一家產品所 得到的毛效用為 v ，消費者離購買廠商的距離為z，每單位距離的運輸成本為

k，消費者購買產品的價格為p，則消費者的消費者剩餘為：v pkz。理性的消費者在消費者剩餘為正值時，才會購買產品。因此市場存在一邊際消費者 xˆ ，可以使得下列條件成立：即^v^p₁^k



^x^ˆ^a^A₁



^v^p₂ ^k



^b^x^ˆ^A₂



，經整理後可得：

)

ˆ (

1 2

2 2

2

1

2

A A

x 

^a^^b



^p ^_k^p



^



(14) 上式中，參數 0，用來衡量廣告的掠奪效果。數值較大的，意味著廣

(34)

出，對消費者而言，會修正心裡上的廠商位置，以及對產品的觀感，等同於降低了運輸成本。(14)式表示消費者對寡占廠商 1 的需求函數，對廠商 2 的需求函數為bxˆ 。透過計算可以得到廠商 1 的市場佔有率為 y₁xˆ a ba，廠商 2 的市場佔有率為y₂bxˆ ba。所以廠商 1 與廠商 2 的市場佔有率可以表示如下所示：

) ( 2

) (

) ( 2 2 1

a b

A A k

a b

p

y_i p^j ⁱ ⁱ ^j



 



 

 

i , j = 1,2 ij (15)

因為消費者在[a,b]區間內呈現均勻分配，透過計算可以得到ba2 3 , 其中我們用當作消費者偏好差異性參數，也代表消費者偏好差異性參數分佈的標準差。所以，寡占廠商中，廠商 1 與廠商 2 的需求量可以表示如下：

a b

a xˆ N N_y



 

1  and

a b

xˆ N b

N_y



 

2  .

沿用 Piga(1998)的假設，假設兩家廠商具有不同的生產成本，每生產製造一個單位需要成本c ，因此寡占市場裡廠商的總生產成本為 TC_i i = Nciyi 。假設市場對寡占廠商所生產的產品有政的需求量，即假設0 y_i 0，可以得到一個限制式： 6 3k c_i c_j 。假設A 表示廠商_i i的廣告花費。Chintagunta and Vilcassim(1992)認為存在廣告報酬率遞減效益，當廣告的效益飽和後，要額外增函一個消費者將花費更高的成本。Slade(1995)、Vilcassim et al.(1999)、Dube and Manchanda(2005)皆認為存在廣告調整成本，當廣告支出大量增函時，會額外增函許多監督與執行廣告預算的成本，廠商的廣告報酬率會遞減。所以，我們假設廣告成本C_i

 

A_i 為遞增击函數，為簡化模型並且不失一般性，假設廣告成本函數為二次方程式：

 

^A ^A ^,

C_i _i  _i² i1,2, (16) 其中0。

依據 Piga(1998)，N 代表消費者人數，且消費者人數會受到廣告支出的影

(35)

響，其動態方程式為：

), ( )]

( ) ( ) [

) (

( A₁ t A₂ t N t

dt t t dN

N^     (17) 其中0，表示廣告投資的效能。上式中的0，代表消費者人數的衰減率。由(17)式可以看出共同增函廣告費用可以增函市場的規模。換句話說，廣告支出是一種公共財，Fershtman and Nitzan (1991)的文中也可以找到類似的涵義與說明。

假設寡占市場中的兩家廠商都是追求個別廠商獲利的極大化，所以廠商獲利極大化的問題可以表示如下：

   

2 , 1 )

( ))

) ( ( 3 4

) (

3 2 4

max (), () ₀ 1    ² 









 

 



ê ^t^N ^p^j^t ^p_kⁱ^t Âⁱ Â^j ^pⁱ ^t ^cⁱ Âⁱ ^t ^dt ⁱ t

P t

A_i _i 







 (18)

, (17) . .t s

其中 0是折現率。

根據(17)式與(18)式我們可以定義一個非零和，無限水帄時間，具有 4 個控制變數



p1,p2,A1,A2



和一個狀態變數

 

N 的兩參賽者微分賽局。其中廣告支出只 影響消費者人數，產品價格與廣告支出彼此獨立。

在此，我們採用回饋(feedback) Nash 均衡策略，即寡占廠商會隨不同系統狀態而採用不同策略的決策法則。也就是說，當各家廠商考慮採取最佳的決策方式時，會考慮其他廠商所採取的控制變數如何影響狀態變數，並重新修改的廣告支出。相對於開路 Nash 均衡，廠商不會在賽局中修改廣告支出，回饋 Nash 均衡則是可依狀態變數 N 而去決定廣告支出，所以回饋 Nash 均衡並不具有賽局中承諾意涵，這一點是這兩種策略最大的差異。

第三節回饋 Nash 均衡 (Feedback Nash Equilibria , FNE)

在本節中，我們將利用微分賽局裡的回饋 Nash 均衡，求出賽局裡的最佳策

(36)

略，我們採用 Hamilton-Jacobi-Bellman 的方程式列出廠商的價值函數( Kamien and Schwartz, 1991, pp. 274)，利用這個方法可以求得產品價格與廣告支出最佳化

的路徑：



^N



^p ^c



^uA ^V ⁽^N⁾

 

^A ^A



^N

 ^

^, ⁱ^,^j ^, ^i. ^j

max ) N (

V ⁽^Aⁱ ^A^j⁾ _i _i _i _i^' _i _j

k Pi Pj

i        





  

 ^ ^ ² 12

3 4 3 2 4

1  

 _ ^ _

(19) 其中，V_i

 

N 是廠商i



i1,2



在賽局狀態 N 的價值函數，且 V 函數必頇是兩次可微分。因為(19)式對任何狀態 N 都必頇符合，所以 FNE 策略也是完全次賽局 Nash 均衡(subgame perfect Nash equilibria)。符合(19)式極大化的必要條件為：

0 3 2

4   



 (p c ) A V (N)

N _i _i  _i  _i^'



 i1,2 (20)

j i

; , j , i )

c p k( ) N

A A ( N k

) p p ( N N

i i j

i i

j      

 

 0 12

3 4 3

4 3

2 4  



 (21)

上述(20)式與(21)式也是 FNE 策略的充分條件，因為(17)式的右側是 P 與 A 的凹函數。從(20)式與(21)式我們可以求得：

k c

P_i  _i 2 3 (22)

 









2 4

N V k A N

' i

i   (23) 將(22)式與(23)式代入(19)式中，為簡化計算，且並不影響主要的觀察變數下，令  1，可以得到系統的偏微分方程式如下：

 

N  3 kN A² 2 AV^'

 

N  V^'

 

N N i1,2

V_i   _i  _i _i  _i

 (24) 假設(24)式的解為：

2 , 1 )

(N  ₁N²  ₂N ₃ i

V_i    (25) 其中 ,₁  ,₂  為未知參數。 ₃

將(25)式代入(24)式中，可以得到三個非線性方程式，其中l ，₁ l ，₂ l 必頇₃

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