5-3-1矩陣-矩陣的加法與係數積

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(1)5-3-1 矩陣-矩陣的加法與係數積【定義】矩陣的意義：在解一次方程組的過程中最主要的是係數及常數而非未知數，若我們把它的增廣矩陣列出，即可利用矩陣列運算求出解。【例題】 ⎧x + 2 y = 5 ⎡1 2 ⎤ ⎡1 2 5⎤ 之係數矩陣為 ⎢ ，增廣矩陣為 ⎢ ⎨ ⎥ ⎥。 ⎩3x − y = 1 ⎣3 −1⎦ ⎣3 − 1 1⎦ 日常生活中很多數據都是以表格型式呈現，這些資料可以視為一個矩陣【定義】矩陣：如果 A 是一個 m 列 n 行(直行橫列)的矩陣，通常表為 ⎡ a11 a12 " a1n ⎤ ⎢a a22 " a2 n ⎥⎥ 21 ⎢ A= ⎢ # # # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣am1 am 2 " amn ⎦ 之型式，或簡記為 A = [ aij ]m×n ，其中 aij 為 A 的第 i 列第 j 行交叉位置上的元，稱為 A 的第 (i, j ) 元， m× n 表 A 有 m 列 n 行，稱 A 的階數為 m× n 。方陣：當 m = n 時，稱 A 是一個正方形的矩陣，簡稱為 A 階方陣。轉置矩陣：若將矩陣的行與列對調，稱之為轉置矩陣。 ⎡ a11 a12 " a1n ⎤ ⎢a a22 " a2 n ⎥⎥ 21 ⎢ 設A= ⎢ # # # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣am1 am 2 " amn ⎦ ⎡ a11 a21 " am1 ⎤ ⎢a a22 " am 2 ⎥⎥ 12 則Ａ的轉置矩陣為 AT = ⎢ 。 ⎢ # # # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a1n a2 n " amn ⎦ 對稱方陣：若 aij = a ji 者稱之。反對稱方陣：若 aij = − a ji 者稱之。上三角矩陣：若 aij = 0, ∀i > j 者稱之。下三角矩陣：若 aij = 0, ∀i < j 者稱之。【定義】列矩陣：只有一列的矩陣， A = [a11 行矩陣：. a12 " a1n ] 。.

(2) ⎡ a11 ⎤ ⎢a ⎥ 21 只有一行的矩陣， A = ⎢ ⎥ 。 ⎢ # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣am1 ⎦ 【性質】行矩陣的轉置矩陣為列矩陣，列矩陣的轉置矩陣為行矩陣。【應用】例題一：一般圖形上的連結與否可以用矩陣配合 0 與 1 表示， A 例如. D 1 ⎤ ，可用來表示圖形 B 0⎥⎥ 2⎥ C ⎥ 0⎦ 或者可求出由某一點走到另一點，總共走 k 步之方法數為 A k 中之 (i, j ) 元。例題二：. ⎡0 ⎢2 A=⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1. 2 0 1 0. 1 1 0 2. A B. D. C. ⎡3 1 2 1⎤ ⎢1 4 1 2 ⎥ ⎥。或者以數字表示兩地之間所連結的路線數 ⎢ ⎢3 5 2 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2 2 6 3⎦ 【定義】矩陣相等：設 A = [aij ]m×n ， B = [bij ] p×q ，若 m = p 且 n = q ，且對任意 i, j ，恆有 aij = bij ，稱 A, B 相等，以 A = B 表示。對稱矩陣：如果一個矩陣滿足 aij = a ji ，稱此矩陣為對稱矩陣。零矩陣(加法單位元素，不一定要方陣)： ⎡0 0 " 0 ⎤ ⎢0 0 " 0 ⎥ ⎥ ( m 行 n 列)。 O = Om×n = ⎢ ⎢# # #⎥ ⎥ ⎢ ⎣0 0 " 0 ⎦.

(3) 【運算】矩陣加法：設 A, B 都是 m × n 階矩陣，且 A = [aij ]m× n , B = [bij ]m× n ，若 C = A + B，且 C = [cij ] m×n ，則 cij = aij + bij , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n 。矩陣減法：設 A, B 都是 m × n 階矩陣，且 A = [aij ]m× n , B = [bij ]m× n ，若 C = A − B，且 C = [cij ] m×n ，則 C = A + (− B) ，即 cij = aij − bij , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n 。 ⎡ a11 ⎢a 即 A = ⎢ 21 ⎢ # ⎢ ⎣a m1. " a1n ⎤ ⎡ b11 ⎢b a 22 " a 2 n ⎥⎥ ， B = ⎢ 21 ⎢ # # # ⎥ ⎢ ⎥ a m 2 " amn ⎦ ⎣bm1 ⎡ a11 ± b11 a12 ± b12 " ⎢a ±b a 22 ± b22 " 則 C = A ± B = ⎢ 21 21 ⎢ # # ⎢ ⎣a m1 ± bm1 a m 2 ± bm 2 " a12. 或表成 C = [cij ] m×n = [aij ] m×n ± [bij ] m×n. " b1n ⎤ b22 " b2 n ⎥⎥ ， # # ⎥ ⎥ bm 2 " bmn ⎦ a1n ± b1n ⎤ a2 n ± b2 n ⎥⎥ ，其中 cij = aij ± bij , ∀i, j 。 ⎥ # ⎥ a mn ± bmn ⎦ = A+ B b12. 矩陣係數積運算：設 A 是 m × n 階矩陣，且 A = [aij ]m× n ，若 rA = [bij ] m×n ，則 bij = raij , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n 。 ⎡ a11 a12 " a1n ⎤ ⎡ ra11 ra12 " ra1n ⎤ ⎥ ⎢a ⎢ ra a 22 " a 2 n ⎥ ra 22 " ra 2 n ⎥⎥ 即 A = ⎢ 21 ，則 rA = ⎢ 21 。 ⎢ # ⎢ # # # ⎥ # # ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣a m1 a m 2 " amn ⎦ ⎣ra m1 ra m 2 " ra mn ⎦ 【定義】加法反矩陣：設 A 是 m × n 階矩陣，且 A = [aij ]m× n ，則 − A = [−aij ]m× n 。 ⎡ a11 a12 " a1n ⎤ ⎡ − a11 ⎥ ⎢a ⎢− a a 22 " a 2 n ⎥ 即 A = ⎢ 21 的加法反元素為 − A = ⎢ 21 ⎢ # ⎢ # # # ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣a m1 a m 2 " amn ⎦ ⎣− am1 【性質】 1. 加法交換律： A + B = B + A 。 2. 加法結合律： ( A + B) + C = A + ( B + C ) 。 3. 加法消去律：若 A + B = A + C ，則 B = C 。 4. A + (− A) = (− A) + A = O 。 5. − (− A) = A 。 6. r ( A + B) = rA + rB 。 7. (r + s ) A = rA + sA 。 8. (rs) A = r ( sA) 。. − a12 − a 22 # − am 2. " − a1n ⎤ " − a 2 n ⎥⎥ 。 # ⎥ ⎥ " − a mn ⎦.

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