一元二次多項式配方法之數位學習環境設計與實作

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文指導教授：左台益博士. 一元二次多項式配方法之數位學習環境設計與實作. 研究生：張巧倪. 中華民國一百零二年六月.

(2) 誌謝辭研究所的這兩年期間，我個人的能力有大幅度的提升，且還增長許多見識。這中間的點點滴滴，是由於有許多人熱心的幫助與指引。感謝指導教授左台益老師，老師在我大三的時候就開始指導我大專生研究生計劃直至研究所畢業，很有耐心指導了我四年的時間。我從老師那裏學到做研究嚴謹的態度與不斷學習、鑽研的精神，且參予了國際研討會 PME36 與 EARCOME6 讓我對國外的世界增長了許多見識，並在 EARCOME6 發表個人的海報，在研討會與各國交換不同的研究意見，對我來說是很充實的經驗。感謝我的口試委員，劉遠楨與林晶璟教授，在繁忙中抽空前來給與我許多研究上的建議與指引，讓我的研究變得更完整。特別感謝我的精神支柱：王偉斌同學，在研究與生活中幫助我解決許多困難，讓我能在面對各種問題時能勇敢的面對與突破障礙。另外，感謝研究團隊的政德學長、鳳琳學長、建恆學姊、淑娟學姊、振源、慶安、詩穎等同學們的熱心幫忙，讓我的研究能順利進行，且提供許多研究上的建議參考。最後，感謝爸爸、媽媽提供我資源上的協助，讓我能無顧慮的在學校專心讀書與做研究。謹將這份論文獻給幫助過我的你們，打從內心感謝大家，謝謝！.

(3) 摘要本研究目的在設計與實作配方法的數位學習環境，並探討使用不同數位學習環境下，學生自學效果之影響。實驗之操弄變項有兩個維度，分別為操作方式（觸控ＶＳ滑鼠）和教學指引（口說指引ＶＳ文字指引）。透過上述操弄變項分為四個實驗組，以檢驗不同數位學習環境下的學習效果。共 81 位八年級生參與此研究。本研究結果為量化分析和實作成品，其量化分析結果如下：一、初學配方法或低程度的學生使用觸控操作，較有助於學習配方法之過程性技能，幫助學生強化心智表徵與外在表徵的鏈結。二、已學過配方法或高程度的學生使用滑鼠操作，較有助於學習配方法之過程性技能和結構性概念。這些學生不需特別使用觸控操作建立過程性技能，相對的，學生使用滑鼠操作可更進一步的建立結構性概念。三、低程度學生使用口說指引教學，較有助於學習配方法之過程性技能，降低學生無關的認知負荷，並產生有效的認知負荷。四、高程度學生使用文字指引教學，較有助於學習配方法之過程性技能和結構性概念。這些學生除了有配方法之過程性技能，還可透過文句之前後脈絡，進一步建立結構性概念。由上述結果可以得知，本研究設計之數位學習環境皆能幫助學生學習配方法。然而，如何讓低程度學生有結構性概念，而不只停留在過程性技能，還需要加入有效的教學策略，才能促使學生運用表徵做更深層的思考和互動，方能在配方法的數位學習環境中整合過程性技能與結構性概念。. 關鍵字：配方法、數位學習、過程性技能、結構性概念.

(4) 目錄壹、. 緒論 ..................................................................................................................... 1. 第一節. 研究背景 ..................................................................................................... 1. 第二節研究目的與問題 ............................................................................................. 4 貳、. 文獻探討 ............................................................................................................. 4. 第一節數學概念與學習 ............................................................................................. 5 第二節多媒體學習與設計原則 ............................................................................... 17 第三節虛擬教具與觸控科技 ................................................................................... 23 參、. 研究方法 ........................................................................................................... 25. 第一節研究設計 ....................................................................................................... 25 第二節研究對象 ....................................................................................................... 29 第三節研究工具 ....................................................................................................... 31 第四節研究步驟 ....................................................................................................... 44 第五節研究限制 ....................................................................................................... 45 肆、. 結果與討論 ....................................................................................................... 46. 第一節數位學習環境實作成果 ............................................................................... 46 第二節使用觸控或滑鼠對學生學習之影響 ........................................................... 75 第三節口說指引與文字指引對學生學習之影響 ................................................... 83 第四節操作與指引方式不同的學習環境對學生學習之影響 ............................... 92 伍、. 結論與建議 ..................................................................................................... 104. 第一節結論 ............................................................................................................. 104 第二節建議 ............................................................................................................. 105 參考文獻 ....................................................................................................................... 107 附錄 ............................................................................................................................... 111 附錄一完全平方公式測驗 ................................................................................... 111 附錄二學習軟體感受問卷 ................................................................................... 113 附錄三配方法測驗 ............................................................................................... 115 i.

(5) 附錄四教學指引內容一覽表 ............................................................................... 117 附錄五學生使用數位學習環境之流程圖 ........................................................... 131 附錄六學生操作數位學習環境之回饋 ............................................................... 131. ii.

(6) 圖目錄圖 1-1 圖 1-2. 多媒體學習的認知理論（引自 Mayer，2009） ........................................ 3 五種表徵類型（Lesh et al，1987） .......................................................... 12. 圖 2-1. 以符號為軸心的過程與概念所形成之過程概念（引自 Tall et al，2001）. 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4. 5 符號數學概念發展對應之成果光譜（引自 Tall，2007） ........................ 7 數學的三個世界（改自 Tall，2001） ........................................................ 8 配方法數位學習環境、概念性體現世界、過程概念符號世界三者關係圖. 10 圖 2-5 三個世界與其他觀點的鏈結（引自 Tall，2002） .................................. 10 圖 2-6 配方法數位學習環境之表徵設計.............................................................. 11 圖 2-7 多媒體學習的認知理論（引自 Mayer，2009） ...................................... 18 圖 2-8 多媒體學習在(a)圖像(b)口說(c)文字的認知處理方式（引自 Mayer， 2009）.................................................................................................................. 19 圖 2-9 學生可能產生的「選擇完全平方式對照」方式...................................... 38. 圖 3-1 實驗設計圖.................................................................................................. 25 圖 3-2 研究架構圖.................................................................................................. 28 圖 3-3 配方法數位學習環境之教學流程圖.......................................................... 39 圖 3-4 數位學習環境布置圖.................................................................................. 41 圖 3-5 拖拉魔術矩形（左）；點擊魔術矩形（右）............................................ 42 圖 3-6 魔術矩形向上動畫（左）；等號兩邊左右互換動畫（右）.................... 43 圖 3-7 判斷並拖拉正確的魔術矩形到缺角（左）；填入正確的數值到輸入框中（右）.................................................................................................................. 43 圖 3-8 複習和的平方公式（左）；總複習（右）................................................ 44 圖 3-9 研究流程圖.................................................................................................. 45. 圖 4-1 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4 圖 4-5 圖 4-6 圖 4-7 圖 4-8. 數位學習環境首頁...................................................................................... 47 學習目標流程圖.......................................................................................... 48 魔術矩形活動任務一.................................................................................. 49 魔術矩形活動任務二.................................................................................. 49 魔術矩形活動任務三.................................................................................. 50 魔術矩形活動任務四.................................................................................. 50 魔術矩形活動完成後的銜接畫面.............................................................. 51 複習和的平方公式任務一.......................................................................... 52 iii.

(7) 圖 4-9 複習和的平方公式任務二.......................................................................... 53 圖 4-10 複習和的平方公式任務三...................................................................... 53 圖 4-11 複習和的平方公式任務四...................................................................... 54 圖 4-12 複習和的平方公式任務五...................................................................... 55 圖 4-13 複習和的平方公式任務六...................................................................... 55 圖 4-14 複習和的平方公式任務七...................................................................... 56 圖 4-15 複習和的平方公式任務八...................................................................... 56 圖 4-16 複習和的平方公式任務九...................................................................... 57 圖 4-17 複習差的平方公式任務一...................................................................... 58 圖 4-18 複習差的平方公式任務二...................................................................... 59 圖 4-19 複習差的平方公式任務三...................................................................... 59 圖 4-20 複習差的平方公式任務四...................................................................... 60 圖 4-21 複習差的平方公式任務五...................................................................... 61 圖 4-22 複習差的平方公式任務六...................................................................... 61 圖 4-23 複習差的平方公式任務七...................................................................... 62 圖 4-24 複習差的平方公式完成後的銜接畫面.................................................. 62 圖 4-25 配方步驟一任務一.................................................................................. 63 圖 4-26 配方步驟一任務二.................................................................................. 64 圖 4-27 配方步驟一任務三.................................................................................. 64 圖 4-28 配方步驟一任務四.................................................................................. 65 圖 4-29 配方步驟一任務五.................................................................................. 66 圖 4-30 配方步驟一任務六.................................................................................. 66 圖 4-31 配方步驟一任務七.................................................................................. 67 圖 4-32 配方步驟二任務一.................................................................................. 68 圖 4-33 配方步驟三任務一.................................................................................. 69 圖 4-34 配方步驟三完成後銜接畫面.................................................................. 70 圖 4-35 總複習任務一.......................................................................................... 70 圖 4-36 總複習任務二.......................................................................................... 71 圖 4-37 總複習任務三.......................................................................................... 72 圖 4-38 總複習任務四.......................................................................................... 72 圖 4-39 總複習任務五.......................................................................................... 73 圖 4-40 總複習任務六.......................................................................................... 74 圖 4-41 總複習任務六完成後的銜接畫面.......................................................... 74 圖 4-42 數位學習環境尾頁.................................................................................. 75 圖 4-43 口說組與文字組的時間效率圖.............................................................. 91 圖 4-44 PadSd、PadTx、ComSd 和 ComTx 的時間效率圖............................ 103. iv.

(8) 表目錄表 2-1 表 2-2 表 2-3 表 2-4 表 2-5 表 2-6. 將符號視為過程或概念之舉例（引自 Tall et al，2001）......................... 6 以配方法單元為例將符號視為過程或概念之舉例.................................... 6 學生與表徵間的互動模式（引自 Thomas & Hong，2001） .................. 14 克萊因四元群乘法表.................................................................................. 15 學生與配方法代數表徵間的可能互動模式.............................................. 16 使用觸控科技學習的相關文獻.................................................................. 24. 表 3-1 表 3-2 表 3-3 表 3-4 表 3-5 表 3-6 表 3-7 表 3-8 表 3-9 表 3-10. 實驗變項表.................................................................................................. 26 四組不同的學習環境.................................................................................. 27 四組學生有無學過配方法情形.................................................................. 29 四組學生平日使用智慧型行動裝置情形.................................................. 30 四組前測之配方法題目的平均答對率與標準差...................................... 30 完全平方公式測驗 3~7 大題之雙向細目表 ............................................. 31 配方法測驗之雙向細目表.......................................................................... 33 前測之先備知識題目的數學內容分析...................................................... 34 PSO 題目各選項之代數式形式 ................................................................. 35 PPO、CPRT、SSO、SPO、CORT 各題之代數式形式 ...................... 36. 表 4-1 表 4-2 表 4-3 表 4-4 表 4-5 表 4-6 表 4-7 表 4-8 表 4-9 表 4-10 表 4-11 表 4-12 表 4-13 表 4-14 表 4-15 表 4-16 表 4-17. 觸控組與滑鼠組進步答對率（後測-前測）之比較 ................................ 75 觸控與滑鼠組分高低程度進步答對率（後測-前測）之比較 ................ 76 觸控與滑鼠組分有無學過進步答對率（後測-前測）之比較 ................ 77 觸控組學生與表徵間互動模式的進步（後測-前測）答對率之比較 .... 78 滑鼠組學生與表徵間互動模式的進步（後測-前測）答對率之比較 .... 79 觸控組低程度學生題型分類上進步（後測-前測）答對率之比較 ........ 79 滑鼠組高程度學生題型分類上進步（後測-前測）答對率之比較 ........ 79 觸控組與滑鼠組學習配方法單元的認知負荷統計資料.......................... 80 觸控組與滑鼠組使用此學習軟體的感受統計資料.................................. 81 觸控組與滑鼠組在數位學習環境下自我學習所花費時間之比較...... 82 觸控組與滑鼠組在心力效率之比較...................................................... 82 觸控組與滑鼠組在時間效率之比較...................................................... 83 口說組與文字組進步答對率（後測-前測）之比較 ............................ 84 口說與文字組分高低程度進步答對率（後測-前測）之比較 ............ 84 口說與文字組分有無學過進步答對率（後測-前測）之比較 ............ 85 口說組學生與表徵間互動模式的進步（後測-前測）答對率之比較 86 文字組學生與表徵間互動模式的進步（後測-前測）答對率之比較 87 v.

(9) 表 4-18 表 4-19 表 4-20 表 4-21 表 4-22 表 4-23 表 4-24 表 4-25 表 4-26 表 4-27 表 4-28 表 4-29 表 4-30 表 4-31 表 4-32 表 4-33 表 4-34 表 4-35 表 4-36 表 4-37 表 4-38. 口說組低程度學生題型分類上進步（後測-前測）答對率之比較 .... 88 文字組高程度學生題型分類上進步（後測-前測）答對率之比較 .... 88 口說組與文字組學習配方法單元的認知負荷統計資料...................... 88 口說組與文字組使用此學習軟體的感受統計資料.............................. 89 口說組與文字組在數位學習環境下自我學習所花費時間之比較...... 89 口說組與文字組在心力效率之比較...................................................... 90 口說組與文字組在時間效率之比較...................................................... 90 依據操作方式與教學指引兩個變項分為四組不同的學習環境.......... 92 四組學生進步答對率（後測-前測）之比較 ........................................ 92 四組學生分高低程度進步答對率（後測-前測）之比較 .................... 93 四組學生分有無學過進步答對率（後測-前測）之比較 .................... 94 PadSd 學生與表徵間互動模式的進步（後測-前測）答對率之比較 . 95 PadTx 學生與表徵間互動模式的進步（後測-前測）答對率之比較 . 96 ComSd 學生與表徵間互動模式進步（後測-前測）答對率之比較 ... 97 ComTx 學生與表徵間互動模式進步（後測-前測）答對率之比較 ... 97 四組學生學習配方法單元的認知負荷統計資料.................................. 98 四組學生使用此學習軟體的感受（9 分量表）統計資料................... 99 四組學生在數位學習環境下自我學習所花費時間之平均與標準差 100 四組學生在數位學習環境下自我學習所花費時間之比較................ 101 四組學生在心力效率之比較................................................................ 101 四組學生在時間效率之比較................................................................ 102. vi.

(10) 壹、. 第一節. 緒論. 研究背景. 配方法在國中數學課程的重要性，不僅僅是解二次方程式的方法，還可透過配方，計算二次函數的最大值或最小值、判斷二次函數是否恆正或恆負。甚至在往後高中課程學習二次曲線時，還會用到配方的概念。 97 課綱中的分年細目特別強調「教學應讓學生理解並熟練配方法的過程，由於配方法除了在解二次方程式外，在其它方面也是很重要的方法，因此熟練配方法的過程是要點之一。切勿只讓學生背誦公式而已。」且能力指標「A-4-16 能用因式分解或配方法，解出二次方程式，並用來解題」與「A-4-17 能利用配方法，計算二次函數的最大值或最小值」，從此兩項能力指標可看出，配方法是解二次方程式與求二次函數極值的核心概念與演算技能，且配方法本身是一個過程概念（procept）(Tall et. al., 2001)，亦即它不但包含精巧的演算程序，更具有複雜的抽象結構。由此可知，配方法在國中代數主題中佔有重要的地位。學生在學習配方法時會有許多困難。陳志全(2005)與李盈賢(2006)研究顯示學生學習配方法的錯誤類型主要有：一、無等價的觀念以致扭曲等量公理的運用；二、無法配出適合及正確的完全平方式；三、分數、根式、整數、文字符號個別及相互間的化簡及平方的錯誤；四、正負符號的誤置或忽略遺漏；五、建立一個無法完成配方法的步驟；六、一元二次方程式定義不清楚。造成學生有這些配方法錯誤類型的成因為：一、先備知識的不足；二、舊的學習經驗和新的學習經驗相互干擾；三、沒有正確使用運算規則；四、無法了解題目的敘述；五、太偏重記憶而缺少對配方法的理解。學生之所以不易理解與掌握配方法的數學意義，正是因為配方法它同時包含複雜的抽象概念與演算程序。Sfard(1991)指出數學概念本身具有數學物件的抽象結構以及操弄演算過程的對偶(dual)性質，就如同硬幣的正反兩面。而 Gray & Tall(1992b)將這一類同時具有過程與概念的心智 1.

(11) 物件稱為過程概念(procept)。以配方法為例，學生要掌握過程概念並不是一件那麼容易的事。學習者若要理解配方法的過程概念，需要先掌握配方法的步驟（procedure），包含：分解 x 項係數、選擇完全平方式對照、加上適當的常數化成完全平方式等三步驟。接著，學生需將這些步驟整合，並掌握配成完全平方式的過程（process）。最後，學生能形成配方法的過程概念（procept），也就是學生在處理這些符號時. m m （ x 2 + mx + ( )2 =( x + )2 , m ∈  ），可將配方法視為過程（配成完全平方式）做 2 2 運算，也可視為概念（因式分解成兩個相同一次式的乘積）來思考。對大部分的學生來說，配方法的學習多侷限在數值與符號的演算過程，學生並不清楚在這過程中所處理的數學物件與背後所隱含的數學概念為何以及為什麼要這麼做。Tall(2007)即指出對於無法順利連結過程與概念的學生來說，他們將無法有效地將所習得的知識做精緻化而形成過程概念，僅能達到有效處理程序步驟的階段。因此，本研究試圖藉由魔術矩形的物件操弄來具體呈現配方法的演算過程所代表的數學概念，期望能幫助學生建立過程與概念間的連結關係以形成過程概念。隨著資訊科技的發展，教師與學生可以透過虛擬教具（virtual manipulation）的操弄來輔助數學概念的教與學。(Moyer & Bolyard, 2002; Moyer, Bolyard & Spikell, 2002; Suh & Moyer-Packenham, 2007)而觸控技術也隨著平板電腦和智慧型手機的普及被廣泛的使用與發展相關的應用程式。Graven(2011)提到觸控科技對生活的影響並描述：「每當丈夫帶著一隻 i-phone 回家，我就可以下載許多 app 遊戲（幾乎免費），且我的孩子也能在系統監督模式之下玩這些遊戲，我突然明白觸控螢幕科技為學習工具帶來強大力量。」觸控科技有著方便性的優勢，例如手機與平板，我們可以隨時隨地使用它。因為觸控科技最近幾年才開始蓬勃發展，相關觸控在數學教學與學習研究並不是太多，大部分觸控軟體偏向配合教師課堂教學使用。國外研究中，馬來西亞 Tyng, Zaman & Ahmad(2011)研究使用 2.

(12) Tabletop 讓學生以觸控方式學習；而美國 Kilgore & Capraro(2010)研究中使用 Smart board 配合課堂教授因式分解單元。Segal(2011 )也在研究中指出觸控介面比滑鼠介面學習更有效果且促進學生使用更進階的策略。且認為使用觸控學習，能幫助學生在解決問題時，建構心智表徵與運算。研究者欲利用觸控環境，讓學生透過觸控操作方式的學習，建構心智表徵與運算並與外在表徵做鏈結。另外在實驗中增加滑鼠操作方式的實驗組，作為之後觸控操作方式組之比較參照。 Mayer(2009)提出多媒體學習的認知理論（Cognitive theory of multimedia learning），認為文字和圖片會透過耳朵或眼睛接收個體選擇的資訊，並在工作記憶區中組織這些資訊，最後與長期記憶區中的先備知識作整合，如圖 1-1。. 圖1-1. 多媒體學習的認知理論（引自 Mayer，2009）. 以此多媒體學習的認知理論為基礎，Mayer 將眾多研究做整理，並歸納設計多媒體學習環境應遵循的三大類原則，分別是減少額外過程原則（Principles for reducing extraneous processing）、管理必要過程原則（Principles for managing essential processing）與培養創建過程原則（Principles for fostering generative processing）。其中管理必要過程原則中的形式原則（Modality Principle）提到學習者使用「圖片、口說呈現的學習環境」會比使用「圖片、文字的學習環境」理解更為深入。且本研究之數位學習環境主要為學生自學的數位學習環境，研究者欲設計模擬老師講解的教學環境，故增加口說指引的方式，與文字指引的方式做對照，比較兩組學生在操作完數位學習環境後的學習效果。綜合以上所述，本研究目的為設計與實作一元二次多項式配方法的數位學習 3.

(13) 環境，並探討不同數位學習環境下的學習效果，以幫助中學生學習配方法。. 第二節. 研究目的與問題. 本研究目的為設計與實作一元二次多項式配方法的數位學習環境，以幫助中學生學習配方法，即理解且計算一個形如 x 2 + mx 的一元二次式加上適當的常數，化成完全平方式 ( x +. m 2 ) 。為了檢測本學習環境是否能幫助中學生學習配方 2. 法，從上述的研究目的提出以下問題：一、如何設計與實作出配方法的數位學習環境？二、在此數位學習環境下，學生的學習效果如何？ 1.. 使用觸控與滑鼠的兩種學習環境下，學生學習表現、感受與效率為何？. 2.. 在口說指引與文字指引的兩種學習環境下，學生的學習表現、感受與效率為何？. 3.. 在操作與指引方式不同的四種學習環境下（口說指引的觸控學習、文字指引的觸控學習、口說指引的滑鼠學習、文字指引的滑鼠學習），學生的學習表現、感受與效率為何？. 貳、. 文獻探討. 本研究目的為設計與實作一元二次多項式配方法的數位學習環境，以幫助中學生學習配方法，即理解且計算一個形如 x 2 + mx 的一元二次式加上適當的常數，化成完全平方式 ( x +. m 2 ) 。故文獻從三個面向來探討：數學概念與學習、多 2. 媒體學習與設計原則、虛擬教具與觸控科技。第一節主要探討數學概念與學習，從理論分析配方法的數學概念，將學生與配方法代數表徵間的可能互動模式做整理，並以此做為設計前後測的題目類型參考。第二節探討多媒體學習與設計原則，並遵循多媒體設計原則設計此數位學習環境。第三節探討虛擬教具與觸控科 4.

(14) 技文獻，並在數位學習環境中設計虛擬教具「魔術矩形」，讓學生能自我操作動態物件，並觀察代數表徵與圖形表徵間的關係。. 第一節一、. 數學概念與學習. 配方法之過程概念. 過程概念理論（Procept Theory）指的是人類在符號數學的領域中（包括算術，代數，微積分…等），靈活的使用符號，可將符號當成過程作運算（processes to do），或將符號作為概念來思考（concepts to think about）。就好比擁有轉軸一樣，可以在過程和概念中做切換。Tall 等人認為過程概念（procept）是人類透過符號，從心智產生的過程（process）與概念（concept）綜合所形成（如圖 2-1），而過程概念指的是這些過程與過程中所產生的心智物件。(Gray & Tall, 1991, 1992a, 1992b, 1993, 1994). 圖2-1. 以符號為軸心的過程與概念所形成之過程概念（引自 Tall et al，2001）. 若學生有過程概念，當他操弄這些符號做數學（doing mathematics）時，會很快地將想法轉換到對符號的思考（thinking about symbols）。舉例來說，我們如何將這些符號做過程與概念的切換。如下 0，3＋2 可視為加法運算（addition）或是一個和（sum）的概念；而-3 則可視為減去 3 （subtract 3 (3 steps left)）或是負 3（negative 3）的概念。. 5.

(15) 表2-1. 將符號視為過程或概念之舉例（引自 Tall et al，2001）. 本研究之數位學習環境實作的主題為配方法，研究者將此單元以過程概念理論的觀點舉例如下表 2-2。. 表2-2. 以配方法單元為例將符號視為過程或概念之舉例. 符號（symbol）. m m x 2 + mx + ( )2 =( x + )2 , m ∈  2 2. 過程（process）. 概念（concept）. 配成完全平方式的因式分解成兩個相運算步驟. 同一次式的乘積. m m 研究者認為 x 2 + mx + ( )2 =( x + )2 , m ∈  可視為配成完全平方式的過程， 2 2 也可視為因式分解成兩個相同一次式乘積的概念。若學生掌握了此單元的過程概念（procept），他在處理這些符號時，則可立即的切換過程與概念，也就是說此學生已發展出完整的配方法數學概念。. 6.

(16) 根據 Tall(2007)的觀點，符號數學概念的發展，是從步驟（procedure）進步到過程（process）進而發展出過程概念（procept）。如下圖 2-2。. 圖2-2. 符號數學概念發展對應之成果光譜（引自 Tall，2007）. Tall 認為符號數學概念的發展分成五個階段，且這五個階段是由下到上，一步步的將步驟（procedure）壓縮到過程概念（procept）。另一方面，他把學生的表現比喻成光譜（spectrum of outcomes），依據個體的學習表現分為五個層次，並將其對應到符號數學概念發展的五個階段。本研究設計之數位學習環境，目的為使學生能從數個步驟（procedure）中不斷練習，將這些步驟整合成過程（process），透過操作這些過程發展出配方法的過程概念（procept）。. 7.

(17) 二、. 數位學習環境與數學三世界. 人類透過感知（perception）、動作（action）和反思（reflection）三者與數學環境（environment）的交互作用構成數學的三個世界：概念性體現世界（conceptual-embodied）、過程概念的符號世界（proceptual-symbolic）、公理化的形式世界（axiomatic-formal），如圖 2-3。(Tall, 2004, 2007; Tall & Mejia-Ramos, 2006). 圖2-3. 數學的三個世界（改自 Tall，2001）. 以下詳細描述數學的三個世界。（一）概念性體現世界（conceptual-embodied）此世界建立於人類在現實世界對物體特性（properties of objects）的感知（perception）與反思（reflection）行為，如圖 2-3。當我們想要表現一個特定或某一類的功能（function），我們在心智中會看到（see）一個特定圖形的影像，也就是產生了概念性體現。 8.

(18) 舉例來說：三角形由三條線段所組成，我們會想像三角形的圖像，並在心智中產生一個特定三角形的典型（prototype）來代表所有的三角形類，則我們已經概念性體現（conceptually embody）一個三角形的幾何圖像。本研究希望藉由魔術矩形（魔術矩形是利用矩形面積等於長乘以寬的概念，將多項式乘積的代數表徵轉換成圖形表徵，且允許有負的面積），讓學生在進行配方時，能在心智中產生相對應的心智物件並對其物件進行動作，即產生概念性體現。（二）過程概念的符號世界（proceptual-symbolic）此世界建立於人類在現實世界的動作（action）與反思（reflection）行為，如圖 2-3。透過動作（action）將想像的概念符號化（symbolization）。舉例來說：數（number）是透過計數（counting）的動作將概念符號化的結果。在過程概念的符號世界，將符號當成過程作運算（processes to do），也當作概念來思考（concepts to think about），即過程概念（procept）。（詳細內容請參見本章第一節的第一部分）本研究希望透過輸入代數表徵的方式，將配方的概念符號化，讓學生在配方時，能掌握各項係數的關係，理解且計算一個形如 x 2 + mx 的一元二次式加上適當的常數，化成完全平方式 ( x +. m 2 ) 。 2. （三）公理化的形式世界（axiomatic-formal）此世界建立於形式化的定義與證明。由選擇公理（selected axioms）和邏輯演繹（making logical deductions）去證明定理。本研究之配方法數學概念尚未進入公理化的形式世界。如圖 2-4 為本研究之配方法數位學習環境與概念性體現世界、過程概念符號世界的關係。. 9.

(19) 圖2-4. 配方法數位學習環境、概念性體現世界、過程概念符號世界三者關係圖. Tall 將這三個世界與 Bruner(1966)的心智表徵觀點做鏈結（動作表徵（enactive representation）、影像表徵（iconic representation）和符號表徵（symbolic representation）），加上哈佛微積分課本編輯的四個規則（圖形、數值、符號、言語），整合如圖 2-5。. 圖2-5. 三個世界與其他觀點的鏈結（引自 Tall，2002） 10.

(20) 本數位學習環境設計主要聚焦在概念性體現世界（conceptual-embodied）與過程概念的符號世界（proceptual-symbolic），利用魔術矩形的圖形表徵方式與拖拉魔術矩形等動作，支持學生在心智中產生動作表徵與影像表徵，也就是讓學生在概念性體現世界進行學習，讓學習者在心智表徵中產生與自身行為相符合的動作與影像，強化外在表徵與心智表徵的鏈結。本研究數位學習環境之表徵設計如圖 2-6，詳細設計樣貌舉例請參見第參章第三節的第五部分。. 圖2-6. 三、. 配方法數位學習環境之表徵設計. 概念工具與概念表徵工具. 表徵（representation）在學生解決問題與探討數學概念時扮演著很重要的角色。學生可藉由表徵，有意義的理解問題並提供問題解決的方法(NCTM, 2000b)。 Lesh, Post & Behr(1987)將表徵分成經驗描述表徵、操作模型表徵、圖形或表格表徵、口語表徵以及符號表徵，他們認為數學概念的不同表徵如冰山的一角，單一 11.

(21) 表徵往往只能呈現概念中的一部份，學習者必須掌握數學概念的不同表徵，這個想法一般稱為「多重表徵」的學習與教學觀點，如圖 1-2。. 圖1-2. 五種表徵類型（Lesh et al，1987）. 多重表徵可定義為藉由不同的方式去呈現及建構一個知識或想法(左台益 & 蔡志仁, 2001)。在多項式配方的概念上，從多重表徵的觀點來看，主要包含了代數表徵與圖形表徵，數學式子與幾何圖形具體地呈現抽象的數學想法，但僅有代數符號或幾何圖形靜態地呈現無法表現出配方法的運算過程。因此，在傳統黑板與粉筆的教室課堂中，代數符號的運算過程需要透過個體心靈的眼睛來看到運算的過程，有些教師會透過幾何圖形來說明運算過程的意義。但這樣的呈現方式是表徵之間獨立的運作，缺乏適當的連結，通常有經驗的老師會將幾何圖形與代數符號並陳。Ainsworth(2006)認為多重表徵學習環境的教學設計是目前重要的議題，需要考量的面向除了表徵內容本身外，尚須考慮表徵的功能與作業的認知面向。因此，配方法的學習環境設計我們必須考量其數學上主要的兩種表徵，代數表徵與圖形表徵，以及表徵的功能與作業的認知面向。研究者認為透過多重表徵方式的教學，也就是使用代數表徵與圖形表徵間的鏈結關係，可以讓學生概念性的理解配方法，幫助學生學習配方法。 12.

(22) Mason(1992)將學生在活動中的學習分為兩類。若學生從事此活動（engaging in activity），則認為學生進行「做」（doing）的動作。若學生從活動中學習（learning from activity），則認為學生進行「建構」（construing）的動作。教師在課室中進行活動時，學生剛開始都是照著老師所說的動作一步步進行，也就是學生正在「做（doing）」活動。當學生從活動中學習到知識時，則學生經由此活動「建構（construing）」新的認知。老師的教學目標應當著重於讓學生能從活動中建構新的認知，而不只是停留在做活動的階段，這是設計教學活動時所要注意的地方。 Thomas & Hong(2011)提出建構表徵是多面向的，表徵會根據學生不同方式的互動，擔任不同的角色。例如螢幕上有一張圖，Mason(1992)認為學生有可能只看到（looking at）那張圖，也有可能因個人焦點放在不同的地方而看透（looking through）出其他的概念。從意義上來說，學生至少有兩種與表徵互動的方式，也就是在表徵上進行觀察（observing）或是動作（acting）。 Thomas 與 Hong 將表徵分為兩個層次如下。（一）概念工具（conceptual tool）當學生為了從表徵得到更多資訊或是了解它，而進行觀察或動作時，也就是 Mason 所說的「做（doing）」，我們稱此表徵對此特定學生來說為「概念工具」。概念工具並不是一個實體工具，因為它的特性讓人進行觀察和動作，就如使用工具一般，所以工具在此是適當的隱喻。（二）概念表徵工具（conceptual representation tool）若從活動中學習，即 Mason 所說的「建構（construing）」，則稱此表徵對此特定學生來說為「概念表徵工具」。本研究之數位學習環境設計，欲使學生在數位學習活動中「建構（construing）」配方法的知識，除了有複習先備知識的活動外，還將配方法切割成三個步驟學習。（更多數位學習環境之教學流程與布置內容請參見第參章第三節的第五部分。）若學生能從活動中學習，則這些環境中的表徵對他們來說即是概念表徵工具。 13.

(23) Thomas 與 Hong 依據概念（Concept View）與互動方式（Interaction）兩個維度將學生與表徵間的互動模式分為六類，如表 2-3。其中，概念分為程序（Process）與結構（Structural/Object）兩面向，互動方式分為表層觀察（Surface Observation（SO））、結構性質觀察（Observation of Conceptual Properties（PO））與在表徵上動作（Action on the Representation（CRT））三個面向。. 表2-3. 學生與表徵間的互動模式（引自 Thomas & Hong，2001） Concept View Interaction. Process. Structural/Object. Process Surface. Structural Surface. Observation（PSO）. Observation（SSO）. Process Property. Structural Property. Observation（PPO）. Observation（SPO）. Conceptual Process. Conceptual Object. Representation Tool. Representation Tool. （CPRT）. （CORT）. Surface Observation（SO）. Observation of Conceptual Properties（PO）. Action on the Representation（CRT）. 14.

(24) 以克萊因四元群（klein four-group）為例，如表 2-4。將上述六種學生與表徵間的可能互動模式加以舉例如下。. 表2-4. 克萊因四元群乘法表 ╳ mod 8. 1. 3. 5. 7. 1. 1. 3. 5. 7. 3. 3. 1. 7. 5. 5. 5. 7. 1. 3. 7. 7. 5. 3. 1. 1. 過程性技能的表層觀察（Process Surface Observation，PSO）學生從表格中觀察到，群中元素相乘後的結果還是屬於這個群中。（學生尚未提到封閉性） 2. 過程性技能的性質觀察（Process Property Observation，PPO）發現每個元素都是自反函數（self-inverse，當一個元素與自己相乘的結果為單位元素，則稱此元素是自反函數）。 3. 概念過程表徵工具（Conceptual Process Representation Tool，CPRT）使用此表格去驗證 ab = ba ，對於所有 a , b ∈ {1,3,5,7} 。 4. 結構性概念的表層觀察（Structural Surface Observation，SSO）觀察出表格中的主對角線都是 1。 5. 結構性概念的性質觀察（Structural Property Observation，SPO）觀察出有一子群 {1,3} 。或是發現表格中的對稱性質，即此群是交換群。 6. 概念物件表徵工具（Conceptual Object Representation Tool，CORT）. 1 3   3 1   5 7   7 5  將表格的欄重新排成  、 、 和  （假設必須做這件  5 7   7 5  1 3   3 1 . 15.

(25) 1 0  事），則這些重排的矩陣會互相同構（isomorphic），也就是說乘上 ±  或 0 1  0 1  ±  會變成另一個重排的矩陣。 1 0  本研究為了解學生使用數位學習環境前後，在配方法的代數表徵上互動模式的變化。將學生與配方法代數表徵間的可能互動模式依據上述分類，整理如表 2-5。. 表2-5. 學生與配方法代數表徵間的可能互動模式 Concept View. Interaction. Surface. Process. Structural/Object. 學生觀察到 x 2 + mx 形式的多項. 學生觀察到因式分解. 式加上某個常數，可以化成完全. m x 2 + mx + ( )2 形式的多項 2. 平方式 ( x +. Observation. m 2 ) 2. 式，可用配方概念，分解成兩個相同的一次式乘積 (x +. m 2 ) 2. 學生觀察到多項式 x 2 + mx 、常數學生觀察到 x 2 + mx + ( m )2 2 m 2 m 2 ( ) 與完全平方式 ( x + ) 的關形式的多項式分解成兩個相 2 2 係：. 同的一次式乘積 ( x +. Observation of Conceptual Properties. m 2 ) ， 2. 利用配方法或利用其他因式 m m m x 2 + 2 ⋅ ⋅ x + ( )2 = ( x + )2 2 2 2. ↓. ↓. ↓. ↓↓. ①. ②. ③. ④⑤. 16. 分解方法的結果是相同的.

(26) （一）①（等號左邊 x 項正負號）與④（等號右邊平方式中常數項正負號）相同。（二）②（等號左邊 x 項係數）除以 2 的值即為⑤（等號右邊平方式中常數項）的值，且其值的平方為③（等號左邊常數項）。學生利用配方，可將 ax 2 + mx 形. 學生將完全平方式用代數表. m 2 ) ,a ∈ 2a. 徵，並且以此為核心運用到. Action on the Representation. 式的多項式化成 a ( x +. 等價的二次式. 研究者依據上述分類設計前測與後測試題，藉此來分析學生使用此數位學習環境前後，在配方法代數表徵上互動模式的變化。（詳細試題內容設計請參照第參章第三節）. 第二節. 多媒體學習與設計原則. Mayer(2009)依據雙碼理論（Dual channels）、有限容量（Limited capacity）與主動學習（Active processing）等三個假設，建構多媒體學習的認知理論（Cognitive theory of multimedia learning），如圖 2-7。. 17.

(27) 圖2-7. 多媒體學習的認知理論（引自 Mayer，2009）. （一）雙碼理論假設人類擁有不同的兩個通道來處理視覺與聽覺的訊息。當訊息呈現在視覺時（例如：圖示、動畫、影片、螢幕上的文字等），個體開始在視覺通道處理訊息；當訊息呈現在聽覺時（例如：口述或非口語的聲音），個體開始在聽覺通道處理訊息。（二）有限容量假設在一定時間內，人類在各通道處理訊息的容量是有限的。當訊息由圖示或動畫呈現時，學習者只能在一定時間內反映（reflect）一部分圖像在工作記憶區中，也就是只有一部分的教材在視覺工作記憶中處理。當訊息由口語敘述時，學習者只能在一定時間內反映一部分話語在工作記憶區中，例如：數位學習環境內語音敘述「魔術矩形 ( x + b) 2 可分割成四塊小魔術矩形： x 2 、 bx 、 bx 和 b2 ，且這四塊小魔術矩形相加剛好是原來的魔術矩形 ( x + b) 2 」，學生可能只反映「 x 2 」、「 bx 」、「 bx 」、「 b2 」、「等於 ( x + b) 2 」等一部分話語在聽覺工作記憶區中做處理。（三）主動學習假設人類在學習中為了從經驗建構相關的心智表徵，積極地進行認知處理。這些積極的認知處理包括注意訊息、組織接收的訊息和將其他知識與接收的訊息做整合。此觀點將人類看作是積極的處理者，會盡可能地將訊息存放到記憶中，就如同錄音帶將經驗存取到記憶中，以便提取。 Mayer 舉出人類接收圖像、口說與文字等三種不同訊息時，認知處理分別是如何進行的，如圖 2-8。. 18.

(28) 圖2-8. 多媒體學習在(a)圖像(b)口說(c)文字的認知處理方式（引自 Mayer，2009）. 本研究有兩個班級操作口說指引的數位學習環境，另外兩班操作文字指引的數位學習環境。兩組（口說組與文字組）皆有圖形表徵，不同的地方在於教學指引一個是用口述呈現，另一個則是用螢幕上的文字呈現。故口說組的學生在使用此數位學習環境時，透過眼睛處理圖像表徵，耳朵處理口述的指引，也就是圖 2-8 中的(a)和(b)兩種處理方式。而文字組的學生在使用此數位學習環境時，除了透過眼睛處理圖像表徵，螢幕上的文字指引也需要透過眼睛來處理，也就是圖 2-8 中的(a)和(c)兩種處理方式。接下來，研究者從認知負荷理論的觀點，分析兩組學生在使用此兩種不同數位學習環境的認知負荷。 Sweller, van-Merrienboer & Paas(1998)在研究中表示認知負荷是指一項特定任務加諸於學習者的認知系統時所產生的負荷量，分為無關的認知負荷、內在認知負荷和有效的認知負荷。綜合 Mayer（2009）多媒體學習觀點，研究者將認知 19.

(29) 負荷整理如下：（一）無關的認知負荷（extraneous cognitive load）此認知負荷是由教材外在呈現的方式所造成。不適當的教學指引所造成的認知負荷，導致學生的認知過程不符合學習目標。例如：把動畫放上方，描述的文字放在底部，造成學習者需要先下去看文字再回頭看圖像的部分，此設計可藉由文字改放置重點圖像旁來降低無關的認知負荷。故無關的認知負荷可由教學設計降低其負荷量。無關的認知負荷造成學習者沒有學習，也就是對於接收的訊息沒有做選擇（selecting）、組織（organizing）或整合（integrating）的認知處理，造成學生概念保留（retention）與遷移表現（transfer performance）不好。（二）內在認知負荷（intrinsic cognitive load）此認知上的負荷是由教材本身的性質與學習者本身的程度所造成，例如：配方法數學結構的複雜性或是學生先備知識上的不足。內在認知負荷可藉由先行訓練（pre-training）降低，故本數位學習環境在配方法教學前，增加了熟悉系統操作與複習完全平方公式的部分。若學生在學習過程中，大部分在處理內在認知，則會造成死記的學習，有好的概念保留但遷移表現仍舊不好。（三）有效的認知負荷（germane cognitive load）此認知負荷刻意以教學設計改變學生注意力或處理方式，達到基模建構的一種認知努力（cognitive effort）。有效的認知負荷從圖 2-7 的組織與整合產生。若學習者能夠專注於內在與增生認知處理，較能夠建構出有意義的學習，會有好的概念保留與遷移表現。從上述認知負荷理論分析，口說組能充分利用視覺與聽覺兩個通道來處理訊息，但文字組因為全部訊息都透過眼睛來選擇，且在工作記憶區中還需將螢幕上的文字轉成心智表徵的口語模式。那麼，將文字轉成心智的口語是否對於文字組學生來說是內在的認知負荷？口說組是否比文字組有更好的學習表現？這些是研究者想探討的問題。 Mayer（2009）在 Multimedia Learning 第二版書中整理出設計多媒體學習環 20.

(30) 境應遵循三大類原則，分別是減少額外過程原則（Principles for reducing extraneous processing）、管理必要過程原則（Principles for managing essential processing）與培養創建過程原則（Principles for fostering generative processing）。因多媒體設計原則眾多，故在此只列舉本研究有使用到的原則，並說明本數位學習環境設計如下。（一）減少額外過程原則中的標記原則（Signaling Principle）標記（Signaling）引導學習者注意重要要素，並幫助學習者建立其間的關聯性，減少額外過程。所以必要教材被加入學習系統時，應以提示方法強調其內容。當多媒體單元雜亂或包含額外教材時，謹慎的使用標記對低閱讀技巧的學習者是有幫助的。在本數位學習環境中，會根據要強調的數學內容，適當的變換字體顏色或是動畫閃爍提示。（二）管理必要過程原則中的分割原則（Segmenting Principle）在一過程中的步驟解釋，透過觀看快步驟的動畫敘述時，某些學習者在下一個步驟還沒出現前無法完全理解當時的步驟。因此，他們可能沒時間看到某一步驟和下一步驟間的因果關係。多媒體訊息應以使用者步驟分段呈現而不是連續呈現整個單元。若教材是複雜的，或是快步驟的演示，或是學習者對此教材沒有經驗，這些情形下較適合使用分割原則。因配方法數學結構複雜，故此數位學習環境將配方法分成三個步驟進行，分別為分解 x 項係數、選擇完全平方式對照、加上適當的常數化成完全平方式。（三）管理必要過程原則中的先行訓練原則（Pre-training Principle）在過程中的步驟解釋，透過觀看快步驟的動畫敘述時，學習者不但必須建立因果的心智模型（此數學系統如何運作的模型），而且為每部分的重點組成心智模型（每個部分重點敘述的模型）。主要數學內容學習前將某些過程分開並插入先行訓練，可幫助在必要過程中管理這兩種需求。所以，應讓學習者知道主要學習概念的名稱與特徵。當教材是複雜的，或多媒體單元是快步驟的，或是學習者對教材不熟悉等，這些情形使用先行訓練原則是有效的。故此數位學習環境將熟 21.

(31) 悉數位學習環境操作（魔術矩形活動）和完全平方公式（和的平方公式與差的平方公式）作為先行訓練的內容。（四）管理必要過程原則中的形式原則（Modality Principle）在動畫與文字顯現的版本，圖片和文字兩者都透過眼睛進入認知系統，造成視覺系統的認知負荷。在動畫與口說呈現版本，文字的負荷跑到口說上，因此讓學習者在視覺上可完全處理圖片。學習者用圖片、口說呈現學習會比圖片、顯現文字學習理解更為深入。當教材是複雜的，或演示是快步驟的，或者學習者較熟悉文字等，較適合使用形式原則。相反的，當單元包含專門的字詞和符號，或是對學習者來說是非母語或是聽力受損者，應將文字顯示在螢幕或頁面上。在觸控學習環境中，形式原則是否仍適用，這是本研究主要探討的問題。（五）培養創建過程原則中的多媒體原則（Multimedia Principle）當文字和圖片同時呈現時，學習者有機會去建構口說和視覺心智模型，並建立之間的鏈結。當文字單一呈現時，學習者有機會去建立口說心智模型，但較無法建立視覺心智模型，且也無法建立口說與視覺心智模型間的鏈結。以文字、圖片學習會比只有文字學習來的好。多媒體原則在低學科知識學習者比高學科知識學習者更加有用，因為低學科知識學習者需要引導以建立圖形與口說表徵間的鏈結。故本數位學習環境在文字組與口說組的內容皆包含圖形表徵。（六）培養創建過程原則中的個人化、聲音與圖像原則（Personalization, Voice, and Image Principles）當學習者感覺到設計者跟他們說話，他們會將設計者視為對話的夥伴，因此會更努力去做到設計者所說的。所以，多媒體呈現的字詞用會話方式呈現會比用一般正式方式呈現來的好，且多媒體以人的聲音講述會比用機器的聲音好。另外，當講述者的圖像在螢幕呈現時，學習者並不一定學得好。故本數位學習環境在字詞方面採用會話的方式，且口說組與文字組所敘述的字詞皆相同。本數位學習環境設計遵循上述六個原則，來減少無關的認知負荷，並以設計「能讓學生關注於處理內在與有效的認知負荷」的環境為目標。 22.

(32) 第三節. 虛擬教具與觸控科技. 許多研究顯示若適當的使用科技能幫助學生更深入的學習數學。(Dunham & Dick, 1994; Groves, 1994; Oosterum, 1990; Rojano, 1996) Moyer 等人(Moyer & Bolyard, 2002; Moyer et. al., 2002; Suh & Moyer-Packenham, 2007)的研究指出虛擬教具（virtual manipulation）可幫助學生學習。他們將虛擬教具定義為一個可互動的（interactive）、可從網路取得的（Web-based）動態物件視覺表徵（visual representation of a dynamic object），並提供學生建構數學知識的機會。在教學中使用虛擬教具主要有兩大優點，「互動性（Interactivity）」與「可用性（Availability）」。互動性即指學生能自我操作動態物件，這是探索並發現數學性質與關係的重要關鍵。可用性指的是對任何人都可透過網路隨時隨地的取用。特別對老師來說，可以不用花時間在分配和收拾教具上。在網路（Internet）與微型應用程式（APP）中已開發許多有關虛擬教具 Algebra Tiles 的視覺化操作環境 (Karadag & McDougall, 2009; NCTM, 2000a; Reed, 1998; Utah_State_University, 1999)。Algebra Tiles 是利用矩形面積等於長乘以寬的概念，將多項式乘積的代數表徵轉換成圖形表徵，且允許有負的面積。研究者欲利用虛擬教具 Algebra Tiles，讓學生能自我操作動態物件，並觀察代數表徵與圖形表徵間的關係。為了區隔以往矩形只有正面積的想法，本研究將配方法數位學習環境的 Algebra Tiles 稱為「魔術矩形」，利用矩形面積等於長乘以寬的概念，將多項式乘積的代數表徵轉換成圖形表徵，且允許有負的面積。數位學習環境設計目的為使學生能透過此虛擬教具，觀察並理解配方法的過程與結構概念。Moyer 等人過去的研究所使用的虛擬教具都是在電腦上透過滑鼠來操作，在文章中也提及到，有可能在未來會使用聲控、觸控螢幕、紅外線感應等其他方式來使用虛擬教具。近年來，智慧型行動裝置（手機、平板）越來越普及化，研究者認為使用觸控來操作虛擬教具或許可幫助學生學習，故進一步去查看有關觸控學習的文獻，整理如表 2-6。. 23.

(33) 表2-6. 使用觸控科技學習的相關文獻. 研究. 使用觸控教學或學習. 研究結果. Kilgore &. 使用 Smart board（互動式 1. 透過動態科技系統鏈結表徵的. Capraro(2010). 電子白板）配合課堂教授因式分解單元。. 實體教學是不錯的方式。 2. 學生透過操作能看到幾何表徵與因式分解的鏈結，並與數位表徵互動。. Segal（2011）. 使用 iPad 學習算數與估計。. 1. 若行動與思維相符，則這些行動會建構認知。 2. 觸控操作的學習比滑鼠操作的學習更有效果且促進學生使用更進階的策略。. Tyng、Zaman. 使用 Tabletop（觸控桌檯）設計模型，尚未進行實驗。. 和 Ahmad. 學習加減法。. （2011） Yang, Liu, Xu. 使用 iPod touch 學習分數. &. 的乘法。. 設計模型，尚未進行實驗。. Chandler(2011) Babb(2012). 使用 iPad2 的應用工具探. iPad2 在數學任務的學習上，與其. 索立方體著色的數學問. 他科技（例如：電腦）相比，與學. 題。. 生的交互作用更為密切。. 上述研究皆認為觸控科技能幫助學生學習數學概念，甚至比滑鼠操作的學習更有效。在 Segal（2011）的研究結果中有特別提到觸控操作的學習比滑鼠操作的學習更有效果且促進學生使用更進階的策略。他認為使用觸控學習，能幫助學 24.

(34) 生在解決問題時，建構心智表徵與運算。研究者根據他的想法，將組別分為觸控操作與滑鼠操作兩個組別，進一步探討兩組在配方法數學概念的學習。. 參、. 研究方法. 本章共有五部分：第一節為研究設計；第二節為研究對象之介紹；第三節詳述研究工具；第四節為研究步驟；第五節則說明本研究限制。. 第一節一、. 研究設計. 實驗設計. 本實驗分為四組實驗組。為配合學生上課時間、實驗場地與器材，故無法隨機分配受試者到各實驗組，本研究總共找了四個班級，其中兩班作為使用觸控學習的實驗組，另外兩班作為使用滑鼠學習的實驗組。使用觸控學習的班級又分成一班使用口說指引學習環境，另一班使用文字指引學習環境。同樣地，使用滑鼠學習也依據班級分成口說指引與文字指引，兩組不同的教學指引學習環境。整體來說，本實驗共有四組實驗組，分別為口說指引的觸控學習（簡記 PadSd）、文字指引的觸控學習（簡記 PadTx）、口說指引的滑鼠學習（簡記 ComSd）、文字指引的滑鼠學習（簡記 ComTx）。四組學生皆透過數位學習環境自我學習配方法，且沒有教師的介入。設計模式如圖 3-1。. 實驗組（PadSd）. O1. X1. O5. 實驗組（PadTx）. O2. X3. O6. 實驗組（ComSd）. O3. X2. O7. 實驗組（ComTx）. O4. X4. O8. 圖3-1. 實驗設計圖 25.

(35) 此實驗設計包含以下四個步驟：（一）以非隨機分配方式，將受試班級分為四個實驗組。（二）實驗處理前，四組實驗組均接受「完全平方公式測驗」（O1、O2、O3、O4）。（三） PadSd 組接受實驗處理 X1（X1 為使用聲音教學指引的觸控學習環境）， PadTx 組接受實驗處理 X2（X2 為使用文字教學指引的觸控學習環境）， ComSd 組接受實驗處理 X3（X3 為使用聲音教學指引的滑鼠學習環境）， ComTx 組接受實驗處理 X4（X4 為使用文字教學指引的滑鼠學習環境）。（四）實驗處理後，四組實驗組均接受「學習軟體感受問卷」與「配方法測驗」（O5、O6、O7、O8）。. 二、. 實驗變項. 本實驗各變項說明如表 3-1。. 表3-1. 實驗變項表. 控制變項. 操弄變項. 依變項. 1. 起點行為. 1. 操作方式. 1. 學習成效. 2. 學習時數. 2. 教學指引. 2. 學生使用軟體學習的. 3. 學習進度. 認知負荷. 4. 教學指引內容與速度. 3. 學生對軟體的感受. （一）控制變項 1. 起點行為：以單因子變異數分析檢驗「完全平方公式測驗」中 3~7 大題（3~7 大題為檢驗配方法，1~2 大題為檢驗先備知識）的答對率，發現四組學生表現並無顯著差異，表示四組學生的起點 26.

(36) 行為可視為一致。 2. 學習時數：一節課內，約 50 分鐘。但依個人的自學時間不同，操作時間也會不同，但以不超過 50 分鐘為限。 3. 學習進度：學生皆已學完「多項式的因式分解」，尚未學過「配方法」。 4. 教學指引內容與速度：不論是口說指引還是文字指引，敘述的話語皆相同，並技術性的控制「按我繼續」按鈕出現的時間，將閱讀時間設計成一致。（二）操弄變項 1. 操作方式：在一堂課中，學生依據不同的操作方式，即觸控的操作與滑鼠的操作，自我學習配方法。 2. 教學指引：在一堂課中，學生依據不同的教學指引，即口說指引與文字指引，自我學習配方法。依據操作方式與教學指引兩個變項分為四組不同的學習環境，如下表 3-2。. 表3-2. 四組不同的學習環境教學指引操作方式. 口說. 文字. 觸控的操作. PadSd. PadTx. 滑鼠的操作. ComSd. ComTx. （三）依變項 1. 學習成效：「配方法測驗」（後測）之答對率的結果。 2. 學生使用軟體學習的認知負荷：在「學習軟體感受問卷」第二部分的認知負荷量表分數。 3. 學生對軟體的感受：在「學習軟體感受問卷」第三部分的量表分數。 27.

(37) 三、. 研究架構. 本研究架構如下圖。. 圖3-2. 研究架構圖. 本研究架構分為兩大部分：第一部分為設計數位學習環境；第二部分為檢驗數位學習環境的學習效果。研究問題一主要透過分析配方法學科內容與環境的結構設計，實作出數位學習環境。研究問題二在探討不同數位學習環境下的學習效 28.

(38) 果，本研究的學習效果指的是學習表現、學習感受和學習效率三部分。. 第二節. 研究對象. 本研究分為前導性實驗與正式實驗。前導性研究目的一方面為檢測軟體流暢性，另一方面檢驗測試卷與問卷題目設計是否合宜。前導性的研究對象為台北市某國中四位國二學生，其中男生有 3 人，女生有 1 人。四位學生剛學完十字交乘法，尚未學習配方法。使用的器材為兩台 iPad2 與兩台筆電。四個實驗組 PadSd、 PadTx、ComSd 與 ComTx 隨機各分派一位學生。本研究之正式研究對象為台北市 A 高中附屬國中部的兩個國二班級與台北市 B 高中附屬國中部的兩個國二班級，學生均為常態分班、男女合班制。實驗器材為學校提供的 iPad2 與電腦教室的桌上型電腦。實驗班 PadSd，共 30 人，但扣除未接受完整實驗流程、未認真作答等無效樣本，真正視為有效樣本為 20 人，其中男生有 8 人，女生有 12 人；實驗班 PadTx，共 32 人，但扣除未接受完整實驗流程、未認真作答等無效樣本，真正視為有效樣本為 20 人，其中男生有 8 人，女生有 12 人；實驗班 ComSd，共 30 人，但扣除未接受完整實驗流程、未認真作答等無效樣本，真正視為有效樣本為 20 人，其中男生有 8 人，女生有 12 人；實驗班 ComTx，共 31 人，但扣除未接受完整實驗流程、未認真作答等無效樣本，真正視為有效樣本為 21 人，其中男生有 10 人，女生有 11 人。這四班學生在實驗處理前，經過補習或家教等個別因素，已學習過配方法的情形如表 3-3 所示。. 表3-3. 四組學生有無學過配方法情形 PadSd. PadTx. ComSd. ComTx. Total. 學過. 人數. %. 人數. %. 人數. %. 人數. %. 人數. %. 有. 9. 45.0. 7. 35.0. 10. 50.0. 9. 42.9. 35. 43.2. 29.

(39) 無. 11. 55.0. 13. 65.0. 10. 50.0. 12. 57.1. 46. 56.8. Total. 20. 100. 20. 100. 20. 100. 21. 100. 81. 100. 下表為四組學生平日使用智慧型行動裝置的情形。. 表3-4. 四組學生平日使用智慧型行動裝置情形 PadSd. PadTx. ComSd. ComTx. Total. 使用頻率. 人數. %. 人數. %. 人數. %. 人數. %. 人數. %. 從未接觸. 0. 0.0. 1. 5.0. 1. 5.0. 3. 14.3. 5. 6.2. 曾經接觸. 1. 5.0. 4. 20.0. 5. 25.0. 6. 28.6. 16. 19.8. 每週使用. 3. 15.0. 3. 15.0. 2. 10.0. 3. 14.3. 11. 13.6. 2~3 天使用. 5. 25.0. 3. 15.0. 3. 15.0. 2. 9.5. 13. 16.0. 每天使用. 11. 55.0. 9. 45.0. 9. 45.0. 7. 33.3. 36. 44.4. 總人數. 20. 100. 20. 100. 20. 100. 21. 100. 81. 100. 表 3-5 為四組學生「完全平方公式測驗」（前測）中配方法題目（3~7 大題）的平均答對率與標準差。. 表3-5. 四組前測之配方法題目的平均答對率與標準差答對率組別. 人數. 平均. 標準差. PadSd. 20. 52.61. 32.41. PadTx. 20. 49.39. 34.84. ComSd. 20. 39.35. 35.87. ComTx. 21. 61.49. 26.67. 30.

(40) 四組學生在前測答對率兩兩相比皆無顯著差異（單因子變異數分析，組間 F=1.611，P=.194 > .05），即 PadSd、PadTx、ComSd 和 ComTx 四組學生在使用數位學習環境前的起始點相同。. 第三節. 研究工具. 為了解學生在使用配方法學習軟體前後，數學知識的改變與使用軟體的認知負荷情形，本研究使用下列研究工具來收集所需要的資料。. 一、. 完全平方公式測驗（前測）. 完全平方公式測驗有 1~7 大題（題目詳見附錄一），1、2 大題為複習完全平方公式（和的平方公式與差的平方公式），3~7 大題為配方法數學內容的測驗。1、 2 大題複習先備知識的部分，研究者參考翰林版國二課本之例題，共設計 6 題，其中第 1 大題有 2 小題，第 2 大題有 4 小題。另外，研究者依據 Thomas 與 Hong （2001）提出的六種學生與表徵間的互動模式，設計 3~7 大題的測驗題目，並和數學教育專家討論與修訂，透過前導性實驗的結果，對細部內容修正。如下表為完全平方公式測驗 3~7 大題之雙向細目表。. 表3-6. 完全平方公式測驗 3~7 大題之雙向細目表 Concept View. Interaction. Process. Structural/Object. Surface. 判斷哪些多項式加上常. 觀察並利用配方法概念. Observation. 數可化成完全平方式（6. 做因式分解（1 題）. 選項）. 6.. 總題數. 7 3. Observation of. 填入適當的數，使該式子觀察並利用因式分解概 31. 13.

(41) Conceptual. 可以配成一個完全平方. 念做配方法（1 題）. Properties. 式，並寫成完全平方的形 7. 式（12 格） 4. (1)、(2)、(3)、 5. (1)、(2)、(3)各兩格. Action on the. 填入適當的數，使該式子填入適當的數，使該式子. Representation. 可以配成一個完全平方. 可以配成一個完全平方. 式，並寫成完全平方的形式，並寫成完全平方的形式（4 格）. 式（4 格）. 4. (4)、5. (4)各兩格. 5. (5)、(6)各兩格. 總題數. 二、. 22. 6. 8. 28. 學習軟體感受問卷. 學習軟體感受問卷分為三部分，第一部分為基本資料，第二部分為認知負荷感受量表，第三部分為軟體感受量表，三個部分說明如下：（一）基本資料此部分主要是收集學生的資訊，如學生使用智慧型行動裝置的頻率、是否學習過配方法等。藉由這些資訊可更深入理解班級內學生的狀況。（二）認知負荷感受量表認知負荷感受量表主要是為了解學生使用軟體學習的認知負荷情形。研究者改編自左台益 et. al.(2011) 設計之認知負荷感受量表，共分為五個維度，分別是意願、困難度、花費心力、信心、投入努力，為九點量表（題目詳見附錄二）。（三）軟體感受量表軟體感受量表主要是為了解此軟體是否易於使用，與學生對使用此軟體學習的接受程度。本研究之軟體感受量表共有五個維度，分別為：軟體流暢性、想用 32.

(42) 此軟體學習、會向同學介紹此軟體、此軟體比上課容易懂、確信可用此軟體學會，為九點量表（題目詳見附錄二）。. 三、. 配方法測驗（後測）. 配方法測驗有 1~5 大題（題目詳見附錄三）。研究者依據 Thomas 與 Hong （2001）提出的六種學生與表徵間的互動模式，設計配方法測驗題目，並和數學教育專家討論與修訂，透過前導性實驗的結果，對細部內容修正。如下表為配方法測驗之雙向細目表。. 表3-7. 配方法測驗之雙向細目表 Concept View. Interaction Surface Observation. Observation of Conceptual Properties. Action on the Representation. Process 判斷哪些多項式加上常數可化成完全平方式（6. Structural/Object 觀察並利用配方法概念做因式分解（1 題）. 選項）. 4.. 7. 1. 填入適當的數，使該式子觀察並利用因式分解概可以配成一個完全平方念做配方法（1 題）式，並寫成完全平方的形 5. 式（20 格） 2. (1)、(2)、(3)、(5)、(6)、 3. (1)、(2)、(3)、(5)、(6) 各兩格. 21. 填入適當的數，使該式子填入適當的數，使該式子可以配成一個完全平方式，並寫成完全平方的形式（4 格） 2. (4)、3. (4)各兩格. 可以配成一個完全平方式，並寫成完全平方的形式（4 格） 3. (7)、(8)各兩格. 30. 6. 總題數. 四、. 總題數. 前後測驗之題目分布. （一）前測之先備知識題目 33. 8. 36.

(43) 前測（完全平方公式測驗）之先備知識題目主要目的為複習先備知識，研究者參考翰林版國二課本之例題，共設計 6 題，其中第 1 大題有 2 小題，第 2 大題有 4 小題。下表為前測之先備知識題目的數學內容分析。. 表3-8. 前測之先備知識題目的數學內容分析. 題目. 題號. 利用完全平方公式，計. 1. (1). 能利用和的平方公式做計算. 1. (2). 能利用差的平方公式做計算. 利用完全平方公式，展. 2. (1). 能利用差的平方公式做展開，兩個未知數 x、 y. 開下列各式. 2. (2). 能利用和的平方公式做展開，一個未知數 x. 2. (3). 能利用差的平方公式做展開，一個未知數 x. 2. (4). 能利用和的平方公式做展開，兩個未知數 a、b. 複習之先備知識. 算並寫出下列各式的值. （二）前後測之配方法題目前測（完全平方公式測驗）3~7 大題與後測（配方法測驗）1~5 大題，研究者參考 Thomas 與 Hong（2001）的六種學生與表徵間的互動模式：PSO、PPO、 CPRT、SSO、SPO、CORT，設計測驗題目。以下為六種學生與表徵間的互動模式之配方法題目設計目的與分布： 1. PSO（Process Surface Observation） PSO 題目分布在前測第 3 大題與後測第 1 大題，主要設計目的為使學生觀察到 x 2 + mx 形式的多項式加上某個常數，可以化成完全平方式 ( x + 下表為 PSO 題目各選項之代數式形式。. 34. m 2 ) 。 2.

(44) 表3-9. PSO 題目各選項之代數式形式. 前測選項. 後測選項. 選項形式. A. C. 一個未知數 x ，三次方與二次方項. B. B. 一個未知數 x ，三次方與一次方項. C. E. 一個未知數 x ，二次方與一次方項，一次項係數為正. D. D. 一個未知數 x ，二次方與一次方項，一次項係數為負. E. A. 一個未知數 y ，二次方與一次方項，一次項係數為正. F. F. 二個未知數 x 、 y ，二次方項與 yx 項. 2. PPO（Process Property Observation） m PPO 題目主要設計目的為使學生觀察到多項式 x 2 + mx 、常數 ( ) 2 與完全平 2. 方式 ( x +. m 2 ) 的關係，其關係如下： 2. x2 + 2 ⋅. m m m ⋅ x + ( )2 = ( x + )2 2 2 2. ↓. ↓. ↓. ↓↓. ①. ②. ③. ④⑤. (1) ①（等號左邊 x 項正負號）與④（等號右邊平方式中常數項正負號）相同。 (2) ②（等號左邊 x 項係數）除以 2 的值即為⑤（等號右邊平方式中常數項）的值，且其值的平方為③（等號左邊常數項）。 3. CPRT（Conceptual Process Representation Tool） CPRT 題目主要設計目的為使學生利用配方，可將 ax 2 + mx 形式的多項式化成 a( x +. m 2 ) ,a ∈ 。 2a. 4. SSO（Structural Surface Observation）. m 2 2 SSO 題目主要設計目的為使學生觀察到因式分解 x + mx + ( ) 形式的多項 2 35.

(45) 式，可用配方概念，分解成兩個相同的一次式乘積 ( x +. m 2 ) 。 2. 5. SPO（Structural Property Observation）. m 2 2 SPO 題目主要設計目的為使學生觀察到 x + mx + ( ) 形式的多項式分解成 2 兩個相同的一次式乘積 ( x +. m 2 ) ，利用配方法或利用其他因式分解方法的結果是 2. 相同的。 6. CORT（Conceptual Object Representation Tool） CORT 題目主要設計目的為使學生將完全平方式用代數表徵，並且以此為核心運用到等價的二次式。下表為 PPO、CPRT、SSO、SPO、CORT 各題之代數式形式。. 表3-10 PPO、CPRT、SSO、SPO、CORT 各題之代數式形式題目類型. 前測題號. PPO. 4. (1)、5. (3) 2. (1)、3. (3) 一次項係數為正偶數 4. (2). 後測題號. 2. (2). 代數式形式. 一次項係數為負奇數. 4. (3)、5. (1) 2. (3)、3. (1) 一次項係數為負偶數 5. (2). 3. (2). 一次項係數為正奇數. 無. 3. (5). 一次項係數為正且數字很大. 無. 3. (6). 一次項係數為負且數字很大. 4. (4). 2. (4). 一次項係數為正. 5. (4). 3. (4). 一次項係數為負. SSO. 6.. 4.. 一次項係數為負奇數. SPO. 7.. 5.. 一次項係數為正. CORT. 5. (5). 3. (7). 把 ax + by 視為一未知數. 5. (6). 3. (8). 把 xy 視為一未知數. CPRT. 36.

(46) 五、. 配方法學科內容分析與數位學習環境結構設計. （一）一元二次多項式配方法學科內容分析配方法一般是指一元二次多項式運算中經常使用到的運算過程，目的在於將複雜的數學式子變換成具有完全平方形式的式子，因此，這個過程包含了從一般. b 式與完全平方式之間相互的轉換，例如： x 2 + bx + c = ( x + ) 2 + d ，等式的左邊為 2 b 一般式，右邊為完全平方式加上常數（當 c = ( ) 2 時， d = 0 ）。從一般式到完全 2 平方式的過程通稱為配方，反之，完全平方式到一般式的過程稱為展開。本軟體主要使用對象為國中八年級生，且尚未學習配方概念，但已有完全平方公式(和的平方公式或差的平方公式)的先備知識。為使學習者能從先備知識銜接到配方的概念，故參閱 100 學年上學期部編本內容，將配方法定義為「把一個一元二次式（如 x 2 + 6 x，9 x 2 − 6 x ）加上適當的常數（如 9、1）化成完全平方式（如 ( x + 3)2 ，. (3 x − 1)2 ），這個方法稱為配方法。」然而，一個一元二次多項式通常首項係數不為 1，在數學的處理上通常會透過提出首項係數，此時多項式自然地成為係數為 1 的情形。因此配方法的程序過. b b 程中，核心想法在於對各項係數意義的掌握，亦即 bx 、 ( ) 2 與 ( x + ) 2 的意義。 2 2 在 97 課綱數學領域分年細目 8-a-15 中有特別說明「配方法的熟練可以 x 項的係數為 1 為主，其題型依 1 次項係數為奇偶數來區分」。故本研究設計數位學習環境之數學內容，主要將 x 項係數設定為 1，且在每個學習階段，依 x 項係數分為正偶數、負偶數、正奇數、負奇數等四種不同的題目練習。由上述數學內容分析，將本數位學習環境的學習目標設定為：讓學習者能理解且計算一個形如 x 2 + mx 的一元二次式加上適當的常數，化成完全平方式 ( x +. m 2 ) ， m∈ 。 2. 研究者參閱 100 學年上學期部編本內容，將配方法細分成三個步驟來學習： 37.