過程概念理論（Procept Theory）指的是人類在符號數學的領域中（包括算 術，代數，微積分…等），靈活的使用符號，可將符號當成過程作運算（processes to do），或將符號作為概念來思考（concepts to think about）。就好比擁有轉軸一 樣，可以在過程和概念中做切換。Tall 等人認為過程概念（procept）是人類透過 符號，從心智產生的過程（process）與概念（concept）綜合所形成（如圖 2-1），
而過程概念指的是這些過程與過程中所產生的心智物件。(Gray & Tall, 1991, 1992a, 1992b, 1993, 1994)
圖2-1 以符號為軸心的過程與概念所形成之過程概念（引自 Tall et al，2001）
若學生有過程概念，當他操弄這些符號做數學（doing mathematics）時，會 很快地將想法轉換到對符號的思考（thinking about symbols）。舉例來說，我們如 何將這些符號做過程與概念的切換。如下 0，3＋2 可視為加法運算（addition）
或是一個和（sum）的概念；而-3 則可視為減去 3 （subtract 3 (3 steps left)）或 是負 3（negative 3）的概念。
表2-1 將符號視為過程或概念之舉例（引自 Tall et al，2001）
本研究之數位學習環境實作的主題為配方法，研究者將此單元以過程概念理 論的觀點舉例如下表 2-2。
表2-2 以配方法單元為例將符號視為過程或概念之舉例
符號（symbol） 過程（process） 概念（concept）
2 2 2
( ) ( ) ,
2 2
m m
x +mx+ = x+ m∈ 配 成 完 全 平 方 式 的 運算步驟
因 式 分 解 成 兩 個 相 同一次式的乘積
研究者認為 2 ( )2 ( ) ,2
2 2
m m
x +mx+ = x+ m∈ 可視為配成完全平方式的過程，
也可視為因式分解成兩個相同一次式乘積的概念。若學生掌握了此單元的過程概 念（procept），他在處理這些符號時，則可立即的切換過程與概念，也就是說此 學生已發展出完整的配方法數學概念。
根據 Tall(2007)的觀點，符號數學概念的發展，是從步驟（procedure）進步 到過程（process）進而發展出過程概念（procept）。如下圖 2-2。
圖2-2 符號數學概念發展對應之成果光譜（引自 Tall，2007）
Tall 認為符號數學概念的發展分成五個階段，且這五個階段是由下到上，一 步步的將步驟（procedure）壓縮到過程概念（procept）。另一方面，他把學生的 表現比喻成光譜（spectrum of outcomes），依據個體的學習表現分為五個層次，
並將其對應到符號數學概念發展的五個階段。本研究設計之數位學習環境，目的 為使學生能從數個步驟（procedure）中不斷練習，將這些步驟整合成過程
（process），透過操作這些過程發展出配方法的過程概念（procept）。
二、 數位學習環境與數學三世界
人類透過感知（perception）、動作（action）和反思（reflection）三者與數學 環境（environment）的交互作用構成數學的三個世界：概念性體現世界
（conceptual-embodied）、過程概念的符號世界（proceptual-symbolic）、公理化的 形式世界（axiomatic-formal），如圖 2-3。(Tall, 2004, 2007; Tall & Mejia-Ramos, 2006)
圖2-3 數學的三個世界（改自 Tall，2001）
以下詳細描述數學的三個世界。
（一）概念性體現世界（conceptual-embodied）
此世界建立於人類在現實世界對物體特性（properties of objects）的感知
（perception）與反思（reflection）行為，如圖 2-3。當我們想要表現一個特定或 某一類的功能（function），我們在心智中會看到（see）一個特定圖形的影像，
也就是產生了概念性體現。
舉例來說：三角形由三條線段所組成，我們會想像三角形的圖像，並在心智 中產生一個特定三角形的典型（prototype）來代表所有的三角形類，則我們已經 概念性體現（conceptually embody）一個三角形的幾何圖像。
本研究希望藉由魔術矩形（魔術矩形是利用矩形面積等於長乘以寬的概念，
將多項式乘積的代數表徵轉換成圖形表徵，且允許有負的面積），讓學生在進行 配方時，能在心智中產生相對應的心智物件並對其物件進行動作，即產生概念性 體現。
（二）過程概念的符號世界（proceptual-symbolic）
此世界建立於人類在現實世界的動作（action）與反思（reflection）行為，
如圖 2-3。透過動作（action）將想像的概念符號化（symbolization）。
舉例來說：數（number）是透過計數（counting）的動作將概念符號化的結 果。在過程概念的符號世界，將符號當成過程作運算（processes to do），也當作 概念來思考（concepts to think about），即過程概念（procept）。（詳細內容請參見 本章第一節的第一部分）
本研究希望透過輸入代數表徵的方式，將配方的概念符號化，讓學生在配方 時，能掌握各項係數的關係，理解且計算一個形如x2+mx的一元二次式加上適 當的常數，化成完全平方式( )2
2 x+m 。
（三）公理化的形式世界（axiomatic-formal）
此世界建立於形式化的定義與證明。由選擇公理（selected axioms）和邏輯 演繹（making logical deductions）去證明定理。本研究之配方法數學概念尚未進 入公理化的形式世界。
如圖 2-4 為本研究之配方法數位學習環境與概念性體現世界、過程概念符號 世界的關係。
圖2-4 配方法數位學習環境、概念性體現世界、過程概念符號世界三者關係圖
Tall 將這三個世界與 Bruner(1966)的心智表徵觀點做鏈結（動作表徵（enactive representation）、影像表徵（iconic representation）和符號表徵（symbolic
representation）），加上哈佛微積分課本編輯的四個規則（圖形、數值、符號、言 語），整合如圖 2-5。
圖2-5 三個世界與其他觀點的鏈結（引自 Tall，2002）
本數位學習環境設計主要聚焦在概念性體現世界（conceptual-embodied）與 過程概念的符號世界（proceptual-symbolic），利用魔術矩形的圖形表徵方式與拖 拉魔術矩形等動作，支持學生在心智中產生動作表徵與影像表徵，也就是讓學生 在概念性體現世界進行學習，讓學習者在心智表徵中產生與自身行為相符合的動 作與影像，強化外在表徵與心智表徵的鏈結。本研究數位學習環境之表徵設計如 圖 2-6，詳細設計樣貌舉例請參見第參章第三節的第五部分。
圖2-6 配方法數位學習環境之表徵設計
三、 概念工具與概念表徵工具
表徵（representation）在學生解決問題與探討數學概念時扮演著很重要的角 色。學生可藉由表徵，有意義的理解問題並提供問題解決的方法(NCTM, 2000b)。
Lesh, Post & Behr(1987)將表徵分成經驗描述表徵、操作模型表徵、圖形或表格表 徵、口語表徵以及符號表徵，他們認為數學概念的不同表徵如冰山的一角，單一
表徵往往只能呈現概念中的一部份，學習者必須掌握數學概念的不同表徵，這個 想法一般稱為「多重表徵」的學習與教學觀點，如圖 1-2。
圖1-2 五種表徵類型（Lesh et al，1987）
多重表徵可定義為藉由不同的方式去呈現及建構一個知識或想法(左台益
& 蔡志仁, 2001)。在多項式配方的概念上，從多重表徵的觀點來看，主要包含 了代數表徵與圖形表徵，數學式子與幾何圖形具體地呈現抽象的數學想法，但僅 有代數符號或幾何圖形靜態地呈現無法表現出配方法的運算過程。因此，在傳統 黑板與粉筆的教室課堂中，代數符號的運算過程需要透過個體心靈的眼睛來看到 運算的過程，有些教師會透過幾何圖形來說明運算過程的意義。但這樣的呈現方 式是表徵之間獨立的運作，缺乏適當的連結，通常有經驗的老師會將幾何圖形與 代數符號並陳。Ainsworth(2006)認為多重表徵學習環境的教學設計是目前重要的 議題，需要考量的面向除了表徵內容本身外，尚須考慮表徵的功能與作業的認知 面向。因此，配方法的學習環境設計我們必須考量其數學上主要的兩種表徵，代 數表徵與圖形表徵，以及表徵的功能與作業的認知面向。研究者認為透過多重表 徵方式的教學，也就是使用代數表徵與圖形表徵間的鏈結關係，可以讓學生概念 性的理解配方法，幫助學生學習配方法。
Mason(1992)將學生在活動中的學習分為兩類。若學生從事此活動（engaging in activity），則認為學生進行「做」（doing）的動作。若學生從活動中學習（learning from activity），則認為學生進行「建構」（construing）的動作。教師在課室中進 行活動時，學生剛開始都是照著老師所說的動作一步步進行，也就是學生正在「做
（doing）」活動。當學生從活動中學習到知識時，則學生經由此活動「建構
（construing）」新的認知。老師的教學目標應當著重於讓學生能從活動中建構新 的認知，而不只是停留在做活動的階段，這是設計教學活動時所要注意的地方。
Thomas & Hong(2011)提出建構表徵是多面向的，表徵會根據學生不同方式 的互動，擔任不同的角色。例如螢幕上有一張圖，Mason(1992)認為學生有可能 只看到（looking at）那張圖，也有可能因個人焦點放在不同的地方而看透（looking through）出其他的概念。從意義上來說，學生至少有兩種與表徵互動的方式，
也就是在表徵上進行觀察（observing）或是動作（acting）。
Thomas 與 Hong 將表徵分為兩個層次如下。
（一）概念工具（conceptual tool）
當學生為了從表徵得到更多資訊或是了解它，而進行觀察或動作時，也就是 Mason 所說的「做（doing）」，我們稱此表徵對此特定學生來說為「概念工具」。 概念工具並不是一個實體工具，因為它的特性讓人進行觀察和動作，就如使用工 具一般，所以工具在此是適當的隱喻。
（二）概念表徵工具（conceptual representation tool）
若從活動中學習，即 Mason 所說的「建構（construing）」，則稱此表徵對此 特定學生來說為「概念表徵工具」。
Thomas 與 Hong 依據概念（Concept View）與互動方式（Interaction）兩個 維度將學生與表徵間的互動模式分為六類，如表 2-3。其中，概念分為程序
（Process）與結構（Structural/Object）兩面向，互動方式分為表層觀察（Surface Observation（SO））、結構性質觀察（Observation of Conceptual Properties（PO））
與在表徵上動作（Action on the Representation（CRT））三個面向。
表2-3 學生與表徵間的互動模式（引自 Thomas & Hong，2001）
Interaction
Concept View
Process Structural/Object
Surface Observation（SO）
Process Surface Observation（PSO）
Structural Surface Observation（SSO）
Observation of Conceptual Properties（PO）
Process Property Observation（PPO）
Structural Property Observation（SPO）
Action on the
Representation（CRT）
Conceptual Process Representation Tool
（CPRT）
Conceptual Object Representation Tool
（CORT）
以克萊因四元群（klein four-group）為例，如表 2-4。將上述六種學生與表
1. 過程性技能的表層觀察（Process Surface Observation，PSO）
學生從表格中觀察到，群中元素相乘後的結果還是屬於這個群中。（學生尚 未提到封閉性）
2. 過程性技能的性質觀察（Process Property Observation，PPO）
發現每個元素都是自反函數（self-inverse，當一個元素與自己相乘的結果為
發現每個元素都是自反函數（self-inverse，當一個元素與自己相乘的結果為