應用適應性H-infinity控制法則與輪胎縱向力分配於最小耗能之車輛運動控制

國立交通大學

電控工程研究所

碩士論文

應用適應性H

_∞

控制法則與輪胎縱向力分配於最小耗能之

車輛運動控制

Minimum Energy Control of Vehicle Motion by Adaptive

H

_∞

Method and Longitudinal Tire Force Distribution

研 究 生：陳吳柏俊

指導教授：蕭得聖 博士

應用適應性H

_∞

控制法則與輪胎縱向力分配於最小耗能之

車輛運動控制

Minimum Energy Control of Vehicle Motion by Adaptive

H

_∞

Method and

Longitudinal Tire Force Distribution

研 究 生：陳吳柏俊 指導教授：蕭得聖 博士

Student：Po-Chun Chen Wu Advisor：Dr. Te-Sheng Hsiao

國立交通大學

電控工程研究所 碩士論文

A Thesis

Submitted to Institute of Electrical Control Engineering College of Electrical Engineering

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

In

Electrical Control Engineering

September 2012

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

i

應用適應性H

_∞

控制法則與輪胎縱向力分配於最小耗能之

車輛運動控制

學生：陳吳柏俊 指導教授：蕭得聖 博士

國立交通大學電控工程研究所

摘要

近年來環保意識抬頭，在 2011 年，美國對在國內販售的車輛制訂了高規格的帄均 油耗標準，相信在未來，其他先進國家也會跟進。而各車廠為了能達到此標準，勢必會 加速投入環保節能車輛的發展，帶動節能車電技術的快速成長。 本研究考量環保節能問題，利用適應性H∞控制器和最佳化輪胎與路面間縱向摩擦力 分配，設計一個針對前輪轉向、前輪驅動的最小耗能車輛運動控制系統。運動控制系統 分為上層控制器、最佳化輪胎與縱向摩擦力分配和下層控制器。當接收到轉向指令後， 上層控制器根據駕駛情況用最佳化H∞控制器權重比例分配出一H∞控制器，該H∞控制器 計算出車輛維持行駛路徑所需的前輪轉向角和直接橫擺力矩，使車輛以最小能量損耗跟 隨給定的參考軌跡。最佳化輪胎與縱向摩擦力分配將上層算出的直接橫擺力矩，以最小 化輪胎縱向摩擦力帄方和的方式分配給各個輪胎。下層控制器則考慮輪胎的非線性特性 以及與真實輪胎間模型不確定性的問題，藉由控制輪胎力矩產生所需的輪胎縱向摩擦力。 本研究透過模擬驗證在轉向與車道變換的駕駛情況下控制器控制的結果，在此控制架構 下，確實能達到環保節能與安全性兼顧的結果。

ii

Minimum Energy Control of Vehicle Motion by Adaptive

H

_∞

Method and Longitudinal Tire Force Distribution

Student：Po-Chun Chen Wu Advisor：Dr. Te-Sheng Hsiao

Institute of Electrical Control Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

This paper presents a lateral motion control scheme with minimum energy consumption

for a front-wheel-steering/front-wheel-driving (FWS/FWD) vehicle using an adaptive H

controller and an optimum longitudinal tire force distribution method. The proposed control

system is divided into three layers: the upper controller, the optimum longitudinal tire force distribution and the lower controller. When the driver commands the vehicle, the upper

controller finds the optimum weighting among various fixed H∞ controllers on-line to generate the desired front wheel steering angle and direct yaw moment which allow the

vehicle to follow the given reference trajectory with minimum energy loss. Then the optimum longitudinal tire force distribution algorithm determines the minimum longitudinal forces that

meet the requirements for direct yaw moment from the upper controller. The lower controller compensates for the nonlinear and uncertain characteristics of the tire dynamics to generate

the desired longitudinal tire forces. Finally, simulations are carried out to verify the effectiveness of the proposed control scheme.

iii

致謝

首先誠摯的感謝指導教授蕭得聖博士，老師細心的教導使我在理論上有更清楚的認 識，並耐心的引導學生在研究過程中該如何面對問題、解決問題和分析問題也讓我受益 良多。老師對學問的嚴謹更是我輩學習的典範。 本論文的完成另外亦得感謝口試委員徐保羅教授和陳宗麟教授。因為有各位老師在 口試中給的建議，使得本論文能夠更完整而嚴謹。 感謝實驗室的永洲學長、翊熏學長以及兆帄學長給我研究上的建議；感謝同學俊傑、 善橋、志偉和彥良的共同砥礪，並在研究閒暇之餘，一同去運動，強健體魄，也感謝學 弟璟沅、仲謙和維民學弟的幫忙。此外感謝我的朋友們，你們的陪伴讓苦悶的研究生活 增添色彩。 特別感謝我的爸爸、媽媽和弟弟，感謝你們的栽培和支持我才能一路走到這裡， 最後，謹以此文獻給我最愛的家人。

iv

目錄

中文摘要 ... i 英文摘要 ... ii 致謝 ... iii 目錄 ... iv 圖目錄 ... vi 表目錄 ... viii 符號表 ... ix 第一章、緒論 ... 1 1.1 研究背景 ... 1 1.2 研究目的 ... 2 1.3 研究貢獻 ... 3 1.4 論文架構 ... 4 第二章、相關研究 ... 5 2.1 直接橫擺力矩控制相關研究 ... 5 2.2 統合底盤控制相關研究 ... 7 第三章、車輛系統模型 ... 10 3.1 車輛動態模型 ... 10 3.2 輪胎模型 ... 14 第四章、控制器設計 ... 16 4.1 上層控制器 ... 18

v 4.1.1 車輛參考模型 ... 18 4.1.2 適應性H∞控制器─最佳化H∞控制器權重比例分配 ... 20 4.1.2.1 成本函數、限制條件 ... 21 4.1.2.2 設計方法 ... 22 4.1.2.3 小增益定裡 ... 25 4.1.2.4 最佳化問題求解 ... 26 4.2 最佳化輪胎與路面間摩擦力分配 ... 28 4.2.1 成本函數、限制條件 ... 28 4.2.2 最佳化問題求解 ... 29 4.3 下層控制器 ... 31 4.3.1 縱向力估測 ... 32 4.3.2 縱向摩擦力回授穩健控制器 ... 33 第五章、模擬與結果討論 ... 39 5.1 J-turn ... 42 5.2 Single-lane change ... 45 5.3 相關控制器控制結果比較 ... 47 第六章、結論與未來展望 ... 58 6.1 結論 ... 58 6.2 未來工作 ... 59 參考文獻 ... 60

vi

圖目錄

圖 1.1 控制系統流程方塊圖 ... 3 圖 2.1 DYC 控制系統方塊圖，擷取自[10] ... 6 圖 2.2 統合底盤控制結構，擷取自[15] ... 7 圖 2.3 分層控制結構，擷取自[17] ... 8 圖 3.1 輪胎自由體俯視圖 ... 10 圖 3.2 車輛自由體俯視圖 ... 11 圖 3.3 輪胎轉動自由體圖 ... 12 圖 3.4 輪胎側滑角和前進速度示意圖 ... 13 圖 3.5 結合縱向力與側向力摩擦力圓 ... 15 圖 4.1 系統架構圖 ... 17 圖 4.2 最大車身側滑角與質心速度關係圖[20] ... 19 圖 4.3 H∞控制器架構(左)，受控體 P(右) ... 22 圖 4.4 Q 範圍示意圖 ... 23 圖 4.5 控制器 K 的架構 ... 23 圖 4.6 S1、S2 為兩互相連接的系統方塊 ... 25 圖 4.7 適應性 H控制器 K 和受控體 P 組成之系統架構 ... 25 圖 4.8 縱向滑動比與最大縱向摩擦力關係圖 ... 37 圖 4.9 “Magic formula”縱向滑動比與最大縱向摩擦力關係圖(左)、輪胎縱向力對滑動比 偏微斜率(g_λ∗_{+ g} λ ′_)與θg λ ′_{比較圖(右) ... 38}

圖 5.1 車輛行駛路徑示意圖 (左: J-turn, 右: Single-lane change) ... 39

圖 5.2 模擬一之駕駛者轉向命令 ... 42

圖 5.3 模擬一之適應性 H控制器前輪轉向角(左)、直接橫擺力矩(右)分配結果 ... 43

圖 5.4 模擬一之各輪胎輸入功率 ... 43

vii 圖 5.6 模擬一之輪胎耗損功率總和 ... 44 圖 5.7 模擬一之質心側滑角(左)、橫擺角速度(右)參考值與車輛控制結果 ... 44 圖 5.8 模擬一之車輛於地表座標上所行駛的參考軌跡與車輛控制結果 ... 44 圖 5.9 模擬二之駕駛者轉向命令 ... 45 圖 5.10 模擬二之適應性 H控制器前輪轉向角(左)、直接橫擺力矩(右)分配結果 ... 45 圖 5.11 模擬二之各輪胎輸入功率 ... 46 圖 5.12 模擬二之輪胎消耗功率總和 ... 46 圖 5.13 模擬二之質心側滑角(左)、橫擺角速度(右)參考值與車輛控制結果 ... 46 圖 5.14 模擬二之車輛於地表座標上所行駛的參考軌跡與車輛控制結果 ... 47 圖 5.15 模擬三之駕駛者轉向命令 ... 48 圖 5.16 模擬三之控制車輛橫擺角速度比較圖 ... 49 圖 5.17 模擬三之控制車輛質心側滑角比較圖 ... 50 圖 5.18 模擬三之控制車輛縱向速度比較圖 ... 50 圖 5.19 模擬三之控制車輛於地表座標上所行駛路徑比較圖 ... 51 圖 5.20 模擬三之控制車輛前輪轉向角比較圖 ... 51 圖 5.21 模擬三之控制車輛直接橫擺力矩比較圖 ... 52 圖 5.22 模擬三之輪胎耗損功率總和比較圖 ... 52 圖 5.23 模擬四之模擬四之駕駛者轉向命令 ... 53 圖 5.24 模擬四之控制車輛橫擺角速度比較圖 ... 54 圖 5.25 模擬四之控制車輛質心側滑角比較圖 ... 54 圖 5.26 模擬四之控制車輛縱向速度比較圖 ... 55 圖 5.27 模擬四之控制車輛於地表座標上所行駛路徑比較圖 ... 55 圖 5.28 模擬四之控制車輛前輪轉向角比較圖 ... 56 圖 5.29 模擬四之控制車輛直接橫擺力矩比較圖 ... 56 圖 5.30 模擬四之輪胎損耗功率總和比較圖 ... 57

viii

表目錄

表 5.1 模擬中所使用的車輛參數 ... 41 表 5.2 模擬中所使用的”Magic formula”輪胎模型參數 ... 41 表 5.3 各控制器做 J-turn 的輪胎能量耗損總和 ... 52 表 5.4 各控制器做 lane-change 的輪胎能量耗損總和 ... 57

ix

符號表

r ：橫擺角速度 V_x ：車輛質心縱向速度 V_y ：車輛質心側向速度 β ：車體質心側滑角 ax ：車輛縱向加速度 ay ：車輛側向加速度 g ：重力加速度 M_z ：車輛橫擺力矩 Iz ：橫擺角轉動慣量 m ：車體質量 ms ：車體集中質量 h_s ：車體集中質量之質心與地面的高度 t ：車輛前輪和後輪的輪距 l_f ：車體質心到前輪軸的距離 lr ：車體質心到後輪軸的距離 l ：前輪軸到後輪軸的距離 δd ：駕駛輸入的車輪轉向角 δ_c ：控制器分配的車輪轉向角 ω ：輪胎轉動角速度 v ：輪胎前進速度 Iw ：輪胎轉動慣量 R_w ：輪胎轉動半徑 ri ：輪胎等效半徑

x λ ：輪胎縱向滑動比 α ：輪胎側滑角 σ ：理論滑動 σx ：縱向理論滑動 σy ：側向理論滑動 Tm ：輪胎扭矩 F_a ：帄行胎面之縱向摩擦力 Fa0 ：“Magic formula” 輪胎模型純縱向滑動之縱向摩擦力 F_b ：垂直胎面之側向摩擦力 Fb0 ：“Magic formula” 輪胎模型純側向側滑之側向摩擦力 F_x ：帄行車身的力 F_y ：垂直車身的力 F_z ：輪胎正向力 Fz0 ：車輛等速直線行駛時輪胎的正向力 B_x,y ：輪胎參數 C_x,y ：輪胎參數 D_x,y ：輪胎參數 E_x,y ：輪胎參數 r_ref ：橫擺角速度參考值 β_ref ：車體質心側滑角參考值 V_xref ：車輛質心縱向速度參考值 μ ：路面摩擦力係數 F a ：縱向力估測結果 F_a′ _{：Dugoff‟s 輪胎模型之縱向摩擦力} F_ad ：分配之縱向力參考值 F_b′ _{：Dugoff‟s 輪胎模型之側向摩擦力}

xi F_bd ：分配之側向力參考值 αd ：反輪胎模型計算之輪胎側滑角參考值 C_x′ _{：Dugoff‟s 輪胎模型之縱向剛度} Cy′ ：Dugoff‟s 輪胎模型之轉向剛度 S_a,b ：順滑帄面

1

第一章、緒論

1.1 研究背景

近年來環保意識抬頭，能源危機和全球氣候暖化變遷的議題不斷地被各界討論，美

國更是在 2011 年宣布未來的車輛帄均油耗標準 (Corporate Average Fuel Economy

Standards, CAFÉ )[1]，內容當中提到在 2025 年後所有於美國販售的乘用車或是輕型卡車， 其燃油損耗都需達到 54.5mpg 之帄均標準(現行標準為 27.8mpg)。因此越來越多的汽車 大廠都紛紛投入發展電動車或是油電混合動力車的行列，像是國內廠商中納智捷發表的

智慧型電動車 Lexgen M7、美國電動車廠商特斯拉(Tesla) 的 純 電 動 跑 車 TESLA

Roadster、 德國賓士推出的 Mini E、三菱量產的 i-MiEV，以及日本汽車廠商 TOYOTA 的 Prius 油電混合動力車等等，都是希望能以電能取代傳統汽油能源達到節能的目的， 並且減少行駛時廢氣的排放。加上先進國家近年來均積極促進電動車產業發展，推動多

項補助政策，預期電動車在未來的市佔率將會有所提升。

在電動車研究與控制上，Yoichi Hori[2]在論文中提到電動車發展與研究的價值，是 適合在電動車上應用”先進的運動控制(Advanced motion control)”技術；電動車使用馬達

或者是輪內馬達(In-wheel motor)作為車輛的動力，可以總結出三項優點：(1)電動馬達可 以快速且準確的產生出扭力。回授控制器可以在駕駛者對車輛動態作改變前，對車輛作 控制。 (2)馬達可以安裝在兩個或四個輪內。將馬達安裝到每一個輪胎，可以讓左右兩 側的輪胎產生不同方向的扭力，實現控制策略。 (3)馬達的扭力容易量測。馬達的扭力 可以從量測馬達的電流得知，或者是用扭力感測器(Torque sensor)也可以量測。利用量 測到扭力的資訊，設計簡單的輪胎與路面間縱向摩擦力估測器，就可以估測出加速或減

速時摩擦力的大小。在 Yoichi Hori、Peng He[2][3][4]的論文中，所研究的車輛是他們改 造 Nissan March 所設計的電動車：UOT (University of Tokyo) Electric March II，在車輛

2 四個輪胎內都有安裝輪內馬達，能夠獨立控制每個輪內馬達的扭力。此外，國內研究單 位也有不錯的電動車研究成果展現，像是工研院所研發的四輪電動車 e-buggy，也展現 了未來綠能動力電動車發展的可能性。 當越來越多駕駛者選擇駕駛電動車當作日常代步工具時，車輛本身駕駛上的舒適性 和安全的駕駛系統很重要外，環保節能的議題近年來逐漸被大家所關注。在車輛轉向的 穩定性控制已經有很多學者做這方面的研究，且提出不同的控制策略；像是四輪轉向

(Four-wheel steering：4WS)控制[5][6][7]、差動式煞車(Differential brake)轉向控制[8]、直 接橫擺力矩控制(Direct yaw moment control：DYC)[9][10][12]。在環保節能的研究中，

硬體方面的設計有可回充剎車能量的再生式剎車系統(Regenerative Braking System)[14]， 軟體方面的控制系統則有本研究所使用的統合底盤控制(Unified chassis control)[15]，都

有不錯的研究成果。 目前關於環保節能的研究，大部分著重於如何將控制器分配出的剎車力做最佳效率 的回充，藉由提升回充的能量效率，達到環保節能的目的，較少著重於如何將控制器分 配出的剎車力減少，藉由控制器設計減少需要花費在剎車上的能量，來達成環保節能的 目的。這是因為以往的控制策略研究，大多只採用一種控制輸入，控制器設計上彈性較 差，無法兼顧安全的駕駛系統和環保節能；近來多被使用的統合底盤控制則採用多種控 制輸入，在控制器設計上更具彈性，是適合用來探討兼顧安全的駕駛系統和環保節能的 控制器設計。

1.2 研究目的

本研究致力於兼顧安全和環保節能的角度控制電動車的車身質心側滑角以及橫擺 角速度，使車輛能以最節能的方式安全行駛。 本研究目的在於設計節能的車輛運動控制系統，最佳化分配出各個輪胎與路面間所 需要產生的縱向摩擦力，並由下層控制器控制輪胎動態產生所需的縱向摩擦力，使得車

3 輛以節能的控制策略達到我們所希望的動態運動。在此研究中控制器可分為三個部分： 上層控制器、最佳化輪胎與路面間縱向摩擦力分配和下層縱向摩擦力回授穩健控制器。 上層控制器根據駕駛情況用最佳化H∞控制器權重比例分配出一H∞控制器，該H∞控制器 計算出車輛維持行駛路徑所需的前輪轉向角和直接橫擺力矩，然後經由最佳化分配出車 輛四個輪胎與路面間所需要產生的縱向摩擦力；下層控制器，控制輪內馬達的扭力大小， 使得輪胎和路面間產生上層控制器分配出來的摩擦力，如圖 1. 1 流程說明。 駕駛人下達轉向命令 上層控制器計算跟隨路徑所需之 前輪轉向角和直接橫擺力矩 最佳化分配出帄行胎面之 輪胎與路面間縱向摩擦力 下層控制器控制輪胎扭矩 控制的車輛 c



M_D d



adi F mi

T

圖 1. 1 控制系統流程方塊圖

1.3 研究貢獻

本研究設計出的車輛運動控制系統，包含上層控制器、最佳化輪胎與路面間縱向摩 擦力分配。 目前關於環保節能的研究大多著重在提升下層控制器回充的能量效率上，而本研究 則從上層控制器的設計上著手。下層控制器回充的能量效率受限於硬體方面，到一定程 度後，便難以再度提升，此時，若能搭配上本研究設計的上層控制器，除了能安全的控

4 制車輛行駛外，更在節能上有所提升。 另外，一般傳統控制器對輪胎模型的假設為線性輪胎模型，沒有考慮輪胎的非線性 特性，故在車輛側向加速度較大時，會因為輪胎非線性的特性，使得輪胎飽和，造成控 制器不再能保證車輛側向與橫擺運動的穩定。而本研究設計的下層控制器有考慮輪胎非 線性之特性，在控制器中假設一非線性輪胎模型，並考慮其動態以及與真實輪胎間模型 不確定性(Model uncertainty)的問題，設計控制策略避免輪胎鎖死或打滑的情況發生，進 而提升車輛運動控制的穩定性。

1.4 論文架構

論文各章節的編排如下 第一章 緒論：描述研究背景、動機與目的。 第二章 相關研究：介紹各種不同車輛轉向控制的控制方法，然後簡介本研究使用的控 制方法。 第三章 車輛系統模型：本研究使用的車輛模型為一個考慮車輛側向速度和橫擺角速度 運動的動態模型，車輛驅動方式為前輪轉向、前輪驅動。 第四章 控制器設計：包含上層控制器、最佳化輪胎與路面間縱向摩擦力分配和下層縱 向摩擦力回授穩健控制器設計。 第五章 模擬與結果討論：模擬各種駕駛狀況下控制器控制的結果，並且和其他控制器 控制的結果作比較。 第六章 結論與未來展望：總結本研究並提出未來能更深入發展的方向

5

第二章、相關研究

在提升車輛轉向的操控性和穩定性上，過去已經有很多學者提出不同的控制策略，

像是四輪轉向控制、直接橫擺力矩控制等等。但以上的控制策略都著重於單一的控制輸 入，使可達成的控制目標與效能多所限制，因此近年來有學者提出統合多種控制輸入的

控制策略，統合底盤控制相關研究(Unified chassis control, UCC)，由於在控制輸入的選 擇上更具彈性，能探討的控制目標也更多樣化，本研究探討的就是在提升車輛轉向的操

控性和穩定性的同時，是否也能達到節能的效果。

本章首先在第一節中介紹直接橫擺力矩控制，直接橫擺力矩控制是一種以車輛左右

兩側輪胎縱向力差為控制輸入來產生橫擺力矩以達到控制目標的控制方式。接著在第二 節中介紹統合底盤控制相關研究(Unified chassis control, UCC)，在這裡介紹的統合底盤

控制研究，控制器設計均是以前輪轉向角和直接橫擺力矩做為控制輸入，產生所需的橫 擺力矩以達到控制之目的。在本章的最後，會探討本研究中提出的控制器和相關研究中

提出控制器之間的差異，並分析為何本研究中提出的控制器設計能達到節能和安全性兼 顧的目標。

2.1 直接橫擺力矩控制相關研究

直接橫擺力矩控制(Direct Yaw Moment Control, DYC)的研究開始於 1990 年代，

Shibahata et al.[9]提出了一種控制方法：”β-Method”，且探討質心側滑角對由前、後輪側 向力產生的橫擺力矩改變之影響。指出當車輛維持一同心圓轉向時，橫擺力矩若由不帄 衡的輪胎側向力產生會造成車輛縱向加速或減速。直接橫擺力矩控制是靠車輛左右兩側

輪胎縱向力差來產生橫擺力矩達到控制之目的，大致被分為兩種控制型式：質心側滑角 型式(Side-slip type)、橫擺角速度型式(Yaw rate type)。Masato Abe[10]提出設計順滑模態

6 式(2.1)與(2.2)式，設計出橫擺力矩控制輸入。





f r m V  r Y Y (2.1) z f f r r z I rl Y l Y M (2.2) ；Yf、Yr為前、後輪側向力；Mz為其控制輸入，設計會和前、後輪側向力及其對輪胎側 滑角偏微之斜率有關，故有假設一非線性輪胎模型用來計算，控制架構圖如圖 2. 。 圖 2. 1 DYC 控制系統方塊圖，擷取自[10]

P. Raksincharoens et al.[11]利用 DYC 控制策略控制車輛跟隨其設計所需的橫擺角 速度，橫擺力矩控制輸入是由後輪左、右側縱向力的差產生，如(2.3)式。





2 xrl xrr d M  F F (2.3) 所需的M是由所需橫擺角速度透過橫擺角速度對橫擺力矩的反轉移函數計算而得。

E. Esmaizadeh et al.[12]提出分析線性二次最佳化問題(LQ problem)求解 DYC 控制 輸入，跟隨所需的橫擺角速度。M. Mirzaei[13]為了維持車輛的動態，跟隨所需的橫擺角 速度與質心側滑角，設計一線性二次最佳化問題，求解最小之橫擺力矩控制輸入以達到 控制目的。其成本函數定為(2.4)式。





2





2 ₂ 0 1 2 f t b d r d u z J 



_w    w rr  w M _dt (2.4) ；其中wb、wr和wu為權重因子，代表其對應項之重要性；Mz為控制輸入。增加wu之權 重可以讓M_z越小，但相對的會使橫擺角速度和質心側滑角的跟隨誤差(Tracking error)增 大；此外，控制策略是設計來跟隨橫擺角速度和質心側滑角，故可以輕易地藉由改變wb或

7

w_r為零，實現不同控制型式的 DYC 控制，如：實現橫擺角速度型式則將w_b選定為零，

wr = 0則為質心側滑角型式。

2.2 統合底盤控制相關研究

統合底盤控制(Unified chassis control, UCC)是將車輛的控制輸入(e.g.:輪胎轉向角、 輪胎剎車)整合起來的控制方式。相較於以往將車輛的控制輸入各自獨立設計控制器的 方式，統合底盤控制藉由整合車輛控制輸入，可提供一個更宏觀的角度設計控制器。T. Hwang et al.[15]提出了 2 種統合底盤控制架構，如圖 2.2，第一種是採用條件法則 (Rule-Based)設計，其優點是改裝容易，只需在現有各自獨立的控制器之上加裝一個管 理控制器即可，但缺點是無法完全整合；另一種是採用特徵軌跡法(Characteristic Locus Method)設計，其優點是將各控制器整合，因此能以更有系統的方式設計控制器。 圖 2. 2 統合底盤控制架構，擷取自[15] W. Cho et al[16]提出一最佳化統合底盤控制器，其最佳化目標是使縱向速度減速最 小，控制器利用主動式前輪轉向控制(Active Front Steering, AFS)和直接橫擺力矩做為控

制輸入，分配出使車輛側向動態保持穩定所需的橫擺力矩。其成本函數為(2.5)，限制條 件為(2.6)

8 2 1 ( _x) _x L F  F (2.5)  





1 1 2 1 2 2 _{2 2} 1 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 ( ) 0, 2 ( ) 0, D = 1 + , D = 1 + x f y Z x x y y z z z z z t f x D F l D F M g x F F F F F F F F F                  (2.6) ；其中(F_x1，F_y1)為簡化後的控制輸入；F_x1為控制系統輸入的左前輪輪胎縱向 力，此研究將控制系統輸入的四個輪胎縱向力簡化成用左前輪表示；F_y1為控制系統輸 入在左前輪轉向角所產生的側向力，此研究將控制系統輸入的兩個前輪轉向角視為相同， 簡化成用左前輪表示；M_z為使車輛側向動態保持穩定所需的橫擺力矩；F_x1、F_y1為駕 駛輸入的左前輪輪胎縱向力和轉向角產生的左前輪側向力；F_z1、F_z2、F_z3為輪胎正向 立；t 為車輛輪距；l_f 為車輛質心到前輪軸的距離； 為路面摩擦力係數。 故此設計為達到其最佳化目標，會將控制系統輸入的輪胎縱向力需求減至最少，如 此車輛縱向速度的減速也會最小，所以車輛動能的損耗也會最小化。 K. Nam et al.[17]提出將統合底盤控制器上、下層分層控制的概念，如圖 2.3，上層 控制器的前饋控制器(Feed-forward)和回饋控制器(Feed-backward)計算出所需的前輪轉 向角和直接橫擺力矩，使車輛動態跟隨給定的參考軌跡；下層控制器再控制轉向系統和 輪胎扭矩產生出所需的前輪轉向角和直接橫擺力矩。分層控制的優點是在分工的概念， 上層控制器計算出所需的控制輸入，下層控制器負責控制車輛以產生上層控制器所需之 控制輸入。 圖 2. 3 分層控制架構，擷取自[17]

9 本研究的控制器架構設計分成上、下層控制器，上層控制器計算所需的前輪轉向角 與直接橫擺力矩，使車輛的動態跟隨給定的參考軌跡；下層控制器則考慮輪胎的非線性 特性，藉由控制輪胎扭矩產生所需的輪胎縱向摩擦力，上層與下層控制器之間透過最佳 化輪胎縱向摩擦力分配將上層控制器所需之力量適當地分配給每個輪胎，再由下層控制 器使各個輪胎產生所需的縱向摩擦力。 本研究的控制器設計有以下優點 1.採用統合底盤控制，在設計最佳化控制器時，控 制輸入的選擇上較直接橫擺力矩控制更有彈性。2.上層控制器採用最佳化控制器設計， 最佳化目標是使輪胎縱向摩擦力產生的直接橫擺力矩最小，相較於前面 T. Hwang et

al.[15]、K. Nam et al. [17]提出的上層控制器皆沒有採用最佳化控制器設計，理論上本設

計法能以更少的車輪縱向力達成相同的控制目標。3.控制架構採用分層設計的概念，上 層控制器採用最佳化設計使輪胎縱向摩擦力產生的直接橫擺力矩最小化；最佳化輪胎縱 向摩擦力分配再以最小化輪胎縱向摩擦力帄方和的條件分配出可產生上層控制器所需 之直接橫擺力矩的輪胎縱向摩擦力給每個輪胎，相較於 W. Cho et al.[16]提出的控制器只 能使車輛動能的損耗最小化，本控制器設計因為所需的輪胎縱向摩擦力帄方和更小，所 以下層控制器能以更少的輪胎扭矩產生各個輪胎所需的縱向摩擦力，減少輪胎扭矩的做 功代表消耗的能量減少。綜合以上三點，本控制器設計確實能達到節能和安全性兼顧的 目標。

10

第三章、 車輛系統模型

本章節將介紹本研究中使用的車輛系統模型，此模型為一個七個自由度的車輛模型 和一個結合縱向力與側向力摩擦力圓關係的“Magic formula”輪胎模型。七個自由度包含： 車輛縱向、側向速度運動、橫擺角速度動態，以及四個輪胎的動態。

3.1 車輛動態模型

車輛行駛於道路上，輪胎與地面接觸產生摩擦力，影響車輛的運動，輪胎的自由體 圖，如圖 3. 1： x

F

y

F

a

F

b

F



車 頭 方 向 圖 3. 1 輪胎自由體俯視圖 Fa為帄行胎面之縱向摩擦力，Fb為垂直胎面之側向摩擦力；δ為車輪轉向角。依照 向量的概念，將F_a和F_b分解成帄行車身的力F_x與垂直車身的力F_y，如下： co s sin sin co s x a b y a b F F F F F F         (3.1) 假設車輛所受的外力和橫擺力矩都是由輪胎與路面間摩擦力所造成，不去考慮車輛 行駛間空氣風阻力或者外界額外的擾動對車輛動態造成的影響。輪胎與路面間摩擦力影 響車輛運動自由體圖，如圖 3. 2 所示。利用牛頓第二運動定律和尤拉運動方程式推導得 知車輛動態方程式，表示如(3.2~4)式：

11 圖 3. 2 車輛自由體俯視圖       4 1 2 3 4 1 2 1 cos sin x xi a a a a b b i m a F F F  F F F F   



      (3.2)       4 1 2 1 2 3 4 1 sin cos y yi a a b b b b i m a F F F  F F  F F  



      (3.3)

























1 2 1 2 3 4 1 2 2 1 4 3 sin cos sin cos 2 2 2 z z f a a f b b r b b t t t b b a a a a I r M l F F l F F l F F l l l F F F F F F                 



 (3.4) ；其中車輛縱向加速度(a_x)和側向加速度(a_y)，如(3.5)和(3.6)式： x x y a V rV

(3.5) y y x a V rV (3.6) F_xi 4 i=1 、 4i=1Fyi和 Mz為作用於車輛動態的縱向合力、側向合力和橫擺力矩總和；m和 I_z為車體質量和橫擺角轉動慣量；V_x、V_y和r分別表示車輛質心縱向速度、側向速度和橫 擺角速度；β為車體質心側滑角；l_t為車輛前輪和後輪輪距；l_f為車體質心到前輪軸的距 離，lr為車體質心到後輪軸的距離。

12 ai

F

zi

F

w

R

i



mi

T

圖 3. 3 輪胎轉動自由體圖 由圖 3. 3 的輪胎轉動自由體圖，藉由力矩帄衡推導出輪胎旋轉動態方程式(3.7)式。 1, ..., 4 w i w ai m i I   R F T i  (3.7) ；其中I_w為輪胎轉動慣量，ω_i為第 i 個輪胎的轉動角加速度，R_w為輪胎轉動半徑，T_mi為 馬達與煞車對第 i 個輪胎施加的力矩之和。 輪胎與路面間摩擦力作用下造成輪胎縱向滑動與側滑，輪胎縱向滑動比(Slip ratio) 定義如(3.8)式： cos 1, ..., 4 m ax{ , cos } w i i i i w i i i R v i R v         (3.8) ；v_i表示為第 i 個輪胎的前進速度，表示如下： 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 f x y f f x y f r x y r r x y r t v V r V l r t v V r V l r t v V r V l r t v V r V l r                 (3.9) 而輪胎側滑角(Slip angle: αi)為輪胎轉動方向與速度方向之間的夾角，如(3.10)式， 圖 3. 4。

13 i



車 頭 方 向 i



i

v

圖 3. 4 輪胎側滑角和前進速度示意圖 1 1 1 2 1 3 1 4 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 y f f x y f f x y r r x y r r x V l r t V r V l r t V r V l r t V r V l r t V r                     _         _       _             _{ }             _{ }      (3.10) 考慮車輛縱向加速度及側向加速度對車體重量轉移所造成的影響，輪胎的正向力可 以由(3.11)式表示： 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 s y r s s x s r z f s y r s s x s r z f f s x s s y f s z r f s x s s y f s z r m a l h m a h m g l F l l t l m a l h m a h m g l F l l t l m g l m a h m a l h F l l t l m g l m a h m a l h F l l t l             (3.11)

14 ；l為前輪軸到後輪軸的距離，m_s為車體集中質量(Sprung-mass)，h_s為車體集中質量之 質心與地面的高度，g為重力加速度。

3.2 輪胎模型

輪胎與路面間產生的摩擦力會直接影響到車輛動態的運動。本研究中所使用的輪胎 模型為 Pacejka[18]所提出的“Magic formula”，(3.1)式中帄行胎面的力(Fa)與垂直胎面的 力(F_b)即是利用此非線性的模型來描述。在此非線性的輪胎模型純縱向滑動F_a0(for pure

accelerating or braking)會與縱向滑動比(Slip ratio)有一非線性關係，純側向側滑Fb0(for

pure cornering)則與側滑角(Slip angle)存在一非線性關係，且都會受到輪胎所受之正向力

Fz的影響。此模型如(3.12)與(3.13)式表示：

     



1 1



0 sin tan 1 / tan

a x x x x x x x

F D C  _B E  E B  B  _ (3.12)















1 1



0 sin tan 1 / tan

b y y y y y y y

F  D C  _B  E   E B  B  _ (3.13)

；其中𝜆為輪胎滑動比、α為輪胎側滑角，B_x,y、C_x,y、D_x,y、E_x,y為輪胎參數。

當考慮輪胎動態同時發生縱向滑動和側向側滑時，(3.1)式中帄行胎面的力(Fa)與垂 直胎面的力(F_b)將表示如下： 0 ( x ) ( ) a a F   _ F  (3.14) ( y ) ₀( ) b b F   _ F  (3.15) ；σ為綜合滑動( combined slip)，σx、σy和λ、α關係如(3.16)式： 2 2 1 1 tan 1 x y x y                (3.16)

15 在不同的側滑角下，結合縱向力與側向力的非線性輪胎模型，F_a與F_b摩擦力圓關係， 如圖 3. 5。 圖 3. 5 結合縱向力與側向力摩擦力圓 綜合以上分析與推導，把車輛動態模型與輪胎模型結合寫成一非線性動態方程式， 如(3.17)式，其中輸入為δ₁、δ₂與T_mi，i = 1, … ,4。





1 4 1, 2 1, 2 ,3 , 4 , , , , , , T x y m X r V V X f X T            (3.17) - 5 0 0 0 - 4 0 0 0 - 3 0 0 0 - 2 0 0 0 - 1 0 0 00 0 1000 2000 3000 4000 5000 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 輪 胎 縱 向 摩 擦 力 (N) 輪胎側向摩擦力 (N ) 側 滑 角 遞 增

16

第四章、控制器設計

本章將介紹本研究的控制器設計，有上層控制器、最佳化輪胎縱向摩擦力分配和下 層控制器，此外本研究的適用情境為正常的駕駛情況下，駕駛轉向角輸入為小角度，因 此為了方便設計，上層控制器使用了線性模型，但為了安全性，在下層控制器採用了非 線性模型，確保控制輸出為上層控制器所要求。 4.1 上層控制器將介紹所使用的線性車輛參考模型和適應性 H控制器。線性車輛參 考模型考慮到車輛運動時的物理限制，因此參考訊號會有物理極值的限制存在；適應性 H控制器的設計是將多種不同特性的H∞控制器依據最佳化權重比例分配結果組合而成， 設計出可即時根據參考訊號做調整的控制器。此外還會介紹成本函數(Cost function)的設 計概念，小增益定理(small gain theorem)證明控制器使系統穩定，並利用卡羅需—庫恩—

塔克條件(Karush-Kuhn-Tucker conditions)求解非線性規劃問題(Nonlinear programming)

[19]， 並最小化成本函數。 4.2 最佳化輪胎縱向摩擦力分配將介紹如何設計成本函數，並利用卡羅需—庫恩— 塔克條件求解非線性規劃問題，使上層所需的直接橫擺力矩適當分配至各個輪胎。 4.3 下層控制器將介紹所使用的縱向力估測器和縱向摩擦力回授穩健控制器。縱向 力估測器使用差分估測出縱向力；縱向摩擦力回授穩健控制器回授縱向力估測的結果， 設計順滑模態控制器控制馬達的扭力，使輪胎與路面間產生的縱向摩擦力符合上層所分 配之結果。 在第二章相關研究中討論的其他控制器設計，大部分的控制器主要是著重於單一層 控制器架構的設計，計算出控制車輛跟隨參考值所需的側向合力和橫擺力矩總和，然後 直接當作控制輸入控制車輛動態，但皆假設實際能夠產生所需的合力與力矩，並沒有考 慮到輪胎的動態，此外直接橫擺力矩控制是沒有利用輪胎側向力來作控制，所以對車輛 側向運動控制上會不夠準確。因此，本研究將控制架構分為上、下層控制器：利用上層 控制器以最小的直接橫擺力矩跟隨質心側滑角與橫擺角速度參考值，透過最佳化分配將

17 輪胎摩擦力圓與前輪驅動的限制考慮進去，分配出四個輪胎所需之縱向摩擦力，在下層 控制器中考慮輪胎動態，控制跟隨所需的縱向摩擦力。在此控制架構下，改善了前輪轉 向在車輛側向加速度大時對車輛控制的不穩定問題，以及彌補了直接橫擺力矩控制對車 輛側向運動控制的不足。除了車輛的安全性之外，在上層控制器中使用了適應性控制器， 最佳化分配控制輸入時，也考量到了節能，整個控制系統架構圖，如圖 4.1。 駕駛者下達 轉向命令 最佳化 輪胎與 路面間 縱向力 分配 縱向摩 擦力回 授穩健 控制器 輪胎 模型 車輛 模型 輪胎與路面 間縱向摩擦 力估測 w i w ai mi I   R F T 1 tan yi i i xi v v  _{ }        cos  max , cos w i i i i w i i i R v R v        d  MD c  adi F T_mi i  mi T i ˆ ai F i  Fai bi F , _x, _y r V V 車輛 參考模型 適應性 控制器 -ref ref  、 error error  、 控制車輛 下層控制器 上層控制器 圖 4.1 系統架構圖

18

4.1 上層控制器

4.1.1 車輛參考模型

本研究所使用的參考模型是基於腳踏車模型如下，如式(4.1)、(4.2)     2 yf yr 2 yf f yr r 2 yf y y x _d x x C C C l C l C V V V r m V m V m          _{ } _{ } _  _ _{ }        _(4.1)    2 2 2 2 yf f yr r yf f yr r 2 yf f y _d z x z x z C l C l C l C l C l r V r I V I V I            _{ } _{ } _{ }        _(4.2) ；Cyf、Cyr為前、後輪轉向剛度(Cornering stiffness)，δd為駕駛方向盤輸入的前輪轉向角。 為了簡化車輛參考模型的參數設定，所以定義參數k  Cyflf /C lyr r；k 與轉向不足係數 (understeer coefficient)有關，當 k=1 時為中性轉向，k<1 為不足轉向，k>1 為過度轉向。 修改後的車輛參考模型參數如下式(4.3)、(4.4) 2 1 2 1 2 1 2 1 f yf yf f yf r

ref _{ref ref d}

x x x l C C l C kl k m V m V m V     _  _  _  _        _{ }  _{ }  _{ }        _{  }                _(4.3) 2 1 2 1 2 1 2 r yf f yf f yf f f

ref _{ref ref d}

z z x z l C l C l C l kl k I I V I       _  _  _  _        _{ } _{   }       _{  }                (4.4) ；其中ref 為車輛質心側滑角參考值；rref 為車輛質心橫擺角速度參考值，而參數k 在此 依照一般之設計將車輛假設為轉向不足，因為當車輛在路面崎嶇、側風等外在干擾所產 生之外力時，利用在相同轉向角、相同車速下，轉向不足車輛的迴轉半徑較中性轉向與 過度轉向車輛來的大之特性，使得車輛能夠沿著既定的方向行駛而不發生偏轉，利用機 械性結構達到濾除雜訊的效果。

19 上述的車輛參考模型是基於線性的腳踏車模型推導而來，並沒有考慮到輪胎特性之 非線性的影響，因此當我們把非線性輪胎特性考慮進去時，車輛參考模型的車身側滑角 與橫擺角速度均會受到物理限制的影響而有物理極值的限制[20]。車體質心速度(V_{C oG} ) 會影響車身側滑角的極值限制，車身側滑角最大限制和車體質心速度關係式，如(4.5)式， 圖 4.2。 2 m ax 1 0 7 2 ( 4 0 / ) C o G V m s      (4.5) 側向加速度(ay) 的極值限制則是會與路面摩擦力係數有關；理論上，車輛作轉向運 動最大可以產生 9.81 倍路面摩擦力係數大小的側向加速度，例如：路面摩擦力係數為 1 時，側向加速度極值可以為 9.81m s ，而當車身側滑角不為零時，最大側向加速度則調2 整為 8m s ，故最大側向加速度與摩擦力係數關係可表示如(4.6)式。 2 圖 4. 2 最大車身側滑角與質心速度關係圖[20] 2 m ax 8 / y s a    m s (4.6) 利用(3.6)式，a_y與r的關係式可以得知橫擺角速度的最大值為(4.7)式。 m ax m ax y y x a r V V    (4.7) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 V CoG (m/s) m a x ( 。 )

20 因此，車輛參考模型加入考慮車身側滑角與橫擺角速度物理限制，將車身側滑角與 橫擺角速度之參考值改成(4.8)與(4.9)式： m ax m ax , , ref otherw ise             (4.8) m ax m ax , , ref r r r r r otherw ise        (4.9) 在小角度轉向和較小的側向加速度運動下，參考車輛模型為兩個自由度線性車輛響 應；而在大角度轉向和較大的側向加速度下，參考車輛模型則將會受到物理限制於極 值。

4.1.2 適應性H

_∞

控制器─最佳化H

_∞

控制器權重比例分配

回顧(3.2)、(3.3)、(3.4)式，縱向、側向合力與橫擺力矩總和影響車輛縱向、側向與 橫擺角速度動態，在上層控制器使用了適應性H∞控制器，並設計了最佳化H∞控制器權 重比例分配，以最小化的能量損耗計算控制車輛跟隨參考軌跡所需的前輪轉向角和直接 橫擺力矩。假設車輛縱向速度為定速，輪胎模型為線性，將(3.3)、(3.4)式重新表示如下： 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 f r yf yr yf yr yf c x x x C C C l C l C r m V m V m V      _   _      _(4.10) 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 M f f r f yf yr r yf yr yf c D z z z z x C l C l C l C l C l r r I I V I I            _{ } _{ } _{ }         (4.11) ；Cyf、Cyr為前、後輪轉向剛度;δc為控制器所分配的前輪轉向角；MD為直接橫擺力矩， 藉由四個輪胎的縱向摩擦力所產生。 採用H∞控制器的原因為，由於上層控制器是基於(4.10)、(4.11)式設計，但實際車輛 的縱向速度會改變、輪胎模型也非線性，使用H∞控制器設計可以使系統具有一定的穩健 性，甚至維持一定的控制精確度。另一方面，車輛的參考訊號多為低頻，H∞控制器設計

21 可以針對特定頻段做設計。 但是也因H∞控制器是根據頻域進行設計，無法保證在時域的控制結果和誤差。不過 本研究中提出的適應性H∞控制器設計可解決此一問題，只要在最佳化問題中加入對應的 限制條件即可保證適應性控制器在時域的誤差。除此之外，一般駕駛者輸入的轉向命令， 例如轉彎或切換車道，多為低頻的窄頻訊號，但頻率則隨駕駛習慣與路況而變。一般H∞控 制器僅能對所有可能的頻段做最壞情況(worst case)設計，因此效能過於保守。但使用適 應性H∞控制器設計更可以根據當下的參考訊號做最佳化設計，由第五章的模擬結果可知 適應性H∞控制器的確比一般H∞控制器達到更好的效能。

4.1.2.1 成本函數、限制條件

本研究所要探討的主題是環保節能，因此在成本函數的設計選擇上，會使用將能量 損耗減至最低的概念設計。 上層適應性H∞控制器的控制輸入有前輪轉向角和直接橫擺力矩，使用前輪輪胎轉向 角產生橫擺力矩的方式會消耗能量在輪胎轉向驅動器上；使用直接橫擺力矩藉由車輛兩 側的輪胎縱向力差來產生橫擺力矩的方式則會消耗能量在產生輪胎的扭矩上。在有最佳 化輪胎縱向力分配的情況下，直接橫擺力矩會和輪胎縱向力帄方和成正比的關係，而輪 胎縱向力也會和輪胎扭矩有正比關係，因此當直接橫擺力矩越小，所需的輪胎扭矩也會 越小。和產生輪胎扭矩所需的能量相比，輪胎轉向驅動器所需要的能量是可忽略的。因 此本研究假設藉由車輛兩側的輪胎縱向力差來產生橫擺力矩的直接橫擺力矩會消耗大 量能量，所以成本函數的設計選擇是直接橫擺力矩的帄方，如(4.12)式，希望直接橫擺 力矩越小越好。 2 1 M 2 D J  (4.12) 除了希望環保節能之外，車輛的安全性也是很重要的，為了使車輛能跟隨參考軌跡， 本研究加入了以下的限制條件，如(4.13)、(4.14)式

22





2 2 2 _ m ax e ref e      (4.13)





2 2 2 _ m ax e ref e r  r r r (4.14) ；其中_{e_ m ax}、_{e_ m ax} 為可容許的最大誤差限制，此限制可隨駕駛情況改變。

4.1.2.2 設計方法

本研究設計適應性H∞控制器的步驟分為 2 步，步驟一是先設計出多個適合在不同駕 駛情況下的H∞節能控制器，再來步驟二是設計一個最佳化方程式，藉由調整先前設計的 控制器之間的權重，得到一個在當前駕駛條件下的車輛最佳節能控制器。 圖 4.3 H∞控制器架構(左)，受控體 P(右) 圖 4.2 中 G 為(4.10)、(4.11)式；W1 為與參考訊號誤差的權重，W2 為控制輸出的權 重；受控體 P 包括 G 與 W1、W2，K 為使閉迴路系統穩定之控制器。w 為參考訊號；u 為控制輸入；y 為車輛軌跡誤差；z 為加權後的控制輸出和車輛軌跡誤差。 任何使閉迴路系統穩定的控制器 K 均可分解成某個中心控制器(central controller)J 和參數 Q[23]，如圖 4.3 所示。當中，中心控制器 J 能穩定受控體 P，參數 Q 頇滿足Q ∈ RH∞ 的條件，RH代表所有實係數穩定真分(proper)有理函數所形成的集合。此外，任何屬於 RH的參數 Q，其對應的控制器 K 皆可使閉迴路系統穩定。因此最佳化控制器可視為選 擇參數 Q 以達到最佳效能。然而 RH為無限維度之向量空間，欲在其中尋找最佳的參 數 Q 並非易事。故本研究先設計 N 個控制器 K1,…,KN，得到相對應的參數 Q1,…,QN， 然後尋找所有 Q1,…,QN 的線性組合中最佳的參數 ˆQ ，亦即將最佳的參數 ˆQ 表示成

23 N i i i= 1 ˆ Q =



c Q ，其中 ciR, i=1,…,N。由於搜尋的範圍變成由 N 個係數構成的 N 維向量空 間，故能有效地求解最佳化問題，但因為 Q1,…,QN的線性組合僅是 RH的一個子集合， 如圖 4.4 所示，故上述方法只能求得次佳解(suboptimal solution)。最後求得的控制器可 表示如圖 4.5 所示。 QR H_ N i i i= 1 ˆ Q =



c Q 圖 4.4 Q 範圍示意圖 圖 4.5 控制器 K 的架構 步驟一中藉由調整 W1,W2 的權重，設計出 N 個適合不同駕駛情況的H∞控制器 K1, …,KN，並求出相對應的參數 Q1, …, QN。步驟二是設計一個最佳化方程式，並調整 先前設計的H∞控制器參數之間的權重，因此需要知道最佳化方程式和H∞控制器之間的 關係。 圖 4.2 中由 w 至 z 的閉迴路轉換矩陣，如式(4.15)，其中 T(s)為受控體 P 與中心控 制器 J 所構成的閉迴路轉換矩陣。觀察此式，發現即使輸入不同的參考訊號，可藉由調

24 整ˆQ最佳化車輛的軌跡誤差和控制輸入，讓車輛軌跡誤差維持在一定範圍(安全性)外， 同時最小化能量耗損(節能)。 1 1 1 2 2 1 ˆ z ( )s [T + T Q T ]w ( )s 1 1 ( 4 2 ) 1 2 ( 4 2 ) 2 1 ( 2 2 ) 2 2 ( 2 2 ) T T T ( ) T T s            (4.15) N 1 1 1 2 2 1 i i i= 1 ( ) ( ) ( ) _{ˆ ˆ} [T + T Q T ] Q = c Q ( ) ( ) M ( ) e ref e ref c D s s r s r s s s        _        _{ }    _{ }     



， 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) M ( ) 2 M ( ) e e e e c c D D s W s r s W r s s W s s W s          _{ }           _{ }    (4.16) N N 11 i 12 i 21 i i i=1 i=1 ˆ [T + c T Q T ]w ( )s Q = c Q   _{ }  





(4.17)   N 11 i i i 12 i 21 i= 1 [T + c Q ]w ( ) s Q T Q T 



 (4.18) 但式子(4.18)為頻域表示法無法做即時運算，故將其轉換成時域表示法，轉換方法 如式(4.19)所示，經整理後可得到式(4.20)，其中*代表摺積運算(convolution)。 1 1 1 1 1 1 1 1 N N i i i i i= 1 i= 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) t ( ) c Q ( ) c Q ( ) z s z t w s w t s t s t      _{ }                 _{   }    





 L L L L (4.19) N 1 1 i i i= 1 ( ) ( ) _{[ t ( )+ c Q ( )] w ( ) Q ( )} ( ) M ( ) e e d D t r t _{t t t t} t t              _{ }        _   



(4.20)

25 將最佳化方程式和H∞控制器之間的關係做連結後，成本函數與限制條件可用下列式 子表示 (4.22)、(4.23)、(4.24)





2   2 D 0 1 1 1 1 m inim ize M ( ) Q (t) [0 0 0 1] 2 2 J   f c  k  k  (4.22)



 



2   2 2 2 1 _ m ax 2 _ m ax 2 1 1 1 . . ( ) Q (t) 0 [1 0 0 0] 2 e e 2 2 e s t f c     k     k  (4.23)









2   2 2 2 2 _ m ax 3 _ m ax 3 1 1 1 ( ) Q (t) 0 [0 1 0 0] 2 e e 2 2 e f c  r r  k   r  k  (4.24)

4.1.2.3

小增益定理(

small gain theorem)

本研究中的適應性 H控制器 K 是隨時間變動的，因此需要證明此適應性控制器 K

在隨時間變動的情況下，仍能維持系統的穩定，本研究使用小增益定理(small gain

theorem)來證明。

小增益定理(Small gain theorem)，假設 S1、S2 為兩互相連接的系統方塊，如圖 4.6

且滿足 S1 ∞∙ S2 ∞ < 1，則此系統會輸入─輸出穩定(input-output stable) 。 圖 4.6 S1、S2 為兩互相連接的系統方塊

P

J w u z y ˆ Q S 1 1 1 2 2 1 2 2 S S S S S        圖 4.7 適應性 H控制器 K 和受控體 P 組成之系統架構 將圖 4.7 中的紅色框框中的受控體 P 和中心控制器 J 視為系統方塊 S，系統方塊 S 和控制器ˆQ相連的部分S22視為 S1，ˆQ視為 S2，當滿足 22 1 _ˆ S < , Q <   _ 條件時，此系 統會輸入─輸出穩定(input-output stable)。當中 S22 ∞是已知且不變的，γ範圍可由 S22 ∞

26 得知， Qˆ 則會隨時間改變，以下引理一證明當





2 2 2 1 Q i N i i c N    



，保證 Qˆ <  ，此 時系統會輸入─輸出穩定。 引理一：當





2 2 2 1 i N i i c q N   



時，保證 Qˆ    ， 1 ˆ Q Q N i i i c  



其 中 , Q_{i }  q_i , QR H_  , R+ 證明:









2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 ˆ Q Q ˆ Q i i i i N i i N N i i i i N N i i i i i c q N c q N c q c c q          _{ }           











結論:當





2 2 2 1 i N i i c q N   



時，保證 Qˆ    ，故本小節所探討之最佳化問題需新增一 不等式限制條件，以保證系統穩定。

4.1.2.3 最佳化問題求解

分析整理成本函數式(4.25)與其限制條件(4.26)-(4.28)，目的是希望最小化成本函數， 表示成底下一般最佳化的求解問題:





2   2 D 0 1 1 1 1 m inim ize M ( ) Q (t) [0 0 0 1] 2 2 J   f c  k  k  (4.25)



 



2   2 2 2 1 _ m ax 2 _ m ax 2 1 1 1 . . ( ) Q (t) 0 [1 0 0 0] 2 e e 2 2 e s t f c     k     k  (4.26)









2   2 2 2 2 _ m ax 3 _ m ax 3 1 1 1 ( ) Q (t) 0 [0 1 0 0] 2 e e 2 2 e f c  r r  k   r  k  (4.27)





2 2 2 3 1 ( ) 0 i N i i f c c q N   



  (4.28) ； T 1 N c= (c ,...c )

27 為解此非線性規劃問題，將借助於卡羅需—庫恩—塔克條件(KKT condition)，對於 任何的最佳化問題，若目標函數與限制函數皆可微分，求得之最佳解必需滿足 KKT 條 件。在目標函數為凸函數，且不等式限制條件也為凸函數，等式限制條件為仿射函數 (affine function)下，若任何一組解x 、λ 、ν 滿足底下 KKT 條件，則x 為此最佳化問題之最 佳解。 ( ) 0 , 1, ..., i f c  i m (4.29) ( ) 0 , 1, ..., i h c  i p (4.30) 0 , 1, ..., i i m    (4.31) ( ) 0 , 1, ..., i f ci i m     (4.32)

 

 

 

0 _{1 1} 0 m p i i i i i i f c _  f c _ h c   



  



   (4.33) ；在本小節的最佳化問題中， m = 3、p = 0，條件(4.30)符合。 首先整理 KKT 條件，   1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 T N N N b b b f c c a b b b               _{   }  _{ }                    假設_i  0 ,i 1, ..., 3 滿足(4.31)、(4.32) 解 ₀

 

 

 

1 1 0 m p i i i i i i f c _  f c _ h c   



  



   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T N N N b b b c a b b b           _{ }                             1 11 11 11 1 1 1 1 T N N N b b b c a b b b  _{   }  _{ } _{   }  _{ }   _{   }  _{ } _{   }  _{ }                滿足(4.33) 最後求出的解c代回驗證 f c_i( ) 0是否成立(滿足(4.29))，若成立則c為所求最佳解。不 成立則非最佳解，表示一開始假設_i  0 ,i 1, ..., 3有誤，重新假設討論。

28 Case1:



2 2



2 2 1 _ m ax 2 2 _ m ax 1 1 1 ( ) 0 2 2 N e e i i e i f c   a c b        _  _   



 假設 f c1( )0、i  0 ,i  2, 3  _滿 足(4.32) e  取和_ref 同號 解       1 0 _{1 1} ( ) 0 0 m p i i i i i i f c f c _  f c _ h c          





  _    若_i  0且將c帶回驗證 f c_i( ) 0是否成立，成立→滿足(4.29)、(4.31)、(4.32)，則c為 最佳解， f c_i( ) 0 ,i  2, 3處理方式同上。

4.2 最佳化輪胎與路面間縱向摩擦力分配

4.2.1 成本函數、限制條件

最佳化輪胎與路面間縱向摩擦力分配的成本函數(Cost function)之設計與選擇是可 以有很多種形式，但本研究探討主題為環保節能因此以最小能量消耗為主要目標。縱向 摩擦力需由輪胎扭矩消耗能量而產生，因此縱向摩擦力越少，輪胎扭矩消耗能量就越少， 在這裡我們以縱向摩擦力的帄方和為成本函數，如式(4.34) 4 2 1 a i i J F  



(4.34) 此外，由四個輪胎縱向力所產生的橫擺力矩和必頇的等於適應性 H控制器所需的 直接橫擺力矩總和(MD)，如式(4.35)。 2 1 4 3 co s( )+ sin ( ) ( ) ( ) M 2 c f c a a 2 a a D t t l F F F F     _{   }     (4.35)

29 此外，每個輪胎所受之摩擦力也必頇要滿足摩擦力圓的限制[21]，表示如式(4.36)， 和前輪驅動限制，如式(4.37)：         2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 4 4 4 a b z a b z a b z a b z F F F F F F F F F F F F             (4.36) 3 4 0 0 a a F F   (4.37) 上述總共一條線性等式限制與六條非線性不等式限制，為了求解此非線性規劃問題， 將借助於卡羅需—庫恩—塔克條件(KKT condition)。

4.2.2 最佳化問題求解

分析整理成本函數式(4.38)與其限制條件 (4.39)，目的是希望最小化成本函數，表 示成底下一般最佳化的求解問題: 0 1 m inim ize ( ) 2 T J  f x  x P x (4.38) 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 4 4 4 4 5 3 6 4 1 1 2 3 4 . . ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) co s( )+ sin ( ) ( ) ( ) M 0 2 2 b z b z b z b z c f c D s t f x x F F f x x F F f x x F F f x x F F f x x f x x t t h x l x x x x                              _{ }        (4.39) ；x (F_a1,F_a2,F_a3,F_a4)T 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 P              為解此非線性規劃問題，將借助於卡羅需—庫恩—塔克條件(KKT condition)，在目

30 標函數和限制條件皆滿足假設下，若任何一組解 x,λ,v 滿足底下 KKT 條件，則 x 為此最 佳化問題之最佳解。 ( ) 0 , 1, ..., i f x  i  m (4.40) ( ) 0 , 1, ..., i h x  i  p (4.41) 0 , 1, ..., i i m    (4.42) ( ) 0 , 1, ..., i fi x i m     (4.43)

 

 

 

0 _{1 1} 0 m p i i i i i i f x _  f x _ h x   



  



   (4.44) ；在本小節的最佳化問題中，m = 6、p = 1。 首先整理 KKT 條件: 1 1 0 0 ( ) A 0 ( ) A 1 ( ) P 2 ( ) P T T h x x b h x f x x x f x x      _{ }                 ；x (F_a1,F_a2,F_a3,F_a4)T

A = [- cos( )+ sin( ), cos( )+ sin( ), - , ];

2 c f c 2 c f c 2 2 t t t t l l     M_D b 假設_i 0 ,i1, ..., 6 滿足(4.42)、(4.43) 解       0 _{1 1} ( ) 0 0 i m p i i i i i i h x f x _  f x _ h x          





  _    T 0 2 P A A 0 x v b                        1 T ₀ 2 P A A 0 x v b                       滿足(4.41)、(4.44) 最後求出的解x代回驗證 f_i( )x 0是否成立(滿足(4.40))，若成立則x 為所求最佳解。不 成立則非最佳解，表示一開始假設_i 0 ,i1, ..., 6有誤，重新假設討論。

31 Case1: 2 2 2 1( ) 1 b1 ( z1) 0 f x  x F  F  假設 f₁( )x 0、_i  0 ,i  2, ..., 6 滿足(4.43) 解       1 0 _{1 1} ( ) 0 ( ) 0 0 i m p i i i i i i h x f x f x  f x  h x      _        





   _    若_i  0且將x帶回驗證 f_i( )x 0是否成立，成立→滿足(4.40~42)、(4.44)，則x 為最佳 解， f_i( )x 0 ,i  2, ..., 6處理方式同上。

4.3 下層控制器

在 4.2 節最佳化輪胎與路面間縱向摩擦力分配，分配出四個輪胎和路面間所應該產 生的縱向摩擦力，設計下層控制器控制輪胎的扭力，改變輪胎動態，使輪胎與路面間產 生此縱向摩擦力分配之結果。 實際上控制車輛的輪胎模型是未知的，在第三章討論的”Magic formula”輪胎模型， 在本研究中是用以模擬當作真實的輪胎模型，而在下層控制器內則是假設另一非線性輪 胎模型：Dugoff‟s 輪胎模型[22]，如(4.45)式，做為控制器內名義輪胎模型(Nominal tire model)，因為 Dugoff‟s 輪胎模型包含較少的參數(C_x′_、C y′)，計算上亦比較容易，所以利 用此模型之線性及非線性的特性，於縱向力回授控制。

 

 

_{ }

' ' ' ' 1 tan 1 a x b y F C f F C f           (4.45) ；     1 , 1 2 , 1 f            