４－２．解三角形
[多選題]
１.在△ABC 中A，B，C之對邊長分別為a，b，c，則下列何者是鈍角三角形？ (A)a＝ 3，b＝5，c＝6 (B)a＝3，b＝4，c＝5 (C)a＝7，b＝9，c＝12 (D)a＝10，b＝11，c＝12 (E)a＝ 11，b＝13，c＝25。
２.在△ABC 中AB＝ 3－1 , BC＝ 2 , CA＝2，則下列何者正確？ (A)∠A＝45° (B)∠A＝ 30° (C)∠B＝135° (D)∠C＝30° (E)∠C＝135°。
３.設△ABC 中∠A , ∠B , ∠C 之對邊長分別為 a , b , c，則下列何者恰可決定一個△ABC？ (A)∠B ＝120° , b＝8 , c＝12 (B)a＝6 , b＝8 , c＝12 (C)∠B＝60° , b＝6 , c＝8 (D)∠B＝60° , b＝4 3 , c
＝8 (E)∠A＝30° , ∠B＝97° , ∠C＝53°。 [４－２．解三角形][計算題]
１.在△ABC 中 ， BA ，C之對邊長分別為a，b，c，已知A＝60，b＝2 3，a＝ 2 3 ，試解 ＝？B C＝？c＝？ ２.在△ABC 中 ， BA ，C之對邊長分別為a，b，c，已知B＝60，b＝6，c＝8，試解 A ＝？C＝？a＝？ ３.在△ABC 中三邊 a，b，c 上的高分別為ha＝3，hb＝4，hc＝6，試求其面積與三邊長
４.在△ABC 中，若BC＝a , CA＝b , AB＝c，且 a2sin2B＋b2sin2A＝2abcosA．cosB＋a2，試問此
△ABC 為何種△？
５.設△ABC 中，若sinA:sinB:sinC＝2:3:4，求secC。
６.在已知三角形△ABC 中，三內角的正弦比sinA:sinB:sinC＝8:15:17，則此三角形為銳角三角 形，直角三角形或鈍角三角形，請證明你的答案。 ７.設 a，b，c 為一三角形的三邊，A 為 a 邊的對角，若 a2－(b－c)2=bc，求 。A ８.設 x，x+1，x+2 表一鈍角三角形之三邊長，試求 x 之範圍。 ９.已知等腰三角形之頂角為 120°，其兩腰各為4 3 ，自底邊上之任一點向兩腰各作一垂線，求此 二垂線之和。 １０.ABCD 為圓內接四邊形，若AB=5，BC=3，CD=2， =60°，求：(1)B DA (2)四邊形 ABCD 之面積。 １１.G 為△ABC 之重心，若GA=7，GB=9，GC=8，求△ABC 面積。 １２.(1)△ABC 中，A120，又三邊長a，b，c 成等差數列，求三邊長之比。(2)若滿足(1)中之 △ABC 的外接圓半徑為 1，求△ABC 的面積。 １３.已知△ABC 三邊長分別為 5，7，11，求其三中線長。 １４.設△ABC 中，AB=3，CA=2， =60°， AA 之平分線交BC於P，求BC，AP，BP之 長。 １５.將一長 5 公尺之竹竿，斜靠在垂直地面而高為 3 公尺的牆頭，有部分伸出牆外，假設竹竿與地 面成夾角，竹竿伸出牆外部分(牆的厚度不計)，於日正當中時，在地面的影長為 acot+bcos ，其中a，b 是常數，求 a，b。 １６.海中一島其四周 8 浬處佈有水雷，今有一艦從西向東行駛，於 A 點見島在其北60東，繼續行 5 浬於 B 點，又見島在其北 45°東，倘若再不變方向繼續行駛是否安全？
１７.在△ABC 中，已知acosA－bcosB＋ccosC＝0，試求△ABC 之形狀。 １８.在△ABC 中，已知∠A﹐∠B﹐∠C 成等差數列，試求cosAcosC之範圍。 １９.在△ABC 中，已知 a＝4，b＝5，c＝6，試求BC邊上之中線長度。
２０.在△ABC 中，已知∠A＝135°，a＝1，∠B＝2∠C，試求BC邊上之中線長。 ２１.在△ABC 中，已知 a＝2，b＝3，c＝4，試求∠A 之平分線長。 ２２.設一個正五邊形之周長與一個正十邊形的周長相等，試求其面積比。 [４－２．解三角形][單選題] １.在△ABC 中A＝45， C＝75，BC＝10，則AC之長度＝ (A)2 6 (B)3 6 (C)4 6 (D)5 6 (E)6 6 。
２.已知△ABC 之三邊 a，b，c 上的高分別為 ha＝6，hb＝4，hc＝3，則此三角形內切圓半徑 r＝ (A) 4 3 (B) 3 4 (C)1 (D) 2 3 (E) 3 2 。
３.下列何者可以確定唯一的△ABC？ (A)a＝4，b＝10，A＝30 (B)a＝6，b＝10，
A＝30 (C)a＝6，b＝10，A＝150 (D)a＝12，b＝10，A＝150 (E)a＝7，b＝9，
A＝30
４.在△ABC 中A，B，C之三邊長a，b，c 滿足 2(a＋b－c)＝3(sinA＋sinB－sinC)，則此三 角形的外接圓半徑R＝ (A) 2 3 (B) 3 2 (C)1 (D) 3 4 (E) 4 3 。
５.在△ABC 中AB＝10，AC＝10 3，∠B＝120°，則△ABC 之面積＝ (A)25 2 (B)25 3
(C)75 (D)30 2 (E)30 3。
６.在△ABC 中∠A , ∠B , ∠C 之對邊長分別為 a , b , c，已知∠A＝ 2 1 ∠B＝ 3 1 ∠C，則 )2 c a b 2 ( ＋ ＝ (A) 3 4 (B) 4 3 (C)1 (D) 2 3 (E) 3 2 。 ７.在△ABC 中AB＝30 , AC＝10 , ∠A＝60°，則 C sin B sin 之值＝ (A) 2 1 (B) 3 1 (C) 4 1 (D) 5 1 (E) 6 1 。
８.在△ABC 中，∠A 之平分線交BC於D，已知∠BAC＝120° , AB＝d , AC＝e , AD＝2，則 d 1 ＋ e 1 ＝ (A)3 (B)2 (C)1 (D) 3 1 (E) 2 1 。 ９.設△表△ABC 面積，s 表周長之半，ha，hb，hc 表三邊之高的長，則 c b a h 1 h 1 h 1 = (A)△s (B) s △ (C)abc△ (D) abc △ (E) c b a abc 。 [４－２．解三角形][填充題] １.在△ABC 中 a＝2 3，b＝ 6 ，C＝105，則c＝ ， ＝ 。A ２.已知三角形的三邊長為 5，6，7，則此三角形之內切圓半徑 r＝ 。 ３.在△ABC 中已知其三邊長a＝ 2 ，b＝2，c＝ 3－1，則此三角形之最大角＝ 。 ４.設△ABC 中之三邊長 a，b，c 滿足a＝ b2＋ 3bc＋a2 ，則此三角形之最大內角＝ 。 ５.在△ABC 中A＝60， B＝45且最短邊為2，則△ABC 之面積＝ 。 ６.在△ABC 中BC＝4，CA＝5，AB＝6，則BC邊上之中線長度＝ 。 ７.在△ABC 中，A＝2，A之平分線交對邊BC於D，令AB＝x，AC＝y，AD＝z，若
已知x1＋y1＋１z ，則＝ 。 ８.在△ABC 中，D 為AC上之一點，∠ABD＝90°，∠CBD＝30°，且 BD b BC a AB 1 ＋ ＝ ，則(a，b) ＝ 。 ９.設△ABC 的三邊長 a，b，c 為x3－2(1＋ 3)x2＋(3＋4 3)x－6＝0之三根，則 ＝ ＋ ＋ 2 2 2 b c a 。 １０.在△ABC 中三邊 a，b，c 上的高分別為ha＝3，hb＝4，hc＝6，則此三角形之內切圓半徑 r＝ 。 １１.梯形ABCD中，AD//BC且AB＝13，BC＝25，CD＝15，AD＝11， 則此梯形面積為 。
１２.設△ABC 中∠A，∠B，∠C 之對邊長 a＝2，b＝3，c＝4，則∠A 之平分線段長為 。 １３.在△ABC 中，已知BC＝ 3－1 , CA＝ 3＋1 , ∠A＝15°，則AB＝ 或
。
１４.在△ABC 中∠A , ∠B , ∠C 之對邊長分別為 a , b , c 且 b＜c，已知此△之內切圓半徑 r＝ 3 ,
∠A＝60° , a＋b＋c＝20，則(a , b , c)＝ ；△ABC 的外接圓半徑 R＝ 。
１５.在△ABC 中∠A , ∠B , ∠C 之對邊長分別為 a , b ,c，若(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝3：4：5，則 cosA：cosB：cosC＝ ；sin2A：sin2B：sin2C＝ 。 １６.在△ABC 中，∠B＝60°，其面積為 10 3，外接圓半徑R＝ 3 3 7 ，則此三角形之最大邊長度＝ ；內切圓之半徑＝ 。 １７. 在圓內接四邊形ABCD中，已知AB＝AD＝2,∠C＝90°,∠D＝ 105°，則BD＝ ；AC＝ 。 １８.已知正十二邊形的邊長為 2，則其內切圓半徑 r＝ ；外接圓半徑 R＝ 。 １９.△ABC 中，a：b：c=3：5：7，則(1) C sin B sin 3 A sin 2 。(2)最大內角為 度。 ２０.△ABC 中，若 a=3，b=4，tanA= 4 3 。則△ABC 之外接圓半徑為 ，c= 。 ２１. 如圖：A1，A2，…，A8等八個點，依次將圓周八等分，若圓半徑 為1，則線段A1A2長為，斜線部分面積為。
２２.在△ABC 中，若 log3(a+b+c)+log3(b+c－a)=1+log3b+log3c，則角 A 為 度。 ２３.設△ABC 中，若 1 c a b c b a ，則C 。 ２４.四邊形 ABCD 內接於圓，已知AB5，BC5，CD2，B60，求DA= 。 ２５.設 ABCD 為一圓之內接四邊形，且ABBC5 2，CD2 5，DA4 5，求對角線BD之 長度為 。
２６.設△ABC 中，若 loga－logc=logsinB=－log 2，且 為銳角，則△ABC 的形狀為 。B
２７.設△ABC 中，三邊長 a= 3+1，b= 3－1，c=3，A，B，C 表其對角，則 a(b2+c2)cosA+b(c2+a2)cosB+c(a2+b2)cosC 之值為 。
２８.A，B 兩鎮相距 28 公里，道路BA，BC成60°角，若甲由 B 沿BC行走，同時乙由A 出發， 以2 倍甲速沿AB行走，則甲行 10 公里後，甲，乙兩人距離最近，又最短距離為 。 ２９.設△ABC 之三高為 ha=6，hb=4，hc=3，則△ABC 的面積為 。 ３０.圓內接四邊形 ABCD，若ABBC3，CD5，DA8，則其面積為 。 ３１.梯形 ABCD，ADBC，且AB13，BC25，CD15，AD11，則梯形面積= 。 ３２.凸四邊形 ABCD，若二對角線之長為 3，8，又其交角為 150°，則此四邊形之面積為 。
３３.設△ABC 中，三邊長 a，b，c，若 a：b：c=2：3：4，且內切圓半徑為 1，則(1)sinA= (2)△ABC 的外接圓半徑長為 。
３４.△ABC 之周長為 20，內切圓半徑為 3，A60，a，b，c
Z，且 b<c，則 (a，b，c)= ； △ABC 之外接圓半徑為 。３５.△ABC 的三邊長AB=1，BC=2，CA=x，(1)△ABC 的面積最大時，則 x= 。(2)△ABC 中的
C
最大時，則x= ；此時C= 。
３６.設XOY45，於OX，OY上分別取A，B，使OAOB=8，則△OAB 之最大面積為 。 ３７.設△ABC 中，ABC60，ABC的角平分線交AC於D，已知AB6，BD=2 3，則
(1)△ABD 的面積為 (2)線段AC的長度為 (3)△ABC 的面積為 。 ３８.在△ABC 中： (1)AB2，CA1 3，A 30，則BC的長度為 ，C的大小為 度。 (2)CA2，BC 6 2，A 105，則AB= 。 (3)ACB45，CA3，AB 6，則BC= 或 。 (4)A 30，B45，三邊長之和為3 3 2，求BC= ，CA= ， AB= 。 ３９.△ABC,∠A=105°,∠B=60°,AB=2，則BC= ,AC= 。 ４０.△ABC,∠A=15°,∠B=105°,△ABC 面積＝ 2 3 則 BC= ,AC= 。 ４１.等腰△，頂角 36°，腰長 12，則底= 。 ４２.△ABC,∠A=60°,∠B=45°,最短邊邊長 2，則最長邊邊長 。 ４３.△ABC,∠C=90°,∠B=60°,AB=12，則BC= 。 ４４.△ABC,∠B=15°,∠C=50°,BC=4+2 3，則∠A= ,AC= 。 ４５.△ABC,BC=6,AC =3 2 ,∠C=105°，則AB= ,∠B= 。 ４６.△ABC,AC =2,AB= 3+1,∠A= 6 ，則BC= ,∠B= 。 ４７.△ABC,AC ：BC=( 3 -1)：1，∠C=30°,AB= 2 2 6 ，則 BC= ，∠B= 。
４８.△ABC,BC= 2，AC=1+ 3，∠C=45°,則∠B= ，AB= 。
４９.△ABC 中AB=4,AC=3,∠A=60°，則BC= 。
５０.△ABC 中AB= 3-1,BC= 2,CA=2,則∠B= 。
５１.△ABC 三邊分別為 6，2， 3+1,則最小角= 。
５２.△ABC 中 sinA：sinB：sinC=1： 3：1，則 cosA：cosB：cosC= 。
５３.△ABC 中BC=5,AC =6,AB=7,則最大內角餘弦值= 。
５４.△ABC 中(a+b)：(b+c)：(c+a)=4：6：5,則 sinA：sinB：sinC= 最大內角= 。 ５５.△ABC 中AB=2 3,BC=3 2,CA=3+ 3,則∠A= 。
５６.△ABC 中 sinA：sinB：sinC=5：3：6，則 cosA：cosB：cosC= 。 ５７.△ABC 中(BC+AC+AB)(BC-AC-AB)=3BC AC ,則∠C= 。
５８.△ABC 中 a4+b4+c4+a2b2-2a2c2-2b2c2=0,則∠C= 。
５９.△ABC 中 a：b：c=2：3：4,則 sinC= 。
６０.△ABC a=2，b= 3+1，∠A=45°，則∠B= 。
６１.△ABC a=5，c=10，∠A=30°，則∠B= _ 。∠C= _ 。 ６２.△ABC 若 acosA=bcosA，△ABC 為 三角形。 ６３.銳角三角形三邊 20,20-x,20+x，則 X 之範圍為 。 [４－２．解三角形][證明題] １.在△ABC 中，令ma﹐mb﹐mc分別表示a b c﹐ ﹐ 上的中線長，試證： a 2b2 2c2 a2 2 1 m＝ ＋ － ， 2 2 2 b 2a 2c b 2 1 m＝ ＋ － ， 2 2 2 c 2a 2b c 2 1 m＝ ＋ － 。
２.在△ABC 中，∠A 的內外角平分線分別是AD與AE，且a b c﹐ ﹐ 分別為∠A﹐∠B﹐∠C 之對 邊長，試證：DE＝c2 b2
abc 2
－ 。
３.試利用數學歸納法證明棣美弗定理：
r(cos i sin
r (cosn i sinn )n n ，其中r 為正數，n 為 正整數。
[４－２．解三角形][多選題] １．AC ２．BC ３．BD [４－２．解三角形][計算題] １．(1)B45(2)C75(3)c3 3 ２．此種三角形不存在 ３．(1) 5 15 16 (2) 15 15 32 a＝ ， 15 5 8 b＝ ， 15 15 16 c＝ 。 ４．等腰△ ５．－4 ６．直角三角形 ７．60 ８．1<x<3 ９．6 １０．(1)3 (2) 3 4 21 １１．36 5 １２．(1)7：5：3 (2) 3 196 45 １３． 2 35 3 ， 2 3 9 ， 2 3 3 １４．(1) BC= 7，AP= 3 5 6 ， 7 5 3 BP １ ５．a=－3，b=5 １６．不安全 １７．直角△ １８． 4 1 C cos A cos 2 1 ＜ － １９． 2 106 ２０． 4 2 6－ ２１． 7 15 6 ２２．2： 5 [４－２．解三角形][單選題] １．D ２．B ３．D ４．E ５．B ６．A ７．B ８．E ９．A [４－２．解三角形][填充題] １．3＋ 3，45 ２． 6 3 2 ３．135 ４．150 ５． (3 3) 2 1 ＋ ６． 2 106 ７．60 ８．(2， 3) ９．10 １０． 3 4 １１．216 １２． 7 15 6 １ ３．2 2 , 6 １４．(7 , 5 , 8) , 3 7 １５．－7：11：13 ,－49：55：39 １６．8 , 3 １ ７．2 2 , 3＋1 １８．2＋ 3 , 6＋ 2 １９．3，120 ２０． 2 5 ， 5 7 或5 ２１． 2 2－ ， 2 2 2 2 ２２．60 ２３．60° ２４．－1 22 ２５．3 10 ２６．等腰 直角三角形 ２７．18 ２８．2 21 ２９． 5 15 16 ３０． 4 3 39 ３１．216 ３２．6 ３３． 8 15 ， 5 16 ３４．(7，5，8)； 3 3 7 ３５． 5， 3，30° ３６． 2 4 ３７． 3 3 ，3 3 ， 2 3 9 ３８．(1) 2，45(2)2 2(3) 2 6 2 3 ， 2 6 2 3 － (4) 2，2， 31 ３９．2(2+ 3)， 6( 3+1) ４０． 3 -1， 3+1 ４１．6 5-6 ４２． 3+1 ４３．6 ４４．105°,4 ４５．3+3 3,30° ４６．2, 4 ４７．1,45° ４８．105°,2 ４９． 3 ５ ０．135° ５１．45° ５２．3： 3：3 ５３． 5 1 ５４．3：5：7，120° ５５．60° ５
６．25：39：-3 ５７．60° ５８．60°or120° ５９． 4 15 ６０．75°或 105° ６１． 90°，5 3 ６２．等腰或直角 ６３．-5<x<5 [４－２．解三角形][證明題] １．略 ２．略 ３．略
