3 三角形的全等 2

國小時，我們曾經用剪紙與疊合的方法來判斷兩個三角形是否全等。

如果兩個三角形可以完全疊合，我們就說這兩個三角形全等。此時疊合在 一起的頂點，稱為對應頂點；疊合在一起的角，稱為對應角；疊合在一起的 邊，稱為對應邊。

若兩個三角形全等，則這兩個三角形的對應頂點、對應邊與對應角皆會完 全疊合在一起。也就是說，

如圖 3-17，△ABC 與△DEF 全等，我們記為「△ABC △DEF」，其中 符號「 」讀作「全等於」。

若 A 和 D、B 和 E、C 和 F 是三組對應頂點，則 AB ＝DE ，BC ＝EF，AC ＝ DF（三組對應邊相等）。

∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F（三組對應角相等）。

兩全等三角形的對應邊相等，對應角也相等。

圖 3-17

3 ^{2 三角形的全等}

全等三角形

1

A

B C E F

D

對應能力指標 8-s-14

1因為三角形內角和為 180°，所以

∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－73°－37°＝70°

因為△ABC 與△PQR 全等，所以∠P＝∠A＝73°。

2因為△ABC 與△PQR 全等，所以 BC ＝ QR ＝4（公分）。

△ABC △PQR，∠A＝90°，QR ＝10 公分， PQ ＝6 公分，求：

1 △ABC 的周長。 2△PQR 的面積。

「△ABC 和△DEF 全等」記為「△ABC △DEF」，表示這兩個三角形 全等，不一定表示頂點 A 的對應頂點是 D，頂點 B 的對應頂點是 E，頂點 C 的 對應頂點是 F。但在本教材中，若未特別說明時，則「△ABC △D E F」即 表示各頂點的對應順序為 A 對應到 D，B 對應到 E，C 對應到 F。

對於任意兩個三角形，是否需要檢驗「三組對應邊皆分別相等」與「三組 對應角皆分別相等」，才可以保證這兩個三角形全等？這是本單元準備要探討 的問題，希望能用最少的條件來檢驗兩個三角形是否全等。為了方便記錄，我 們用 S 來代表邊（side），用 A 來代表角（angle）。

1

例

如右圖，△ABC △PQR，

且 A 和 P、B 和 Q、C 和 R 是 三組對應頂點。若∠A＝73°，

∠B＝37°，QR ＝4 公分，求：

1∠C 及∠P。 2BC 的長。

A P

B C Q R

73°

37°

2因為∠A＝90°，所以∠P＝90°。

△PQR 的面積＝ 6×8 2

＝24（平方公分）

1因為△ABC △PQR，所以 BC ＝ QR ＝10， AB ＝ PQ ＝6。

因為∠A＝90°，所以 AC ＝ PR ＝ 10²－6² ＝8

△ABC 的周長＝6＋8＋10＝24（公分）

配合習作基礎題 2

作法：

1畫一直線 L，並在 L 上取 B、C 兩點，

使得 BC ＝a。

2 分別以 B、C 為圓心，c 和 b 長為半徑，

在 L 的同側畫兩弧，設兩弧相交於 A 點。

3連接 AC、 AB，則△ABC 就是所求的 三角形。

圖 3-18

a b c

首先我們來探討兩個三角形有三組對應邊相等的情況。如圖 3-18，給定三 個線段 a、b、c，這三個線段可以圍成一個三角形，利用尺規作圖畫出一個三 角形，使得此三角形的三邊長分別等於三個線段 a、b、c 的長度。

由上面的作圖過程中可知，只要知道三角形的三邊長，便可用尺規作圖畫 出一個三角形。這樣的作圖方法，稱為 SSS 作圖。

利用 SSS 作圖法完成下列各小題：

1 拿出附件一，仿照上面的作法，畫出一個三角形，並以疊合的方式比 較你所畫的三角形與上圖△ABC，看看它們是否全等。

2 模仿課本的作法，但由不同的邊開始操作（如先在 L 上作出與線段 b 或 c 相等長的邊），將所畫出的三角形與△ABC 比較，看看它們是否全 等。

3 在紙上任意畫一個三角形，利用尺規作圖的方法畫出一個三角形，使 它的三邊長分別與原三角形的三邊長相等，並檢驗這兩個三角形是否 全等。

SSS 作圖與全等

2

A

B C L

對應能力指標 8-s-14、8-s-15

是

是

是

由隨堂練習中發現，利用可圍成一個三角形的三線段長，以 SSS 作圖方法 所作出的三角形，都會全等。換句話說，

若兩個三角形的三邊對應相等，則這兩個三角形就會全等，

稱為 SSS 全等性質。

11 如下圖，△ABC 與△PQR 是否全等？為什麼？

2 ∠A 與∠P 是否相等？為什麼？

2已知一線段長 a，試利用 SSS 作圖，畫出邊長為 a 的正三角形。

A

B C

R

P

Q 16

21

25 21 16

25

a

1是，根據 SSS 全等性質。

2是，因為三角形全等，則對應角相等。

作法：

1畫一直線 L，並在 L 上取 P、Q 兩點，使得 PQ ＝a。

2 分別以 P、Q 為圓心，線段長 a 為半徑，在 L 的同側畫兩弧，

設兩弧相交於 R。

3 連接 PR、QR ，則△PQR 就是 所求的三角形。

Q L P

R

如圖 3-19，已知有一個三角形的兩邊長分別等於所給的線段長 a 和 b，

而這兩邊所夾的角等於所給的∠1，利用尺規作圖畫出這個三角形。

a

1

作法：

1作∠Q，使∠Q＝∠1。

2 在∠Q 的一邊取一點 P，使 QP ＝a。

3在∠Q 的另一邊取一點 R，使 QR ＝b。

4連接 PR，則△PQR 就是所求的三角形。

我們將兩個邊所夾的角稱為

Q L 夾角。

P R

圖 3-19 b

由上面的作圖過程中可知，只要知道三角形的兩邊長與此兩邊的夾角時，

便可用尺規作圖畫出一個三角形。這樣的作圖方法，簡稱為 SAS 作圖。

SAS 作圖與全等

3

由隨堂練習中發現，利用兩線段長和一個角，以 SAS 作圖方法所作出的三 角形，都會全等。也就是說，

若兩個三角形有兩邊和它們的夾角皆對應相等，則這兩個三角形就會全等，

稱為 SAS 全等性質。

利用 SAS 作圖法完成下列各小題：

1 拿出附件二，仿照上面的作法，畫出一個三角形，並以疊合的方式比較 你所畫的三角形與上圖△PQR，看看它們是否全等。

2 依照不同的次序作圖（如先作一長等於 b 的線段當作角的一邊，再作等 角，然後在角的另一邊取一點，使得頂點到此點的線段長等於 a）畫出 另一個三角形，再與原來畫出的△PQR 比較，看看它們是否全等。

3 任意畫兩個線段和一個角，利用上述作法畫出一個三角形，使得它的 兩邊分別等於已知線段，夾角等於已知角。再用不同的次序作出一個 三角形，並比較這兩個三角形是否全等。

是

是

是

3 已知∠1 與一線段長 a，試利用 SAS 作圖，畫出以邊長 a 為兩腰，

∠1 為頂角的等腰三角形。

2勾選出與△ABC 全等的三角形：

1

□

□

□

A

B C

1.5 1.5

2

1.5

2

1.5 2

2

60° 45°

60° 60°

a

1

1如下圖，△ABC 與△PQR 是否全等？為什麼？

A

B C

R P

Q

2.5 2.5

2

2

57° 57°

是，根據 SAS 全等性質。

作法：

1作∠P，使∠P＝∠1。

2在∠P 的一邊取一點 Q，使 PQ ＝a。

3在∠P 的另一邊取一點 R，使 PR ＝a。

4連接 QR，則△PQR 就是所求的三角形。

L

P Q

R

配合習作基礎題 3

圖 3-20

作法：

1畫一直線 L，在 L 上作 PQ ， 使 PQ ＝a。

2 分別以 P、Q 為頂點，PQ 為一邊，

在 L 的同側作∠P＝∠1，∠Q＝∠2。

設∠P 和∠Q 的另一邊相交於 R，

則△PQR 就是所求的三角形。

我們將兩個角共用的邊 稱為這兩個角的夾邊。

如圖 3-20，已知一個三角形的兩個角分別等於給定的∠1 和∠2，它們所 夾的邊長等於給定的長度 a，如何利用尺規作圖畫出這個三角形呢？

1 2

a

由上面的作圖過程中可知，只要知道三角形的兩個角及此兩角的夾邊時，

便可用尺規作圖畫出一個三角形。這樣的作圖方法，簡稱為 ASA 作圖。

利用 ASA 作圖法完成下列各小題：

1 拿出附件三，仿照上面的作法，畫出一個三角形，並以疊合的方式比較 你所畫的三角形與上圖△PQR，看看它們是否全等。

2 依照不同的次序作圖（如先作∠A 等於∠2，然後在∠A 的一邊取一點 B，使 AB 等於 a，最後作∠B 等於∠1）畫出另一個三角形，再與原來 畫出的△PQR 比較，看看它們是否全等。

3 任意畫兩個角和一個線段，利用上述作法畫出一個三角形，使得它的兩 個角分別等於已知角，兩角所夾的邊長等於已知線段。再依不同的次序 作出另一個三角形，並比較這兩個三角形是否全等。

Q

L P

R

ASA 作圖與全等

4

是

是

對應能力指標 8-s-14、8-s-15

是

1下圖中，△ABC 與△PQR 是否全等？為什麼？

2 已知∠1 與一線段長 a，試利用 ASA 作圖，畫出以邊長 a 為底邊，

∠1 為底角的等腰三角形。

由隨堂練習中發現，利用兩個角和一線段長，以 ASA 作圖方法所作出的三 角形，都會全等。也就是說，

若兩個三角形有兩個角和它們所夾的邊皆對應相等，則這兩個三角形就會全 等，稱為 ASA 全等性質。

A

B

C

R

P

Q 2

41° 2 94°

94°

41°

1 a

是，根據 ASA 全等性質。

作法：

1畫一直線 L，在 L 上作 PQ ，使 PQ ＝a。

2 分別以 P、Q 為頂點，PQ 為一邊，

在 L 的同側作∠P＝∠Q＝∠1。

3 令∠P 和∠Q 的另一邊相交於 R，

則△PQR 就是所求的三角形。

R

P Q L

2

例

如右圖，△ABC 與△PQR 中，∠A＝∠P＝73°，

∠B＝∠Q＝37°，BC ＝ QR ＝2.4 公分。

1求∠C 及∠R。

2試問△ABC 與△PQR 是否全等？

我們知道，當兩個三角形的兩角和它們的夾邊對應相等時，這兩個三角 形就會全等（ASA 全等）。但如果對應相等的邊不是夾邊，而是其中一角的對 邊，那麼這兩個三角形是否會全等呢？讓我們來看看下面的例題：

1因為三角形內角和是 180°，所以

∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－73°－37°＝70°

∠R＝180°－∠P－∠Q＝180°－73°－37°＝70°

2△ABC 與△PQR 中，

∠B＝∠Q＝37°

BC＝ QR ＝2.4 公分 ∠C＝∠R＝70°

依據 ASA 全等性質，所以△ABC 與△PQR 全等。

由例題 2 可知，兩個三角形有兩個角及其中一角的對邊對應相等，因為第 三個角也會對應相等，所以這兩個三角形根據 ASA 全等性質會全等。我們就得 到另一個三角形全等的性質：

若兩個三角形有兩角及其中一角的對邊對應相等，則這兩個三角形就會全 等，稱為 AAS 全等性質。

2.4 公分

A P

B C Q R

73°

37°

73°

37°

2.4 公分

AAS 全等與作圖

5

1 勾選出與△ABC 全等的三角形。

1

□

□

□

2已知長度為 a 的線段，∠1＝40°，∠2＝60°，求作一個三角形，使得 這個三角形的兩個內角分別為 40°和 80°，並且這兩個角夾邊的長度為 a。

A

B 38° C

40° 40° 38°

38° 40° 38°40°

3 3

3 3

a

1 2

L

作法：

1 作∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－40°－60°＝80°

2 畫一直線 L，在 L 上作 PQ ，使 PQ ＝a。

3 分別以 P、Q 為頂點，PQ 為一邊，在 L 的同側作∠P＝∠1＝40°，

∠Q＝∠3＝80°。

4令∠P 和∠Q 的另一邊相交於 R，則△PQR 就是所求的三角形。

3 2 1

L R

Q P

圖 3-21 中，兩個直角三角形的斜邊長都是 a，且各有一股長是 b；第一個 三角形的另一股是 c，第二個三角形的另一股是 d。

下圖中，直角△ABC 與直角△PQR 是否全等？為什麼？

A

B C P

Q

R 25

15 25

15

由勾股定理可得

所以 b²＋c²＝b²＋d²，得 c²＝d²。 因為 c、d 皆為正數，所以 c＝d。

利用 SSS 全等性質，可知這兩個三角形會全等。我們得到以下的結論：

RHS 中的 R 代表直角（right angle），H 代表斜邊（hypotenuse），S 指另一邊。

若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等，則這兩個三角形就會全等，稱為 RHS 全等性質。

b²＋c²＝a² b²＋d²＝a²

圖 3-21

b a b a

c d

從 RHS 全等性質得知，兩個三角形如果有兩組邊對應相等，加上其中一 組對應邊的對角是直角，則這兩個三角形就會全等。但若其中一組邊的對角並 不是直角，只有對應相等，則這兩個三角形是否仍會全等？

RHS 全等

6

是，根據 RHS 全等性質。

對應能力指標 8-s-14、8-s-15

如圖 3-22，給定一個角∠1 與兩線段長 a、b（a＞b），試利用尺規作圖畫 出一個三角形，使得它的兩邊分別等於 a 和 b，且邊長 b 所對的角等於∠1。

由上面的作圖過程中可知，當我們知道三角形的兩邊長 a、b（a＞b）與其 中較短邊 b 的對角時，所畫出來的兩個三角形△PQR 和△PQS 並不全等。

a

b

Q X

P S R Y L

1 圖 3-22

作法：

1畫一直線 L，在 L 上取一點 P。

2以 P 為頂點，L 為角的一邊，作∠XPY＝∠1。

3 在∠XPY 的邊 PX 上取一點 Q，使 PQ ＝a。

4 以 Q 為圓心，b 為半徑畫弧，交∠XPY 的另一邊 PY 於 R 與 S 兩點。

5 連接 QR、QS，可畫出符合條件的△PQR 和△PQS。

1上面的作圖條件中，如果 b 過短時，所作的弧與∠XPY 的另一邊沒有交 點，是否可以形成一個三角形？

2上面的作圖條件中，如果 b 的長度大於 a，所作的弧與∠XPY 的另一邊會 有幾個交點？這些交點與 P、Q 兩點會形成幾個三角形？

動動腦

上面的作圖條件中，如果 b 的長度大於 a，所作的弧與∠XPY 的另一邊只 會有一個交點。此交點與 P、Q 兩點會形成唯一的一個三角形。

上面的作圖條件中，如果 b 過短時，所作的弧與∠XPY 的另一邊沒有交 點，無法形成一個三角形。

兩個三角形全等，有 SSS、SAS、ASA、AAS、RHS 等性質，我們將利用這 些全等的性質來檢驗兩個三角形是否全等，並協助我們去判斷兩三角形的對應 邊或對應角是否相等。

在△BCD 與△CBE 中，

∠BDC＝∠CEB＝90°（BD⊥AC， CE⊥AB），

BD＝CE （已知），

BC＝BC （公用邊），

△BCD △CBE （RHS全等）。

如右圖，在△ABC 中，如果 BD⊥AC，CE⊥AB，

且 BD＝CE，試說明△BCD 與△CBE 全等。

全等三角形

例

3

A

E D

B C

A

D

B C

A

E

B C

全等三角形的應用

7

如圖 3-23，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB。

我們可以在圖 3-24 的 △ABC 與△ABD 兩個三角形中，

將其相等的對應邊與對應角用記號標出來。

A A

C

B B D

A

C

B D

在△ABD 與△ACD 中，

∠ADB＝∠ADC＝90°（直線 L 是 BC 的垂直平分線），

BD＝CD （直線 L 是 BC 的垂直平分線），

AD＝AD （公用邊），

因此△ABD △ACD （SAS 全等）。

所以 AB＝AC （對應邊相等）。

如右圖，直線 L 是 BC 的垂直平分線，

A 是直線 L 上任意一點，試利用三角形 全等性質說明 AB＝AC。

垂直平分線性質

例

4

A

B C

L

D

哪一個全等的性質可以說明圖 3-24 中△ABC △ABD？在□中打L：

□

□

□

□

□

圖 3-23

圖 3-24

配合習作基礎題 4、5

L

如右圖，AB＝AC，自 A 點作直線 L 垂直 BC，

且交 BC 於 D，可得兩個三角形△ABD 和△ACD。

1在下圖的兩個三角形中，依照上述條件，

將各組相等的對應邊或對應角用記號標出來。

2哪一個全等的性質可以說明△ABD △ACD？在□中打L：

□

□

□

□

□

3BD 和 CD 是否相等？

□

□

4直線 L 和 BC 有什麼關係？

□

□

□

A

B C

L

D

A

B C

D A

D

從上面的例題與隨堂練習中，我們得到，若 A 在 BC 的垂直平分線上，

則 AB＝AC；反之，若 A 為 BC 外一點，且 AB＝AC，則 A 在 BC 的垂直平分線 上。

也就是說，

一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距離相等；反之，若一點到 某線段的兩端點距離相等，則該點在此線段的垂直平分線上。

L

L

L A

B C

D A

D

A

B C

D A

D

1在△ABD 與△ACD 中，

AB＝AC （已知），

∠BAD＝∠CAD （AD 是∠BAC 的角平分線），

AD＝AD （公用邊），

所以△ABD △ACD （SAS 全等）。

2因為△ABD △ACD，

所以∠ADB＝∠ADC （對應角相等）。

又因∠ADB＋∠ADC＝180°，

所以∠ADB＝∠ADC＝90°，

BD＝ AB²－AD² ＝ 13²－12² ＝ 25＝5。

因為 BD＝CD （對應邊相等）， 所以 BC＝2BD＝10。

如右圖，△ABC 為等腰三角形，AB＝AC，

AD 是∠BAC 的角平分線，交 BC 於 D 點。

1說明△ABD 和 △ACD 全等。

2如果 AB＝13，AD＝12，求 BC 的長。

等腰三角形性質

例

5

B C

D

△ABC 中，AB＝AC＝25，BC＝14，求△ABC 的面積。

如右圖，過 A 點作∠BAC 的角平分線 L，且 L 交 BC 於 D 點，

則 BD＝CD＝7，∠ADB＝∠ADC＝90°。

AD＝ 25²－7² ＝24，

△ABC 面積為 14×24

2 ＝168。

L A

C

B D

14 25 25

在△APD 與△APE 中，

∠ADP＝∠AEP＝90°（PD⊥AB， PE⊥AC），

∠PAD＝∠PAE （P 在∠BAC 的角平分線上），

AP＝AP （公用邊），

△APD △APE（AAS全等），

所以 PD＝PE （對應邊相等）。

如右圖，AQ 為∠BAC 的角平分線，P 在 AQ 上，

PD⊥AB，PE⊥AC。試利用三角形的全等性質 說明 PD＝PE。

角平分線性質

例

6

A D

B

Q P

E C

如右圖，P 為∠BAC 內部一點，PD ⊥ AB，

PE ⊥ AC，且 PD＝PE。

1哪一個全等性質可以說明 △APD △APE？

2∠PAD 和∠PAE 是否相等？為什麼？

從上面的例題與隨堂練習中可以得到，若 P 點在∠BAC 的角平分線上，則 P 到∠BAC 兩邊的距離相等；反之，若 P 為∠BAC 內部一點，且 P 到∠BAC 兩邊的距離相等，則 P 在∠BAC 的角平分線上。

A

D B

P

E C

1 RHS 全等性質。

2是。

因為△APD △APE，

所以∠PAD ＝∠PAE（對應角相等）。

如右圖，正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中點，

延長 AE 交 DC 的延長線於 F。若 AB＝6，

則 AF 的長是多少？

全等三角形的應用

例

7

在△ABE 與△FCE 中，

因為∠ABE＝∠FCE＝90°，

BE＝EC，

∠AEB＝∠CEF，

所以△ABE △FCE（ASA 全等），

因此 AE＝EF。

因為 AB＝6，BE＝3，

AE＝ 6²＋3² ＝ 45＝3 5 ， 所以 AF＝6 5 。

△ABE 與△FCE 全等的條件：

1 ABCD 是正方形 2 E 是 BC 的中點 3對頂角

如右圖，△ABC 為正三角形，E 在 BC 上，

且△BDE 為正三角形，∠BAE＝25°。

1試填下列空格，來說明△ABE 與△CBD 全等：

在△ABE 與△CBD 中，

AB＝CB（因為： ） BE＝BD（因為： ）

∠ABE＝∠CBD＝60°（因為： ） 所以△ABE △CBD（因為： 全等性質）

2∠EDC 是多少度？

A B

E

D C F

A

B E C

D

△ABC 為正三角形

△BDE 為正三角形

正三角形一內角為 60°

SAS

∠CDB＝∠AEB＝180°－60°－25°＝95°

∠EDC＝∠CDB－∠EDB＝95°－60°＝35°

!全等三角形性質：全等三角形的對應邊相等，對應角也相等。

@三角形全等的判別方法：

1 SSS 全等性質： 若兩個三角形的三邊對應相等，則這兩個三角形全 等。

2 SAS 全等性質： 若兩個三角形的兩邊和它們的夾角都對應相等，則 這兩個三角形全等。

3 ASA 全等性質： 若兩個三角形的兩個角和它們的所夾的邊都對應相 等，則這兩個三角形全等。

4 AAS 全等性質： 若兩個三角形有兩角及其中一角的對邊對應相等，

則這兩個三角形全等。

5 RHS 全等性質： 若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等，則這兩 個三角形全等。

#垂直平分線性質：一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距 離相等；反之，若一點到某線段的兩端點距離相等，則該點在此線段 的垂直平分線上。

$角平分線性質：角平分線上任一點到角的兩邊距離相等；反之，若有 一點到角的兩邊相等，則該點在角的平分線上。

不要努力成為一個成功者，要努力成為一個有價值的人。

——愛因斯坦（Albert Einstein， 1879-1955）

數學小語錄

3-2

1下列各組圖形中，都有一些用彩色標出的線段或角，如果它們有相同的顏色

（黑色除外），則表示它們的長度或角度相等。請對照左邊每一組全等的圖 形，在右邊找出適合的全等性質，並把它們連起來。

ASA 全等

AAS 全等

SSS 全等

RHS 全等

SAS 全等

2如圖，設△ABC △PQR，∠A＝60°，∠R＝30°，QR ＝6 公分，

AB ＝2 3 公分。

1 求∠B 及∠P。

2 求 BC 的長。

3 求△ABC 的面積。

C

B A

R

Q P

1因為△ABC △PQR，所以∠P＝∠A＝60°，∠C＝∠R＝30°，

∠B＝∠Q＝180°－60°－30°＝90°

2 BC＝QR＝6（公分）

3△ABC 的面積＝ AB×BC

2 ＝ 2 3 ×6

2 ＝6 3 （平方公分）

4如右圖，在正方形 ABCD 中，BE＝DF。

1 試填下列空格，來說明△ABE 與△ADF 全等：

在△ABE 與△ADF 中，

AB＝AD（因為： ） BE＝DF（已知）

∠ABE＝∠ADF＝90°（因為： ） 所以△ABE △ADF（因為 全等性質）

2 如果∠BAE＝20°，則∠EAF 是多少度？

A B

D F C

E 3如右圖，AC 和 BD 交於 O 點，AO＝CO，BO＝DO。

1 在右圖的兩個三角形中，依照上述條件，將各組相 等的對應邊或對應角用記號標出來。

2 哪一個全等性質可以說明△ABO △CDO？

A

B

D O

C

L P

Q

A B

5如右圖，直線 L 是 AB 的垂直平分線，P、Q 皆在直線 L 上。

1 在右圖△APQ 和△BPQ 兩個三角形中，將各組相等的對應 邊或對應角用記號標出來。

2哪一個全等性質可以說明△APQ △BPQ？

3∠PAQ 和∠PBQ 相等嗎？為什麼？

1 2 SAS 全等性質。

ABCD 為正方形

ABCD 為正方形 SAS

因為∠DAF＝∠BAE＝20°（對應角相等）， 所以∠EAF＝90°－20°－20°＝50°。

1 2 SSS 全等性質。 3是。因為對應角相等。

A

B

D O

C

L P

Q

A B

A

B E C

F 6 如右圖，矩形 ABCD 中，E 在 BC 上，∠DAE 的角 D

平分線交 CD 於 F 點，已知 AB＝6 公分，AD＝10 公 分，BE＝8 公分。

1求 AE 的長。

2△AEF 與△ADF 是否全等？為什麼？

7 已知兩線段長分別為 a、b，試利用 RHS 作圖畫出一個直角三角形，

使其斜邊長為 a，其中一股長為 b。

a b

作法：

1畫一直線 L，並在 L 上取 B、C 兩點，使得 BC＝b。

2自 C 點作一直線 M 垂直 L。

3以 B 為圓心，a 為半徑畫弧，交直線 M 於 A。

4連接 AB、AC，則△ABC 就是所求的三角形。

1 AE＝ 6²＋8² ＝10（公分）

2是。

因為 AE＝AD＝10，

∠EAF＝∠DAF （AF 為∠DAE 的角平分線），

AF＝AF，

所以△AEF △ADF （SAS 全等性質）。

B C L

A M