4 平行四邊形 2

2 平行四邊形

對邊等長 對角相等 國小時，我們透過實測發現平行四邊形

有右列性質。那麼，平行四邊形是否還有其他 性質呢？本節將利用「平行線的截角性質」和

「三角形全等性質」來推導出平行四邊形的性 質及判別方法。

平行四邊形的性質

例

1

如右圖，平行四邊形 ABCD 中，AB // CD，

AD // BC，試說明 AB＝CD，AD＝BC，

∠A＝∠C，∠B＝∠D。

如右圖，連接對角線 AC。

在△ABC 和△CDA 中，

因為 AB // CD，

所以∠1＝∠3 （內錯角相等）。

因為 AD // BC，

所以∠2＝∠4 （內錯角相等）。

又 AC＝AC （公用邊），

所以△ABC △CDA（ASA 全等）。

故 AB＝CD， BC ＝DA （對應邊），

∠B＝∠D （對應角），

∠BAD＝∠BCD （因為 ∠1＋∠4＝∠3＋∠2）。

A D

B C

A D

B C

1 4 2 3

B C

A 1

2

D A

C 3

4

平行四邊形的性質

1

4

對應能力指標 8-s-23、8-s-25

1 右圖平行四邊形 ABCD 的周長為 32，且 AB＝9，

求 BC 的長。

2右圖是兩條有平行邊的紙帶，紙帶甲比紙帶乙寬。

 1重疊的部分是哪一種四邊形？

 2如果∠1＝43°，求∠2、∠3。 ^{甲 2}

乙

1 3

A D

B C

由例題 1 知，平行四邊形 ABCD 中，

AB＝CD，AD＝BC，

所以 AB＋BC＝ 1

2 ×周長，

即 9＋BC＝16 BC＝7

1 因為四邊形的兩組對邊平行，

所以是平行四邊形。

2如圖，∠4＝∠1＝43°（對頂角），

且重疊的部分為平行四邊形，

所以∠5＝∠4＝43°（平行四邊形對角相等）， 則∠2＝∠5＝43°（對頂角）。

而∠3＋∠4＝180°（同側內角互補）

∠3＋43°＝180°

∠3＝137°

甲 2 乙

1 4 3 5

平行四邊形的性質

例

2

如右圖，平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交於 O 點，試說明 OA＝OC，OB＝OD。

（兩條對角線互相平分）

在△AOB 和△COD 中，因為 AB // CD，

所以∠1＝∠2 （內錯角相等），

∠3＝∠4 （內錯角相等），

又 AB＝CD （平行四邊形對邊相等），

所以△AOB △COD （ASA 全等）。

故 OA＝OC， OB＝OD （對應邊）。

如右圖，平行四邊形 ABCD 的兩條對角線 相交於 O 點，且 AB＝4，BD＝9，

AC＝5，求△AOB 的周長。

A D

B C

O 1 3

4 2

A D

O

B C

由例題 2 知，平行四邊形 ABCD 的兩條對角線互相平分。

所以 AO＝ 1

2 ×AC＝ 5 2 BO＝ 1

2 ×BD＝ 9 2

△AOB周長＝AB＋AO＋BO＝4＋ 5 2 ＋ 9

2 ＝11

國小時，我們曾利用切割填補的方式學過三角形與平行四邊形的面積公 式。現在我們換一種方式，利用「平行四邊形的任一條對角線可將它分成兩個 全等三角形」的性質及三角形的面積公式，來說明平行四邊形的面積公式。

如圖 4-9，平行四邊形 ABCD 中，AB＝a，過 C 點到 AB 邊的高 CE＝h，

連接對角線 AC，可得 平行四邊形 ABCD 面積

＝△ABC 面積＋△CDA 面積

＝2×△ABC 面積（因為△CDA △ABC）

＝2× 1 2 ah

＝ah

即平行四邊形的面積＝底×高。

圖 4-9

由例題 1、2 可知，任意平行四邊形具有下列性質：

平行四邊形的性質：

1任一條對角線均可將它分成兩個全等的三角形。

2兩組對邊分別等長。

3兩組對角分別相等。

4兩條對角線互相平分。

一個不親自檢查橋梁每一部分的堅固性就不過橋的旅行者，是不可能走遠 的；甚至在數學中，有些事情亦須冒險。

—拉姆（Horace Lamb，1849-1934）

數學小語錄

D C

h

E B

A a

如右圖，分別過△ABC 的三頂點作對邊的平行線，此三直線相交於 D、

E、F 三點，且△ABC 的面積為 16，∠ACB＝50°，∠BAD＝44°。

1求△DEF 面積。

2求∠BEC。

平行四邊形性質的應用

例

3

如右圖，四邊形 ABCD 中，E 在 AD 上，

∠A＝60°，∠D＝70°，△ABE 面積為 4，

且四邊形 ABCE 與 BCDE 均為平行四邊形。

1求四邊形 ABCD 面積。

2求∠BEC。

1 四邊形 ABCD 面積

＝△ABE 面積＋△CEB 面積＋△ECD 面積 ＝4＋4＋4

＝12

 2在△CEB 中，

∠BEC＝180°－∠BCE－∠EBC 　　　 ＝180°－∠A－∠D

＝180°－60°－70°

＝50°

△ABE △CEB，且△CEB ^△ECD

平行四邊形對角相等 E D A

B C

60° 70°

A F D

B

E

C 50°

44°

1 因為四邊形 ADBC、ABEC、ABCF 均為 平行四邊形，所以△ABC、△ABD、

△BCE、△ACF 的面積都相等。

△DEF 面積＝4×△ABC 面積＝4×16＝64 2 因∠ADB＝50°（平行四邊形對角相等），

且∠AFC＝44°（同位角相等）， 由△DEF 內角和得

∠BEC＝180°－∠ADB－∠AFC＝180°－50°－44°＝86°

配合習作基礎題 1、2

如右圖，平行四邊形 ABCD 中，E 在 AB 上，

且∠C＝∠ADE＝60°，BC＝11，CD＝13。

1求∠CDE。

2求 BE 的長。

平行四邊形性質的應用

例

4

如右圖，平行四邊形 ABCD 中，E 在 AD 上，

AB＝7，BC＝11，∠D＝82°，且∠1＝∠2。

1求∠3。

2△ABE 是否為等腰三角形？

3求 DE 的長。

1 ∠3＝∠2

＝ 1

2 ∠ABC ＝ 1

2 ∠D ＝ 1

2 ×82°

＝41°

 2因為∠1＝∠2，且 ∠3＝∠2，所以∠1＝∠3，即△ABE 為等腰三角形。

 3 DE＝AD－AE 　　　 ＝BC－AB 　　　 ＝11－7

＝4

內錯角相等

平行四邊形對角相等

∠1＝∠2

平行四邊形對邊等長，等腰三角形兩腰等長

D

C E A

B

3 1

2

82°

A

60°

D

E B

11

C 13

60°

配合習作基礎題 3、4

1 ∠C＋∠ADC＝180°（同側內角互補）

60°＋60°＋∠CDE＝180°

∠CDE＝60°

2 因為∠AED＝∠CDE＝60°（內錯角相等），且∠A＝∠C＝60°（對角相等）

所以△AED 為正三角形，AE＝AD＝BC＝11（對邊等長）

BE＝AB－AE＝CD－AE＝13－11＝2

如右圖，平行四邊形 ABCD 中，O 為兩條對角線 交點，OH 垂直 BC 於 H，AD＝12，且平行四邊形 ABCD 的面積為 96，求 OH 的長。

平行四邊形性質的應用

例

5

如右圖，平行四邊形 ABCD 中，O 為 兩條對角線交點，DH 垂直 AC 於 H，

且△AOD 的面積為 5。

1求△COD 面積。

2求平行四邊形 ABCD 面積。

1 △COD 面積＝ 1

2 ×CO×DH 　　　　　　　 ＝ 1

2 ×AO×DH 　　　　　　　 ＝△AOD 面積 　　　　　　　 ＝5

2 平行四邊形 ABCD 面積＝2×△ADC 面積

＝2×（△AOD 面積＋△COD 面積）

＝2×（5＋5）

＝20

平行四邊形對角線互相平分

△CBA ^△ADC

D

C H

O

B A

D A 12

O

H C B

由例題 5 可知：平行四邊形的對角線將其分割成四個等面積的三角形。

所以△OBC 面積＝ 1

4 ×96＝24 又 BC＝AD＝12（對邊等長）

△OBC 面積＝ 1

2 ×BC×OH＝24 1

2 ×12×OH＝24 OH＝4

用對邊判別平行四邊形

例

6

如右圖，四邊形 ABCD 中，AB＝CD，且 AD＝BC，

試說明四邊形 ABCD 為平行四邊形。

如右圖，連接對角線 AC。

在△ABC 和△CDA 中，

因為 AB＝CD （已知），

BC＝DA （已知），

AC＝AC （公用邊），

所以△ABC △CDA （SSS 全等）。

故∠1＝∠3，∠2＝∠4 （對應角）。

則 AD // BC， AB // CD （內錯角相等），

所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。

我們知道兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形，如長方形與正方形 其內角均為直角，很容易確定它們是兩組對邊分別平行的四邊形。但是四邊等 長的菱形，如果不經由測量，要如何確定它是平行四邊形呢？因此接著我們將 以下面的例題與隨堂練習，來介紹一些常用的判別方法。

由例題 6 可知，兩組對邊分別等長的四邊形是平行四邊形。

A D

B

C

A D

B

C 2 1

3 4

沒有知識的人總愛議論別人的無知，而知識豐富的人卻時時發現自己的無 知。

—笛卡兒（Ren′e Descartes，1596-1650）

數學小語錄

平行四邊形的判別

2

如右圖，四邊形 ABCD 中，AB // CD，

且 AB＝CD。在下面的空格內填入適當的 性質，說明四邊形 ABCD 為平行四邊形。

如右圖，連接對角線 AC。

因為 AB // CD，所以∠1＝∠3 （內錯角相等）。

在△ABC 和△CDA 中，

因為 AB＝CD，∠1＝∠3， ， 所以△ABC △CDA （ 全等）。

故∠2＝∠4 （對應角），則 BC // AD （內錯角相等），

所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。

用對角判別平行四邊形

例

7

如右圖，四邊形 ABCD 中，∠A＝∠C，且∠B＝∠D，

試說明四邊形 ABCD 為平行四邊形。

因為∠A＝∠C，∠B＝∠D，

且∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°（四邊形內角和），

所以∠C＋∠D＋∠C＋∠D＝360°，

2∠C＋2∠D＝360°，

∠C＋∠D＝180°，所以 AD // BC （同側內角互補）。

又∠C＝∠A，

所以∠A＋∠D＝180°，因而 AB // CD （同側內角互補）。

故四邊形 ABCD 為平行四邊形。

由隨堂練習可知，一組對邊平行且等長的四邊形是平行四邊形。

A

D C

B

1 4

2 3

D

C B

A

由例題 7 可知，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

配合習作基礎題 5

AC ＝ AC SAS

如右圖，四邊形 ABCD 中，O 為兩條對角線的交點，

且 OA＝OC，OB＝OD。在下面的空格內填入適當的 性質，說明四邊形 ABCD為平行四邊形。

因此，我們常用下列方法判別四邊形是否為平行四邊形。

平行四邊形的判別方法：

1兩組對邊分別等長的四邊形是平行四邊形。

2一組對邊平行且等長的四邊形是平行四邊形。

3兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

4兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

在△AOB 和△COD 中，

因為 OA＝OC，

OB＝OD，

，

所以△AOB △COD （ 全等），

故∠3＝∠4 （對應角），

因而 AB // CD （ ）。

同理在△AOD 和△COB 中，可推得 AD // BC。

所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。

A

C D B

O 3 1 2

4

由上面隨堂練習可知，兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

配合習作基礎題 6

∠1＝∠2

SAS

內錯角相等

判別方法的應用

例

8

利用平行四邊形的判別方法，檢查下列各四邊形 ABCD 是否為平行四邊 形。若是，如第1 題在括弧內寫出其判別方法。

2 因為∠D＝180°－70°－50°＝60°＝∠B，

又∠A＝∠C，

所以四邊形 ABCD 為平行四邊形（兩組對角分別相等）。

3 因為△AOB 與△BOC 分別以 AO、CO 為底邊時，其高相同，

且△AOB 面積＝△BOC 面積，所以底邊 AO＝CO。

同理，BO＝DO。

所以四邊形 ABCD 為平行四邊形（兩條對角線互相平分）。

2∠A＝∠C

□是（因為： ） □否

3△AOB 面積＝△BOC 面積 ＝△COD 面積

□是（因為： ） □否

4 AB // CD，CE＝AB＋1，

∠EAB＝114°

□是（因為： ） □否

A

D

C

A

B

C D 70°

50°

E A D

C

B 66°

D

A

B

C O

1 AB＝BC＝CD＝DA

□是（因為：兩組對邊等長）

□否 L

60°

B

1∠A＝∠C

□是（因為： ） □否

2∠1＝∠2＝∠3，AB＋DE＝BC

□是（因為： ） □否

3 AH⊥BC

□是（因為： ） □否

4 AC 與 BD 分別為兩同心圓的直徑 （圓心 O）

□是（因為： ） □否

利用平行四邊形的判別方法，檢查下列各四邊形 ABCD 是否為平行四邊 形。若是，在括弧內寫出其判別方法。

4 因為∠D＝180°－∠A＝180°－114°＝66°（同側內角互補）， 所以△CDE 為等腰三角形 （∠D＝∠CED＝66°）。

所以 CD＝CE （兩腰等長）。

CD＝AB＋1 （CE＝AB＋1），

即 CD 與 AB 兩對邊不等長，可知四邊形 ABCD 不是平行四邊形。

142° D A

C B

110°

150°

D E

A

B C

3

21

A D O

C

B A D

B C

4

5

H 5 4

1

L

一組對邊平行且等長

L 兩組對邊等長 L 兩對角線互相平分

L

B B B

平行四邊形作圖

例

9

如右圖，已知∠E 及 a、b 兩線段長，利用尺規 作圖畫一平行四邊形 ABCD，使得∠A＝∠E，

AB＝a，AD＝b。

1 作∠A，使得∠A＝∠E。

 2在∠A 的兩邊分別取 B、D 兩點，使得 AB＝a，AD＝b。

 3分別以 B、D 為圓心，b、a 線段長為半徑畫弧，交於 C 點。

 4連接 BC 與 CD，則四邊形 ABCD 為所求。

使用尺規畫平行四邊形時，若能利用平行四邊形的判別方法，常能簡化作 圖的步驟。我們以下面的例題來說明。

例題 9 中所作的四邊形 ABCD 為何是平行四邊形？請簡述原因。

動動腦

E

1 2 3 4

a b

A A D

A D

C

A D

C 配合習作基礎題 7

四邊形 ABCD 有兩組對邊等長，所以是平行四邊形。

1如右圖，已知線段 a，利用尺規作圖畫一個 邊長為 a 的正方形，並說明其理由。

2 如下圖，已知∠PAQ 及一點 C，利用尺規作圖在∠PAQ 的兩邊分別找 B、D 兩點，使得四邊形 ABCD 為平行四邊形，並說明其理由。

a

P

C

A Q

作法：

1 作直線 L，並在 L 上任取一點 A。

2 過 A 點作直線 M 與直線 L 垂直。

3 分別在 L、M 上取 AB 與 AD，

使得 AB＝AD＝a。

4 分別以 B、D 為圓心，線段長 a 為半徑畫弧，設兩弧交於 C 點。

5 連接 BC、CD，則四邊形 ABCD 為所求。

說明：

四邊形 ABCD 為四邊等長的平行四邊形，且一內角為 90° 時，

其餘內角均為 90°，故四邊形 ABCD 為四邊等長且四內角為直角的 正方形。

作法：

1 過 C 點作 AQ 的垂線 L。

2 過 C 點作直線 M 平行 AQ，且交 AP 於 D 點。

3 在 AQ 上取 AB，使得 AB＝CD。

4 連接 BC，則四邊形 ABCD 為所求。

說明：

四邊形 ABCD 中，AB // CD，且 AB＝CD，

故 ABCD 為平行四邊形。

A D

M

C

B L

P

D C M

B L

Q A

如右圖，長方形 ABCD 中，AC、BD 為 兩條對角線，試說明 AC＝BD。

（兩條對角線等長）

長方形的對角線

例

10

我們知道平行四邊形的對角線會互相平分，而正方形、長方形、菱形均為 平行四邊形，所以其對角線也會互相平分。為了進一步探討這些特殊平行四邊 形對角線的關係，請同學在下表中畫出每個四邊形的兩條對角線，並提出你的 猜測（將該圖形具有的性質在欄位中打L，如第一列所示）。

在△ABC 和△DCB 中，

因為 AB＝DC （對邊等長），

∠ABC＝∠DCB （直角），

BC＝BC （公用邊），

所以△ABC △DCB （ SAS 全等）。

故 AC＝DB （對應邊）。

兩條對角線的關係

平行四邊形 長方形 菱形 正方形

互相平分 等長 互相垂直

L L L L

A D

B C

特殊平行四邊形

3

L

L

L L

AB＝32÷4＝8 BO＝BD÷2

＝12÷2＝6 AO＝ AB ²－BO ²

＝ 8²－6²

＝ 28

＝2 7 AC＝2×AO

＝2×2 7

＝4 7

如右圖，菱形 ABCD 中，O 為兩條對角線 AC、BD 的交點。則：

1△OAB 和△OCB 是否全等？試說明其理由。

2 AC 與 BD 是否垂直？試說明其理由。

如右圖，菱形 ABCD 的周長為 32，兩條對角線 交於 O 點，且 BD＝12，求 AC 的長。

菱形的對角線

例

11

四邊等長 對角線互相平分

對角線互相垂直

對角線互相平分

A

B D

C O

A

B D

C O

1 在△OAB 和△OCB 中，

因為 OA＝OC（對角線平分），

OB＝OB（公用邊），

AB＝BC（菱形四邊等長），

所以△OAB △OCB（SSS 全等性質）。

2因為△OAB △OCB

故∠AOB＝∠BOC（對應角）。

又∠AOB＋∠BOC＝180°（平角），

所以∠AOB＝∠BOC＝90°，

故 AC⊥BD。

已知某長方形的周長為 28，且其兩條對角線長的和為 20，求該長方形的 面積。

因為正方形可視為長方形，亦可視為菱形，所以由例題 10 及隨堂練習可 知，正方形的兩條對角線會等長且互相垂直。因此我們可得到以下一些特殊平 行四邊形的對角線性質。

特殊平行四邊形的對角線性質：

1長方形的兩條對角線等長且互相平分。

2菱形的兩條對角線互相平分且垂直。

3正方形的兩條對角線等長、互相平分且垂直。

我們知道對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，但以此來判別是否為 正方形、長方形或菱形，條件是不夠的。從前面的對角線性質不難看出，兩條 對角線是否等長與互相垂直，也是需要考慮的條件。

設長方形的一邊長為 x，則另一邊長為 14－x。

又兩對角線等長，所以對角線長為 10。

由勾股定理得 x²＋（14－x）²＝10² x²－14x＋48＝0

（x－6）（x－8）＝0 x＝6 或 x＝8。

當 x＝6，則 14－x＝8，長方形面積為 6×8＝48。

當 x＝8，則 14－x＝6，長方形面積為 8×6＝48。

如右圖，四邊形 ABCD 中，AC、BD 兩條對角線等長且 互相平分，試說明四邊形 ABCD 為長方形。

長方形的判別

例

12

因為兩條對角線互相平分，所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。

在△ABC 和△DCB 中，

因為 AB＝DC （平行四邊形對邊相等），

BC＝BC （公用邊）， AC＝DB （已知），

所以△ABC △DCB （SSS 全等），

則∠ABC＝∠DCB （對應角）。

又∠ABC＋∠DCB＝180°（同側內角）， 所以∠ABC＝∠DCB＝90°。

同理∠BAD＝∠CDA＝90°。

故四邊形 ABCD 為長方形。

某一個四邊形的兩條對角線等長且互相平分，已知其中一條對角線長 7，

且有一邊長為 5，求該四邊形的面積。

D A

C B

因為四邊形的兩條對角線會互相平分且等長，

所以該四邊形為長方形。

因此另一邊長為 7²－5²＝ 24＝2 6 ， 面積為 5×2 6 ＝10 6 。

如右圖，四邊形 ABCD 中，兩條對角線 AC、BD 互相 平分且垂直，O 為其交點，試說明 ABCD 為菱形。

特殊平行四邊形的判別

例

13

因為直線 AC 為 BD 的垂直平分線，

所以 AB＝AD，BC＝DC（垂直平分線上的點到兩端點等距離）。

同理，直線 BD 為 AC 的垂直平分線，

所以 AB＝CB，CD＝AD，即 AB＝BC＝CD＝AD，

故四邊形 ABCD 為菱形。

某一個四邊形的兩條對角線互相平分且垂直，已知兩條對角線的長分別為 6 與 10，求該四邊形的面積與周長。

由例題 12 及例題 13 可知，若四邊形的兩條對角線等長、互相平分且 垂直，則該四邊形的四個內角均為直角且四邊會等長，也就是說，此四邊形 為正方形。因此我們可以用對角線判別下列各特殊平行四邊形。

用對角線判別特殊平行四邊形的方法：

1兩條對角線等長且互相平分的四邊形為長方形。

2兩條對角線互相平分且垂直的四邊形為菱形。

3兩條對角線等長、互相平分且垂直的四邊形為正方形。

A

D B

C O

配合習作基礎題 8

因為兩對角線互相平分且垂直的四邊形為菱形，

所以其面積為6×10

2 ＝30；

其周長為 4× 3²＋5² ＝4 34 。

!平行四邊形的性質：



@平行四邊形的判別方法：

 1兩組對邊分別等長的四邊形是平行四邊形。

 2一組對邊平行且等長的四邊形是平行四邊形。

 3兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

 4兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

#特殊平行四邊形的對角線性質：

$用對角線判別特殊平行四邊形的方法：

 1兩條對角線等長且互相平分的四邊形為長方形。

 2兩條對角線互相平分且垂直的四邊形為菱形。

 3兩條對角線等長、互相平分且垂直的四邊形為正方形。

1 任一條對角線均可將它分成 兩個全等的三角形。

2兩組對邊分別等長。

3兩組對角分別相等。

4兩條對角線互相平分。

重點回顧

名稱 圖形 性質 說明

長方形 AE＝CE＝BE＝DE。 兩條對角線等長且

互相平分。

菱形 AE＝CE、BE＝DE、

AC⊥BD。

兩條對角線互相 平分且垂直。

正方形 AE＝CE＝BE＝DE、

AC⊥BD。

兩條對角線等長、

互相平分且垂直。

D A

C B

E A

C

B E D

A D

B C

E

1 有一個平行四邊形，已知它有一個內角是直角，試問它是哪一種四邊形呢？

為什麼？

2 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，

∠A＝39°，求∠B、∠C、∠D 。

3 如右圖，ABCD 為平行四邊形，E、F 分別在 AB、BC上，且∠D＝57°，∠EFB＝66°，

AD＝9，CF＝4。

 1 求∠BEF。

 2 求 EF 的長。

自 我 評 量 4-2

D C

A B

A E B

F C D

9 66°

57° 4

39°

由「平行四邊形的對角相等且相鄰兩角互補」可得 該四邊形四內角均為直角，所以該四邊形為長方形。

∠C＝∠A＝39°

∠B＝∠D＝180°－∠A＝141°

1∠B＝∠D＝57°

由△BEF 的內角和得

∠BEF＝180°－∠B－∠BFE＝180°－57°－66°＝57°

2 EF＝BF （因為∠BEF＝∠B＝57°）

＝BC－CF

＝AD－CF （對邊等長）

＝9－4 ＝5

4 如右圖，AE // BC，且 AE＞BC，試用尺規作圖在 AE 上取一點 D，使得四邊 形 ABCD 為平行四邊形，並說明其理由。

5 平行四邊形 ABCD 的周長為 72 公分，且 AB 是 BC 的 3倍，

求 CD 與 AD 的長。

6 已知四邊形 ABCD 中，O 為四邊形 ABCD 兩條對角線的交點，

且 AB＝6，OA＝OB＝OC＝OD＝5，求四邊形 ABCD 的面積。

A E

B C

作法：

1在 AE 上取 AD，使得 AD＝BC。

2連接 CD，則四邊形 ABCD 為所求。

說明：

因為 AD // BC 且 AD＝BC，

所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。

平行四邊形 ABCD 中，AB＝CD，BC＝AD。

平行四邊形 ABCD 周長＝AB＋BC＋CD＋AD

72＝3×BC＋BC＋3×BC＋BC ＝8×BC

所以 BC＝9

CD＝AB＝3×9＝27 AD＝BC＝9

因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC 與 BD 平分且等長：

OA＝OB＝OC＝OD＝5

AC＝OA＋OC＝5＋5＝OB＋OD＝BD 所以四邊形 ABCD 為長方形。

則 BC＝ 10²－6²＝8，

四邊形 ABCD 的面積為 6×8＝48。

A D

E

B C

7 在下面的四邊形中，根據所給定的邊角數據，判斷它們的兩條對角線具有哪 些性質。（將該圖形具有的性質在下表的欄位中打L）

對角線性質

圖形編號 A B C D

互相平分 等長 互相垂直

8判斷下列敘述是否正確。如果不正確，試說明理由。

 1若某四邊形為平行四邊形，則此四邊形的兩條對角線一定會互相平分。

□

□

 2若某四邊形的兩條對角線會互相平分，則此四邊形一定是平行四邊形。

□

□

 3若某四邊形為長方形，則此四邊形的兩條對角線一定會互相平分。

□

□

 4若某四邊形的兩條對角線會互相平分，則此四邊形一定是長方形。

□

□

 5若某四邊形為菱形，則此四邊形的兩條對角線一定會互相垂直。

□

□

 6若某四邊形的兩條對角線會互相垂直，則此四邊形一定是菱形。

□

□

A B C D

3

5

3

4 4

4

4

4.5

4

4 67° 4 113°113°

4

110°

70°

L L

L L

L

L L

L

L

L

L

L

L

L

還須兩對角線等長的條件。

還須兩對角線互相平分的條件。