數學歸納法的證明
呂
文寶
某一個星期六的早上, 我的學生小庭約我到某知名速食店, 坐定之後, 小庭就迫不急待地 問: 「什麼是歸納法?」 我回答:「舉一個例子來說明: 若有一個袋子, 裏面有 100 顆撞球, 你從袋 子中摸出第一個球是紅色, 再摸出第二個球也是紅色, 如此, . . . ., 一直到第 20 個球都是 紅色, 我們心中不禁會“猜想”(或推測) 這袋子中的 100個球全部都是紅色的。 (不然的話, 怎麼 會那麼剛剛好連續抽 20 個球都是紅色的。) 這種由少數已知去“猜想”(或推測) 全部的想法, 就 叫做“歸納法”。 若我們把袋中的 80個球都倒出來, 驗證我們的“猜想”(或推測) 是否正確? (即 驗證這袋中的 100 個球是否全部都是紅色的?) 不管驗證的結果是正確或錯誤, 這種驗證就叫 做“歸納法的證明”。」 小庭再問:「那“數學歸納法的證明”又是什麼呢? 」 我又回答:「再舉一個例子來說明: 以前我們學過1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1) 2 , 證 明如下: 1 + 2 + 3 + · · · + n = x n+ (n − 1) + (n − 2) + · · · + 1 = x (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) = 2x n(n + 1) = 2x n(n + 1) 2 = x 以上是等式的證明, 不是數學歸納法的證明, 真正數學歸納法的證明是: 證明等式 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1) 2 的 n 在所有自然數中, 等式都成立。」 小庭又問:「那要怎麼去證明等式 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1) 2 的 n 在所有自然 數中, 等式都成立呢? 」 我說:「你可以把“步驟一” n = 1 代入等式的兩邊去驗證是否相等? 即等式左邊 = 1, 等 式右邊= 1 × (1 + 1) 2 = 1 × 2 2 = 1, 1 = 1, 等式成立。 “步驟二” n = 2 代入等式的兩邊去 12驗證是否相等? 即等式左邊= 1 + 2 = 3, 等式右邊= 2 × (2 + 1) 2 = 2 × 3 2 = 3, 3 = 3, 等 式成立。 請你試試看, 把 n = 3 代入, n = 4代入, · · · 。」 小庭立刻在計算紙上寫下“步驟三” n = 3 代入等式的兩邊, 即等式左邊= 1 + 2 + 3 = 6, 等式右邊= 3 × (3 + 1) 2 = 3 × 4 2 = 6, 6 = 6, 等式成立。 “步驟四” n = 4 代入等式的兩邊, 即等式左邊= 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 等式右邊= 4 × (4 + 1) 2 = 4 × 5 2 = 10, 10 = 10, 等 式成立。 “步驟五” n = 5 代入等式的兩邊, 即等式左邊= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, 等式右 邊= 5 × (5 + 1) 2 = 5 × 6 2 = 15, 15 = 15, 等式成立。 “步驟六” n = 6 代入等式的兩邊, 即 等式左邊= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, 等式右邊= 6 × (6 + 1) 2 = 6 × 7 2 = 21, 21 = 21, 等式成立。 · · · , 小庭大聲叫道:「老師, 救命啊! 這要做到什麼時候才能把所有的自然數 都驗證完呢? 」 我說:「因為自然數有無限多個, 所以你用這種驗證方式, 終生你都無法驗證完, 當然, 古聖 先哲也有你我這樣的困擾, 還好經過許多數學家的努力, 已幫我們想出下列好方法, 可以說明 n 在所有的自然數中, 等式都成立。 說明如下: 」 “步驟一” n = 1代入等式的兩邊, 即等式左邊= 1, 等式右邊= 1 × (1 + 1) 2 = 1 × 2 2 = 1, 1 = 1, 等式成立。 “步驟二” 假設 n = k 時, 等式成立, 試證: n = k + 1 時, 等式也成立, 即 已知: 1 + 2 + 3 + · · · + k = k(k + 1) 2 求證: 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 證明: 由已知 1 + 2 + 3 + · · · + k = k(k + 1) 2 , 使用等量公理, 對等式的兩邊同加 (k + 1), 得 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) = k(k + 1) 2 + (k + 1) = k2+ k + 2k + 2 2 = k2+ 3k + 2 2 = (k + 1)(k + 2) 2 “步驟三” 同“步驟二”之理, 可證 n = k + 2, n = k + 3, n = k + 4, · · · , 等式都成立。 所以我們得證 n 在所有自然數中, 等式都成立。 以上“步驟一, 步驟二, 步驟三”的證明方法, 就是“數學歸納法的證明”。 小庭很懷疑地問:「為什麼“步驟一, 步驟二, 步驟三”的證明方法, 就能說明 n 在所有的自 然數中, 等式都成立? 」 我答:「這裏用骨牌倒下去來說明: “步驟一”就好像第一塊骨牌倒下去。 “步驟二”就好像如 果前 k 塊骨牌都倒下去, 則第 (k + 1) 塊骨牌也一定會倒下去。 “步驟三”就好像說明了全部骨
牌都會倒下去。」 小庭說:「我在課本看到關於不等式“數學歸納法的證明”, 有許多地方不懂, 請老師也舉一 個例子來解說。」 我說:「好, 我就舉“對於每一個自然數 n ≥ 5, 試證: 2n > n2”來說明。」 證明如下: “步驟一” n = 5 代入, 不等式左邊 25 = 32, 不等式右邊 52 = 25, 32 > 25, 不等式成立。 “步驟二” 假設 n = k > 5 時, 不等式成立, 試證: n = k + 1 時, 不等式也成立。 即 已知: 2k > k2 求證: 2k+1 >(k + 1)2 證明: 由已知 2k > k2, 使用等量公理, 對等式的兩邊同乘 2, 得 2k · 2 > 2k2 ⇒ 2k+1 >2k2 · · · 1 設 2k+1 = 甲數, 2k2 = 乙數, (k + 1)2 = 丙數 由 1 式知甲數 > 乙數, 如果能證出乙數 > 丙數, 則由遞移律知甲數 > 丙數。 即 完成證明 2k+1 >(k + 1)2, 那怎麼去證明乙數 > 丙數呢? 我用下表說明: 腦中的思考活動 書寫正式證明 先假設乙數 > 丙數已成立 2k2>(k + 1)2 ⇒ 2k2> k2+ 2k + 1 ⇒ k2− 2k > 1 ⇒ k(k − 2) > 1 ⇒ k > 1且k− 2 > 1 ⇒ k > 5 > 1且k− 2 > 3 > 1 k >5 > 1且k− 2 > 3 > 1 ⇒ k > 1且k− 2 > 1 ⇒ k(k − 2) > 1 ⇒ k2− 2k > 1 ⇒ 2k2> k2+ 2k + 1 ⇒ 2k2>(k + 1)2 所以2k+1>(k + 1)2證畢 * 注意: 書寫正式證明正好與腦中的思考活動逆向。 小庭問:「上述表中的正式證明不能直接想出來嗎? 」 我答:「這是不可能的事情, 除非你跟神一樣絕頂聰明或你已做過這題, 而你我皆凡人, 正常 人應該是在草稿紙上寫出腦中的思考活動, 再把它逆向寫出來。」 小庭又問:「請問什麼題目要用逆向思考? 」 我答:「在“數學歸納法的證明”這領域中, 除了等式之外, 其他大部分都是逆向思考。 這種 逆向思考的證法, 存乎一心, 有需要的時候就可以使用。 記得我讀國中的時候, 遇到一位數學老 師, 在證平面幾何學的證明題時, 就是從後面寫起, 再從前面寫, 最後竟合在一起證完了。 當初
覺得很神奇, 也對這位老師很崇拜, 後來發現這種逆向證法, 在數學證明時常常使用, 也就覺得 沒有什麼了。」 “步驟三” 同“步驟二”之理, 可證 n ≥ 5 時, n 在所有的自然數中, 不等式都成立。 小庭說:「我在課本看到關於整除方面“數學歸納法的證明”, 也有許多地方不懂, 請老師也 舉一個例子來解說。」 我說:「好, 我再舉下例, 試證: 對每一個自然數 n, 都有 18|(22n+ 24n − 10)」 證明如下: “步驟一” n = 1 代入, 得 18|(22×1+ 24 × 1 − 10) ⇒ 18|4 + 24 − 10 ⇒ 18|18, 整除成立。 “步驟二” 假設 n = k 時, 整除成立, 試證: n = k + 1 時, 整除也成立。 即 已知: 18|(22k+ 24k − 10) 求證: 18|[22(k+1)+ 24(k + 1) − 10]
在此先複習整除的性質, 若 a, b, c, m, n 均為整數, a|b 且 a|c ⇒ a|mb + nc (即公因數 整除兩倍數的任意線性組合) 證明: 腦中的思考活動 書寫正式證明 18 | [22(k+1)+ 24(k + 1) − 10] 18 | 18 ⇒ 18 | (22k+2+ 24k + 24 − 10) ⇒ 18 | 18(4k − 3) ⇒ 18 | (4 × 22k+ 24k + 14) · · · 1 ⇒ 18 | (72k − 54) · · · 3 由已知18 | (22k+ 24k − 10) · · · 2 由已知 ⇒ 18 | (22k+ 24k − 10) 將 1, 2式使用 a| b且a| c ⇒ a | mb + nc, ⇒ 18 | 4 × (22k+ 24k − 10) 其中取m= −1, n = 4,得 ⇒ 18 | (4 × 22k+ 96k − 40) 18 | [−(4 × 22k+ 24k + 14) ⇒ 18|(22(k+1)+ 96k − 40) · · · 4 +4(22k+ 24k − 10)] 將 3, 4式使用a| b且a| c ⇒ a | mb + nc, ⇒ 18 | (72k − 54) 其中取 m= −1, n = 1,得 ⇒ 18 | 18(4k − 3) 18 | [−(72k − 54) + (22(k+1)+ 96k − 40)] ⇒ 18 | 18 ⇒ 18 | [22(k+1)+ 24(k + 1) − 10]證畢 “步驟三” 同“步驟二”之理, 可證 n 在所有的自然數中, 整除都成立。 小庭說:「我在課本上看到“對每一個自然數 n, 試證: 28n+2− 24n 的個位數字都是 8”, 不 知如何證明, 請老師教我。」 我說:「28n+2− 24n− 8 的個位數字必為 0, 即 10|(28n+2− 24n− 8), 你可以仿照上述證 明, 便可證出來。」 小庭問:「在幾何學上, 有沒有“數學歸納法的證明” ? 」
我答:「當然有, 最著名的就是 n 個正方形經過切割, 必可重新組合成一個大正方形, n 在 所有自然數中 (n ≥ 2), 上述都成立。」 證明如下:
“步驟一” n = 2 代入, “ 代表正方形, 即試證: ABCD + EF GC = AHF I (如下 圖)
設 AB = BC = CD = DA = a, EF = F G = GC = CE = b, 延長−−→CB 至 I 點, 使 BI = b, 在 DC 上取一點 H, 使得 DH = b, 再連接 AH, HF , F I 與 IA
求證: 四邊形 AHF I 為正方形
證明: 因為 △ADH ∼= △HF G ∼= △IEF ∼= △ABI (SAS全等, a 直角 b)
所以 AH = HF = F I = IA (對應邊), 得四邊形 AHF I 為菱形, 在 △ADH 中, ∠ADH + ∠DHA + ∠HAD = 180◦
, ∠ADH = 90◦
, ∠DHA + ∠HAD = 90◦ , 因為 △ADH ∼= △HGF , 所以 ∠HAD = ∠F HG (對應角), 代換得 ∠DHA + ∠F HG = 90◦
, 又因 ∠DHA + ∠AHF + ∠F HG = 180◦ (一直線), 代換得 90◦ + ∠AHF = 180◦ , 移項 得 ∠AHF = 90◦ , 所以四邊形為正方形, 證畢。
* 實際操作: 將 △ADH 切割下來補在 △ABI, △HGF 切割下來補在 △IEF , 即形 成大正方形 AHIF , 所以就有 ABCD + EF GC = AHF I
* 結論: 兩正方形經切割必可重新組合成一個大正方形。 “步驟二” 假設 n = k 成立, 試證: n = k + 1 也成立 , 即 已知: A1B1C1D1+ A2B2C2D2+ A3B3C3D3+ · · · + AkBkCkDk = JKLM 求證: A1B1C1D1+ A2B2C2D2+ A3B3C3D3+ · · · + AkBkCkDk +Ak+1Bk+1Ck+1Dk1 = NOP Q
證明:
由已知 A1B1C1D1+ A2B2C2D2+ A3B3C3D3+ · · ·+ AkBkCkDk = JKLM 使用等量公理對等式兩邊同加 Ak+1Bk+1Ck+1Dk+1 得
A1B1C1D1+A2B2C2D2+A3B3C3D3+· · ·+AkBkCkDk+Ak+1Bk+1Ck+1Dk+1 = IKLM + Ak+1Bk+1Ck+1Dk+1 = NOP Q (由“步驟一”知) “步驟三” 同“步驟二”之理, 可得 n 個正方形經過切割必可重新組合成一個大正方形, n 在所 有自然數中 (n ≥ 2), 上述都成立。 小庭說:「在“步驟一”中, 圖形的輔助線是誰想出來的, 好神奇噢! 」 我說:「這是清初數學家梅文鼎先生想出來的, 這是中國人的光榮! 為什麼? 我們試想清初 那個時代, 幾乎是所有的知識份子都在讀四書五經, 準備八股科舉, 對於數學可以說冷門到嗤之 以鼻。 而梅文鼎出生距利馬竇與徐光啟合繹“幾何原本”的出版才不到三十年, 以當時的時空環 境, 能想出輔助線, 並在數學史上佔有一席之地, 這令我們不得不佩服梅文鼎先生的智慧! 講到 這裏, 我們身為中國人應該更有自信才對! 」 最後小庭非常高興地與我一起走出速食店, 我聽到小庭一直都小聲哼著 You light up my life 的調子。 (全文完)
